CC BY
10
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 539.12.01
КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ (2+1)-МЕРНОЙ МОДЕЛИ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ
В. Ч. Жуковский, А. М. Федотов
(.кафедра теоретической физики) E-mail: zhukovsk@phys.msu.ru
На основе предложенного метода численного решения классических полевых уравнений исследованы различные режимы поведения классических неабелевых калибровочных полей в (2+1)-мерном пространстве-времени с учетом вклада топологического члена Черна-Саймонса и взаимодействия с полями Хиггса.
1. Поля Янга-Миллса в отличие от свободных электромагнитных полей обладают нетривиальной структурой, обусловленной их нелинейным характером, и связанным с ним самодействием [1-3]. Эти поля демонстрируют весьма сложное поведение уже на классическом уровне. В работах [4, 5] было показано, что классические решения уравнений Ян-га-Миллса в (3+1)-мерном пространстве обладают стохастическими свойствами. В настоящей публикации в продолжение работы [6], где использовался другой численный подход, мы рассмотрим классические решения для полей Янга-Миллса, взаимодействующих с полями Хиггса в (2+1)-мерном пространстве-времени с учетом топологического члена Черна-Саймонса, и изучим возможные стохастические режимы поведения данной системы полей.
2. Рассмотрим (2+1)-мерную калибровочную модель Джорджи-Глэшоу с топологическим членом Черна-Саймонса в группе 311(2) с полем А^, взаимодействующим с полем Хиггса Фа, заданную лагранжианом
С = Сё + Сф, (1)
С ___\ра 2 , }_пс1ша. (ра да__\ггса^с Ла Л^ Лс 1
(2)
Сф = Фа)2 + 1-т2ФаФа - 1л(ФаФа)2. (3)
Здесь ц = 0, 1,2; а = 1,2,3; = д^Фа -
— ШеаЬс^Фс■ Уравнения для полей будут иметь вид
д+ + ёЕЬаСФС01*ФЬ = 0, (4)
ДДГФ0 - т2Фа + Л(Ф6Ф6)Фа = 0. (5)
В работах [4, 5] уже была продемонстрирована возможность получения стохастических решений
для полей Янга-Миллса в (3+1)-мерной модели, поэтому здесь мы предложим метод поиска всех возможных решений, в которых наблюдается хаотическое поведение. Для получения конкретных решений систем нелинейных уравнений (4), (5) будем использовать анзацы, в которых отличны от нуля только определенные компоненты полей, зависящие только от одной координаты или времени.
Так как основной целью является поиск и изучение стохастических решений, необходимо построить метод, который бы позволял быстро получить из нового анзаца уравнения для фигурирующих в нем функций и проанализировать их решения. К тому же большинство получаемых таким образом уравнений можно решить только численно. Для этих целей была использована программа на языке Maple. Использование сочетания символьных и численных вычислений позволило получать систему уравнений сразу же после задания анзаца и в случае совместности системы получить готовый анализ решений. Такой метод позволил быстро исследовать различные типы анзацев.
Для реализации этого метода была создана специальная библиотека для пакета Maple, позволяющая записывать в привычном виде уравнениями типа Янга-Миллса и легко оперировать ими. Под привычным видом подразумевается самый общий вид записи уравнений на бумаге (например, (4), (5)) с использованием символьных индексов, операторов и т. п. Это позволило создать программу, выполняющую абсолютно все необходимые для нахождения и изучения решений действия одной командой. Исходными данными для программы являлись: анзац (заданный в привычном виде, например: A[a,mu]:K)lta[a,mu]*f[a](t);), размерность пространства и исследуемая модель. В данной работе два последних фактора были фиксированными (размерность 2+1 и поля Янга-Миллса и Хиггса), однако
они также были записаны в общем виде. В результате программа выдавала численные решения уравнений и поверхности Пуанкаре. В случае возможности нахождения аналитических решений выдавались также и они. Таким образом, весь процесс поиска и анализа решений был полностью автоматизирован и выполнялся одной командой, с помощью которой передавался проверяемый анзац.
3. В настоящей работе для демонстрации метода ограничимся анзацами, зависящими только от одной переменной:
да да да
еа»ь[ь(х),
\£
(6)
(7)
(8)
Рис. 1. Эффективная потенциальная энергия и([,ф) при £ = 1, 0=1, /1 = 1, А = 2; слева: х =
справа: х = у
0.2 0.1
0 -0.1
-0.2
0.6 0.4 .0.2
/ // ^ \ \ \ \ . .
• 0.55* о!б 0.65^^7 0.75 0<в7 0.Й5 -О.а -6.Р-0.4Д).2
0.55* о:§
-0.2 -0.4
0.2?Ч0Л%.
Рис. 2. Поверхность Пуанкаре £ = —0.1 — левый рис. и £ = 0.1 — правый рис. = 1, 0=1, ¡1= 1
А = 2)
ч - '
: - - ••
• :
Л
1
б.'б^
^05 ^ ' -0.5
'П
V; & .
• :. • - г
'I Г : .
0.5° --1 ;:
•■х-
° 1
0.5
-0.5
• • -0.5 1
0,5
• 1 I 1
Рис. 3. Поверхность Пуанкаре £ = 0.5 — левый рис. и £ = 0.8 — праввш рис. (£=1, 0=1, /х = 1,
Л = 2)
где в качестве х брались как пространственная, так и временная координаты. Заметим, что все три анзаца дают схожие результаты. Для Фа везде использовался один и тот же анзац
$а = Фа(х). (9)
Подставив (6) в (4), (5) и взяв в качестве х время I, получим систему двенадцати дифференциальных уравнений второго и первого порядка по I.
