CC BY
6
Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 1, С. 30-40
УДК 517.518.13+517.983.23
О КОМБИНАЦИЯХ ДИФФЕОМОРФНЫХ СДВИГОВ ОКРУЖНОСТИ И НЕКОТОРЫХ ОДНОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
С. Б. Климентов
В работе изучаются суперпозиции диффеоморфизмов единичной окружности и сингулярных интегральных операторов на этой окружности. Установлено свойство таких суперпозиций, аналогичное свойству бесселевых потенциалов. Приводится пример, показывающий, что полученный результат, вообще говоря, не улучшаем.
Ключевые слова: сдвиг контура, сингулярный интегральный оператор.
Обозначим через О = {г : |г| < 1} единичный круг комплексной ¿-плоскости Е, г = х + гу, г2 = —1; Г = дИ — граница круга Б; Б = Б и Г.
В работе используется банахово пространство Ск,а(Г) комплекснозначных функций, имеющих па Г к производных, где к ^ 1 — целое число, причем к-е производные удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а, 0 ^ а ^ 1. В этом пространстве предполагается заданной стандартная норма (см., например, [1, с. 25]). Как обычно, предполагаем, что Ск'°(Г) = Ск(Г), С°'а(Г) = Са(г) при а < 1.
Пусть ((¿) — диффеоморфизм класса Ск'а(Т), к ^ 1, 0 ^ а ^ 1, контура Г на себя, причем ф 0, где ({. = ('3 ■ ^ = ('3 ■ V3, ¿(в) = е1'3.
Следуя [2, с. 33], для функции <(£), определенной на Г, введем оператор сдвига Ж<(£) = <(((¿)). Очевидно, Ж — линейный, ограниченный, непрерывно обратимый в Ск'а(Г), к ^ 10 ^ а ^ 1, оператор, причем \\Ж\\с(г) = 1 (см- [2, с. 33]).
Обозначим через
одномерный сингулярный (интегральный) оператор.
При изучении дифференциальных свойств «вплоть до края» решений краевых задач со сдвигом для различных эллиптических систем возникает потребность в исследовании свойств суперпозиции ЖБЖ-1 — Б.
Основным результатом этой работы является следующее утверждение.
Теорема 1. Если ((¿) е С 1>а(Г), 0 < а ^ 1 <(£) £ С °>в (Г), 0 < в < 1 / = а + в < 2, то при / < 1 Ф<(£) = (ЖБЖ-1 — Б)<(£) £ С^(Г), причем
1. Введение. Формулировка результатов
(1)
г
(г) < шга^рфУсо.в(г),
(2)
где константа зависит лишь от \\£\\с(г)-
© 2017 Климентов С. Б.
Если ц = 1, то Фр(£) £ С^ £ (Г) для любого е, 0 < е < ц, с выполнением оценки, аналогичной (2).
Если ц > 1, то Фр(£) £ С 1,^-1(Г), причем
НФрфНс^-!(г) < тш^р^ьо.в(г), (3)
где константа зависит лишь от Ус(г)-Очевидно
Следствие 1. Если ((¿) £ С 1>а(Г), 0 < а < 1 р(£) £ С 1>в(Г), 0 < в < 1 то Фр(£) £
С 1,а(Г), причем
||Ф^(4)|с1,а(Г) < тш^р^Усод(Г) < тш^р^Уса.в(Г), (4)
где константа зависит лишь от ||£||с 1,а(г)-
Замечание 1. Как показывают примеры (см. замечание 2 после доказательства теоремы 1), при £(¿) £ С 1,а(Г) показатель а в левой части (4) не улучшаем в том смысле, что существуют функции £(¿) £ С 1,а(Г), р(£) £ С 1,а(Г) такие, что Фр(£) £ С 1,а(Г), но Фр(£) £ С1,7 (Г) при люб ом 7, 1 ^ 7 > а.
2. Вспомогательные построения
Положим £ = е", т = ет, ш = га + (1 — г)з, 0 ^ г ^ 1, и = е^.
Лемма 1. Если ((¿) £ Си+1'а(Г), п ^ 0 0 < а ^ 1, то имеют место следующие разновидности формулы Тэйлора:
с (г) - т = стт - $+("ад^-Д +
2!
+ С (и)(£)
(т — (т — £)га+1
п!
