Научная статья на тему 'Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева'

Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
165
63
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Чебышевский сборник
Scopus
ВАК
RSCI
Область наук
Ключевые слова
арифметические функции / ряд Дирихле / суматорная функция коэффициентов ряда Дирихле / дзета-функция Римана / функция Чебышева / нетривиальные нули дзета-функции Римана / контурное интегрирование / arithmetical functions / Dirichlet series / adding function of the coefficients of a Dirichlet series / the Riemann zeta function / the Chebyshev function / non-trivial zeros of the Riemann zeta function / contour integration

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Деза Елена Ивановна, Варухина Лидия Владимировна

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле 𝑓(𝑠) = ∞Σ︀ 𝑛=1 𝑎𝑛𝑛−𝑠 и сумматорных функций Φ(𝑥) = Σ︀ 𝑛≤𝑥 𝑎𝑛 их коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана 𝜁(𝑠), определенная для любого комплексного числа 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝑡 с действительной частью ℜ𝑠 = 𝜎 > 1 как 𝜁(𝑠) = ∞Σ︀ 𝑛=1 1 𝑛𝑠 . Квадрат дзета-функции 𝜁2(𝑠) = ∞Σ︀ 𝑛=1 𝜏(𝑛) 𝑛𝑠 , ℜ𝑠 > 1, связян с функцией делителей 𝜏 (𝑛) = Σ︀ 𝑑|𝑛 1, дающей число натуральных делителей натурального числа 𝑛. Сумматорной функцией ряда Дирихле 𝜁2(𝑠) является функция 𝐷(𝑥) = Σ︀ 𝑛≤𝑥 𝜏 (𝑛), вопросы асимптотической оценки которой известны как проблема делителей Дирихле. В общем случае, 𝜁𝑘(𝑠) = ∞Σ︀ 𝑛=1 𝜏𝑘(𝑛) 𝑛𝑠 , ℜ𝑠 > 1, где функция 𝜏𝑘(𝑛) = Σ︀ 𝑛=𝑛1·...·𝑛𝑘 1 дает число представлений натурального числа 𝑛 в виде произведения 𝑘 натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле 𝜁𝑘(𝑠) является функция 𝐷𝑘(𝑥) = Σ︀ 𝑛≤𝑥 𝜏𝑘(𝑛). Ее изучение это многомерная проблема делителей Дирихле. Логарифмическая производная 𝜁 ′ (𝑠) 𝜁(𝑠) дзета-функции представима в виде 𝜁 ′ (𝑠) 𝜁(𝑠) = = − ∞Σ︀ 𝑛=1 Λ(𝑛) 𝑛𝑠 , ℜ𝑠 > 1. Здесь Λ(𝑛) функция Мангольдта, которая определяется как Λ(𝑛) = log 𝑝, если 𝑛 = 𝑝𝑘 для простого 𝑝 и натурального 𝑘, и как Λ(𝑛) = 0, иначе. Таким образом, функция Чебышева 𝜓(𝑥) = Σ︀ 𝑛≤𝑥 Λ(𝑛) является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле ∞Σ︀ 𝑛=1 Λ(𝑛) 𝑛𝑠 , соответствующего логарифмической производной 𝜁 ′ (𝑠) 𝜁(𝑠) дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими задачами, прежде всего, с асимптотическим законом распределения простых чисел. В частности, хорошо известно представление функции 𝜓(𝑥) по нулям дзета-функции: 𝜓(𝑥) = 𝑥 − Σ︀ |ℑ𝜌|≤𝑇 𝑥𝜌 𝜌 + 𝑂 (︁ 𝑥 ln2 𝑥 𝑇 )︁ , где 𝑥 = 𝑛 + 0, 5, 𝑛 ∈ N, 2 ≤ 𝑇 ≤ 𝑥, и 𝜌 = 𝛽 + 𝑖𝛾 нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули 𝜁(𝑠), лежащие в критической полосе 0 < ℜ𝑠 < 1. Мы получаем аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзетафункции Римана, для двух арифметических функций, родственных функции Чебышева: 𝜓1(𝑥) = Σ︁ 𝑛≤𝑥 (𝑥 − 𝑛)Λ(𝑛) и 𝜓2(𝑥) = Σ︁ 𝑛≤𝑥 Λ(𝑛) ln 𝑥 𝑛 . Аналогичные результаты можно получить и для других функций, родственных функции Чебышева, если использовать логарифмические производные 𝐿-функций Дирихле.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Problems of the summation of arithmetical sums, relative to Chebyshev function

