Об a-полноте некоторых систем четырехзначной логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.716

А.Л. ШАБУНИН, Л.В. И1АБУНИН

ОБ а -ПОЛНОТЕ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЧЕТЫРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

Пусть Рк — множество всех функций &-значной логики, X - множество символов переменных со значениями из Ек = {о,1,...,А:-1}, Рк(и) - множество всех функций из Рк, зависящих от переменных X], х2,Х„.

Следуя М.М. Глухову [2], определим индуктивно понятие «-формулы над непустым классом Fc^’^ как выражения вида ), где

f(xl,...,xs+1) - обозначение функции из /% ср - символ переменной или а-формула над а х, е X . Множество всех функций из Рк, реализуемых

(представимых) «-формулами над Р, называется а-пополнением (а-замыканием) множества Р и обозначается через [р ^ . При построении а -

формул используется ограниченная суперпозиция: «-формула может подставляться в /(х1,...,х5+1) только вместо х1. Такие суперпозиции называются а -суперпозициями. Если [Р]а - Рк, то Р называется а -полной системой', а -полная система функций Р называется а -базисом Рк, если Р\{/} уже не является а-полной при любой /в Р. В [2] доказано, что при к>1 а -полной является любая система функций из Рк, содержащая все подстановки из симметрической группы Бк подстановок множества Ек и любую одну квазигруппо-вую функцию. В [3] приведены условия а-полноты систем функций к-значной логики, состоящих из функций, у которых все одноместные подфункции, полученньге произвольной фиксацией всех переменных, кроме первой, являются подстановками; для к>5 построены «-полные системы из двух бинарных операций с правым сокращением, а для к=2 доказано отсутствие конечных а -полных систем.

В настоящей статье рассматривается случай к=А, Исследуются системы функций, содержащие все подстановки множества Е4 и любую одну квази-групповую функцию. Устанавливается, что вопрос об «-полноте таких систем сводится к аналогичному вопросу для случая, когда в качестве квази-групповой функции берется сложение по модулю 4.

Далее, если не оговорено противное, символ + обозначает операцию

сложения по модулю 4, определенную на множестве Еа = {0,1,2,3} ■

Обозначим через ¡л (/) арность операции / є Рк . Говорят, что алгебры Л = (Ек,{/"| /є/}) и В = (Ек,{#,| /є /}) имеют один и тот же тип т = \п,\ієі\ (являются однотипными), если ц(/і) = ) = и, для всех і є I. При этом опе-

рации /■ и gp отвечающие одному и тому же индексу і є I, называются одноименными. '

Теорема 1. Пусть (р — изоморфизм алгебры А = (Ек,{/,| ¿е/}) на однотипную алгебру В = (еі[,^і\ і є і}) , і*7 = {/,|; є /}, С = {&/|* є і]. Тогда

/(х,,...,х„)є [/^ <=> {хх),...,(р-х(х„)))фі

для любой функции /(х,,..., х„) из Рк .

Доказательство. Для записи а -формул над і7 будем использовать сигнатуру Й/є/Ь а для записи а -формул над в — сигнатуру / є /}. Если нужно подчеркнуть различие между функцией ^ из Б и соответствующим ей функциональным символом /, то функцию /, будем обозначать через [А .

Пусть Ф — произвольная а-формула над Б. Обозначим через Ф* а -формулу над в, которая получается из Ф заменой символов / на соответствующие им символы gi (/'є /). Формулу Ф* назовем переводом формулы Ф . Отображение (р является подстановкой на множестве Ек и <р{/,А (а\, ■ ■ ■, ащ ))= &в (ср{аА ),•••, р(аЯ()) для всех аи...,ап из Ек и для всех і из / (и, = ¿и(/))- Индукцией по построению а-формулы над Р устанавливается равенство

(р(ф(аі,..., ап)) = Ф* (<р{а{),..., <р(ап)) для всех а,,... ,а„ из Ек . Отсюда ф(а]:...,аг1)=ср-1(ф*(<р(а.,<р(а„))), Ф*(а,,..а„) = р(ф (<? '(а,<р~х(а„)|.

