Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 2

УДК 517 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-319-333

Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева

Деза Елена Ивановна — доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры теоретической информатики и дискретной математики, Московский педагогический государственный университет.

e-mail: [email protected]

Варухина Лидия Владимировна — Московский педагогический государственный университет.

e-mail: [email protected]

Аннотация

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле /(в) = ^ апп-я

п=1

и сумматорных функции Ф(ж) = ^ ап их коэффициентов. Наиболее известным примером

п< X

ряда Дирихле является дзета-функция Римана С($), определенная для любого комплекс-

то

ного числа в = а + И с действительной ч астыо Кв = а > 1 так ( (в) = ^ -1.

= 1

то

Квадрат дзета-функции C2(s) = J2 , > 1, связян с функцией делителей

n=1 П

Т(п) = Y1 1 дающей число натуральных делителей натурального числа п. Сумматор-

din

ной функцией ряда Дирихле (2(s) является функция D(x) = ^ т(п), вопросы асимп-

n< X

тотической оценки которой известны как проблема делителей Дирихле. В общем случае,

то . .

ck(s) = J2 пП', ^s > 1, гДе функция Тк(п) = J2 1 дает число представлений

n=1 n=ni-..nfc

натурального числа п в виде произведения к натуральных сомножителей. Сумматорной функцией ряда Дирихле Qk(s) является функция Dk(х) = J2 Tk(п)- Ее изучение - это

n<X

многомерная проблема делителей Дирихле.

Логарифмическая производная дзета-функции представима в виде ^у =

то л( )

= — 2 лП' , > 1. Здесь Л(п) - функция Мангольдта, которая определяется как

n=1 n

Л(п) = logр, если п = pk для простого р и натурального к, и как Л(п) = 0, иначе. Таким образом, функция Чебышева ф(х) = ^ Л(п) является сумматорной функцией коэф-

n<X

фициентов ряда Дирихле ^ ^^ > соответствующего логарифмической производной ^у

n=1

дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими задачами, прежде всего, с асимптотическим законом распределения простых чисел.

В частности, хорошо известно представление функции ф(х) по пулям дзета-функции:

'ф(х) = X - J2 — + О , где х = п + 0, 5 п € N 2 < Т < х, и р = ¡3 + ij -

нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули С(s), лежащие в критической полосе 0 < < 1.

Мы получаем аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, для двух арифметических функций, родственных функции Чебышева:

ф\(х) = — п)Л(п) и ф2(х) ^^ Л(п) ln —.

х

п) '

п

п<х

Аналогичные результаты можно получить и для других функций, родственных функции Чебышева, если использовать логарифмические производные L-функций Дирихле.

Ключевые слова: арифметические функции, ряд Дирихле, суматорная функция коэффициентов ряда Дирихле, дзета-функция Римана, функция Чебышева, нетривиальные нули дзета-функции Римана, контурное интегрирование.

Библиография: 16 названий. Для цитирования:

Е. И. Деза, JI. В. Варухина. Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 2, С. 319-333.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2

UDC 517 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-319-333

Problems of the summation of arithmetical SUIUS • relative to

Chebyshev function

Деза Елена Ивановна — Doctor of educational sciences, Associate professor, Moscow State Pedagogical University. e-mail: elena.deza@gm,ail.com,

Varukhina Lidiya Vladimirovna — Moscow State Pedagogical University. e-mail: [email protected]

Abstract

Many problems of Number Theory are connected with investigation of Dirichlet series f (s) = E ann-s and the adding functions Ф(ж) = E an of their coefficients. The most famous

n=1 nKx

Dirichlet series is the Riemann zeta function ((s), defined for any s = a + it with Ks = a > 1

as С(s) = E пЬ.

п=1

TO , X

The square of zeta function C2(s) = E ^, ^s > 1, is connected with the divisor

n=1

function t (n) = E 1 giving the number of a positive integer divisors of positive integer

din

number n. The adding function of the Dirichlet series (2(s) is the function D(x) = E T(n):,

nKx

the questions of the asymptotic behavior of this function are known as Dirichlet divisor problem.

TO . .

Generally, (k(s) = E , Ks > 1, where function Tk (n) = E 1 gives the number of

n=l n=ni'...*n^

representations of a positive integer number n as a product of k positive integer factors. The adding function of the Dirichlet series (k(s) is the function Dk(x) = E Tk(n):, its research is

nKx

known as the multidimensional Dirichlet divisor problem.

