О конечно определенных тотально симметрических квазигруппах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.6

Л.В. ШАБУНИН О КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ТОТАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИХ КВАЗИГРУППАХ

Ключевые слова: квазигруппа, конечно определенная алгебра, граф, элементарная теория, неразрешимость.

Доказывается вложимость конечных графов в конечно определенные тотально симметрические квазигруппы (TS-квазигруппы). Устанавливается неразрешимость элементарной теории класса всех конечно определенных TS-квазигрупп.

L.V. SHABUNIN

ON FINITELY PRESENTED TOTALLY SYMMETRIC QUASIGROUPS

Key words: quasigroup, finitely presented algebra, graph, elementary theory, undecidability

The embedding of finite graphs into finitely presented totally symmetric quasigroups (TS-quasigroups) is proved. The undecidability of the elementary theory of the class of all finitely presented TS-quasigroups is shown.

Понятия и обозначения, используемые ниже без пояснений, можно найти в [1, 4]. Графическое равенство слов обозначаем символом =, а носитель произвольной алгебры - тем же символом, что и саму алгебру.

§ 1. Тотально симметрические квазигруппы

Пусть Q = {•} - сигнатура, состоящая из символа операции умножения. Тотально симметрические квазигруппы рассматриваем как алгебры сигнатуры Q, удовлетворяющие системе тождеств

Е = Еа и Ер,

где Еа состоит из тождества xy = yx, а Ер - из тождеств (xy)y = x, (yx)y = x, y(yx) = x, y(xy) = x.

Система тождеств Е избыточна (последние три тождества следуют из первых двух). Многообразие всех тотально симметрических квазигрупп обозначим через V .

§ 2. Редукции

Пусть W = Q(A) - алгебра термов над множеством A сигнатуры Q. Элементы из W будем называть Q-словами в алфавите A или просто словами.

Пусть, далее, р - произвольное бинарное отношение на множестве слов W. Запись

M N

означает, что слово N получено из слова M в результате замены некоторого вхождения слова P в M на слово Q, где (P, Q) е р. Тем самым отношение р

индуцирует на множестве W бинарное отношение ^р . Бинарное отношение

р на множестве Wназывается совместимым с операцией из Q (стабильным относительно операции из Q), если

(P,Qi),(P2,Q2)ер^(P • P2,Qi Q2)ер

для любых Р1, P2, б1, Q2 из W. Отношение ^р совпадает с совместимым замыканием отношения р и называется отношением р-редукции или, короче, отношением редукции.

Симметричное, рефлексивно-транзитивное и рефлексивно-транзитивносимметричное замыкания отношения ^р обозначим соответственно через

о-р , ^р и =р . Ясно, что =р - конгруэнция алгебры W.

Говорят, что слово P из W находится в нормальной форме относительно р (в р-нормальной форме), если не существует слова Q в W такого, что P ^р Q . Слово Q называется р-нормальной формой слова P, если Q находится в р-нормальной форме и Р ^р б . В этом случае говорят, что Р имеет р-нормальную форму Q.

Отношение ^р называется нётеровым (конечно завершаемым), если для

него не существует бесконечной последовательности вида

p ^р P2 ^р Рз ^р к

Наряду с отношением р рассмотрим еще одно бинарное отношение ас Ж хЖ . Введем обозначение:

PIQ «ЗРЙ(Р ^р р л Q Q1 л р =а Ql).

Отношение ^р называется конфлюэнтным по модулю =а , если

VPQPlQl (Р =а Q л Р ^р р л Q ^р Ql ^ р I Ql).

Отношение ^р называется локально конфлюэнтным по модулю =а, если выполняются условия:

1) VPQR(P ^р Q л Р ^р Я ^ QI Я);

2) VPQR(P ^а Q л Р ^р Я ^ QI Я).

Произведение двух бинарных отношений р и о на множестве Ж обозначим через р-с . Имеем

р - а = {(Р,Q) | ЗЯ((Р,Я) е р л (Я,Q) ес)>.

Пусть ЫЖ - множество всех слов из Ж, находящихся в ^р -нормальной форме, и - рефлексивно-транзитивное замыкание отношения о-р и о-а .

Следующее утверждение доказано в [7].

Теорема 1. Если отношение ^р - =а нётерово и отношение ^р локально конфлюэнтно по модулю =а , то

1) отношение ^р конфлюэнтно по модулю =а ;

2) V еЖ)(Зб е ЫЖ)(Р ^р б);

3) ^Рб е Ж)^Рб е ЫЖ) (если Р - б, Р ^*р Р1, б ^р 61, то Р =а 61);

4) (VPб е ЫЖ)(Р - б Р =а б) .

