О коэффициенте сжатия струи при истечении газа через отверстие с острой входной кромкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 197 7

М I

УДК 532.522.2

О КОЭФФИЦИЕНТЕ СЖАТИЯ СТРУИ ПРИ ИСТЕЧЕНИИ ГАЗА ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЕ С ОСТРОЙ ВХОДНОЙ

КРОМКОЙ

М. П. Рябоконь

Проведена оценка коэффициента сжатия струи при истечении газа через различного рода отверстия (диафрагмы, щели, насадки Борда) при больших перепадах давления.

1. Необходимость оценки коэффициента сжатия струи с острой входной кромкой при истечении газа через отверстие ^ возникает при решении многих задач газовой динамики. Несмотря на значительное число работ, посвященных этому вопросу, значения (х известны только для ряда частных случаев.

Наиболее полно изучено течение в так называемом насадке Борда (фиг. 1, а), для которого получено точное значение ^ при

дозвуковых скоростях истечения по теории одномерного течения.

Значение р. для истечения несжимаемой жидкости через длинную щель в бесконечной плоской стенке (коэффициент проницаемости К—0) было рассчитано Кирхгоффом; это значение равно тг/тг + 2 = 0,611. С. А. Чаплыгин распространил решение Кирхгоффа на течения сжимаемого газа с числами М до 1 [1]:

= - + 2— Мз+ 0,08 М4 = 1’4)’

где М — число М в минимальном сечении струи.

В той же работе [1] С. А. Чаплыгин исследовал обтекание сжимаемым газом длинной плоской пластины, установленной перпендикулярно к направлению набегающего потока. Такое течение может рассматриваться как предельный случай истечения газа через щель в стенке при коэффициенте проницаемости, стремящемся к единице. Найден коэффициент сопротивления пластины

(*=1,4; М < 1):

2я

°х ~ ТС + 4 — 2М2 + 0,28 М4 ’

с помощью которого можно определить средний перепад давления на пластине

Для истечения газа через диафрагму с острой входной кромкой имеются многочисленные экспериментальные данные (см. работы [2— 4] и др.)» по которым можно определить коэффициенты

Фиг. 1

сжатия струи для случая несжимаемой жидкости. В частности, в работе [2] на основании измерений коэффициентов сопротивления автор получил приближенную формулу

__________1______

1 +*/0,5(1-*)“’

пригодную для несжимаемой жидкости. Здесь & = — отноше-

ние площади отверстия к площади поперечного сечения канала.

, В работе [3] указан способ пересчета коэффициента сжатия струи на случай течения сжимаемого газа с числами М примерно до 0,8.

Цель настоящей работы—на основе обобщения известных данных найти приближенные формулы для определения коэффициентов сжатия струи при истечении газа из щелей, диафрагм и насадков Борда с острыми входными кромками при различных условиях, в частности, при сверхкритических перепадах давления в отверстии. Такая попытка уже была сделана в работе [5], однако она оказалась не совсем удачной—при сверхкритических перепадах давлений получились противоречивые результаты.

2. Рассмотрим истечение газа через насадок Борда с дозвуковой скоростью (см. фиг. 1,а). Трением, смешением на границе свободной струи и теплопроводностью газа будем пренебрегать. Расчет такого течения может быть достаточно строго проведен с помощью теории одномерных течений.

Уравнение сохранения количества движения, записанное для контрольного объема АВСО, имеет вид:

P1v21Fl+p^F1 = p2vlF2 + р2Рг + (р0-р2){Р1- Ге), (1)

где Ро — полное давление газа.

С учетом уравнения расхода

I Р1 Л = Ра ^2 (2)

при условии сохранения в потоке полного давления получаем следующее выражение для коэффициента сжатия струи

^ _ 1 ~Р2__________>1 /| 1 —рМ \

ъ хр(Х2)М| ^ хр(Х,)М2 )

где —приведенная скорость, р(Х) — р/ри — газодинамическая 1 функция.

При сверхкритическом перепаде давления в струе, истекающей из насадка Борда (фиг. 1, б), появляются волны; при этом давление по сечению струи становится непостоянным, появляются значительные скосы потока и потери полного давления, которое очень трудно оценить. Поэтому для расчета такого течения одномерная теория в строгой постановке становитея неприменимой.

