CC BY
33
Том 153, кн. 3
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
2011
УДК 514.7
КВАЗИГРУППЫ БОЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ИМИ ТРИ-ТКАНИ
Г.А. Толстихипа
Аннотация
Понятия локальной гладкой квазигруппы и квазигруппы преобразований являются естественным обобщением понятий группы Ли и группы Ли преобразований. Квазигруппа преобразований, определяемая как действие локальной гладкой q-мерной квазигруппы Q(*) па гладком р-мериом многообразии Y, (1 < р < q), может быть задана гладкой функцией
f : Q х Y ^ Y, z = f (a, y), a G Q, y, z G Y.
С другой стороны, уравнение z = f (a, y) определяет три-ткань QW(p,q,q), образованную на многообразии M одним слоением р-мерных слоев a = const и двумя слоениями q-мерных слоев: y = const и z = f (a, y) = const. Такой подход позволяет использовать методы теории три-ткапей для изучения различных классов локальных гладких квазигрупп
преобразований, в том числе квазигрупп Бола преобразований, которые характеризуются
f
Ключевые слова: квазигруппа, квазигруппа преобразований, квазигруппа Бола, три-ткапь, три-ткапь Бола, конфигурация па трн-ткапи, сердцевина три-ткапи Бола, локально симметрическая структура.
1. Три-ткани W (p, q, r), образованные слоениями разных размерностей
Определение 1. Три-тканыо W(p, q, r) (p < r, q < r) на дифференцируемом многообразии M размерноети p+q называетея еовокупноеть трех гладких елоений А^ Л2 и Аз, имеют ^тответетвенно размерности p, q и r, причем
любые два из этих слоений находятся в общем положении.
Согласно [1], слоения ткани W (p, q, r) могут быть заданы в некоторых локальных координатах на многообразии M уравнениями
Ai : x = const, Л2 : y = const, Аз : z = f (x, y) = const, (1)
где x = (x1,...,xq), x e X y = (y1,...,yp^ y e Y, z = (z1,...,zA), A = p +- q — r, z e Z, f = (f1,..., fЛ), f - гладкая функция и ранги матриц
Якоби ( -J- ] и ( -J- ] максимальны в каждой точке многообразия М. Множо-\öxj \öyj
ства X Y и Z размерности соответственно q, p и p + q — r являются базами слоений три-ткани W(p, q, r). Уравнение
z = f (x, y) (2)
x y z
ткани W(p, q, r), проходящих через одну точку многообразия M, и называется уравнением три-ткани W(p, q, r).
С другой стороны, уравнение (2) определяет трехбазисную бинарную операцию
(•): X х Y ^ Z, z = f (х,у) = х • у, (3)
которая называется локальным координатным группоидом три-ткани W(p, q, r).
При p = q = r уравнение z = x • у локально однозначно разрешимо относительно переменных x и y, поэтому операция (•) является гладкой локальной квазигруппой. Она называется локальной координатной квазигруппой соответствующей три-ткани W(r, r, r) [2]. Для три-ткани W(p, q, r) размерности многообразий X, Y и Z, вообще говоря, различны, поэтому операция (•) квазигруппой, вообще говоря, не является.
x y z
вида
х = «(х), у = e(y), z = 7(z), (4)
где а, в, y - локальные диффеоморфизмы. Тройка локальных биекций (а,в, y) называется изотопическим преобразованием, или изотопией. Изотопическим преобразованием (4) уравнение (2) приводится к виду
х = /(ж,у) = Y ◦ f (а-1(х), в-1(у)).
Последнее определяет координатный группоид некоторой другой ткани W (p, q, r). Три-ткани W(p, q, r) и W(p, q, r), координатные группоиды которых изотопны, являются эквивалентными [1].
(p, q, r)
М.А. Акивисом и В.В. Гольдбергом (см. [3]).
2. Квазигруппы Бола преобразований и определяемые ими обобщенные левые три-ткани Бола
Определение 2. Пусть Q(*) - локальная дифференцируемая q-мерная квазигруппа, Y - гладкое p-мерное многообразие (p < q) и па прямом произведении Q х Y задана гладкая функция
f : Q х Y ^ Y, z = f (а, у), (5)
такая, что
1) в каждой точке множества QxY ранги матриц (-J- ] и (-J- ] максимальны:
\да J \3yJ
2) для любых у £ Y и а, b £ Q выполняется условие
f (а, f-1(b, f (а, у))) = f (а * b,y), (6)
где f-1 : Q х Y ^ Y, у = f-1(а^).