+
п!
1
У П(г,з,а,ш)С(и+1) (е^ )(1 — г)и^г,
(5)
где
Ю(г, з, а, ш) = г
т - £
а — з
—и— 1
,г(и+1)а> _
ег(ст-5)(1-г) — 1
(т -¿)2
С(г) - ((¿) = с'Шт - + + • • •
+ (*) ^ + С (* ) ^^ +
где остаточный член имеет вид
^М) =
(т — £)и+1
п!
0(г, з, а, ш)((и+1) (е^) — ((и+1) (¿)! (1 — г)и ^г = О (|т — ¿|и+1+а) .
Здесь запись /(ж) = О(р(ж)) означает выполнение неравенства
|/(ж)| ^ то^^р^ж)^
(6)
(7)
(8)
где const от / и р не зависит.
и
1
< Доказательство леммы 1. Для функции /(¿) е С 1(Г) очевидно соотношение:
т
/(Т) — /(¿) = | /'(и) ¿и.
(9)
Подставив в (9)
/(«) = С(п) + (г - и)с'(и) + С» + • • • + с(га)ы,
3!
П!
в получившемся интеграле перейдем к переменной интегрирования г, после чего получим (5).
Легко проверяется соотношение
Ю(г,8,а,ш) = 1 + О (|т — ¿|).
(10)
Действительно,
т - 4
а — 8
—п— 1
= е
—¿(п+1)з
_ 1
а — 8
-(п+1)
= е-^(п+1)5 ■ %-п ■ [1 + О (а — 8)]
^(ст-зХ1-^ _ 1
(а — 8)(1 — г)
п
= %п ■ [1 + О(а — 8)],
и
Поскольку
е-г(п+1)5 , е«(п+1)ш = егг(ст-5)(п+1) = 1 + о(а — 8).
|42 —
О < сошИ; < -Ч < 1
|82 — 811
(11)
для любых ¿1, ¿2 е Г (81, 82 — дуговые абсциссы этих точек), в этих формулах можно заменить О (а — 8) на О(|т — ¿|). Проделав такую замену, из (6) получим (10).
Далее, формально записав равенство (7) и вычтя из него (5), с использованием (10) получим (8). Последнее равенство в (8) следует из (10) и ((п+1)(г) е Са(Г). >
3. Доказательство основных результатов
Доказательство теоремы 1. Запишем рассматриваемый оператор следующим об-
разом:
Ф= (ЖБЖ-1 - Б) (р(г) = — [ к(т, Ь) ф) йт.
где
к(т,4) =
Поскольку (см. [3, с. 30-31])
Г С '(Т)
С '(Т )
1
С (Т) — с (¿)
^Т =
с (Т) — с (¿) Т — г
г ¿с
(12)
(13)
С — г
= п%, г = ((¿) е Г,
е
то при <(т) = const (WSW 1 — S)<(i) = 0, т. е.
У k(r, i) dr = 0 (14)
Фcp(t) = — f к(т, t)(ip(r) - ip(t*)) dr, (15)
ni J г
при всяком зафиксированном £ Г.
Отметим, что (13) можно переписать в виде
/ к» — ('(т)] Ли к(тЛ) = [((г)-с(()](т-г)" (16)
Зафиксируем па Г точку £ и отложим в ту и другую сторону от £ дуги и ¿¿'', равные по длине 2а < п. Обозначим через I = ¿'¿'' объединение этих дуг. Обозначим также через Л, з, V дуговые абсциссы соответственно точек т, щ ш — £ = Л, — з| = а. Положим в (15) = Тогда будем иметь
+ h) —
— [ k(T,t + h)(ip(T)-ip(t + h))dT-— [ k(r,t)(ip(r)-ip(t))dT.
