О КОНЕЧНЫХ σ-РАЗРЕШИМЫХ ГРУППАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФЗ (принят ГД ФС РФ 08.12.1995) http://www.consultant.ru/popular/nekomerz/ ©Консультант Плюс, 1992-2015 Дата обращения 11.01.2015.

Синица Д.А. аспирант

Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины

Беларусь, г. Гомель О КОНЕЧНЫХ ^-РАЗРЕШИМЫХ ГРУППАХ

Статья посвящена о —разрешимым группам. Пусть далее G всегда обозначает конечную группу. Группа G является о —примарной если |tf(|G|)l = 1, где а(п) = [at nn(n)li Е I],<r(G) = tf(|G|). G является: а —разрешимой, если каждый ее главный фактор G является о —примарным; о—нильпотентной если (Н/К) ж (G/Cc(H/К)) является о—примарным для каждого главного фактора Н/К группы G. Основным результатом этой статьи является теорема о расширении о —разрешимых групп.

Ключевые слова: конечная группа, силовская подгруппа, полное холловское множество G типа о, о —примарная группа, о —нильпотентная группа, о —разрешимая группа.

Sinitsa D.A. graduate student Francisk Skorina Gomel State University

Belarus, Gomel

ON FINITE a-SOL VABLE GROUPS

The paper is devoted of a о —soluble groups. Throughout this paper, all groups are finite and G always denotes a finite group. A group G is a о —primary, if either G = 1 or la(G)l = 1, where (n) = fa П n(n)li Е l],a(G) = e(lGl). We say that G is: о —soluble if every chief factor of G is о —primary; о —nilpotent if (Н/К) ж (G/Cc(H/К)) is о —primary for every chief factor H/K of G. Our main result here is the theorem on the expansion of о — soluble groups.

Keywords: finite group, Sylow subgroup, a complete Hall set of type a, о —primary group, о —nilpotent group, о — soluble group.

Пусть далее G всегда обозначает конечную группу. Символ п(п) обозначает множество всех простых чисел деления lnl; n(G) =

В дальнейшем о = [atli Е I] некоторое разбиение Р, то есть Р = UiEI и Gi П Gj = 0 для всех i Ф j. Группа G является а —примарной если |ff(|G|)| = 1, где а(п) = [at П n(n)li Е l],a(G) = v(lGl)[1].

Множество S силовских подгрупп G называется полный множеством силовских подгрупп G, если S содержит точно одну силовскую р —подгруппу G для каждого простого р делящего |G| [2]. По аналогии с

этим, множество 'К = [Н1,.,Нг] холловская подгруппа С, где Н1 а — примарная (¿ = 1, ...,£), является полным холловским множеством С типа а, если (¡Н^, \Н]\) = 1 для всех / Ф ] и п(С) = п(Н1) и ... и п(Нг). В этом случае С является а —группой.

Определение [1]. Мы говорим, что С является: а—разрешимой, если каждый ее главный фактор С является а — примарным; а — нильпотентной если (Н/К) ж ( С/Сс(Н/К)) является а —примарным для каждого главного фактора Н/К группы в.

Обратите внимание, что каждая а — нильпотентная группа также а —разрешима и С является а —разрешимой тогда и только тогда, когда она а1 —отделима для всех I Е I; G разрешима (соответственно нильпотентна), тогда и только тогда, когда она а —разрешима (соответственно а —нильпотентна), где а наименьшее разбиение Р, то есть для любого / Е I, а1 является одноэлементным множеством. Отметим, наконец, что G является п —отделима тогда и только тогда, когда она а —разрешима, где а = [п, п'].

Теорема.

(1) Класс замкнут относительно взятия прямых произведений, гомоморфных образов и подгрупп. Кроме того, любое расширение а —разрешимой группы с помощью а —разрешимой группы также а — разрешимая группа.

(и) Я для любого разбиения а* = {а^Ц Е /} из Р такого, что /с/ и а Я а* для всех ] Е ].