Тогда будем говорить, что функция f определяет действие квазигруппы Q(*) Y
Рассмотрим три-ткань W (p, q, q), образованную на многообразии M = Q х Y тремя слоениями
А1 : а = const, Л2 : у = const, A3 : z = f (а, у) = cconst p q q
QW(р, r, r) соответствует конфигурация, аналогичная известной левой конфигурации Бола Bl (см. рис. 1, где, как обычно, слои первого, второго и третьего слоений
КВАЗИГРУППЫ БОЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
83
ткани изображаются вертикальными, горизонтальными и наклонными линиями соответственно).
В самом деле, пусть a и b - два произвольных достаточно близких вертикальных слоя три-ткапи W (p, q, q). Они определяют вертикальный слой c = a * b. Возьмем произвольный горизонтальный слой y (рис. 1). Точку пересечения горизонтального слоя y и вертикального слоя a обозначим через A. Через A проходит единственный наклонный слой f (a, y). Этот слой пересекает вертикальный слой b в некоторой точке В. Через В проходит единственный горизонтальный слой f-1(b, f (a, y)), который, в свою очередь, пересекает вертикальный слой a в некоторой точке С. Через С проходит единственный наклонный слой f (a, f-1(b, f (a, y))).
yc обозначим эту точку через D. Через D проходит единственный наклонный слой f (c, y). Равенство (6) означает, что точки С и D лежат на одном наклонном слое.
Если провести аналогичное построение, начав с другого горизонтального слоя у, то получатся новые точки С и D, которые также лежат на одном наклонном слое в силу того же равенства (6). В результате получается конфигурация ABC D А В С D, аналогичная левой конфигурации Бола B¡ на три-ткани, образованной слоениями одинаковой размерности (см. [5]).
Таким образом, тождеству (6) соответствует условие замыкания на три-ткани W(p, q, q) конфигураций, изображенных на рис. 1.
Согласно [4], квазигруппа Q(*), действующая на многообразии Y по правилу (6), является идемпотентой (a * a = a), левообратимой (a * (a * b) = b) и лево-дистрибутивной (a * (b * c) = (a * b) * (a * c)), а значит, изотопна левой лупе Бола [6]. Напомним [7], что лупа (квазигруппа с единицей) с операцией (о) называется левой лупой Бола, если в пей выполняется левое тождество Бола (u о (v о u)) о w = = u о (v о (u о w)).
Определение 3. Гладкое действие f : Q х Y ^ Y локальной дифференцируемой квазигруппы Бола Q(*) на гладком многообразни Y, определяемое правилом
Q(*)
зывается параметрической квазигруппой квазигруппы Бола преобразований.
Определение 4. Три-ткань W(p, q, q), определяемая квазигруппой Бола преобразований, называется обобщенной левой тканыо Бола и обозначается как
Bi (p, q, q)-
Квазигруппа Бола преобразований f : Q х Y ^ Y является локальным ко-
Bi (p, q, q)
изотоиических преобразований вида (4).
Ъ а с
Рис. 2
В частности, при р = ц получаем левую ткань Бола В; = В; (ц, ц, ц), образованную тремя гладкими ц-мерными слоениями. При этом функция / определяет локальную координатную квазигруппу ткани В;, изотопную левой лупе Бола [2].
Согласно [8], три-ткань В;(р, ц, ц) характеризуется замыканием всех достаточно малых обобщенных левых конфигураций Бола (рис. 2). Напомним их определение.
На произвольной три-ткани Ш (р, ц, ц) фиксируем два достаточно близких вертикальных слоя а, Ь и т = [ц/р], а также достаточно близких горизонтальных слоев с параметрами ^ = 1,..., т. Каждый го них определяет слои АМВМ, ВМСМ (рис. 2) и соответствующее подмногообразие и(ум) = /(а, ум) П f-1(а, /(Ь, ум)) размерности ц — р. На многообразии М = Q х У размерности ц + р существует р-мерный вертикадьный слой ткани Ш (р, ц, ц), трансверсальный подмногообразиям и{у{),... ,и(ут). Но т + 1 многообразий и{у-р), /2 = 1,...,т+1, уже не имеют, вообще говоря, общей трансверсали, являющейся вертикальным слоем ткани Ш (р, ц, ц).