ni J ni J
Так как Z = Z(i) — диффеоморфизм, |Z'(i)l ^ const > 0 т0 из (16) и Z(i) G C 1,а(Г) получим
\к(тЛ)\ ^ const • TTT^T-ТГТТ • 1-~П- ^ const • -i-n—, (18)
1 ^'л К(т)-т\ \r-t\i~a ^ ir-ti1-«' 1 J
где последняя константа зависит лишь от ||Z||ci,«(r)-Аналогично
\k(r,t + h)\ ^ const • г-—|—. (19)
| v , л ^ \T-t- h\l~a v ;
Запишем разность (17) как /° + /, где
1 f, , ..... , 1
- [ k(T,t + h)(<p(T)-<p(t + h))dT~— I к(т,г)(<р(т)-<p(t))dT, i J ni J
i i
- I к(т, t + h)((p(r) — ip(t + h)) dr —— I к(т, i)(p(r) — <p{t)) dr. i J ni J
i= 1 r.............. 1
ni
r\l r\l
Воспользовавшись (6), из <(i) G C°'e (Г) и (18), (19) выводим
{s+2<r s+2u ч
J |A — s — ст|м-1 dA + J |A — s|^-1 dA I < const |h|^, (20) где / = a + в а константа зависит от ||Z||c 1.«(г) и линейно от ||<(i)||c°,e(г)-
Перейдем к оценке выражения I, которое запишем в виде
I = 11 + 12,
где
11 = — [ к(т,г)((р(г)-(р{г + н))(1т, (21)
П% ]
гу
к = — [[к(т,г + Н)~ к(т, ¿)] (</?(т) - (р(г + Н)) йт. (22)
п% 3
В силу (14)
г^ + ч-^м г
П% I
I
и из (18) и <(4) е С°'в (Г) будем иметь
^А
|/1| < сопв^/^ I < (23)
где константа зависит от \\с (г) и линеино от ||<||со,р(г).
Перейдем к оценке выражения Для этого преобразуем разность к(т, 4 + Л) — к(т, ¿). Ясно, что это будет некоторая дробь ^ту^у, где
д(т, Л) = [С(Т) — С(4 + Л)] ■ [С(Т) — С(¿)] ■ (Т — ¿) ■ (т — 4 — Л). (24)
Учитывая (16), для Р(т, Л) будем иметь
у [С '(и) — С '(Т)] ^и + i [С '(и) — С '(Т)] ¿л | — у С '(и) ¿л (т — 4)
— {[С '(и) — с '(т )] — У с '(и) ^и — I С (и) ¿Л (Т — 4) т т * (25)
— ^[С'(и) — С'(Т)] ¿и У С'(и) ^и
тт
= С '(т ) I с '(и) ^и(т — 4)(т — 4 — Л) — Л У С'(и) ¿и У с'(и) ¿и.
* т т
Поскольку £(4) е С 1,а(Г), 0 < а ^ 1, имеют место следующие соотношения (см. лемму 1):
У С'(и) ¿и = С(4 + Л) — С(4) = С'(4)Л + О (|Л|1+а) , У С'(и) ^и = С(4) — С(Т) = —С'(4)(Т — 4) + О (|т — 4|1+а) ,
t+h
J С '(и) ¿и = —С '(т )(т — 4 — Л) + О (|т — 4 — Л|1+а) .
т
Подставляя эти соотношения в (25), получим
Р(Т, Л) = С'(Т)(т — 4)(Т — 4 — Л) ■ О (|Л|1+а)
+ '(4)(т — 4) ■ О (|т — 4 — Л|1+а) (26)
+ '(т)(т — 4 — Л) ■ О (|т — 4|1+а) . Аналогично (20) из (22), (24) и (26) будем иметь
|ЙТ |
1< const •|h|1+ay
|т - t| ■ |т - t - h|1—e г\г
+ const-|/i| ' 1 1
+ const■|h|
|r-i| • Ir-i-Zil1"«"/3 (27)
г\г
[_|drj_
J \т -t\l~a -\т -t-h\l-ß'
г\г
Так как на / величина не превышает по абсолютной величине из (27) получаем
112| < const ■ а1+°| J
7r+s s—2a
dA /■ dA
+
|A - s|2—e У |A - s|2—e
vs+2a —n+s
^ 7r+s s—2a ч
dA dA + const • a < / —-^-« +
(28)
|A - s|2—a—e У |A - s|2—a—e Г
vs+2a —n+s '
Если a + ß < 1, из (28) будем иметь
со со
1т-1 i+a f dA f dA
L/2 ^ const • (j / TT-ti—я + const • CT
J (A - s)2—P
(A - s)2—e J (A - s)2—a—e (29)
s+2a s+2a
< const ■ ста+в < const ■ |h|a+e,
рд^ i^Q^^rp^^-rjpi^ ЗАВИСИТ -П Й ТТТЬ ОТ 11Z У C (г) и линейно от Cß(г).