Many problems of Number Theory are connected with investigation of Dirichlet series 𝑓(𝑠) = ∞Σ︀ 𝑛=1 𝑎𝑛𝑛−𝑠 and the adding functions Φ(𝑥) = Σ︀ 𝑛≤𝑥 𝑎𝑛 of their coefficients. The most famous Dirichlet series is the Riemann zeta function 𝜁(𝑠), defined for any 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝑡 with ℜ𝑠 = 𝜎 > 1 as 𝜁(𝑠) = ∞Σ︀ 𝑛=1 1 𝑛𝑠 . The square of zeta function 𝜁2(𝑠) = ∞Σ︀ 𝑛=1 𝜏(𝑛) 𝑛𝑠 , ℜ𝑠 > 1, is connected with the divisor function 𝜏 (𝑛) = Σ︀ 𝑑|𝑛 1, giving the number of a positive integer divisors of positive integer number 𝑛. The adding function of the Dirichlet series 𝜁2(𝑠) is the function 𝐷(𝑥) = Σ︀ 𝑛≤𝑥 𝜏 (𝑛); the questions of the asymptotic behavior of this function are known as Dirichlet divisor problem. Generally, 𝜁𝑘(𝑠) = ∞Σ︀ 𝑛=1 𝜏𝑘(𝑛) 𝑛𝑠 , ℜ𝑠 > 1, where function 𝜏𝑘(𝑛) = Σ︀ 𝑛=𝑛1·...·𝑛𝑘 1 gives the number of representations of a positive integer number 𝑛 as a product of 𝑘 positive integer factors. The adding function of the Dirichlet series 𝜁𝑘(𝑠) is the function 𝐷𝑘(𝑥) = Σ︀ 𝑛≤𝑥 𝜏𝑘(𝑛); its research is known as the multidimensional Dirichlet divisor problem. The logarithmic derivative 𝜁 ′ (𝑠) 𝜁(𝑠) of zeta function can be represented as 𝜁 ′ (𝑠) 𝜁(𝑠) = − ∞Σ︀ 𝑛=1 Λ(𝑛) 𝑛𝑠 , ℜ𝑠 > 1. Here Λ(𝑛) is the Mangoldt function, defined as Λ(𝑛) = log 𝑝, if 𝑛 = 𝑝𝑘 for a prime number 𝑝 and a positive integer number 𝑘, and as Λ(𝑛) = 0, otherwise. So, the Chebyshev function 𝜓(𝑥) = Σ︀ 𝑛≤𝑥 Λ(𝑛) is the adding function of the coefficients of the Dirichlet series ∞Σ︀ 𝑛=1 Λ(𝑛) 𝑛𝑠 , corresponding to logarithmic derivative 𝜁 ′ (𝑠) 𝜁(𝑠) of zeta function. It is well-known in analytic Number Theory and is closely connected with many important number-theoretical problems, for example, with asymptotic law of distribution of prime numbers. In particular, the following representation of 𝜓(𝑥) is very useful in many applications: 𝜓(𝑥) = 𝑥 − Σ︀ |ℑ𝜌|≤𝑇 𝑥𝜌 𝜌 + 𝑂 (︁ 𝑥 ln2 𝑥 𝑇 )︁ , where 𝑥 = 𝑛 + 0, 5, 𝑛 ∈ N, 2 ≤ 𝑇 ≤ 𝑥, and 𝜌 = 𝛽 + 𝑖𝛾 are non-trivial zeros of zeta function, i.e., the zeros of 𝜁(𝑠), belonging to the critical strip 0 < ℜ𝑠 < 1. We obtain similar representations over non-trivial zeros of zeta function for two arithmetic functions, relative to the Chebyshev function: 𝜓1(𝑥) = Σ︁ 𝑛≤𝑥 (𝑥 − 𝑛)Λ(𝑛), and 𝜓2(𝑥) = Σ︁ 𝑛≤𝑥 Λ(𝑛) ln 𝑥 𝑛 . Similar results can be received also for some other functions, related to the Chebyshev function, if to use logarithmic derivatives of Dirichlet 𝐿-functions.

Текст научной работы на тему «Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 2

УДК 517 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-319-333

Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева

Деза Елена Ивановна — доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры теоретической информатики и дискретной математики, Московский педагогический государственный университет.

e-mail: elena.deza@gmail.com

Варухина Лидия Владимировна — Московский педагогический государственный университет.

e-mail: lidadgemma@mMil.ru

Аннотация

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле /(в) = ^ апп-я

п=1

и сумматорных функции Ф(ж) = ^ ап их коэффициентов. Наиболее известным примером

п< X

ряда Дирихле является дзета-функция Римана С($), определенная для любого комплекс-

то

ного числа в = а + И с действительной ч астыо Кв = а > 1 так ( (в) = ^ -1.

= 1

то

Квадрат дзета-функции C2(s) = J2 , > 1, связян с функцией делителей

n=1 П

Т(п) = Y1 1 дающей число натуральных делителей натурального числа п. Сумматор-

din

ной функцией ряда Дирихле (2(s) является функция D(x) = ^ т(п), вопросы асимп-

n< X

тотической оценки которой известны как проблема делителей Дирихле. В общем случае,

то . .

ck(s) = J2 пП', ^s > 1, гДе функция Тк(п) = J2 1 дает число представлений

n=1 n=ni-..nfc

натурального числа п в виде произведения к натуральных сомножителей. Сумматорной функцией ряда Дирихле Qk(s) является функция Dk(х) = J2 Tk(п)- Ее изучение - это

n<X

многомерная проблема делителей Дирихле.

Логарифмическая производная дзета-функции представима в виде ^у =

то л( )

= — 2 лП' , > 1. Здесь Л(п) - функция Мангольдта, которая определяется как

n=1 n

Л(п) = logр, если п = pk для простого р и натурального к, и как Л(п) = 0, иначе. Таким образом, функция Чебышева ф(х) = ^ Л(п) является сумматорной функцией коэф-

n<X

фициентов ряда Дирихле ^ ^^ > соответствующего логарифмической производной ^у

n=1

дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими задачами, прежде всего, с асимптотическим законом распределения простых чисел.

В частности, хорошо известно представление функции ф(х) по пулям дзета-функции:

'ф(х) = X - J2 — + О , где х = п + 0, 5 п € N 2 < Т < х, и р = ¡3 + ij -

нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули С(s), лежащие в критической полосе 0 < < 1.

