CC BY
5
СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ
УДК 519.853
В. В. Абрамова, С. И. Дудов О КАЛИБРЕ СИЛЬНО ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА
Поступила в редакцию 29.05.2018 г.
1. Пусть М - компактное выпуклое множество из Кр и 0р € гпЬЫ. Функция, определенная как
к(х) = т£{а : х € аМ},
а>0
называется калибром (калибровочной функцией Минковского) множе-М
а) если Л > 0, то к(Лх) = Лк(х);
б) если х € М, то к(х) < 1, а если х € М, то к(х) > 1;
в) к(х + у) < к(х) + к(у), Ух, у € Кр.
Из свойств а) - в) следует выпуклость этой функции на Кр. Далее нас интересует сравнительная характеристика калибра по отношению к
М
сильно выпуклым.
2. Далее используем обозначения:
||х|| - евклидова норма элемента х € Кр,
В(х,г) = {у € Кр : ||х — у|| < г} - евклидов шар радиуса г с цен*
тром в точке х; А — В = {с € Кр : с + В С А} - геометрическая разность множеств А и В из Кр.
Приведем некоторые вспомогательные понятия и сведения из [2]. Определение 1. Множество А С Кр называется г - сильно выпуклым, если оно представимо в виде пересечения евклидовых шаров ради-г.
Определение 2. Пусть А— ограниченное множество из Кр, числа
*
р > 0 и г > 0 такие, что В (0р,р) — А = 0и г > р. Сильно выпуклой
гА
при пересечении всех замкнутых евклидовых шаров радиуса г, которые содержат данное множество. Ее обозначают через &Ьгг А.
Лемма 1. Пусть точки а0 и а1 ш таковы, что 0 < ||а0 — а^| < < 2г. Тогда справедливо представление
вЬГг({ао} ^|{а1}) = В( аа5га)5
ае[0,1]
2 2 1 где аа = (1 — а)а0 + аа1? га = г — (г2 — а(1 — а)||а0 — а1|| )2.
Аг
г
А
3. Наша цель - доказать справедливость следующего факта.
Теорема. Пусть М является г - сильно выпуклым множеством,
0Р € шйМ и Ям = тах 11х\\. Тогда для любых точек х0 = 0Р, х1 = 0Р и р хеш р р
а е [0,1] выполняется
к((1 — а)х0 + ах1) < (1 — а)к(х0) + ак(х1) —
а(1 — а)к(х0)к(х1)
х0 х1
(1)
2Ям г((1 — а)к(х0) + ак(х1)) к(х0) к(х1)
Доказательство: 1) Рассмотрим случай, когда к(х0) = к(х1) = 1.
Тогда, очевидно (см.свойство б) ), {х0} и{х1} С М, а следовательно, по лемме 2
^гг({х0} и^}) С М. (2)
По лемме 1 выполняется включение
В (ха,га) С вгт'г ({х0 ^{х^), (3)
где
2 2 1
ха = (1 — а)х0 + ах1, га = г — (г2 — а(1 — а)||х0 — х11| )2. (4) Из (2) и (3) получаем
В(ха,га) С М. (5)
х к(х —
— ха) < -та-, то есть ^ха + М, то выполняется ||х — ха|| < га. Это
— км 1 ^ км 1 II ^ I I — ^
означает
г
ха + ^М С В(ха,га). (6)
Ям
2
Из (5) и (6) имеем
г
Ха + -О-М С М. (7)
Км
Пусть Ха = 0р. Возьмем точку у = (1 + Ем\ха) )Ха е Ха + ^М. Тогда в силу (7) к (у) < 1. Отсюда получаем
г
к(Ха) < 1 - ^ . (8)
Км
Постановка в (8) выражений (4) дает
а(1 - а)||хо - Х11|2
к(Ха) < 1--1 <
Км (г + (г2 - а(1 - а)||хо - Х11|2))2 а(1 - а)||хо - Х11|2
< 1--2К—Г-. (9)
2 Км Г
В случае ха = 0 получаем к(ха) = 0, а из неравенств ||х0 - х1|| < < 2Км, ||х0 - х1|| < 2г вытекает неотрицательность правой части неравенства (9). То есть оно верно и в этом случае.
2) Теперь рассмотрим общий случай х0 = 0р, х1 = 0р. Обозначим через уо = ^х^), У1 = лХО. Таким обРазом> к(уо) = к(у1) = 1. Тогда, используя (9), можем записать
к((1 - А)уо + Лу1) < 1 - Л(1 - Л) ||уо - у 11|2, А е [0,1]. (10)
2 Км Г
Подстановка сюда значения Л = ((1_а)к(Х0)+)ак(х)) и несложные преобразования в итоге дают неравенство (1). Теорема доказана.
Следствие. Если М - г-сильно выпуклое множество, а точки хо и х1
таковы,что к(хо) = к(х1) = р > 0, то
а(1 - а) 2 к((1 - а)хо + ах1) < р ——-||хо - х1|| , V а е [0,1].
2Км гр
Таким образом, на отрезках, соединяющих «равноудаленные» точки, калибр сильно выпуклого множества ведет себя как сильно выпуклая функция.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М, : Мир, 1973.
2, Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004.