Если a + ß = 1, то, не переходя к бесконечным пределам в интегралах, из (28) получаем
|/2К const • \h\ In (30)
|h|
где также константа зависит лишь от ||Z ||с1'а(г) и линейно от ||^>||с в (г)-
Предположим теперь, что 1 <a + ß < 2. В этом случае из (20), (23)-(26) и (28) получаем, что к пределу
, Ф(4 + h) - Ф(4) 1 Г к(т, t + h) - k(r,i)/ . .
lim—^-г-— = — lim / --- (pit)) dr
h^ü h ni h^oj h
г
применима теорема Лебега о мажорируемой сходимости, т. е. предел можно подвести под знак интеграла и функция Ф(£) дифференцируема (на Г) по причем
ф£(*) = M(r,t)(ip(r)-ip(t))dT, (31)
г
=s wV;A = T^o-.t), (32)
где
тС(г)(т-^-[((т)-(И12 = д
[С(т)-т]2(т-гг Ы
и интеграл в (31) есть обычный абсолютно сходящийся несобственный интеграл. Действительно, с помощью формул
(33)
Z (т) — Z (i) = Z '(i)(T — i) + O (|т — i|1+a),
Z(т) — Z(i) = Z'(т)(т — i) + O (|т — i|1+a) числитель дроби в (32) преобразуется следующим образом:
Z '(t)Z '(т )(т — i)2 — [Z (т) — Z (i)]2
= Z'(«)(т — i) ■ O (|т — i|1+a) + Z'(т)(т — i) ■ O (|т — i|1+a) , откуда, с учетом <(i) G C°'в(Г), будем иметь
|М(т,1)(<р(т) - <p(t))| < const • _ , (34)
где константа зависит лишь от ||Z||ci>a(г) и линейно от ||<||со,в(г)-
Используя схему, аналогичную примененной к Ф^), покажем, что Ф£^) G Cа+в-1(Г). Аналогично (17) запишем
Ф^с« + h) — Ф^)
= — I M{T,t + h){(p{T) - (p{t + h))dT - — I М(т,г)(<р(т) -<p(t))dT ni J ni J
гг
и представим эту разность как J° + J, где
1 i , ...... . 1
(35)
Jo = — I M{T,t + h){(p{T) - (p{t + h))dT - — I М(т,г)(<р(т)-<p(t))dT, ni J ni J l l
J = — I M(T,t + h)(<p(T) -<p(t + h))dT - — I М(т,г)(<р(т)-<p(t))dT ni J ni J
г\1 г\1
(здесь дуга l та же, что и выше). Аналогично (20), из (34) имеем
s+2a s+2a
|J°| < const j J |A — s — a|M-2dA + J |A — s|^-2dA I < const|h|^-1, (36)
vs—2a s-2a
где / = a + в
Далее, аналогично предыдущему, представим / в виде суммы J = /1 + /2, где
= — [м(т,ь)((р(г) ~(р(г + н))(1т, (37)
пг У г\г
/2 = — [ [М(т, 1 + К) — М(т, ¿)](</?(т) — </?(£ + /г)) (1т. (38)
пг У г\г
Аналогично (23) будем иметь
сопй^/^ [ (1Х ^ сопяЩ"^-1, (39)
У |А - ^ а
где константа зависит лишь от Ус1,«(г) и линейно от ||^||с°>в(г)-Далее, для оценки /2 преобразуем разность
где
^(т, Л) = [С(т) - с(4)]2 [С(Т) - с(4 + Л)]2 (т - 4 - Л)2(т - 4)2, (40)
Р (т, Л) = {('(4 + Л)('(т)(т - 4 - Л)2 - [((т) - ((4 + Л)]2} [С(т) - С(4)]2 (т - 4)2
- {С'(4)С'(Т)(т - 4)2 - [С(т) - с№]2} [С(Т) - С(4 + Л)]2 (т - 4 - Л)2, или, после элементарных преобразований,