Мы получаем аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, для двух арифметических функций, родственных функции Чебышева:

ф\(х) = — п)Л(п) и ф2(х) ^^ Л(п) ln —.

х

п) '

п

п<х

Аналогичные результаты можно получить и для других функций, родственных функции Чебышева, если использовать логарифмические производные L-функций Дирихле.

Ключевые слова: арифметические функции, ряд Дирихле, суматорная функция коэффициентов ряда Дирихле, дзета-функция Римана, функция Чебышева, нетривиальные нули дзета-функции Римана, контурное интегрирование.

Библиография: 16 названий. Для цитирования:

Е. И. Деза, JI. В. Варухина. Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 2, С. 319-333.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2

UDC 517 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-319-333

Problems of the summation of arithmetical SUIUS • relative to

Chebyshev function

Деза Елена Ивановна — Doctor of educational sciences, Associate professor, Moscow State Pedagogical University. e-mail: elena.deza@gm,ail.com,

Varukhina Lidiya Vladimirovna — Moscow State Pedagogical University. e-mail: lidadgemma@mMil.ru

Abstract

Many problems of Number Theory are connected with investigation of Dirichlet series f (s) = E ann-s and the adding functions Ф(ж) = E an of their coefficients. The most famous

n=1 nKx

Dirichlet series is the Riemann zeta function ((s), defined for any s = a + it with Ks = a > 1

as С(s) = E пЬ.

п=1

TO , X

The square of zeta function C2(s) = E ^, ^s > 1, is connected with the divisor

n=1

function t (n) = E 1 giving the number of a positive integer divisors of positive integer

din

number n. The adding function of the Dirichlet series (2(s) is the function D(x) = E T(n):,

nKx

the questions of the asymptotic behavior of this function are known as Dirichlet divisor problem.

TO . .

Generally, (k(s) = E , Ks > 1, where function Tk (n) = E 1 gives the number of

n=l n=ni'...*n^

representations of a positive integer number n as a product of k positive integer factors. The adding function of the Dirichlet series (k(s) is the function Dk(x) = E Tk(n):, its research is

nKx

known as the multidimensional Dirichlet divisor problem.

The logarithmic derivative ^y of zeta, function can be represented as ^y = — E ,

n=1

Ks > 1. Here A(n) is the Mangoldt function, defined as A(n) = logp,ï{ n = pk for a prime

number p and a positive integer number k, and as A(n) = 0, otherwise. So, the Chebyshev function ^(x) = A(n) is the adding function of the coefficients of the Dirichlet series

n<X

W A ! \ / i \

J2 -¿^T) corresponding to logarithmic derivative of zeta function. It is well-known in

n= 1

analytic Number Theory and is closely connected with many important number-theoretical problems, for example, with asymptotic law of distribution of prime numbers.

In particular, the following representation of ^(x) is very useful in many applications:

^(x) =x — J2 — + o(, where x = n + 0, 5, n e N 2 <T <x,wid p = ft + iy are

non-trivial zeros of zeta function, i.e., the zeros of ((s), belonging to the critical strip 0 < Ks < 1.

We obtain similar representations over non-trivial zeros of zeta function for two arithmetic functions, relative to the Chebyshev function:

(x) = y^(x — n)A(n), and ^2(x) = A(n) ln —.

n

n<x n<x

Similar results can be received also for some other functions, related to the Chebyshev function, if to use logarithmic derivatives of Dirichlet L-functions.

Keywords: arithmetical functions, Dirichlet series, adding function of the coefficients of a Dirichlet series, the Riemann zeta function, the Chebyshev function, non-trivial zeros of the Riemann zeta function, contour integration.

Bibliography: 16 titles. For citation:

E. I. Deza, L. V. Varukhina, 2018, "Problems of the summation of arithmetical sums, relative to Chebyshev function" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp.

319 333.

1. Введение

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле /(в) = ^ апп в и

п= 1

сумматорных функций Ф(ж) = ^ ап их коэффициентов ([1, 2, 5, 8, 10, 11, 16]).

п<х

( )

12, 13, 15]), определенная для любого комплексного числа 8 = а + И с действительной частью Кз = а > 1 как

1

Ф ) = у —, ш > 1.

sv 7 п8'

п= 1

Квадрат дзета-функции

с2 ( *) = £ #, ^ > 1,

п=1

п

связян с функцией делителей т(п) = дающей число натуральных делителей нату-

d\n

рального числа п. Именно, сумматорной функцией ряд а Дирихле Ç2(s) является функция D(x) = т(п), вопросы асимптотической оценки которой известны как проблема, делителей

п<х

Дирихле ([3, 4, 6, 7, 11]). В общем случае,

Тк (п)

(к(*) = £

п= 1

п

-, Ш > 1,

где функция ^ (п) = Е 1 дает число представлений натурального числа п в виде произ-

п=п\^ ...•Пк

ведения к натуральных сомножителей. Сумматорной функцией ряда Дирихле (к(s) является функция Dk (х) = Е тк (п). Ее изучение - это многомерная проблема делителей Дн,рихле

п<х

([3, 4, 5, 6, 7, 111).

Обобщением дзета-функции Римана и еще одним известным рядом Дирихле является L-функция Дирихле, определяемая равенством

L(s,х) = ^ Х(п)п s, Ш > 1,

п=1

где х - характер Дирихле ([2, 3, 5, 15]).