Пусть /(х),..., дги)є [/Г]£Г и Ф(х1,...,х„) — а -формула над Б, реализующая / Перевод Ф*(х],...,хп) формулы Ф является а-формулой над Є и реализует некоторую функцию §(х],...,х„). Имеем

8(аи...,а„)=ф\а],...,а^=<р(ф(<р-]{а]\...,<р-\ап)))=<р(/(<р-]{а1),...,<р-'(а„))) для всех аи...,ап из Ек. Это означает , что

я(х,. ,,х„) = (х!),.. .,<Р~'{хп )))

и

[в]* ■

Пусть теперь

и Чфс,,...,*,,) - а-формула над G, реализующая функцию g{xx,..,,xn) = cp[f[(p~x{xxv\xn )J.

Формула У является переводом некоторой «-формулы ф(хи...,х„) над F, т. е. 'Р = Ф*. Для функции f (х,,... ,х„), реализуемой а-формулой Ф над F, имеем

/х{ах,...,а„) = Ф(ах,...,ап) = (р~\ф\(р{ах\...,<р{а„))) =

= <р~х0¥{<р{а\ X • • ■, <Р(а„))) = <р~х {g(<p{ax<р{а„))) =

= МЛ?'V(tf1 }))) =/(«!.•■•.<*„)

для всех из Ек. Следовательно, f(xx,...,x„) реализуется а-

формулой ф(х{,...,х„) и

/(xl5...,x„)e[FL.

Теорема 1 доказана.

Из теоремы 1 непосредственно следует

Теорема 2. Если однотипные алгебры А = (Ек, {/, | /' е /}) и i е /}) изоморфны, то система функций F = {/', |/ е /} а -полна тогда и только тогда, когда а -полна система функций G = {g, |/ е /}, т. е.

И* Несогласно [2] для любой квазигруппы (£4, ) может быть построена изотопная ей лупа (е4,°) с нейтральным элементом 0 и такая, что

[х]х2 > ¿4 L = [*1 0 Х2 > '^4 L •

При этом операция (о) определяется а -формулой вида

xoy = (xhi-y)h2, ' где hx,h2 е S4 . Если операция (•) имеет таблицу Кэли

0 0 1 2 3

0 аоо «01 «02 «03

1 «10 «11 ах 2 «13

2 «20 «21 а22 а2Ъ

3 «30 «31 аЪ2 «33

(1)

то

(О 1 2 3)

Ь - . . . . >

Чго Ч 12 1Ъ

где г0 определяется из условия а,а 0 = 0 , а , /2, г3 из условий а^0 = а,о,. аг2,о = О/0,2> = %,ъ соответственно.

Подстановка /г2 задается равенством

О Я; ,

'О*1

О 1

Таблица Кэли для операции (°) имеет вид

(») 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 Ьп ¿13

2 2 ¿21 Ь22 Ь-п

3 3 ¿3, ^32 63 3.

(2)

С помощью подстановки /г, происходит перестановка строк во внутренней части таблицы (1), а с помощью подстановки /г2 - переименование элементов.

На множестве £4 можно задать всего четыре лупы с таблицей Кэли вида (2):

Ы:

м 0 1 2 3 (©) 0 1 2 3

0 0 1 2 3 0 0 1 2 3

1 1 2 3 0 Ь2: 1 1 0 3 2

2 2 3 0 1 2 2 3 0 1

3 3 0 1 2 3 3 2 1 0

(•) 0 1 2 3 (*) 0 ] 2 3

0 0 1 2 3 0 0 1 2 3

1 1 0 3 2 Ь4: 1 1 3 0 2

2 2 3 1 0 2 2 0 л 1

3 3 2 0 1 3 3 2 1 0

ЪЗ:

Все эти лупы являются коммутативными и ассоциативными лупами, т. е. абелевыми группами. Групп'. (Е4,+), (£4,°), (е4,*) - циклические группы, изоморфные группе 2а , а группа (еа ,ф) - элементарная 2-группа, изоморфная прямой сумме 2гл-2г.

