О количестве простых делителей целого числа с ограничением кратности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г. В. Федоров. О количестве простых делителей целого числа с ограничением кратности

no. 4, pp. 511-517. DOI: 10.1007/s11006-006-0056-0. 6. Abanina L. E., Mishchenko S. P. Nekotorye mnogo-obraziia algebr Leibnitsa [Some varieties of Leibnitz algebras]. Matematicheskie metody i prilozheniia : tr. deviatykh matematicheskikh chtenii MGSU [Mathematical methods and appendices. Works of the ninth mathematical readings MSSU], 2002, pp. 95-99 (in Russian).

7. Skoraya T. V. Structure of multilinear part of variety V3. Uchenye zapiski OGU [Scientific notes of the OSU], 2012, no. 6(2), pp. 203-212. (in Russian)

8. Mishchenko S. P., Shishkina T. V. On almost polynomial growth varieties of Leibniz algebras with the identity x(y(zt))=0. Vestnik of the Moscow university, Ser. 1 : Mathematics and mechanics, 2010, vol. 3, pp. 18-23 (in Russian).

УДК 511

О КОЛИЧЕСТВЕ ПРОСТЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ ЦЕЛОГО ЧИСЛА С ОГРАНИЧЕНИЕМ КРАТНОСТИ

Г. В. Федоров

Кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математических и компьютерных методов анализа механико-математического факультета, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, [email protected]

В данной статье исследуются обобщения числовых функции, связанные с количеством простых делителей заданного числа. Получены верхние и нижние предельные значения, а также асимптотические фрмулы для средних значений количества простых делителей, входящие в целое число с ограничением кратности.

Ключевые слова: функция делителей, теорема Мерсенна, простая дзета-функция.

Памяти Г. И. Архипова

ВВЕДЕНИЕ

Для каждого натурального числа n в соответствии с основной теоремой арифметики имеет место разложение на множители

n = pl1 • ... • = П pap'

p|n

причем такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. В теории чисел хорошо известны функции 0(n) и u(n) равные количеству простых делителей числа n соответственно с учетом и без учета кратных делителей:

0(n) = ^^ ap, u(n) = ^^ 1.

p|n p|n

Свойства этих функций изучены достаточно глубоко, в частности, для функции u(n) верхний порядок роста

/^(n) • leg2 leg2 ^ =1

n^^ V l°g2 n )

достигается на последовательности n = nm = pi • ... • pm — произведение последовательных простых чисел, pi = 2. При этом стоит отметить, что для произвольного n < nm выполнено неравенство u(n) < u(nm). Минимальное значение функции 0(n) и u(n) принимают на простых числах

ад = ад = i.

Верхнее предельное значение функции 0(n) достигается на последовательности n = na = 2a, причем для произвольного n < na выполнено неравенство 0(n) < 0(na) = а.

© Федоров Г. В., 2013

129

Определим обобщенные функции 0(k,n) и w(k,n) следующим образом:

0(k,n) = ^^ w(k,n) = ^^ 1,

p|n p|n

ар<k ap>k

где при суммировании учитываются только те простые сомножители p целого числа n, которые входят в разложение с кратностью, удовлетворяющей соответственно условиям ap < k или ap > k. В частности, 0(log2 n, n) = 0(n), 0(0, n) = 0, <¿>(log2 n, n) = 0, w(0, n) = w(n).

В данной работе найден верхний порядок роста функций 0(k,n) и <¿>(k,n) при растущем ограничении кратности k.

Теорема 1. Пусть k = k(n) ^ ж, причем — ^ A при n ^ ж, где 0 < A < 1 —

log2 log2 n

некоторая постоянная величина. Тогда выполнены следующие предельные соотношения:

/°(k,n) ■ log2 log2 n\ 1 m

limsup-i- = i-т, (1)

n^^ V log2 n y 1 - A

limsup (^(k,n) ■ k ■ log2 log2 n^ = *. (2)

п^те \

Среднее значение функций 0(п) и <^(п) представлены асимптотическими формулами (см., например, [1])

V 0(п) = х 1п1пх + А0х + О(г—), У о>(п) = х 1п1пх + А х + О(г—).

V 1п х / V 1п х /

2<п<х 2<п<х

Далее мы будем использовать асимптотическую формулу для ряда из обратных простых чисел (вторая теорема Мерсена, см., например, [2]):

1 = 1п 1п х + £1 + О ( р \ 1п х

J^p = lnln x + Bi + l-). (3)

p<x

Теорема 2. При k > 1 верны асимптотические формулы:

У^ 0(к,п) = х 1п 1п х + Скх + О (к • г—) , (4)

1п х

2<п<х

^ и(к,п) = Р(к + 1) • х + О [(к + 1) ^ х ] , (5)

2<п<х V п х /

где С1 = £1 — Р(2), В1 — постоянная, определенная формулой (3), а при г > 2

г 1

С = £1 + ^ Р(т) — г • Р(г + 1), Р(г) = ^ —.