Р1(т, Л) = ('(4 + Л)('(т)(т - 4 - Л)2 [((т) - С(4)]2 (т - 4)2 - [С(т) - с(4 + Л)]2 [С(т) - с(4)]2 (Т - 4)2 -СШ'(т)(т - 4)2 [С(т) - С(4 + Л)]2 (т - 4 - Л)2 + [С(т) - С(4)]2 [С(т)- С(4 + Л)]2 (т -4 - Л)2 = ('(т)(т - 4)2(т - 4 - Л)2 { [С'(4 + Л) - ('(¿)] [С(т) - С
+ С'(4) [(С(т) - С(4))2 - (С(т) - С(4) + С(4) - С(4 + Л))2] } + [С(т) - С(4)]2 [С(т) - С(4 + Л)]2 [(т - 4 - Л)2 - (т - 4)2] = ('(т)(т - 4)2(т - 4 - Л)2 { [С'(4 + Л) - ('(4)] [С(т) - С(*)]:
- ('(4) [2 (С(т) - С(4)) (С(4) - С(4 + Л)) + (С(4) - С(4 + Л))2] + [С(т) - С(4)]2 [С(т) - С(4 + Л)]2 [-2Л(т - 4) + Л2(т - 4)2] . Используя (33), а также формулу
с(4) - с(4 + Л) = -с'(4)Л + О (|Л|1+°) , (42)
из (41) для Р1 (т, Л) получим следующее выражение:
Р1 (т,4,Л) = Ла ■ О (|т - 4|4|т - 4 - Л|2)
(41)
+ Л
О (|т - 4|3+а|т - 4 - Л|2) + О (|т - 4|2+а|т - 4 - Л|3) + Л1+а ■ О (|т - 4|3|т - 4 - Л|2) .
(43)
Поскольку на Г \ I величина не превышает по абсолютной величине из (40), (43), на Г \ l имеем оценку
|(M(r,i + h) - M(r,i)(^(r) - + h)|
, a" a a1+a 1 (44)
^ const < TT-w + г;-Пз Г7 +
|A - s|2-e |A - s|3-^ |A - s|3-e J '
где, как и выше, t = eiS, т = eiA, / = a + в а константа зависит л ишь от ||Z Ус ^(г) и линейно от |со,в(г)-
Аналогично (28), (29), из (44) получим
|J2| < const ■ |h|a+e-1. (45)
Сопоставляя (20), (23), (29), (30), (36), (39) и (45), получаем утверждение теоремы 1. >
Непосредственно из рассуждений доказательства теоремы 1 вытекает
Следствие 2. Если ((z) G Cl'a(D) — голоморфное продолжение ((t) внутрь D, а Ф(^) определяется формулами (12), (13) с заменой переменной t на z, то
lim Ф(г) = Фф, lim = Ф'С£), ZGD, t£T. (46)
z—yt z—yt dZ
Замечание 2. Обсудим несколько подробнее банахово пространство (комплексно-значных) функций С 1,а(Г). Норма в нем, как известно [1, с. 25], задается формулой
цу(*)11с1."(г) = + maxl^ffll + sup ~ . (47)
ter ter r,tgr |т - t|a
Обозначим через С0'а(Г) подпространство функций ^>(t) G C 1,а(Г), для которых
lim
|т-t|—0 |т - t|a
(С0'°(Г) — замкнутое подпространство пространства С 1,а(Г) (см. [4, с. 269]).)
Пусть 0 < a < 1. Положим
Обозначим ОТ (Г) = С ^(Г) \ С°1,а (Г), D С С°'а(Г) — множество диффеоморфизмов
уо
окружности Г Покажем, что D* = D П С*'а(Г) = 0
V(s) =
1, s G [0, п - 2],
i(l + |s-7T + l|a), s £ [7Г — 2, 7г],
i(3-|s-7T-l|a), S G [7Г,7Г + 2],
1, s G [п + 2, 2п]
и
'l, s G [0, п - 2],
i(3-|s-7T + l|a), SG[7r-2,vr],
i(l + |s-7T-l|a), S e [7Г,7Г + 2],
1, s G [п + 2, 2п],
</(s) =
а также
3 3
/(5) = У ¥>(<7) ¿7, /*(в) = 1 ¥*(<) ¿7, в е [0, 2п].