The logarithmic derivative ^y of zeta, function can be represented as ^y = — E ,

n=1

Ks > 1. Here A(n) is the Mangoldt function, defined as A(n) = logp,ï{ n = pk for a prime

number p and a positive integer number k, and as A(n) = 0, otherwise. So, the Chebyshev function ^(x) = A(n) is the adding function of the coefficients of the Dirichlet series

n<X

W A ! \ / i \

J2 -¿^T) corresponding to logarithmic derivative of zeta function. It is well-known in

n= 1

analytic Number Theory and is closely connected with many important number-theoretical problems, for example, with asymptotic law of distribution of prime numbers.

In particular, the following representation of ^(x) is very useful in many applications:

^(x) =x — J2 — + o(, where x = n + 0, 5, n e N 2 <T <x,wid p = ft + iy are

non-trivial zeros of zeta function, i.e., the zeros of ((s), belonging to the critical strip 0 < Ks < 1.

We obtain similar representations over non-trivial zeros of zeta function for two arithmetic functions, relative to the Chebyshev function:

(x) = y^(x — n)A(n), and ^2(x) = A(n) ln —.

n

n<x n<x

Similar results can be received also for some other functions, related to the Chebyshev function, if to use logarithmic derivatives of Dirichlet L-functions.

Keywords: arithmetical functions, Dirichlet series, adding function of the coefficients of a Dirichlet series, the Riemann zeta function, the Chebyshev function, non-trivial zeros of the Riemann zeta function, contour integration.

Bibliography: 16 titles. For citation:

E. I. Deza, L. V. Varukhina, 2018, "Problems of the summation of arithmetical sums, relative to Chebyshev function" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp.

319 333.

1. Введение

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле /(в) = ^ апп в и

п= 1

сумматорных функций Ф(ж) = ^ ап их коэффициентов ([1, 2, 5, 8, 10, 11, 16]).

п<х

( )

12, 13, 15]), определенная для любого комплексного числа 8 = а + И с действительной частью Кз = а > 1 как

1

Ф ) = у —, ш > 1.

sv 7 п8'

п= 1

Квадрат дзета-функции

с2 ( *) = £ #, ^ > 1,

п=1

п

связян с функцией делителей т(п) = дающей число натуральных делителей нату-

d\n

рального числа п. Именно, сумматорной функцией ряд а Дирихле Ç2(s) является функция D(x) = т(п), вопросы асимптотической оценки которой известны как проблема, делителей

п<х

Дирихле ([3, 4, 6, 7, 11]). В общем случае,

Тк (п)

(к(*) = £

п= 1

п

-, Ш > 1,

где функция ^ (п) = Е 1 дает число представлений натурального числа п в виде произ-

п=п\^ ...•Пк

ведения к натуральных сомножителей. Сумматорной функцией ряда Дирихле (к(s) является функция Dk (х) = Е тк (п). Ее изучение - это многомерная проблема делителей Дн,рихле

п<х

([3, 4, 5, 6, 7, 111).

Обобщением дзета-функции Римана и еще одним известным рядом Дирихле является L-функция Дирихле, определяемая равенством

L(s,х) = ^ Х(п)п s, Ш > 1,

п=1

где х - характер Дирихле ([2, 3, 5, 15]).

Произведение нескольких L-функций дает ряд

Li(s, xi) • ... • Lk(s, Xk) = спп S, > 1

п=1

сумматорная функция коэффициентов которого имеет вид

Ск(х) =^ Сп = ^ Х1(п1) • ... •Хк(пк).

п<х <х

Задача об оценке Ск(х) является обобщением проблемы делителей Дирихле и связана с проблемой делителей в числовых полях ([6, 7, 9, 11, 16]).

Логарифмическая производная дзета-функции ^у) представима в виде

¿м= - £ т., я, >,

ф) ^ П '

4 у п=1

Здесь Л(п) - функция Мангольдта:

) = ( 1пр, если п = рк,р Е Р,к Е М, \ 0, иначе.

Таким образом, функция Чебышева

ф(х) = ^ Л(п)

п< х

те ...

является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле Е > соответствующего

п=1

логарифмической производной ^у дзета-функции Римана.

Функция ф(х) является хорошо известной арифметической функцией, используемой во многих областях теории чисел. Так, она тесно связана с функцией п(х) = Е 1 (число про-

р<х

х

простых чисел ([2, 3, 5]).