Определение 5. Конфигурация, образованная двумя вертикальными слоями а и Ь и «параллелограммами» вида АрВ-рС-рЛ {у-р), = 1, . ..,т+1, называется обобщенной левой конфигурацией Бола и обозначается В; (1, т).
Будем говорить, что конфигурация В;(1, т) замыкается, если существует единственный вертикальный слой три-ткани Ш (р,ц,ц), трансверсальный всем достаточно близким подмногообразиям и (у-р), ~р = 1,..., т + 1, входящим в эту конфигурацию. В [8] доказана следующая
Теорема 1. Если на три-ткани Ш(р,ц,ц) замыкаются все конфигурации В; (1, т), то она является обобщенной левой тканью Бола В;(р, ц, ц).
При ц = р конфигурация В;(1, т) становится левой конфигурацией Бола (В;) на три-ткани В;(ц, ц, ц), образованной слоениями одинаковой размерности ц [5], так как т = [ц/р] = 1. При этом уравнение с = а * Ь связывает параметры а, Ь и с вертикальных слоев три-ткани В;, входящих в произвольную конф игу рацию (В;). В соответствии с [9] квазигруппа (*) названа сердцевиной три-ткани В; (ц, ц, ц).
В; (р, ц, ц)
[10]. Она также задается уравнением с = а * Ь, которое, с другой стороны, определяет параметрическую квазигруппу соответствующей квазигруппы Бола преобразований.
КВАЗИГРУППЫ ВОЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
85
3. Локальные симметрии на три-ткани В;(р, д, д)
Согласно [4], на базе ^ первого слоения Ах три-ткани В;(р, д, д) индуцируется локально симметрическая структура. Она определяется семейством гладких функций £а таких, ч то £а(Ь) = а * Ь для любых а £ ^ и Ь £ иа С ф, где Па -достаточно малая окрестность точки а. Так как операция (*) идемпотентна, лево-обратима и леводнстрнбутивна (см. выше), то функции Ба являются локальными симметриями [7]. Справедлива
Теорема 2. База первого елоения три-ткани В;(р, д, д) является локально симметрическим пространством.
Пример. Уравнения
IV = а1 + у1 - а3у2(а2 + у2),
1 2 2 I 2 (7)
= а2 + у2
определяют действие трехпараметрической квазигруппы Бола
'с1 = 2а1 - Ь1 - (а2 - Ь2)(а2(а3 - Ь3) + а3(а2 - Ь2)), с2 = 2а2 - Ь2, (8)
с3 = 2 а3 - Ь3
на двумерном многообразии [1]. С другой стороны, уравнения (7) задают обобщенную левую три-ткань Бола В; (2, 3, 3), сердцевина которой (и соответствующая симметрическая структура) определяется уравнениями (8). Другие примеры квазигрупп Бола преобразований и определяемых ими три-тканей см. в [11].
В заключение отметим, что изучением квазигрупп преобразований занимались А.II. Баталии [12], А.II. Нестеров [13] и др. (см. об этом в [1, 14]). В работах П.О. Михеева [15, 16] квазигруппа преобразований рассматривается как семейство преобразований гладкого многообразия, не замкнутое, вообще говоря, относительно композиции. В нашей работе [4] квазигруппа преобразований определяется как действие локальной гладкой д-мерной квазигруппы ф(*) на гладком р-мерном многообразии У (1 < р < д) и задается гладкой функцией (5). Предложенный подход позволяет эффективно применить методы теории три-тканей для изучения локальных гладких квазигрупп Бола преобразований. Отметим также, что методы и результаты теории (р, д, г)-тканей могут применяться в разных разделах математики и физики, поскольку три-ткань Ш (р, д, г) представляет собой геометрический аналог гладкой функции двух переменных общего вида / : X х У ^ Z.