Произведение нескольких L-функций дает ряд

Li(s, xi) • ... • Lk(s, Xk) = спп S, > 1

п=1

сумматорная функция коэффициентов которого имеет вид

Ск(х) =^ Сп = ^ Х1(п1) • ... •Хк(пк).

п<х <х

Задача об оценке Ск(х) является обобщением проблемы делителей Дирихле и связана с проблемой делителей в числовых полях ([6, 7, 9, 11, 16]).

Логарифмическая производная дзета-функции ^у) представима в виде

¿м= - £ т., я, >,

ф) ^ П '

4 у п=1

Здесь Л(п) - функция Мангольдта:

) = ( 1пр, если п = рк,р Е Р,к Е М, \ 0, иначе.

Таким образом, функция Чебышева

ф(х) = ^ Л(п)

п< х

те ...

является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле Е > соответствующего

п=1

логарифмической производной ^у дзета-функции Римана.

Функция ф(х) является хорошо известной арифметической функцией, используемой во многих областях теории чисел. Так, она тесно связана с функцией п(х) = Е 1 (число про-

р<х

х

простых чисел ([2, 3, 5]).

Действительно, используя формулу Перрона ([14]), мы получим, что

1 гc+icx У (s) xs

ф(х) = 2ш У™ (- cw^^ 1,

откуда следует классическая асимптотическая формула ([5])

ф(х) = х + 0(хе).

Данное утверждение эквивалентно асимптотическому закону распределения простых чисел ([3, 5, 15]):

гх йи

Ж(Х) = У 1 = I --

р<х

В монографии [5] было получено представление функции Чебышева по нулям дзета-функции Римана:

хр „ (х х^ Р

<(х) = £ 1 = Iх ^ + 0(хе-§ ^).

М = х — £ хР + 0 (^р)

Ш<т

где х = п + 0, Ъ, п € N 2 <Т < х, и р = [ + гу - нетривиальные нули дзета-функции, то есть нули ((в), леж^цие в критической полосе 0 < Кз = а < 1.

Мы получаем аналогичные результаты для двух арифметических функций,

х п

Фг(х) = — п)Л(п) и ф2(х) = Е Л(п) \п

п<х п<х

Эти функции, родственные функции Чебышева, используются в некоторых теоретико-числовых задачах, связанных с изучением асимптотоического поведения суммарных функций рядов Дирихле.

Основные результаты представлены в следующих двух теоремах. Теорема 1. Для х = п + 0, Ъ, п € N и 2 < х <Т имеет место формула

Мх) = Т,(х — п)Л(п) = у — £ РхрР+Т)+ 0 (х2Р),

п<х |Эр|<Т ' 4 7

где р = 3 + гу - нули дзета-функции Римана, ((в) в критической полосе 0 < К« < 1. Теорема 2. Для х = п + 0, Ъ, п € N и 2 < х <Т имеет место формула

ф1(х) = £Л(п)1пп = х — £ ^ + о(хТх\

п<х |Эр|<Т Р V 7

где р = 3 + гу - нули дзета-функции Римана, ((в) в критической полосе 0 < К« < 1.

2. Доказательство теоремы 1.

Доказательство состоит из четырех шагов. 1. Покажем, что для Ь > 0 и к > 1 имеет место формула

1 Гь+у8 \ 0, если 0 <у < 1,

2пг ф + 1) ... (з + к)^ { Т5Т(1 — ^ если У> 1

-йв = \ 1(Л к

А. Пусть 0 < у < 1. Рассмотрим контур Г с вершинами Ь ± гТ, и ± гТ, где Т,и Е К, Т > 0,

п8

и и > Ь. Так как функция 3(3+1)П (3+к) аналитична в данном контуре, то по теореме о вычетах ([14]) имеем равенство

1

- / -ч-;-т^й, = 0,

2ттг ,/г .,(8 + 1)... (8 +к)

то есть

1 гь+Т V3

V-- ( + 1)и ( +к)а, = °(1 +1/2| +1/э|),

2ттг ]Ъ-т ,(, + 1)... (, + к)

где 1г, г = 1, 2, 3, представляют собой интегралы по верхней, нижней и правой сторонам ко-Г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

__[и уайа 1 Ги _ уь — уи уь

\111 = 1 Ы< (Т2 + а2) М! < Тк+1]ъ у йа = Т^ЩЩ < Т^ЩЩ,

1 ГТ уи ^д

I ги<1 Г уи < Туд

1131 < 2ъ.]-Т ( и2 + ¿2)^ <ик+1.

Для фиксированного Т и фиксированного 0 < у < 1 мы получаем, что Ншд^те Дг+т = 0, и, при и ^ то, имеем следующую оценку:

[ь+гТ у3 = 0 ( Уь

2ттг ]Ъ-гТ ,(8 + 1)... ( в + к) Теперь, при Т ^ то, получаем, что

1 гЬ+гте у з

( У ) ЧТк+1| 1п у1).

2ттг Л-гте 8(8 + 1) ... ( в + к)

й, = 0.

В. Пусть у = 1. Тогда

1 Гь+гТ й,

2ттг ]Ь-Т ,(, + 1)... (, + к)

[Т йа 1 < 2ж ,1_Т а2 + Т2 < Т

1 Гш те й, _

2ъ% Jь—íте ,(, + 1) ... (, + к) .

С. Пусть у > 1. Рассмотрим контур Г с вершинами Ь ± гТ, — и ± гТ, где Т,и Е К, Т > 0, и > шах{Ь, к}.