Действительно, используя формулу Перрона ([14]), мы получим, что

1 гc+icx У (s) xs

ф(х) = 2ш У™ (- cw^^ 1,

откуда следует классическая асимптотическая формула ([5])

ф(х) = х + 0(хе).

Данное утверждение эквивалентно асимптотическому закону распределения простых чисел ([3, 5, 15]):

гх йи

Ж(Х) = У 1 = I --

р<х

В монографии [5] было получено представление функции Чебышева по нулям дзета-функции Римана:

хр „ (х х^ Р

<(х) = £ 1 = Iх ^ + 0(хе-§ ^).

М = х — £ хР + 0 (^р)

Ш<т

где х = п + 0, Ъ, п € N 2 <Т < х, и р = [ + гу - нетривиальные нули дзета-функции, то есть нули ((в), леж^цие в критической полосе 0 < Кз = а < 1.

Мы получаем аналогичные результаты для двух арифметических функций,

х п

Фг(х) = — п)Л(п) и ф2(х) = Е Л(п) \п

п<х п<х

Эти функции, родственные функции Чебышева, используются в некоторых теоретико-числовых задачах, связанных с изучением асимптотоического поведения суммарных функций рядов Дирихле.

Основные результаты представлены в следующих двух теоремах. Теорема 1. Для х = п + 0, Ъ, п € N и 2 < х <Т имеет место формула

Мх) = Т,(х — п)Л(п) = у — £ РхрР+Т)+ 0 (х2Р),

п<х |Эр|<Т ' 4 7

где р = 3 + гу - нули дзета-функции Римана, ((в) в критической полосе 0 < К« < 1. Теорема 2. Для х = п + 0, Ъ, п € N и 2 < х <Т имеет место формула

ф1(х) = £Л(п)1пп = х — £ ^ + о(хТх\

п<х |Эр|<Т Р V 7

где р = 3 + гу - нули дзета-функции Римана, ((в) в критической полосе 0 < К« < 1.

2. Доказательство теоремы 1.

Доказательство состоит из четырех шагов. 1. Покажем, что для Ь > 0 и к > 1 имеет место формула

1 Гь+у8 \ 0, если 0 <у < 1,

2пг ф + 1) ... (з + к)^ { Т5Т(1 — ^ если У> 1

-йв = \ 1(Л к

А. Пусть 0 < у < 1. Рассмотрим контур Г с вершинами Ь ± гТ, и ± гТ, где Т,и Е К, Т > 0,

п8

и и > Ь. Так как функция 3(3+1)П (3+к) аналитична в данном контуре, то по теореме о вычетах ([14]) имеем равенство

1

- / -ч-;-т^й, = 0,

2ттг ,/г .,(8 + 1)... (8 +к)

то есть

1 гь+Т V3

V-- ( + 1)и ( +к)а, = °(1 +1/2| +1/э|),

2ттг ]Ъ-т ,(, + 1)... (, + к)

где 1г, г = 1, 2, 3, представляют собой интегралы по верхней, нижней и правой сторонам ко-Г

__[и уайа 1 Ги _ уь — уи уь

\111 = 1 Ы< (Т2 + а2) М! < Тк+1]ъ у йа = Т^ЩЩ < Т^ЩЩ,

1 ГТ уи ^д

I ги<1 Г уи < Туд

1131 < 2ъ.]-Т ( и2 + ¿2)^ <ик+1.

Для фиксированного Т и фиксированного 0 < у < 1 мы получаем, что Ншд^те Дг+т = 0, и, при и ^ то, имеем следующую оценку:

[ь+гТ у3 = 0 ( Уь

2ттг ]Ъ-гТ ,(8 + 1)... ( в + к) Теперь, при Т ^ то, получаем, что

1 гЬ+гте у з

( У ) ЧТк+1| 1п у1).

2ттг Л-гте 8(8 + 1) ... ( в + к)

й, = 0.

В. Пусть у = 1. Тогда

1 Гь+гТ й,

2ттг ]Ь-Т ,(, + 1)... (, + к)

[Т йа 1 < 2ж ,1_Т а2 + Т2 < Т

1 Гш те й, _

2ъ% Jь—íте ,(, + 1) ... (, + к) .

С. Пусть у > 1. Рассмотрим контур Г с вершинами Ь ± гТ, — и ± гТ, где Т,и Е К, Т > 0, и > шах{Ь, к}.