Summary
G.A. Tolstikhina. Bol Transformation Quasigroups and Tliree-Webs Defined by Tliem. The notions of a local smooth quasigroup and a quasigroup of transformations are natural generalizations of the notions of the Lie group and the Lie transformation group. We define the quasigroup of transformations as an action / of the local smooth q-dimensional quasigroup Q(*) on the smooth p-dimensional manifold Y (1 < p < q) given by a smooth function
f : Q x Y ^ Y, z = f (a, y), a € Q, y, z € Y.
On the other hand, the equation z = f (a, y) defines the three-web QW(p,q,q) formed by a foliation of p-dimensional leaves a = const and two foliations of q-dimensional leaves y = = const and z = f (a,y) = const on the manifold Q x Y. Thus, we can use the three-web
theory methods to study different, classes of smooth local quasigroups of transformations.
In the present paper, we investigate Bol quasigroups of transformations characterized by some
condition on the function f.
Key words: quasigroup, quasigroup of transformations, Bol quasigroup, three-web, Bol
three-web, three-web configuration, core of Bol three-web, locally symmetric space structure.
Литература
1. Толстихииа Г. А. Алгебра и геометрия три-ткапей, образованных слоениями разных размерностей // Соврем, матем. и ее приложения. 2005. Т. 32. С. 29 116.
2. Акиаис М.А., Мелехов A.M. Многомерные три-ткапи и их приложения. Тверь: ТвГУ, 2010. 308 с.
3. Акиаис М.А., Гольдберг В.В. О многомерных три-ткапях, образованных поверхностями разных размерностей // Докл. АН СССР. 1972. Т. 203, 2. С. 263 266.
4. Толстихииа Г.А., Мелехов A.M. О квазигруппах Вола преобразований // Докл. РАН. 2005. Т. 401, 2. С. 166 168.
5. Акиаис М.А. О три-ткапях многомерных поверхностей // Труды геом. сем. ВИНИТИ АН СССР. 1969. Т. 2. С. 7 31.
6. Акиаис М.А., Герасименко С.А. О некоторых фигурах замыкания па многообразиях с симметрией // Ткапи и квазигруппы. Калипип, 1982. С. 7 11.
7. Сабинин, JI.В., Михеев П.О. Теория гладких луп Вола. М.: Уп-т дружбы пародов, 1985. 80 с.
8. Толстихииа, Г.А., Мелехов A.M. О три-ткапи Вола, образованной слоениями разных размерностей // Изв. вузов. Матем. 2005. Л' 5. С. 56 62.
9. Белоусов В.Д. Сердцевина лупы Вола // Исследования по общей алгебре. Кишинев, 1965. С. 53 65.
10. Толстихииа, Г.А. Дифференциально-геометрические структуры па три-ткапях, образованных слоениями разных размерностей // Итоги пауки и техп. ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М., 2010. Т. 124. С. 287 327.
11. Толстихииа, Г.А. О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканыо Вола Bi(p,q,q) 11 Геометр1я, тополопя та ix застосування: 36. праць 1п-ту математики НАН Украши. 2009. Т. 6, 2. С. 247 255.
12. Bat,alin I.A. Quasigroup construction and first class constraints // J. Math. Pliys. 1981. V. 22, No 9. P. 1837 1849.
13. Нестеров А.И. Квазигрупповые идеи в физике // Квазигруппы и пеассоциативпые алгебры в физике: Тр. Ип-та физики. Тарту, 1990. Т. 66. С. 107 120.
14. Лыхмус Я., Паал Э., Соргсепп Л. Неассоциативпость в математике и физике // Квазигруппы и пеассоциативпые алгебры в физике: Тр. Ип-та физики. Тарту, 1990. Т. 66. С. 8 22.
15. Михеев П.О. О лупах преобразований. Деп. в ВИНИТИ 1985. 4531-85.
16. Miheev P.O. Quasigroups of transformations // Квазигруппы и пеассоциативпые алгебры в физике: Тр. Ип-та физики. Тарту, 1990. Т. 66. С. 54 66.
Поступила в редакцию 19.06.11
Толстихииа Галина Аркадьевна доктор физико-математических паук, доцепт, проректор по научной работе Тверского государственного университета. Е-шаП: ciev.ceШьети. ги