п8

Функция 3(3+1) (3+к) имеет простой полюс в точках 8 = 0, —1,..., —к, лежащих внутри Г

1 [ у3 ,1 ^ п У3

2Ж г ,}г 8( 8 + 1) ... ( 8 + к)й8 ^ Ке 8з=-1~8(8 + 1) ... (8 +к)'

При этом

3 3

Ке, з=- —- * .-— =Иш(, + 1) у

8(8 + 1) ... (8 +к) з^-Г У 8(8 + 1) ... (8 +к)

_У___

—I (—1 + 1)... (—1 + 1 — 1)(—1 + 1 + 1)... (—1 + к),

«=-1

У

1=0

8(8 + 1) ... (8 + к)

= 1(1_ к , (к — 1)к (к — 2)(к — 1)к +

к! \ У 1 • 2 • у2 1 • 2 • 3 • у3 ук )

1 к!

1 У

= ¿10° - С11+а( 1)2 - • • •+(= 1(1—1)

1\Л _ 1 Л 1х к

Кроме того,

гЬ+г Т

2тг ]-и+гТ 8(8 + 1) ... (8 + к)

йв

гЬ-гТ

1

2кг ]_и_гТ 8(8 + 1) ... (8 + к)

йв

<

< Гь у°йа < 1 " 2ж .¡-и (т2 + а2) ^ " 2тТк-1 .¡-и

Гйа <

Тк+1 \пу - Тк+1 \пу'

г-и+Т

1

2тг ]-и-гТ 8(8 + 1)... (8 + к)

йв

< 2т

гТ

у-иМ

У-иТ

1-Т ( и2 + 12 ) ^ " ик+1 .

<

Т > 1

Нши^ж ик+1 ^ 0 т0 Для и ^ ж мы получаем, что

к

1

гЬ+г Т

2ш Л-гТ 5(^ + 1)... (* + к)й8 к! (1 у) +0{тk+1\ny),

и, следовательно, при Т ^ ж, имеет место формула

1 гЬ+гж у в

_/ 1у

2Ъ1 Л-гж в(8 + 1) ... (8 +к) к!\ у)

2. Теперь покажем, что для Ь > 1 имеет место соотношение

1

Ф1(х) = ^2(х — п)Л(п) = 2^1

п<х

1 гЬ+гж хя+1

2тг ,]ь в( 5 + 1)

(—Ш)

й8.

Рассмотрим функцию = ^ (1 — ^)Л(п).

Из 1. следует, что

п<х

ФЛ.х)

£

Л(п) [ь+ж (*) ^

2т ,]ь ( + 1)

(возьмем к = 1 и у = для п < х интеграл равен 1 — для п > х интеграл равен 0).

0 Ж I гЬ+гж Л(п)(5, , , ^ 1

Ряд ¿^ ^ь-гЖ ф+1) | равномерно сходится при о > 1:

га=1

£

п=1

гЪ+гж Л(п)(|)' ^ 'Ь—гоо Ф + ^

м

<хь ж т ¡'+ж_

<х ]-ж ъ2 +12,

й/Ь 1 х, т

_ = ъагсЫп ь1-ж = V

И

1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и

х

Л(п) 1пп пь пь '

и ряд У2 ■пп сходится при Ь > 1. Тогда п

п=1

ф1(х)

1 + те х3

2тг ,]ь

—г те

8(8 + 1)

1 + те х3

£

п=1

('(8 )

Л(п)

й8 =

п3

й .

Следовательно,

2и% Л 8(8 + 1) I ( ) = А_ [ь+гте х3+1 ( С'(8)\

Р1(Х) 2т ,1—те 8(8 + 1) { ((8) )

й .

3. Теперь мы покажем, что для Ь = 1 + ^^х > 1 имеет место асимптотическая формула

1 + Т х3+1

1 Г+г± х3+1 ( ((з)\ г(х2 1пх\

Мх) = ™ 1,т зхтт) (—т)"8+0{—) ■

Из 2. мы получаем, что

1

11 (х) = ы1

1 гЬ+гТ х3+1

где

1 - Т х3+1

Ь—гТ 8(8+ 1 ('(8 )

(—Ш)

й + ■ 1 + ■ 2,

2тг Л

—гте

8(8 + 1)

Нетрудно видеть, что

1

I ЛМ *|<

Так как Ь > 1, то

йз, ■2 = —:

1 + те х3+1

те хЪ+1

2т }Ь+гТ 8(8 + 1)

((ь + г г)

й .

Т 2 + 2

( + )

й .

С (Ь + и )

( + )

Е

Л( п)

п=1

п

+

<

£

п=1

Л( п)

п"

С'(Ъ)

( )

Известно ([5], [6]), что в этих условиях

1

С'(Ъ) =_

Ф) ь — 1

+ Ьо + Ьф — 1) + ....

Тогда

<'( Ь) Ф)

(Ь — 1) = 1 + Ьо( Ь — 1) + Ь1( Ь — 1)2 + ....