п8

Функция 3(3+1) (3+к) имеет простой полюс в точках 8 = 0, —1,..., —к, лежащих внутри Г

1 [ у3 ,1 ^ п У3

2Ж г ,}г 8( 8 + 1) ... ( 8 + к)й8 ^ Ке 8з=-1~8(8 + 1) ... (8 +к)'

При этом

3 3

Ке, з=- —- * .-— =Иш(, + 1) у

8(8 + 1) ... (8 +к) з^-Г У 8(8 + 1) ... (8 +к)

_У___

—I (—1 + 1)... (—1 + 1 — 1)(—1 + 1 + 1)... (—1 + к),

«=-1

У

1=0

8(8 + 1) ... (8 + к)

= 1(1_ к , (к — 1)к (к — 2)(к — 1)к +

к! \ У 1 • 2 • у2 1 • 2 • 3 • у3 ук )

1 к!

1 У

= ¿10° - С11+а( 1)2 - • • •+(= 1(1—1)

1\Л _ 1 Л 1х к

Кроме того,

гЬ+г Т

2тг ]-и+гТ 8(8 + 1) ... (8 + к)

йв

гЬ-гТ

1

2кг ]_и_гТ 8(8 + 1) ... (8 + к)

йв

<

< Гь у°йа < 1 " 2ж .¡-и (т2 + а2) ^ " 2тТк-1 .¡-и

Гйа <

Тк+1 \пу - Тк+1 \пу'

г-и+Т

1

2тг ]-и-гТ 8(8 + 1)... (8 + к)

йв

< 2т

гТ

у-иМ

У-иТ

1-Т ( и2 + 12 ) ^ " ик+1 .

<

Т > 1

Нши^ж ик+1 ^ 0 т0 Для и ^ ж мы получаем, что

к

1

гЬ+г Т

2ш Л-гТ 5(^ + 1)... (* + к)й8 к! (1 у) +0{тk+1\ny),

и, следовательно, при Т ^ ж, имеет место формула

1 гЬ+гж у в

_/ 1у

2Ъ1 Л-гж в(8 + 1) ... (8 +к) к!\ у)

2. Теперь покажем, что для Ь > 1 имеет место соотношение

1

Ф1(х) = ^2(х — п)Л(п) = 2^1

п<х

1 гЬ+гж хя+1

2тг ,]ь в( 5 + 1)

(—Ш)

й8.

Рассмотрим функцию = ^ (1 — ^)Л(п).

Из 1. следует, что

п<х

ФЛ.х)

£

Л(п) [ь+ж (*) ^

2т ,]ь ( + 1)

(возьмем к = 1 и у = для п < х интеграл равен 1 — для п > х интеграл равен 0).

0 Ж I гЬ+гж Л(п)(5, , , ^ 1

Ряд ¿^ ^ь-гЖ ф+1) | равномерно сходится при о > 1:

га=1

£

п=1

гЪ+гж Л(п)(|)' ^ 'Ь—гоо Ф + ^

м

<хь ж т ¡'+ж_

<х ]-ж ъ2 +12,

й/Ь 1 х, т

_ = ъагсЫп ь1-ж = V

И

1

и

х

Л(п) 1пп пь пь '

и ряд У2 ■пп сходится при Ь > 1. Тогда п

п=1

ф1(х)

1 + те х3

2тг ,]ь

—г те

8(8 + 1)

1 + те х3

£

п=1

('(8 )

Л(п)

й8 =

п3

й .

Следовательно,

2и% Л 8(8 + 1) I ( ) = А_ [ь+гте х3+1 ( С'(8)\

Р1(Х) 2т ,1—те 8(8 + 1) { ((8) )

й .

3. Теперь мы покажем, что для Ь = 1 + ^^х > 1 имеет место асимптотическая формула

1 + Т х3+1

1 Г+г± х3+1 ( ((з)\ г(х2 1пх\

Мх) = ™ 1,т зхтт) (—т)"8+0{—) ■

Из 2. мы получаем, что

1

11 (х) = ы1

1 гЬ+гТ х3+1

где

1 - Т х3+1

Ь—гТ 8(8+ 1 ('(8 )

(—Ш)

й + ■ 1 + ■ 2,

2тг Л

—гте

8(8 + 1)

Нетрудно видеть, что

1

I ЛМ *|<

Так как Ь > 1, то

йз, ■2 = —:

1 + те х3+1

те хЪ+1

2т }Ь+гТ 8(8 + 1)

((ь + г г)

й .