т=2 р Р

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Без ограничения общности далее будем считать, что к > 1 — целое число. Доказательство теоремы 1. Соотношение (1) вытекает из следующих двух замечаний:

(О верхний предел достигается на последовательности {(пт)к}, где пт = р1.....рт — произведение

последовательных простых чисел, р1 = 2;

(и) при любом п < (пт)к справедливо неравенство 0(к,п) < к, (пт)к). В силу того что

1п пт = ^ 1прт = рт + о(рт),

т<т

из закона распределения простых чисел следует представление

m = n(p ) = Pm + ^ Pm А = ln nm + / ln nm . (6)

m ln pm ln pm ln ln nm ln ln n

Г. В. Федоров. О количестве простых делителей целого числа с ограничением кратности Тогда при п = (пШ)к получаем, что 0(к,п) = к • т, причем из (6) имеем:

m =

log2 nr

(1 + o(1))=

1 log2 n

log2 log2

Таким образом, при n = n(m) = (nm)* получаем:

'0(k,n) ■ log2 log2 n

(1 + o(1))=

1 log2 n

(1 - A) log2 log2 n

(1 + °(1)) -

lim

log2 n

1 - A

Аналогично соотношение (2) вытекает из следующих двух утверждений:

(0 верхний предел достигается на последовательности {(пт)к+1}, где пт = р.....рт — произведение последовательных простых чисел, р1 = 2;

(и) при любом п < (пШ)к+1 справедливо неравенство <^(к,п) < <^(к, (пт)к).

При n = (nm)k+1 имеем w(k,n) = m, где из (6) следует, что

(1 + o(1)) = *

log2 nm . /1ч) 1 + 1

m = ;-;-(1 + 0(1)J =

log2 n

1 log2 П

(1 - A) log2 log2 n

log2 log2 nm log2 log2 П - log2(k + 1)

Таким образом, при n = n(m) = (nm)1+1 получаем:

n) ■ (k + 1) ■ log2 log2 n\ = /^(fc,n) ■ k ■ log2 log2 n

1 + 0(1) .

1

1 - A

п у/ т^го у log2 п

Теорема 1 доказана. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

Доказательство теоремы 2. Cреднее значение (4) может быть получено путем следующих преобразований:

^ 0(к,п)= ^ ^ ар = ^ ^ ар.

2<п<х 2<п<х р|п 2<р<х п<х:р|п

ар<к ар<к

Количество целых положительных чисел, не превосходящих х, делящихся на рШ, но не делящихся на рШ+1, равно

X X

pm pm+1

поэтому

^(k,n) = £ £ m

2<n<x 2<p<x m=1

X X

pm pm+1

E E

2<p<x \ \m=1 1

X m

-k

-,1 + 1

=X

\ Л1 + x \ л \ л 1 _kX \ л 1 + O (k x ^

.Z—/ p / J / J pm / у p*+1 \ 1Д X/

p z—' z—' p

p<x m=2 p<x

p< x

Дробные доли здесь оценены тривиальным образом. Для рядов из степеней простых чисел в [3] определена «простая дзета-функция» (prime zeta function)

P (m) = J]

1

суммирование ведется по всем простым числам. При т > 1 ряд Р(т) сходится, причем

£ pm = P(m) + Tm-11. ln T

2<P<TF V

(7)

1

x

m

p

Математика

131

C учетом формулы (7) получаем:

У^ 0(к,п) = х 1п1п х + Скх + О (к • '

2<п<х

где

Ск = В + ^ Р(т) - к • Р(к + 1).

т=2

Таким образом, формула (4) доказана.

Для доказательства формулы (5) запишем

£ «(*,п)= £ £1= £ £ 1= £

2<п<х

2<п<х р|п 2<р<х п<х 2<р<х

ар >к рк + 1[а

-)к+1

Заметим, что при р > х к+1 выполнено х/рк+1 < 1, поэтому

^ ^(к, п) = ^

2<п<х

р

к+1

=х

Е

1

р

к+1

+

хк11 1п х

2<р<хк+1

= Р (к + 1) • х +

2<р<хк+1

(к + 1) • х 1п х

Дробные доли мы опять оценили тривиальным образом и воспользовались соотношением (7). Теорема 2 доказана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные теоремы оказываются полезными при исследовании верхнего порядка роста функции делителей тк(п) с растущей размерностью к. Напомним, что многомерная функция делителей тк(п) определяется как количество представлений натурального п в виде произведения х1 -х2 •.. .• хк = п, где х1?х2,... ,хк — натуральные числа. В случае к = 2 значение функции т2(п) = т(п) равно количеству различных делителей натурального числа п. В общем случае у многомерной функции делителей тк(п) число сомножителей к в представлении числа п будем называть ее размерностью.