Через №р(Р) обозначим р-нормальную форму слова Р. Если отношение ^р • =а нётерово и отношение ^р локально конфлюэнтно по модулю =а , то

согласно теореме 1 слово №р(Р) определено однозначно с точностью до эквивалентности =а. Множество всех слов из Ж, находящихся в р-нормальной

форме, обозначим через №р[Ж]. Слова из №р[Ж называем нормальными словами (относительно р).

§ 3. Замкнутые представления

Пусть О = (А; £) - алгебра из многообразия V с множеством порождающих элементов А и множеством определяющих соотношений £, заданная в замкнутом виде (см. [2, 6]).

Замкнутый вид в данном случае означает следующее:

1) каждое соотношение из £ имеет вид

а • Ь = с,

где а,Ь,с є А (такое соотношение называется табличным);

2) £ не содержит двух различных табличных соотношений с одинаковой левой частью;

3) если соотношение аЬ = с входит в £, то £ содержит также соотношения

Ьа = с, ас = Ь, са = Ь, Ьс = а, сЬ = а .

Для задания бинарных отношений на Ж будем использовать следующую конструкцию: «Определим отношение р следующими правилами свертывания (правилами преобразования)

Р ^ Q при условии, что ...».

Это означает, чтор={(Р,Q) | ...}. Если(Р,Q)єр, то слово Р называем р-редексом (или просто редексом), а слово Q - значением этого редекса. Определим на множестве Ж=0.(А) бинарные отношения а, в и у. Отношение а вводится следующим правилом преобразования

Р • Q ^ Q • Р,

где Р, Q є Ж. Иными словами, отношение а состоит из всех пар вида

(Р• Q, Q• Р),

где Р, Q є Ж.

Отношение в задается правилами свертывания:

(PQ)Я ^ Р, Я^Р) ^ Р,

^Р)Я ^ Р, Я(PQ) ^ Р,

где Р, Q, Я єЖ, Q =а Я .

Отношение у определяется правилом свертывания

а • Ь ^ с,

где а • Ь = с - соотношение из 8. Другими словами, отношение у состоит из всех пар вида (аЬ,с) где аЬ = с - соотношение из 8.

Отношение ви у обозначим через вт, а отношение аириу - через аву. Легко видеть, что

Р =аРу Q » Р = Q в О .

Следующее утверждение очевидно.

Лемма 1. Отношение ^ру - =а нётерово (конечно завершаемо).

Лемма 2. Отношение ^ру локально конфлюэнтно по модулю =а .

Доказательство проводится разбором случаев взаимного расположения а-, в- и у-редексов (см. [5]).

Пусть КР=КРру[О(А)] - множество всех слов из О(А), находящихся в Ру-нормальной форме. Слова из О(А), находящиеся в Ру-нормальной форме, будем называть нормальными словами в алфавите А.

В силу лемм 1, 2 и теоремы 1 верно следующее предложение.

Теорема 2. Для алгебры G=(A; 5), заданной в замкнутом виде, имеет место:

1) отношение ^ру конфлюэнтно по модулю =а ;

2) V еП( А))(3б е ЫР)(Р ^*Ру б);

3) ^Рбе Q(A))(Vpбl е ЫР) (если Р =аРу б, Р^ Р, бЧ б1, то Р =а б);

4) ^Рб е № )(Р =аРу б « Р =а б);

5) А с т;

6) (Уа, Ь е А)(а =а Ь ^ а = Ь).

Фактор-алгебру 0(Л)/=а алгебры О(Л) по конгруэнции =а обозначим кратко через Ж . Смежный класс по конгруэнции =а, содержащий слово Р, будем обозначать через Р / а или [Р]а.

В дальнейшем алгебру G будем рассматривать как множество

{[Р]а | Р е ЫРру [П(А)]> ,

на котором операция из О определена следующим образом:

Р/а-Р2/а = ЫРру(Р -Р2)/а , (1)

где Р, Р2 е ЫРру [0(А)]. В этом случае имеем включение G с Ж. Если а е А, то смежный класс [а]а состоит из одного элемента. Будем отождествлять класс [а]а с элементом а . В результате получаем включение А с G . Ясно, что для любых а, Ь, с е А равенство а - Ь = с верно в G тогда и только тогда, когда а - Ь = с - соотношение из 5.

Если множество А конечно, то множество 5 также конечно. В этом случае G - конечно определенная алгебра из многообразия V.