Можно, однако, использовать одномерную теорию для определения осредненных параметров потока. При этом давление (ос-редненное) в струе может оказаться неравным давлению в окружающем затопленном пространстве, а площадь струи (среднеинтегральная) не равна действительной площади струи. В этом случае в качестве коэффициента сжатия струи следует считать величину

_ р* ОСр р,

~~ Ро '

Для вычисления коэффициента сжатия струи следует составить уравнение сохранения количества движения между сечениями 1 и критическим. Оно имеет вид:

р1 ?! + Р* Ъ2,?* + Р* р* + Р* (Л - р*) + (Ро - Рг) (Л — Л,),

(3)

Фиг. 2

из которого с учетом уравнения расхода р) ■», У7, = р*-у*/%. получаем следующее выражение для уБ при Х2>1:

— 1

«*Б =

1 —Р(Ю

г.р( 1)

(4)

1 1 ~ ) , Я (<) — Р <^а)

1 ^ хр(к1)М21)Т */>(*)

Здесь в качестве Х2 принимается величина, соответствующая отношению давлений /?(Х2) — Рг/Ро- Это выражение, строго говоря, справедливо только при условии неприсоединения струи к внутренней цилиндрической части насадка.

На фиг. 2 приведены значения коэффициента проницаемости насадка Борда Кб = /7о/^1, построенные по формулам:

Кб

Кб;

р2г/г!д. Рі Щ

<7 (*і)

Хг<1;

Р* и-'

лМ, х2>1,

где <7(Х) — газодинамическая функция рг^'р*V*, с использованием формул (3) и (4).

При сверхкритических перепадах давлений при всех Х1 величина Кб монотонно убывает, а при постоянном значении Кб величина Х„ а следовательно, и расход газа возрастают.

3. На фиг. 1,8 и 1,г приведены схемы течения через щель с острыми вводными кромками в плоской стенке при до- и сверхкритических перепадах давления. Уравнения сохранения количества движения в этом случае имеют вид

где рср — среднее давление на внутренней стороне торцевой стенки. Используя уравнения расхода

получаем из этих уравнений следующие формулы для коэффициента сжатия струи:

р! +Р1Л = Р2 Рг+ Рг Р1 + (Рср - Рг) (Г1 ~ ро), X, < 1;

Р1Л + Рх Р1=Р* Р, + ртРт+ р% (Т7,—Р«) + (Р^-Ръ) (Рг -Р0), Х2> 1

для Х2

1 и

1 — рОч) *рО)

Ро Рср

Ро —Рч

1 -/>(*,) ■t-p (X,) м?

р(1) —/>(Х2)

XjP(l)

—1

для Х2>1.

Формулы (6) и (7) отличаются от соответствующих формул (3) и (4) для насадка Борда наличием дополнительного множителя

Ро — Рср (Pi 1 \ . , Ро Рср 1 ^

1 + '

Ро - Рз \ Ро 1 Ро - Рг k

Из-за наличия величины рср этот множитель невозможно оценить по одномерной теории. Переменная часть этого множителя

д Ро — Рср 1 — к ~~ Ро — Рг k ~

изменяется от 0 до 0,222. Поэтому, оценив эту величину с точностью до 5%, можно получить достаточно хорошее (с точностью до 1%) приближение для величины р..

Величину А можно представить следующим образом:

Д Ро Рср Ч\ Qi 1 ' к

<72 Ро - Pi

где q = ^г= 0,5р0-*.р(\)М.2 — скоростной напор.

При постоянном значении коэффициента проницаемости k первый множитель остается постоянным в силу автомодельности течения перед отверстием. Второй множитель также можно считать постоянным в некотором диапазоне Х2 (как показывает анализ данных фиг. 2, до Х2 = 1,3). Поэтому в диапазоне 0<Х2<1,Зи k == const изменение А определяется множителем

Яз

Ро —Pi

0,5 у.р (Х2) М2 I —р (Л2)

Отметим, что это обстоятельство хорошо согласуется с формулой Чаплыгина для &^=0.

При дальнейшем возрастании Х2, как показывают данные фиг. 2, величина Х) меняется слабо, и можно считать, что изменение величины А определяется только множителем

Ро — Рг

При стремящемся к единице, значение А стремится к нулю; поэтому в выражении для А должен сохраняться множитель 1—&. При этом для получения соответствия с формулой Чаплыгина для сх при обтекании пластины выражение для Л при Х2^0 должно иметь вид:

А — 0,12(1 — &).

Все эти условия можно удовлетворить, если общую формулу для А представить в следующем виде:

А — 0,222 (1 — k) (1 - 0,45 kn) ■ Л = 0,222 (1 - k) (1 — 0,45 kn)

0,5 r-p (K2) Щ 1 — Р (хг) 0,331 ,

1 — Р&з)

Х2< 1,3;

Ха >1Д.

Показатель п должен быть подобран таким образом, чтобы формулы (6) и (7) наилучшим образом соответствовали экспериментальным данным при промежуточных значениях А. Удовлетворительные результаты получаются при п = 6, хотя, вообще говоря, можно использовать и другие значения п.

Формулы (6) и (7) можно записать следующим образом:

{ащ = [аб(1 Л).