С использованием результатов теоремы 1 автору удалось найти верхний порядок роста функции делителей при значениях размерности следующего вида:

к = к(п) = (^2 п)А+о(1),

где А — некоторая постоянная величина. В статье [4] доказаны следующие утверждения. (О При 0 < А < 1 и достаточно больших значениях п выполнено неравенство

тк (п) < пА+о(1),

причем равенство достигается на последовательности чисел пт = р1 • р2 • ... • рт. (и) При А > 1 и достаточно больших значениях п справедливо неравенство

(п) < п1о&(то!2п) •( 1+о(1^ = п(А-^2 log2 п( 1+о(1))

тк (п) < п

причем равенство достигается на последовательности чисел п3 = 2е.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В. Н. Чубарикову за научное руководство. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00835).

х

х

А. Р. Халиуллина. Конгруэнции полигонов над группами

Библиографический список

1. Hardy G. H, Ramanujan S. The normal number of prime factors of a number n// Quart. J. Math. 1917. Vol. 48. P. 76-92.

2. Tanenbaum G., Mendes France M. The prime numbers and their distribution. Providence, RI : Amer. Math. Soc., 2000. 115 p.

3. Froberg C.-E. On the prime zeta function // BIT 8. 1968. P. 187-202.

4. Федоров Г. В. Верхнее предельное значение функции делителей с растущей размерностью // Докл. АН. 2013. Т. 452, № 2. С. 141-143. DOI: 10.7868/S086956521327 0042.

On a Number of Prime Divisors of an Integer with Bounded Multipleness

G. V. Fjodorov

Moscow State University, Russia, 119991, Moscow, Leninskie Gory st., GSP-1, [email protected]

In this article generalisations of numeric functions related to a number of prime divisors of a given number are investigated. Upper and lower limit values of a number of prime divisors of a bounded power of integer are obtained.

Key words: devisor function, Mersenne theorem, prime zeta function.

References

1. Hardy G. H, Ramanujan S. The normal number of prime factors of a number n. Quart. J. Math., 1917, vol. 48, pp. 76-92.

2. Tanenbaum G., Mendes France M. The prime numbers and their distribution. Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2000, 115 p.

YAK 512.579

3. Froberg C.-E. On the prime zeta function. BIT 8. 1968. P. 187-202.

4. Fedorov G. V. The upper limit value of the divisor function with growing dimension. Doklady Math., 2013, vol. 88, no. 2, pp. 529-531. DOI: 10.1134/S1064562413 050074.

КОНГРУЭНЦИИ ПОЛИГОНОВ НАД ГРУППАМИ

А. Р. Халиуллина

Аспирант кафедры высшей математики № 1, Национальный исследовательский университет «МИЭТ», Москва, Зеленоград, [email protected]

Получено полное описание конгруэнций полигонов над группами. Ключевые слова: полигон, конгруэнция, группа.

ВВЕДЕНИЕ

Полигоны над полугруппой, т.е. множества, на которых действует полугруппа, возникают в разных разделах алгебры и ее приложений. Понятие полигона является алгебраическим выражением понятия автомата (см. [1] и [2, гл. 6]), точнее, автомата Мура, т.е. автомата без выхода. Теория полигонов является довольно молодым разделом общей алгебры, а теория конгруэнций полигонов вообще находится на начальной стадии развития. А. Ю. Авдеевым и И. Б. Кожуховым в [3] было дано описание полигонов над регулярными рисовскими матричными полугруппами М0(С,/,Л,Р) (т.е. вполне 0-простыми полугруппами). Все правые конгруэнции на этих полугруппах были описаны Р. Оэмке в [4]. Это можно считать описанием конгруэнций свободного циклического полигона над вполне 0-простой полугруппой. Описание конгруэнций произвольных полигонов над вполне 0-прос-тыми или вполне простыми полугруппами представляется довольно сложной математической задачей. Поэтому естественно рассматривать частные случаи таких полугрупп. Данная работа делает первый

© Халиуллина А. Р., 2013

133