0 0
Очевидно, функции ((Ъ) = £(ег5) = £(в) = и £*(Ъ) = задают диффеомор-
физмы класса С 1,а(Г) окружности Г на себя и ((¿),С*(Ъ) е С*'а(Г). Отметим, что
е$)=Щ-г2. (48)
Введем в рассмотрение два линейных оператора
Р+ = т2(1 + 8), р_ = 1(/-5),
где I — тождественный оператор. Это непрерывные проекторы в прострастве С 1,а(Г) (см. [1, с. 38], [3, с. 66]). Для краткости далее будем обозначать проекции Р±С 1,а(Г) через Р±.
Ясно, что пространство С 1,а(Г) представимо в гаде прямой суммы Р+ ф Р_. На Р+ и Р- естественным образом определена норма (47) и определенная на Р+ ф Р- топология произведения Р+ х Р- совпадает с топологией па С 1,а(Г), определенной нормой (47). Рассмотрим разложение в ряд Фурье функции ((Ъ) = ((ег5):
С(е") = ^ [со + с-пе-т* + с„ет5] . (49)
п=1
Очевидно, Р-((ег5) = с_„е-т5, а Р+((ег5) = [со + с„ет5].
Продифференцировав ряд (49) по в, из теоремы 4.7 и формулы (4.1) из [5, с. 79, 81], получим следующее утверждение.
Лемма 2. Если £ С1,а(Г), 0 < а ^ 1, то си = Для того чтобы
((Ъ) е С* 'а, необходимо и достаточно, чтобы нашлись коэффициенты с^ разложения (49) со сколь угодно большими по модулю номерами такие, что \си\ + , где константа Ь > 0 от V не зависит.
< Пусть ((Ъ) е С*'а(Г) — построенный выше диффеоморфизм окружности Г. Положим в теореме 1 ¥(т) = С(т)• Тогда
1 Г С (т)
щ(г) = -- [ Щ (1т+т = 2Р-№. >
пг у т — ъ
Если Р-£(Ъ) е ^'"(Г), то в силу леммы 2 и (48) Р_£*(Ъ) е ^'"(Г) и в качестве ¥(т) возьмем £*(Ъ)- Таким образом, можем считать, что Ф£(Ъ) е С*'а(Г), откуда Ф£(Ъ) е
С1,7 (Г) для любо го % 1 ^ 7 > а.
Литература
1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.—М.: Физматгиз, 1959.—628 с.
2. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом.—М.: Физматгиз, 1977.—448 с.
3. Гахов Ф. Д. Краевые Зй. щчи. —М.: Наука, 1977.—640 с.
4. Крейн С. Г., Петунии К). И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.—М.: Наука, 1978.-400 с.
5. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1.—М.: Мир, 1965.—615 с.
Статья поступила 25 октября 2016 г. Климентов Сергей Борисович
Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН,
ведущий научный сотрудник отдела математического анализа
РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22;
Южный федеральный университет,
заведующий кафедрой геометрии
РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а
E-mail: [email protected]
ON COMBINATIONS OF THE CIRCLE SHIFTS AND SOME ONE-DIMENSIONAL INTEGRAL OPERATORS
Klimentov S. B.
The diffeomorphism Z = £(ets) of the unit circle and the operator ^V(i) = 77 /r [^(r)^c(t) ~~ T^t] v(T)dT
are under consideration. The main results can be stated as follows: If Z(t) £ C1,a(r), 0 < a < 1, <^(t) £ C^(r), 0 </3 < 1, p = a + 3 < 2, then ^(t) £ CM(r) for p < 1. Moreover, the following inequality holds:
ll^(t)l|cM(r) < const||^(t)||co,£(r), where the constant depends on ||Z||Ci,a(r) only. If p = 1, then ^y(t) £ CM-£(r) for all 0 < e < p and the similar inequality holds. If p > 1, then ^y(t) £ C(r), and
ll^^(t)lci,M-i(r) < const||^(i)||c0,/3(r),
where the constant depends on ||Z||Ci,*(r) only. If Z(t) £ C1,a(r), 0 < a < 1, <^(t) £ C^(r), 0 <3 < 1, then %>(t) £ C 1'a(r), and
||^(t)||c1,*(r) < const ||^(t)|C0,1(r) < const ||^(t)||ci,£ (r),
where the constant depends on ||Z||Ci,a(r) only. The index a in the left-hand side of the last inequality can not be improved. The appropriate example is given.
Key words: shift, singular integral operator.