Т 2 + 2

( + )

й .

С (Ь + и )

( + )

Е

Л( п)

п=1

п

+

<

£

п=1

Л( п)

п"

С'(Ъ)

( )

Известно ([5], [6]), что в этих условиях

1

С'(Ъ) =_

Ф) ь — 1

+ Ьо + Ьф — 1) + ....

Тогда

<'( Ь) Ф)

(Ь — 1) = 1 + Ьо( Ь — 1) + Ь1( Ь — 1)2 + ....

Таким образом, функция — ^щ- (Ь — 1) является аналитической в некоторой окрестности 1, следовательно, она ограничена в этой окрестности. Так как величина Ь = 1 + Пх близка к 1,

т0 I — $ — 1) I — С, то есть, — = О ( -¡—л) = 0(\пх),ъ — ^ф+м) = 0(\пх). Тогда

С (Ь)

С (ь+и)

1^1 + ш —С1хь+11пх /

Т

Т 2 + 2

М „ 2л Гте М С2х21пх — С2х 1пх -¡г- =

Т

2

Т

х

зо

так как хь* = е, и /Ж ф = — 1\Ж = ~г- Таким образом,

| ^\ + и2\=0 (^)

Мх) = ш1

Ь+г Т хз+1

Ь-гТ 8( ¿ + 1)

(—Ш )- + 0 ( ^ )•

4. Пусть Ь = 1 + > 1, и 2 <Т <х. Найдем Т^, такое что Т < Т1 <Т + 1,и расстояние от прямой Э в = Т1 до ближайшего нетривиального нуля дзета-функции ^ ^пр Это возможно, поскольку число нетривиальных нулей ((в) в пол осе Т < Эв < Т + 1 есть 0(\пТ) (см., на-

пример, [5], [8]). Рассмотрим контур Г с вершинами Ь±Т1, — 2 Функция I — < ф+1)

т-8 + 1

аналитична в данном контуре, за исключением точек 8 = 0 (полюс функции ф+1)), 5 = 1 (полюс дзета-функции ((в)), и = рп, где рп - все нетривиальные нули дзета-функции в контуре Г

= Кев 3=о

х

5(5 + 1)

(—ж)* " ("$) + ^= ^ ("$)

1 Г х 1

2аг ]т 8(8 + 1) .+1 / С' (5 )

+

= Иш в

х

+

|3=/з„|<Т1 .+ 1 / С' (5)

х«+1

Кро __

Ке83=Р" 8(8 + 1)

(—Ш)

^0 8(в + 1)

+ У" Иш (в — рп)

С (0)

х

+1

^рп<Т1

1 5(5 + 1) (■ $)

(—— + -) =

\ 8 — рп )

+

х

и<°)у

8(8 + в — рп 2 _ хр"+1

х

+---/ •

2 р"(р" + 1

Е

Оценим интегралы г = 1, 2, 3 по верхней, нижней и правой сторонам контура Г, соответственно. Для первых двух интегралов мы имеем оценку

\ Д \ + \ 12 \ <

в то время как для третьего - оценку

х

+1

2тТ2

1 -

С (а + Т)

((а + г Т1)

й а,

I т I х 1 [

\/3'< ха .

Т1 -Т1

а—1+ И )

й

4 +

Оценим

С (т+и) С(а+и)

. В наших условиях ([5])

С( а + г I )

((а + й )

Е

|г-7«|<1

1

а — ап + — уп)

+ 0(\п(\11 + 2)).

и

Если а = 2 и Щ — Т1, то

а — ап + г(Ь — 7п)

<

|а — ап1 2 + ап

2.

Тогда

С'(а + г I) ((а + й )

= 0(1п(^ \ + 2))=0(1пТ).

Если — 2 — а — Ь и £ = Тъ то

£

|г-7п|<1

|Т1 — 7 п I »

1

а — ап + г(Ь — 7п)

1п Т 1

— Е |Т1 —7п |

|*-7«|<1 | 1 'п |

— С 1пТ ^ 1 — С11п2Т.

|*-7п<1

Таким образом, в обоих случаях

С'(а + г I ) ((а + г I)

= 0(1п2 Т).