§ 4. Неразрешимость элементарных теорий

Язык первого порядка с сигнатурой О будем называть языком О. Алгебраическая система (А,г), где г - бинарное отношение, называется графом, если г - иррефлексивное симметричное отношение.

Известно, что класс К0 всех конечных графов имеет наследственно неразрешимую элементарную теорию (см. [3]). Пусть К0 - класс всех конечных графов (А,г) из К0, где множество А имеет не менее трех элементов. Ясно, что класс К0 относительно элементарно определим в классе К0 . Поэтому

класс К0' имеет наследственно неразрешимую элементарную теорию. Покажем, что класс К0' относительно элементарно определим в классе К1 всех конечно определенных Т8-квазигрупп.

Пусть (А,г) - конечный граф из класса К0 . Если (а,Ь) е г, то а Ф Ь и

(Ь,а) е г . Парам (а,Ь) и (Ь,а) поставим в соответствие один и тот же символ са Ь ,

не входящий в А. При этом разным (неупорядоченным) парам элементов а и Ь ставим в соответствие разные символы са Ь . Положим В = А и {саЬ | (а,Ь) е г> .

Парам (а,Ь) и (Ь,а) из г поставим также в соответствие произвольный элемент с е А, где с Ф а и с Ф Ь . Обозначим через 5(В) множество, состоящее из следующих соотношений:

1) а - а = а для каждого а е А;

2) а - Ь = са,Ь , а - са,Ь = Ь , са,Ь - Ь = а , Ь - а = са,Ь , Ь - са,Ь = а , са,Ь - а = Ь , са,Ь - са,Ь = с , са,Ь - с = са,Ь , с - са,Ь = са,Ь для каждой пары (а,Ь) е г , где с - элемент из множества А, поставленный в соответствие паре (а,Ь) .

Пусть В = ( В; 5(В)) - алгебра из многообразия V с множеством порождающих элементов В и множеством определяющих соотношений 5(В). Ясно, что В - конечно определенная алгебра, заданная в замкнутом виде. Алгебру В рассматриваем как множество

{[ Р]а | Р е ЫРру [П( В)]}, с операцией из О, определенной согласно (1). В частности, имеем включение В с В.

Определим в языке О формулы:

Д(х): хх = х,

Ф(х,_у): —(х = ) лЗг(ху = г лД(гг)).

Пусть В = {[Р]а е В | В ‘ Д([Р]а)>.

В силу теоремы 2 для любого Р из КРру[О(В)]

(РР = Р в В) Р е А .

Следовательно, В=А.

Положим

гВ = {([Р]а ,[б]а ) е В^В ‘ Ф([Р]а,[б]а)> =

= {(а,Ь) е А2| В ‘ Ф(а,Ь)>.

Ввиду теоремы 2 для любых а, Ь из Л имеем

(В ‘ Ф(а,Ь)) ^ (а,Ь) е г .

Таким образом, алгебраические системы (В, гВ) и (А,г) изоморфны. Тем самым доказана

Теорема 3. Класс К0 относительно элементарно определим в классе Кь Следствие 1. Элементарная теория Тк(Кь) класса Кь наследственно неразрешима.

Следствие 2. Элементарная теория Th(V) многообразия V наследственно неразрешима.

Литература

1. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп / В. Д. Белоусов. М.: Наука, ^б7.

2. Глухов М.М. Свободные разложения и алгоритмические проблемы в R-многообразиях универсальных алгебр /М.М. Глухов // Мат. сб. i97i. Т. 8З, вып. З. С. 307-338.

3. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели / Ю.Л. Ершов. М.: Наука, i98G.

4. СмирновД.М. Многообразия алгебр /Д.М. Смирнов. Новосибирск: Наука, i992.

З. Evans T. On multiplicative systems defined by generators and relations. I. Normal form theorems / T. Evans // Proc. Cambridge Phil. Soc. i95i. V. 47, № 4. P. бЗ7-б4З.

6. Evans T. The word problem for abstract algebras / T. Evans // J. London Math. Soc. i95i. V. 2б, № i. P. 64-71.

7. Huet G. Confluent reductions: abstract properties and applications to term rewriting systems / G. Huet// J. of ACM. i98G. V. 27, № 4. P. 797-82i.

ШАБУНИН ЛЕОНИД ВАСИЛЬЕВИЧ - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной и дискретной математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

SHABUNIN lEoNID VASILYEVICH - doctor of physics and mathematical sciences, professor, applied and discrete mathematics department chairman, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.