Теорема 3. Для группы (£4,Ф) с таблицей (Ь2) система функций

Т2 - 54 и {х] © х2}

х2} не является а -полной.

Доказательство. Индукцией по построению «-формулы ф(х) над Т2 нетрудно показать, что одноместная функция /(х), реализуемая «-формулой ф(х), является либо подстановкой из 54, либо константой, либо удовлетворяет одному из следующих условий:

¡0.2 Я/0,3

2

3

1) /(0) = /(l), /(2) =/(3), /(0)*/(2);

2) /(0) = /(2), /(1) = /(3), /(О) * /(і);

3) /(0) = /(3), /(і) = /(2), /(о)*/(і).

Отсюда получаем, что

Следовательно, система Т2 не является а -полной. Теорема 3 доказана. Занумеруем подстановки из S4 произвольным образом. Получим

S4={h,\iel},

где І - {l,2,...,24}. Подстановка q> = (l2) является изоморфизмом группы (е4,+) на группу (е4,°), а подстановка і// = (23) - изоморфизмом группы (£4,+) на группу (ё4 ,*). Положим

И°=(р %(р = д^(р,

С —1 //, = у/ /г( цг = .

Тогда <р -изоморфизм алгебры А = {е4,+,\и\і є /}) на алгебру В = {е4,°,^н\і є / а у/ - изоморфизм алгебры А на алгебру С = (#4{л,с|/ є /}). Отсюда и из теоремы 2 получаем следующие два предложения.

Теорема 4. Для группы (/?4,о) с таблицей (ЬЗ) система функций Г3 = 54 и (дГ] °х2} а-полна тогда и только тогда, когда а-полна система функций Г, = 54 и {*! + х2}.

Теорема 5. Для группы {Е4,*) с таблицей (Ь4) система функций Т4 = 54 и {х, *х2) а -полна тогда и только тогда, когда а -полна система функций 7] = 54 и {х, + х2}.

Из теорем 2, 3, 4, 5 и описанного выше перехода от произвольной квазигруппы (ё4,-) с таблицей (1) к лупе (£4,°) с таблицей (2) получаем следующее предложение.

Теорема 6. Пусть (е4 ,■) - произвольная квазигруппа, Т- система функций Б4 и (х, • х2}. Тогда

1) если квазигруппа изотопна элементарной 2-группе Ъ2л-Хг, то

система функций Т не является а -полной;

2) если квазигруппа (£4, ) не изотопна элементарной 2-группе 22+22, то она изотопна циклической группе 24 и система функций Т а -полна тогда и только тогда, когда а -полна система функций 3] и{х] +^}.

Литература

1. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука, 1967. 223 с.

2. Глухов М.М. Об a-замкнутых классах и a-полных системах функций &-значной логики // Дискретная математика. 1989. T. I, вып. 1. С. 16-21.

3. Чернышов АЛ. Условия a-полноты систем функций многозначной логики // Дискретная математика. 1992. Т. 4, вып. 4. С. 117-130.

4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979. 272 с.

ШАБУНИН АЛЕКСЕЙ ЛЕОНИДОВИЧ родился в 1979 г. Окончил Чувашский государственный университет. Аспирант кафедры прикладной и дискретной математики. Имеет 1 работу. Область научных интересов - дискретная математика, математическая логика, алгебра, информатика.

ШАБУНИН ЛЕОНИД ВАСИЛЬЕВИЧ родился в 1947 г. Окончил Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова. Доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной и дискретной математики. Имеет около 60 работ. Область научных интересов -дискретная математика, математическая логика, алгебра, информатика._________