Тогда

1Г1 1Г1 Сзх21п2Т ( 1 1\ САх21п2Т „ х21п2Т

Тт М фх 1пТ фх 1пТ ^ —

рт й+

|Ы — С5фх 1пТ J — Сб

Т1

'х2 ЫТ

Т

Так как ^ ^ 0 для £ ^ го, то 0 ^ —,тт^^ ^ 0 ^кроме того, 1пТ — 1пх для Т — х. Таким образом, мы получили, что все три оцениваемых интеграла есть 0 ^х ТПхи, следо-

вательно,

Так как

Ф1(х) = х2 — Е

„Рп + 1

|3=р„|<Тт

^(0)

рп( рп + 1) ~ С(0)

х2 1п х +0(—>

х

(0) х2 1п х

х^-т = 0

т

х2 1п х

£

Т<|Зр„|<Тт

хРп + 1

рп(рп + 1)

<

х

Т~2

Е х21пТ х2 1пх

1 — С5-^- —

то

Т<|3=рп|<Т+1

х/п + 1

2 ^<Т рп(рп + ^

Т

Т

Ф1(х) = х2 — Е

х2 1п х +0{—)а

3. Доказательство теоремы 2.

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1 и также состоит из четырех этапов.

1. Покажем, что для Ь > 1 имеет место формула

^ гъ+1те ^^ = , 0, если 0 <у — 1,

2тг Л-те 82 8 = \ 1п если у> 1

1

1

1

и

1

и

А. Пусть 0 < у < 1, Т > 0 и и > Ь. Рассмотрим контур Г с вершинами Ь ± Т, и ± Т. Функция аналитична внутри данного контура, и по теореме о вычетах ([14]) мы получаем,

1 [у3 1 Г ь+*т V3

/г > = 0-» 2И 1<т > = 0(|I^| + |'2| + \m

где 1г, г = 1, 2, 3, представляют собой интегралы по верхней, нижней и правой сторонам кон-Г

| Ь \ = \ Ь \ < ^ Г трт^йа < ± Гутйа = < ^

2а Л Т2 + а2 - Т2 ,}ь у Т2\\пу\ ~ Т2\\пу\'

С другой стороны,

' "3\< Щи^й«-

Так как 0 < у < 1, и Т фиксировано, то Кут ^ 0 для и ^ ж, и

± Гт= 0(

2т 82

Для фиксированного у и Т ^ ж, мы получим, что

(т2|Ьу\) .

1 гЬ+г ж у в 2аг к-гоо ^2 .

В. Пусть у = 1. Тогда

1 гЪ+гТ 1

2аг 82

< - Г % < -

< 2а ,]_т ¿2 < Т

При Т ^ ж мы получаем, что

г ж й!-0-1п1

2аг к-гоо « 2 .

С. Пусть у > 1. Возьмем Т > 0 и и > Ь. Расмотр им контур Г с вершина ми —и ±Т и Ь±Т. Функция ^ аналитична в этом контуре, за исключением точки 5 = 0, где она имеет полюс, и, пользуясь теоремой о вычетах ([14]), мы получаем, что

1 I"Уя 1 п У 3 — ¡^ = К™*=0Т2 .

Так как (у= у5\пу, то (у5)'(0) =\пу, и мы получаем, что 1 [у3 1 (ШТ V3

Ш X ^ " шиГ ЬЛа = ы* + 0<\^^| + |Ь|^-|^з\).

где 1г, г = 1, 2, 3, представляют собой интегралы по верхней, нижней и правой сторонам кон-Г

\ 71 \ = \ \ < 2а £ 02+Т2 < ' " \'з\ < 2а £ ^< Ж■

Для фиксированного Т и фиксированного у > 1 мы имеем соотношение Уд--> 0 при и ^ то,

то есть

+ Т 3

¡Ь-гТ 8

5й , = )•

Для Т ^ то мы получаем, что

+ те

~2й8 = 1п У.

2. Теперь мы покажем что при Ь > 1 имеет место соотношение

™ = Л(п,п п = £ ^ £ (—^

1.