Таким образом, функция — ^щ- (Ь — 1) является аналитической в некоторой окрестности 1, следовательно, она ограничена в этой окрестности. Так как величина Ь = 1 + Пх близка к 1,

т0 I — $ — 1) I — С, то есть, — = О ( -¡—л) = 0(\пх),ъ — ^ф+м) = 0(\пх). Тогда

С (Ь)

С (ь+и)

1^1 + ш —С1хь+11пх /

Т

Т 2 + 2

М „ 2л Гте М С2х21пх — С2х 1пх -¡г- =

Т

2

Т

х

зо

так как хь* = е, и /Ж ф = — 1\Ж = ~г- Таким образом,

| ^\ + и2\=0 (^)

Мх) = ш1

Ь+г Т хз+1

Ь-гТ 8( ¿ + 1)

(—Ш )- + 0 ( ^ )•

4. Пусть Ь = 1 + > 1, и 2 <Т <х. Найдем Т^, такое что Т < Т1 <Т + 1,и расстояние от прямой Э в = Т1 до ближайшего нетривиального нуля дзета-функции ^ ^пр Это возможно, поскольку число нетривиальных нулей ((в) в пол осе Т < Эв < Т + 1 есть 0(\пТ) (см., на-

пример, [5], [8]). Рассмотрим контур Г с вершинами Ь±Т1, — 2 Функция I — < ф+1)

т-8 + 1

аналитична в данном контуре, за исключением точек 8 = 0 (полюс функции ф+1)), 5 = 1 (полюс дзета-функции ((в)), и = рп, где рп - все нетривиальные нули дзета-функции в контуре Г

= Кев 3=о

х

5(5 + 1)

(—ж)* " ("$) + ^= ^ ("$)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 Г х 1

2аг ]т 8(8 + 1) .+1 / С' (5 )

+

= Иш в

х

+

|3=/з„|<Т1 .+ 1 / С' (5)

х«+1

Кро __

Ке83=Р" 8(8 + 1)

(—Ш)

^0 8(в + 1)

+ У" Иш (в — рп)

С (0)

х

+1

^рп<Т1

1 5(5 + 1) (■ $)

(—— + -) =

\ 8 — рп )

+

х

и<°)у

8(8 + в — рп 2 _ хр"+1

х

+---/ •

2 р"(р" + 1

Е

Оценим интегралы г = 1, 2, 3 по верхней, нижней и правой сторонам контура Г, соответственно. Для первых двух интегралов мы имеем оценку

\ Д \ + \ 12 \ <

в то время как для третьего - оценку

х

+1

2тТ2

1 -

С (а + Т)

((а + г Т1)

й а,

I т I х 1 [

\/3'< ха .

Т1 -Т1

а—1+ И )

й

4 +

Оценим

С (т+и) С(а+и)

. В наших условиях ([5])

С( а + г I )

((а + й )

Е

|г-7«|<1

1

а — ап + — уп)

+ 0(\п(\11 + 2)).

и

Если а = 2 и Щ — Т1, то

а — ап + г(Ь — 7п)

<

|а — ап1 2 + ап

2.

Тогда

С'(а + г I) ((а + й )

= 0(1п(^ \ + 2))=0(1пТ).

Если — 2 — а — Ь и £ = Тъ то

£

|г-7п|<1

|Т1 — 7 п I »

1

а — ап + г(Ь — 7п)

1п Т 1

— Е |Т1 —7п |

|*-7«|<1 | 1 'п |

— С 1пТ ^ 1 — С11п2Т.

|*-7п<1

Таким образом, в обоих случаях

С'(а + г I ) ((а + г I)

= 0(1п2 Т).

Тогда

1Г1 1Г1 Сзх21п2Т ( 1 1\ САх21п2Т „ х21п2Т

Тт М фх 1пТ фх 1пТ ^ —

рт й+

|Ы — С5фх 1пТ J — Сб

Т1

'х2 ЫТ

Т

Так как ^ ^ 0 для £ ^ го, то 0 ^ —,тт^^ ^ 0 ^кроме того, 1пТ — 1пх для Т — х. Таким образом, мы получили, что все три оцениваемых интеграла есть 0 ^х ТПхи, следо-

вательно,

Так как

Ф1(х) = х2 — Е

„Рп + 1

|3=р„|<Тт

^(0)

рп( рп + 1) ~ С(0)

х2 1п х +0(—>

х

(0) х2 1п х

х^-т = 0

т

х2 1п х

£

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Т<|Зр„|<Тт

хРп + 1

рп(рп + 1)

<

х

Т~2

Е х21пТ х2 1пх

1 — С5-^- —

то

Т<|3=рп|<Т+1

х/п + 1

2 ^<Т рп(рп + ^

Т

Т

Ф1(х) = х2 — Е

х2 1п х +0{—)а

3. Доказательство теоремы 2.

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1 и также состоит из четырех этапов.

1. Покажем, что для Ь > 1 имеет место формула

^ гъ+1те ^^ = , 0, если 0 <у — 1,

2тг Л-те 82 8 = \ 1п если у> 1

1

1

1

и

1

и

А. Пусть 0 < у < 1, Т > 0 и и > Ь. Рассмотрим контур Г с вершинами Ь ± Т, и ± Т. Функция аналитична внутри данного контура, и по теореме о вычетах ([14]) мы получаем,

1 [у3 1 Г ь+*т V3

/г > = 0-» 2И 1<т > = 0(|I^| + |'2| + \m

где 1г, г = 1, 2, 3, представляют собой интегралы по верхней, нижней и правой сторонам кон-Г

| Ь \ = \ Ь \ < ^ Г трт^йа < ± Гутйа = < ^

2а Л Т2 + а2 - Т2 ,}ь у Т2\\пу\ ~ Т2\\пу\'

С другой стороны,

' "3\< Щи^й«-

Так как 0 < у < 1, и Т фиксировано, то Кут ^ 0 для и ^ ж, и

± Гт= 0(

2т 82

Для фиксированного у и Т ^ ж, мы получим, что

(т2|Ьу\) .