Отсюда с помощью формул (5) получаем:

Къ = Кщ(1 + А) = КШ{\ +А(КЩ, >.,)].

Ряд таких зависимостей для постоянных значений Кщ приведен на фиг. 2 пунктиром. Отсюда можно определить зависимости X, от Х2 Для указанных значений Кщ. Эти зависимости приведены на фиг. 3. Пользуясь данными фиг. 3 и формулами (5), можно снова перейти к величине цщ. Эта величина в зависимости от Кщ при различных значениях Х2 представлена на фиг. 4.

4. Картина истечения газа через диафрагму с острой входной кромкой полностью аналогична течению газа через щель (см. фиг. 1, в и 1, г), при этом и уравнения движения также сохраняют свой вид. Разница между ними только в величине среднего давления /?ср на внутренней стороне торцевой стенки; при переходе от плоского к осесимметричному течению эта величина несколько изменяется. Вследстйие этого должна несколько измениться величина А.

Исходя из того, что значение величины |лд (для диафрагмы) при &0 и составляет 0,595 (см., например, [3]), максималь-

ное значение поправки А должно составлять

Рд тт тт _ | 0,595 | _0 19

^Б тт тт

Вследствие сохранения вида уравнений движения структуру формул для А также следует сохранить и записать их следующим образом:

0,5 хр (Х«) Мп

А = 0,19(1 — к)( 1—0,45 £6)-----> ^<1,3;

1 —р -

А = 0,19 (1 - к) (1 — 0,45 к*) -—ущу , Ч >1,3.

Проводя те же операции, которые проводились при вычислении (хщ, можно получить значения [Хд в зависимости от £ при различных Х2, которые приведены на фиг. 5. Для сравнения на фиг. 6 приведены значения [аб для насадка Борда, полученные из уравнений (3) —(5) при предположении отсутствия присоединения границ струи к внутренней цилиндрической поверхности насадка.

4 — Ученые записки № 1

49

Фиг. 5 Фиг. 6

Следует отметить, что изложенный выше метод расчета [*, основанный на одномерной теории, при сверхзвуковых перепадах давлений (Х2>1) дает неточность, возрастающую с увеличением Х2. Это связано с наличием потерь полного давления в струе и с неравномерностью потока в узком сечении струи, поскольку на оси /. ^=1, а на границе Х=Х2. При некотором Х2 должна наступать стабилизация (а, а именно: когда последняя характеристика течения Прандтля—Майера, отходящая от кромки, касается звуковой линии на оси. В одномерной теории стабилизация ц проявляется лишь асимптотически при Х2-^Хшах.

Некоторые неточности связаны с аппроксимацией величины А, а также с отсутствием учета влияния пограничного слоя, что особенно важно при больших А.

Фиг. 7

Для аппробации полученных результатов был проведен эксперимент по определению коэффициентов сжатия струи при истечении газа через диафрагмы }лд при отношениях давления до 15 <Х2 =; 1,8) и степенях сужения канала £ = 0,4;' 0,6; 0,8 и 0,9. Экспериментальные значения [хд приведены на фиг. 7. Там же сплошными линиями приведены расчетные данные, а также данные, полученные в работе [3] путем пересчета экспериментальных результатов при Х2^0 (пунктирные линии). Соответствие расчетных и экспериментальных данных достаточно хорошее. Некоторое расхождение при А = 0,8 и 0,9 в области малых Х2 можно объяснить влиянием пограничного слоя и значительной крутизной кривых !*(&) в этой области (см. фиг. 5). Полученное в работе [6] точное значение [ащ, рассчитанное для режима стабилизации при & = 0,749 и составляющее 0,932, также* находится в хорошем соответствии с данными настоящих расчетов ((*щ = 0,935 для X, = 2,45).

ЛИТЕРАТУРА

1. Чаплыгин С. А. „О газовых струях", М.—Л., Гостеориздат,

1949. ,

2. Идельчик И. Е. .Гидравлические сопротивления при входе потока в каналы и протекании через отверстия”. Промышленная аэродинамика. БНТ МАП, 1944.

3. Па сов а 3. Г. Расчет расходомерных устройств для потока сжимаемого газа. Труды ЦАГИ, вып. 1599, 1974.

4. Правила 28—64 измерения расхода жидкостей, газов и паров стандартными диафрагмами и соплами. М., Издательство стандартов, 1964.

5. Ряб о конь М. П. О течении газа через стенку с продольными щелями. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 4, № 3, 1973.

6. Гу щи н Б. А. Истечение газовой струи из сосуда конечной ширины при максимальном расходе. ПММ, т. XXIII, вып. 4, 1959.

Рукопись поступила 3\Х 1975 г.