' еа^=шг ^

п<х п=1 ® те

(возьмем у = п' если п — х, то интеграл равен 1п если п > х, то интеграл равен 0). Кроме того,

^ гЬ+те Л(п)(пх)3 ^

п=1-'ь-¿те 8

ь Л(п) Гте М _ кхь Л(п) кхь 1пп ^ ~пГ ]_00 ь2 + г2 =~ь~ пь —~ь~ ,

п=1 7 те п=1 п=1

те 1 те Л(п) b+icc (~)'8

и ряд Е

СХОДИТСЯ. Таким образом, ряд Е /ь—гте й8 абсолютно сходится, и мы

п=1 п=1

имеем право поменять порядок суммирования и интегрирования. Тогда

V А(п) 1п х = ± Гте те х3Л^а, = -1- Ггте х3 (-¿М^ й8

( ) п 2т .}ь_гте 82 п3 2т Л-*» 82 ^ ф) ) -

3. Покажем, что при Ь = 1 + -^х > 0 ш Т > 0 имеет место соотношение

п< х

Из 2. следует, что

ЕЛ/ м х 1 ГЬ+гТ ('(8).х\ /х 1пх\

Л(п) 1п - =--+ 0 —— .

( ) п 2т ]ъ~1Т ( <(,)) 8 V Т )

УЛ(п)1п х = — [Ь+гте(—^4) х3й, = ^ ( ) п 2т ,;ь-гте ( С(з) 8

п х

А_ [ь+гТ (—сЧз)Л

2т ^ С(з ) / 8

-гй8 + 0(Ш + Ш).

При этом

О + Й)

| = | ^ — Ъ Т

те хЬ

Т ь^П2

( + )

С8хь 1пх [те М С9х 1пх Л — ^^ X Р — -Т-.

3

4. Пусть 2 — Т — х, и Ь = 1 + Пх > 1. Рассмотрим контур Г с вершинами — 1 ± Т1, & ± Тъ

где Т1 выбрано так же, как при доказательстве теоремы 1. функция ( — ) х аналитична

в данном контуре, за исключением точек 8 = 0 (полюс функции 5 = 1 (полюс функции ((в)), и в = рп (все нетривиальные нули ((в) с \уп\ < Т1). Тогда

1

[ (_¿(ßA ^

Jr\ Ф ) )

-77 ds = Res s=0 -

( C'(s)\xs / ('(s)\xs +

Г ш] ^+Ress=i [— ш] *+

El ('(s ) \ xS ST^ xPn

Ress=pn I--щ I ^ = ao lnx + ai — +x'

\Qpn\<Ti

\3=pn\<Ti

где ao = — 'УОу и а1 ' коэффициенты, полученные из равенства — -^у = ao + Q>is + a2s2 + Таким образом,

1

Jb-en \ а *)) s 2 ^ Pl V T )

+ o(i hl + I h | + | hl),

где ^ = 1,2,3, представляют собой интегралы по верхней, нижней и верхней сторонам Г

((а + i t)

для — 2 — а — b ni = Ti,H что

для а = — 2 и Щ < Т1. Тогда

й а + i t )

С (а + i t)

((а + i t)

= 0(ln2 T)

= O(lnT)

I hl = I hl<

Ciox ln2T f 1\ Cnx ln2T T2 (2 7 < T2 ,

Заметим, что

так как ^Пр ^ О ПРИ T ^ ж>),

T < x), T < x),

I т\< Ci2lnT fTl dt Ci3lnT

1 3| - vx J-T! t2 < vxt'

/ x ln2T \ / x lnT \

0\T^) =0\~),

( x^ ) ,

x ln T

a0 lnx + a1 = 0(lnx) = O i ——— j

x lnT o ! x l T =

xPn x

o2 _

T<\3p„\<Ti ,l T<\3=pn\<T+i

E I V I - T 2

^ Pl T2

E i-c^ ^(x^)

так как \хРп \ < х^п < х, и \уп\ < Т. Следовательно,

^2Л(п) in

1<х

x v-^ xPn ^ (xlnT\

п =x — E "Г + □

п \Qpn\<T Pl V

-

4. Заключение

Таким образом, в статье получены новые результаты, связанные с проблемой представления арифметических функций в виде сумм по нетривиальным нулям дзета-функции Римана.

В дальнейшем интересно было бы рассмотреть вопросы получения новых теоретико-числовых результатов, связанных с указанной проблемой. Одной из перспективных задач является получение аналогичных представлений по нетривиальным нулям дзета-функции Римана других арифметических функций, родственных функции Чебышева; такие функции нетрудно построить, если использовать логарифмические производные L-рядов Дирихле.

С другой стороны, было бы интересно рассмотреть конкретные задачи на применение уже полученных представлений ([5]).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

2. Виноградов U.M. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1981.

3. Воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана. - М.: Физматлит, 1994.

4. Карацуба A.A. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Известия АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, N 3. С. 475 - 483.

5. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. - М.: Наука, 1983.

6. Пантелеева (Деза) Е.И. К вопросу о проблеме делителей Дирихле в числовых полях // Математические заметки. 1988. Т. 44, вып. 4. С. 494 - 505.

7. Пантелеева (Деза) Е.И. Одно замечание к вопросу о проблеме делителей // Математические заметки. 1993. Т. 53, вып. 4. С. 148 - 152.

8. Пантелеева (Деза) Е.И. О средних значениях некоторых арифметических функций // Математические заметки. 1994. Т. 55, вып. 5. С. 7 - 12.

9. Пантелеева (Деза) Е.И. Проблема делителей Дирихле в кольце целых Гауссовых чисел // Труды МПГУ. 2001. N 4. С. 23 - 34.

10. Пантелеева Е.И., Варухина Л.В. Об оценке сумматорных функций рядов Дирихле // Научные труды математического факультета МПГУ. Юбилейный сборник. - М.: МПГУ, 2000. С. 45 - 56.

11. Пантелеева Е.И., Варухина Л.В. Об оценке дзетовой суммы и проблеме делителей Дирихле // Вестник Санкт-петербургского Университета. 2013. Серия 1, вып. 4. С. 15 -24.

12. Прахар К. Распределение простых чисел. - \!.. Мир, 1967.

13. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. - М.: ИЛ, 1953.

14. Титчмарш Е.К. Теория функций. - М.: Наука, 1980.

15. Ivic A. The Riemann zeta-function. - New Jork: J. Wiley к, Sons, 1985.

16. Panteleeva (Deza) E.I., Varukhina L.V. On mean values of some arithmetic functions in number fields // Discrete Mathematics. 2008. Vol. 308. P. 4892 - 4899.

REFERENCES

1. Borevich, Z.I. к Shafarevich, I.R. 1985, "Theory of numbers", M.: Nauka.

2. Vinogradov, I.M. 1981, "Bases of the theory of numbers", M.: Nauka.

3. Voronin, S.M. к Karatsuba, A.A. 1994, "Riemann zeta function", M.: Fizmatlit.

4. Karatsuba, A. A. 1972, "Uniform estimate of error term in Dirichlet divisor problem", Izv. Acad, of Sci. SSSR, Math., Vol. 36, N 3, pp. C. 475 - 483.

5. Karatsuba, A.A. 1983, "Bases of the analytical theory of numbers", M.: Nauka.

6. Panteleeva (Deza), E.I. 1988, "Dirichlet divisor problem in number fields", Mathematical notes, Vol. 44, issue 4, pp. 494 - 505.

7. Panteleeva (Deza), E.I. 1993, "A remark to Divisor problem", Mathematical notes, Vol. 53, issue 4, pp 148 - 152.

8. Panteleeva (Deza), E.I. 1994, " Average values of some arithmetic functions", Mathematical notes, Vol . 55, issue 5, pp. 7 - 12.

9. Panteleeva (Deza), E.I. 2001, "Dirichlet divisor problem in the ring of the Gaussian integers", Works of MPGU, № 4. pp. 23 - 34.

10. Panteleeva (Deza), E.I.& Varukhina, L.V. 2000, "Estimations of adding function of Dirichlet series", in Scientific works of mathematical department of MPGU, M.: MPGU, pp. 45 - 56.

11. Panteleeva (Deza), E.I. к Varukhina L.V. 2013, "On estimation of zeta sums and Dirichlet divisor problem", Issue of St. Petersburg University, Series 1, issue 4, pp. 15 - 24.

12. Prahar, K. 1967, "Distribution of prime numbers", -M.: Mir.

13. Titchmarsh, E.K. 1953, "The theory of the Riemann zeta function", M.: IL.

14. Titchmarsh, E.K. 1980, "The theory of functions", M.: Nauka.

15. Ivic, A. 1985, The Riem,ann zeta function, New Jork: J. Wiley & Sons.

16. Panteleeva (Deza), E.I.& Varukhina, L.V. 2008, "On mean values of some arithmetic functions in number fields", Discrete Mathematics, Vol. 308, pp. 4892 - 4899.

Получено 16.06.2018

Принято в печать 17.08.2018