1 гЬ+г ж у в 2аг к-гоо ^2 .

В. Пусть у = 1. Тогда

1 гЪ+гТ 1

2аг 82

< - Г % < -

< 2а ,]_т ¿2 < Т

При Т ^ ж мы получаем, что

г ж й!-0-1п1

2аг к-гоо « 2 .

С. Пусть у > 1. Возьмем Т > 0 и и > Ь. Расмотр им контур Г с вершина ми —и ±Т и Ь±Т. Функция ^ аналитична в этом контуре, за исключением точки 5 = 0, где она имеет полюс, и, пользуясь теоремой о вычетах ([14]), мы получаем, что

1 I"Уя 1 п У 3 — ¡^ = К™*=0Т2 .

Так как (у= у5\пу, то (у5)'(0) =\пу, и мы получаем, что 1 [у3 1 (ШТ V3

Ш X ^ " шиГ ЬЛа = ы* + 0<\^^| + |Ь|^-|^з\).

где 1г, г = 1, 2, 3, представляют собой интегралы по верхней, нижней и правой сторонам кон-Г

\ 71 \ = \ \ < 2а £ 02+Т2 < ' " \'з\ < 2а £ ^< Ж■

Для фиксированного Т и фиксированного у > 1 мы имеем соотношение Уд--> 0 при и ^ то,

то есть

+ Т 3

¡Ь-гТ 8

5й , = )•

Для Т ^ то мы получаем, что

+ те

~2й8 = 1п У.

2. Теперь мы покажем что при Ь > 1 имеет место соотношение

™ = Л(п,п п = £ ^ £ (—^

1.

' еа^=шг ^

п<х п=1 ® те

(возьмем у = п' если п — х, то интеграл равен 1п если п > х, то интеграл равен 0). Кроме того,

^ гЬ+те Л(п)(пх)3 ^

п=1-'ь-¿те 8

ь Л(п) Гте М _ кхь Л(п) кхь 1пп ^ ~пГ ]_00 ь2 + г2 =~ь~ пь —~ь~ ,

п=1 7 те п=1 п=1

те 1 те Л(п) b+icc (~)'8

и ряд Е

СХОДИТСЯ. Таким образом, ряд Е /ь—гте й8 абсолютно сходится, и мы

п=1 п=1

имеем право поменять порядок суммирования и интегрирования. Тогда

V А(п) 1п х = ± Гте те х3Л^а, = -1- Ггте х3 (-¿М^ й8

( ) п 2т .}ь_гте 82 п3 2т Л-*» 82 ^ ф) ) -

3. Покажем, что при Ь = 1 + -^х > 0 ш Т > 0 имеет место соотношение

п< х

Из 2. следует, что

ЕЛ/ м х 1 ГЬ+гТ ('(8).х\ /х 1пх\

Л(п) 1п - =--+ 0 —— .

( ) п 2т ]ъ~1Т ( <(,)) 8 V Т )

УЛ(п)1п х = — [Ь+гте(—^4) х3й, = ^ ( ) п 2т ,;ь-гте ( С(з) 8

п х

А_ [ь+гТ (—сЧз)Л

2т ^ С(з ) / 8

-гй8 + 0(Ш + Ш).

При этом

О + Й)

| = | ^ — Ъ Т

те хЬ

Т ь^П2

( + )

С8хь 1пх [те М С9х 1пх Л — ^^ X Р — -Т-.

3

4. Пусть 2 — Т — х, и Ь = 1 + Пх > 1. Рассмотрим контур Г с вершинами — 1 ± Т1, & ± Тъ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где Т1 выбрано так же, как при доказательстве теоремы 1. функция ( — ) х аналитична

в данном контуре, за исключением точек 8 = 0 (полюс функции 5 = 1 (полюс функции ((в)), и в = рп (все нетривиальные нули ((в) с \уп\ < Т1). Тогда

1

[ (_¿(ßA ^

Jr\ Ф ) )

-77 ds = Res s=0 -

( C'(s)\xs / ('(s)\xs +

Г ш] ^+Ress=i [— ш] *+

El ('(s ) \ xS ST^ xPn

Ress=pn I--щ I ^ = ao lnx + ai — +x'

\Qpn\<Ti

\3=pn\<Ti

где ao = — 'УОу и а1 ' коэффициенты, полученные из равенства — -^у = ao + Q>is + a2s2 + Таким образом,

1

Jb-en \ а *)) s 2 ^ Pl V T )

+ o(i hl + I h | + | hl),

где ^ = 1,2,3, представляют собой интегралы по верхней, нижней и верхней сторонам Г

((а + i t)

для — 2 — а — b ni = Ti,H что

для а = — 2 и Щ < Т1. Тогда

й а + i t )

С (а + i t)

((а + i t)

= 0(ln2 T)

= O(lnT)

I hl = I hl<

Ciox ln2T f 1\ Cnx ln2T T2 (2 7 < T2 ,

Заметим, что

так как ^Пр ^ О ПРИ T ^ ж>),

T < x), T < x),

I т\< Ci2lnT fTl dt Ci3lnT

1 3| - vx J-T! t2 < vxt'

/ x ln2T \ / x lnT \

0\T^) =0\~),

( x^ ) ,

x ln T

a0 lnx + a1 = 0(lnx) = O i ——— j

x lnT o ! x l T =

xPn x

o2 _

T<\3p„\<Ti ,l T<\3=pn\<T+i

E I V I - T 2

^ Pl T2

E i-c^ ^(x^)

так как \хРп \ < х^п < х, и \уп\ < Т. Следовательно,

^2Л(п) in

1<х

x v-^ xPn ^ (xlnT\

п =x — E "Г + □

п \Qpn\<T Pl V

-

4. Заключение

Таким образом, в статье получены новые результаты, связанные с проблемой представления арифметических функций в виде сумм по нетривиальным нулям дзета-функции Римана.