Рассмотрим решения следующего типа: /2 = /з = = / , ф\ = ф, Ф2 = Фз = 0• При таких условиях система принимает вид
= о,
(10)
&.ф + 2^ф-т2ф + \ф3 = 0, Ь=-\9-.
На рис. 1 (левый рисунок) изображена потенциальная энергия этой системы
и = -^тV V/V + + \гх£ + (11)
Функция (11) имеет три критические точки: два минимума с координатами (0, ±л/т/А) и одну сед-ловую точку с координатами (0,0).
Численный анализ системы (10) показал, что поведение полей сильно зависит от начальных условий. Возможны как квазипериодические, так и стохастические режимы. Для подробного изучения траекторий найдем пересечение траекторий с плоскостью / = 0, /' > 0, называемой поверхностью Пуанкаре.
На рис. 2 представлены две такие поверхности для разных значений энергий. Если точки пересечения, соответствующие одной траектории, образуют замкнутую кривую, то движение квазипериодическое. Если же точки, соответствующие одной траектории, заполняют некоторую область, то характер движения стохастический. График слева на рис. 2 соответствует отрицательной энергии, лежащей ниже седловой точки. Как видно из рисунка, траектории имеют явно выраженный квазипериодический характер. При более высокой энергии возникает совершенно другая ситуация, которая изображена на правом графике рис. 2: все пространство занято хаотичным покрытием, и лишь в небольших областях присутствуют замкнутые кривые. Таким образом, в этой области преобладает стохастический характер движения. При еще большем повышении энергии ситуация опять меняется. Характер движения становится все более и более стабильным, как это хорошо видно на рис. 3.
Из приведенного анализа численного расчета следует вывод, что в районе седловой точки характер движения меняется. Траектории становятся более нестабильными, при приближении значения энергии к седловой точке характер движения становится более хаотическим.
4. Подставив (6) в (4), (5) и взяв в качестве переменной х пространственную координату у, получим систему двенадцати дифференциальных уравнений второго и первого порядка по у. Рассмотрим решения следующего типа: /1 = / , /2 = </>1=0, Ф2 = Фз = Ф- При таких условиях потенциальная энергия системы принимает вид (рис. 1, справа)
V = ¿/V - + ~ -§Ч2Ф2- (12)
0.08 -
0.06
/ / 0.04- ° ° о 4,1 ч
•' / 0.02 • 8 * \
'. -0:06-0.04-0.02 0 0.02 0.04 0.06 '
'• \ -0.02 - /
\ \ " • ..70.04
"•„ '-.-0.06 « °°
" • - . -0.08
... •0.04-
:• 0.02
•-0.06 -0,04 -0.02 0.02 0.04 0.06;
Ч).04-
0.004
0.002
.004 -0.002}° £ 0 001 0 002 0 003
:-о:°оо2
-0.004
Рис. 4. Поверхность Пуанкаре £ = —0.2 — верхний рис., £ = 0.2 — средний рис., £ = —0.125 — нижний рис. (£•=!, 0=1, //=1, А = 2)
Были проведены численные исследования соответствующей системы уравнений
1 Я2
при различных начальных условиях. Полученные при этом результаты схожи с результатами предыдущего пункта. Для подробного изучения траекторий построим поверхность Пуанкаре. На рис. 4 хорошо видно, что, как и в предыдущем пункте, существует область энергий, в которой характер движения является стохастическим. И так же, как в предыдущем пункте, степень хаотичности траекторий зависит от близости значений энергии к седловой точке.
5. Основной физический вывод работ Матиняна и Саввиди [4-10] в том, что система полей Ян-га-Миллса в (3+1)-мерном пространстве-времени не является точно решаемой, так как в противном случае траектории должны были бы иметь регулярную, а не хаотическую форму. В настоящей работе мы подтвердили этот вывод для (2+1)-мерной калибровочной теории с топологическим членом Чер-на-Саймонса и взаимодействием с полем Хиггса, а также вывод работы [6], полученный с помощью другого численного подхода. Метод, развитый при решении поставленных нами конкретных задач, позволяет быстро находить и анализировать нетривиальные решения систем нелинейных уравнений.
Представляется интересным дальнейшее развитие предложенного метода для поиска подобных решений как для других анзацев, так и для других моделей.
Литература
1. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский Б.Ч., Борисов А.Б. Калибровочные поля. М., 1986.
2. Рубаков В.А. Классические калибровочные поля. М., 1999.
3. Вшивцев А.С., Жуковский Б.Ч., Эминов ПЛ., Борисов А.Б. Эффекты внешнего поля и среды в неабеле-вой калибровочной теории. М., 2001.
4. Басеян Г.З., Матинян С.Г., Саввиди Г.К. 11 ЖЭТФ. 1979. 24. С. 641.
5. Матинян С.Г., Саввиди Г.К. // ЖЭТФ. 1981. 80. С. 830.
6. Ebert D„ Zhukovsky V.C., Rogal M.V. 11 Phys. Rev. 2002. D65. P. 065017; e-Print Archive: hep-th/0107192.
7. Biro T.S., Matinyan S.G., Mueller В. Chaos and Gauge Field Theory. Lecture Notes in Physics. 56. World Scientific. Singapore, 1994.
8. Матинян С.Г., Саввиди Г.К., Тер-Арутюнян-Саввиди Н.Г. // Письма в ЖЭТФ. 1981. 34." С. 613.
9. Savvidy G.K. // Nucl. Phys. 1984. В246. P. 302.
10. Матинян С.Г. 11 Физ. элемент, частиц и атом. ядра. 1985. 16. С. 522.
Поступила в редакцию 04.07.05