Мы используем для обозначения класса всех а —разрешимых

групп.

Доказательство (1).

Для того чтобы показать что (1) верно, достаточно доказать:

(1) в =Ах В а —разрешима, когда А и В а —разрешимы.

Пусть 1 = А0 < А1 < ••• < Аг-1 < Аг = А произвольный главный ряд для А и 1 = В0 < В1 < ••• < Вг-1 < Вг = В произвольный главный ряд для В. Тогда поскольку А и В а —разрешимы, факторы этих рядов а — примарны.

Теперь рассмотрим ряд

1 = А0 < А1 < • < Аг-1 <А<А0< АВ1 < • < АВг-1 < АВГ =

АВ = в.

Тогда

АВ]/АВ]-1 = (АВ]-1)В]/АВ]-Х ^ В]/В] ПАВ}-1 = В]/В]-Х(В] П А)

о-примарна, так как В^ПА = 1. Данный ряд можно уплотнить до главного и по Теореме Жордана-Гёльдера, о том, что любые два глвных ряда конечной группы С изоморфны, мы получаем что С а —разрешима.

(2) Если в а —разрешима, тогда в/Ы а —разрешима.

Рассмотрим главный ряд группы С проходящий через N

1 = С0<С1<-< С-1 <С1 = Ы< С+1 < • < С,-1 <С, = С

и так как в а —разрешима, то факторы этого ряда а —примарны.

Рассмотрим ряд

1 = Gq/N < C1/N < • < Gt-1/N < Gt/N = G/N тогда ( Ci/N)/(Ci-1/N) а — примарна, i = 1,..., t. Таким образом G/N а —разрешима.

(3) Если G а —разрешима и H < G, тогда Н а —разрешима. Пусть 1 = Gq < C1 < ••• < Gt-1 < Gt = G произвольный главный ряд для G и так как G а —разрешима, то факторы этого ряда а —примарны. Теперь рассмотрим ряд 1 = Gq П Н < C1 П Н < ••• < Gt-1 nH<GtnH = H, тогда

Н П Gi/H П Gi-1 = Н П Gi/H П Gi-1 П Gi ^ (Н П Gi)Gi-1/Gi-1 = НGi-1 П Gi/Gi-1 а—примарна, i = 1,..., t. Следовательно Н а—разрешима. Что и требовалось доказать.

По классической теореме Холла, G разрешима, тогда и только тогда, когда она имеет силовский базис. Прямой аналог этого результата для а —разрешимых групп в общем случае неверен. Действительно, пусть а = {{2,3}, {2,3}'}. Тогда знакопеременная группа А5 степени 5 имеет а —базис и она не является а —разрешимой.

Наконец, отметим, что все результаты этой работы остаются новыми для мира всех разрешимых групп.

Использованные источники:

1. Skiba A.N. On o-subnormal and o-permutable subgroups of finite group // Journal of Algebra, DOI: 10.1016/jjalgebra.2015.04.010.

2. Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups, Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1992.

3. Kegel O.H. Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen, Math.\ Z. 78 (1962). P. 205-221.

Синица Д.А. аспирант

Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины

Беларусь, г. Гомель ЗАМЕТКИ О а —СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУППАХ КОНЕЧНЫХ

ГРУПП

Пусть G конечная группа. Группа G является oí —группой, для некоторого oí Е а, если | а(| G |)| = 1, где а(п) = {oí Пп(п)11 Е I},o(G) = а(|G |). Подгруппа А из G является а —субнормальной в G если существует цепь подгрупп А = А0 < А1 < ••• < Аг-1 < Аг = G, таких что любая Ai-1 нормальна в А1 или А^А^^. а—примарна для всех i=1,...,r. Основным результатом этой статьи является теорема о свойствах а —субнормальных подгрупп.

Ключевые слова: конечная группа, холловская П —подгруппа,