В дальнейшем интересно было бы рассмотреть вопросы получения новых теоретико-числовых результатов, связанных с указанной проблемой. Одной из перспективных задач является получение аналогичных представлений по нетривиальным нулям дзета-функции Римана других арифметических функций, родственных функции Чебышева; такие функции нетрудно построить, если использовать логарифмические производные L-рядов Дирихле.

С другой стороны, было бы интересно рассмотреть конкретные задачи на применение уже полученных представлений ([5]).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

2. Виноградов U.M. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1981.

3. Воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана. - М.: Физматлит, 1994.

4. Карацуба A.A. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Известия АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, N 3. С. 475 - 483.

5. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. - М.: Наука, 1983.

6. Пантелеева (Деза) Е.И. К вопросу о проблеме делителей Дирихле в числовых полях // Математические заметки. 1988. Т. 44, вып. 4. С. 494 - 505.

7. Пантелеева (Деза) Е.И. Одно замечание к вопросу о проблеме делителей // Математические заметки. 1993. Т. 53, вып. 4. С. 148 - 152.

8. Пантелеева (Деза) Е.И. О средних значениях некоторых арифметических функций // Математические заметки. 1994. Т. 55, вып. 5. С. 7 - 12.

9. Пантелеева (Деза) Е.И. Проблема делителей Дирихле в кольце целых Гауссовых чисел // Труды МПГУ. 2001. N 4. С. 23 - 34.

10. Пантелеева Е.И., Варухина Л.В. Об оценке сумматорных функций рядов Дирихле // Научные труды математического факультета МПГУ. Юбилейный сборник. - М.: МПГУ, 2000. С. 45 - 56.

11. Пантелеева Е.И., Варухина Л.В. Об оценке дзетовой суммы и проблеме делителей Дирихле // Вестник Санкт-петербургского Университета. 2013. Серия 1, вып. 4. С. 15 -24.

12. Прахар К. Распределение простых чисел. - \!.. Мир, 1967.

13. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. - М.: ИЛ, 1953.

14. Титчмарш Е.К. Теория функций. - М.: Наука, 1980.

15. Ivic A. The Riemann zeta-function. - New Jork: J. Wiley к, Sons, 1985.

16. Panteleeva (Deza) E.I., Varukhina L.V. On mean values of some arithmetic functions in number fields // Discrete Mathematics. 2008. Vol. 308. P. 4892 - 4899.

REFERENCES

1. Borevich, Z.I. к Shafarevich, I.R. 1985, "Theory of numbers", M.: Nauka.

2. Vinogradov, I.M. 1981, "Bases of the theory of numbers", M.: Nauka.

3. Voronin, S.M. к Karatsuba, A.A. 1994, "Riemann zeta function", M.: Fizmatlit.

4. Karatsuba, A. A. 1972, "Uniform estimate of error term in Dirichlet divisor problem", Izv. Acad, of Sci. SSSR, Math., Vol. 36, N 3, pp. C. 475 - 483.

5. Karatsuba, A.A. 1983, "Bases of the analytical theory of numbers", M.: Nauka.

6. Panteleeva (Deza), E.I. 1988, "Dirichlet divisor problem in number fields", Mathematical notes, Vol. 44, issue 4, pp. 494 - 505.

7. Panteleeva (Deza), E.I. 1993, "A remark to Divisor problem", Mathematical notes, Vol. 53, issue 4, pp 148 - 152.

8. Panteleeva (Deza), E.I. 1994, " Average values of some arithmetic functions", Mathematical notes, Vol . 55, issue 5, pp. 7 - 12.

9. Panteleeva (Deza), E.I. 2001, "Dirichlet divisor problem in the ring of the Gaussian integers", Works of MPGU, № 4. pp. 23 - 34.

10. Panteleeva (Deza), E.I.& Varukhina, L.V. 2000, "Estimations of adding function of Dirichlet series", in Scientific works of mathematical department of MPGU, M.: MPGU, pp. 45 - 56.

11. Panteleeva (Deza), E.I. к Varukhina L.V. 2013, "On estimation of zeta sums and Dirichlet divisor problem", Issue of St. Petersburg University, Series 1, issue 4, pp. 15 - 24.

12. Prahar, K. 1967, "Distribution of prime numbers", -M.: Mir.

13. Titchmarsh, E.K. 1953, "The theory of the Riemann zeta function", M.: IL.

14. Titchmarsh, E.K. 1980, "The theory of functions", M.: Nauka.

15. Ivic, A. 1985, The Riem,ann zeta function, New Jork: J. Wiley & Sons.

16. Panteleeva (Deza), E.I.& Varukhina, L.V. 2008, "On mean values of some arithmetic functions in number fields", Discrete Mathematics, Vol. 308, pp. 4892 - 4899.

Получено 16.06.2018

Принято в печать 17.08.2018

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.