CC BY
11
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 4 (2018). С. 77-84.
УДК 517.956
О КАЧЕСТВЕННЫХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ВЫРОЖДЕНИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
А.Б. МУРАВНИК
Аннотация. Мы рассматриваем задачу Коши для квазилинейных параболических уравнений вида р(х)щ = А и + д(и)\Чи\2, где положительный коэффициент р допускает вырождение на бесконечности, а коэффициент д может быть непрерывной функцией, а может допускать степенные особенности не выше первой степени. Указанные нелинейности, называемые нелинейностями Кардара—Паризи—Жанга (или KPZ-нелинейностями), возникают в различных приложениях (в частности, в задачах о направленном росте полимеров и задачах помехоустойчивости). Кроме того, они представляют и самостоятельный теоретический интерес, поскольку содержат производную неизвестной функции во второй степени, а это — максимальный (предельный) показатель, при котором условия бернштейновского типа для соответствующей эллиптической задачи обеспечивают получение априорных L^-оценок первых производных решения через L^-оценку самого решения. Асимптотические свойства решений параболических уравнений с подобными нелинейностями исследовались и ранее, но только для случая равномерно параболической линейной части. Вырождение коэффициента р (хотя бы и на бесконечности) качественно изменяет природу задачи, что и показывает исследование качественных свойств (классических) решений указанной задачи Коши. Мы находим условия на коэффициент р и начальную функцию, гарантирующие следующее поведение указанных решений: существует такая (предельная) липшицева функция A(t), что при любом положительном t обобщенное сферическое среднее решения стремится к указанной липшицевой функции при стремлении радиуса сферы к бесконечности. Обобщенное сферическое среднее строится следующим образом: вначале к решению применяется некоторая монотонная функция, определяемая (как в регулярном, так и в сингулярном случае) только коэффициентом при нелинейности, а затем вычисляется среднее по (п — 1)-мерной сфере с центром в начале координат (в линейном случае такое среднее закономерно обращается в классическое сферическое среднее). Для построения указанной монотонной функции применяется метод Бицадзе, позволяющий выражать решения исследуемых квазилинейных уравнений через решения некоторых полулинейных уравнений.
Ключевые слова: параболические уравнения, KPZ-нелинейности, асимптотические свойства, вырождение на бесконечности.
Mathematics Subject Classification: 35К59, 35К65
А.В. Muravnik, On qualitative properties of solutions to quasilinear parabolic equations admitting degenerations at infinity.
© Муравник А.Б. 2018.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по Программе повышения конкурентоспособности РУДН «5-100» среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2016-2020 гг. а также при поддержке гранта Президента Российской Федерации НШ-4479.2014.1 и гранта РФФИ 17-01-00401.
Поступила 21 июля 2017 г.
1. Введение
ди
Уравнения вида р(х) — = Аи, где р(х) > р0 > 0 (равно как и параболические уравнения гораздо более общего вида), можно в настоящее время считать вполне классическим объектом: построена и глубоко развита их полная теория, показывающая, что эти уравнения в значительной степени наследуют свойства их модельного объекта — уравнения теплопроводности, Это касается как вопросов корректности краевых задач для указанных уравнений, так и качественных свойств их решений, включая те специфические свойства, которые обусловливают принципиальные отличия параболических уравнений от уравнений любого другого типа.
Ситуация существенно меняется, если ослабить условие, наложенное на коэффициент р\ даже если всего лишь заменить его положительную определенность на (глобальную) строгую положительность, коэффициент получит возможность вырождаться на бесконечности (оставаясь, тем не менее, строго положительным в каждой точке), В этом случае уравнение может оставаться параболическим в каждой точке (и даже равномерно параболическим в каждой ограниченной области), но, например, задача Коши во всем полупространстве (т, е, важнейший тип задач для параболической теории) уже не будет классической — уравнение будет терять тип на бесконечности. По той же причине не гарантировано и сохранение асимптотических свойств решений, характерных для классической параболической теории,
К настоящему времени исследование параболических уравнений с коэффициентами, вырождающимися на бесконечности, далеко не полно, однако для линейного случая в [1] получены важные результаты, В частности, получены аналоги классических результатов о стабилизации решений, хотя эти результаты имеют принципиальные отличия от случая равномерно параболических уравнений (например, стабилизация доказана для сферических средних от решений, а не для самих решений),
В настоящей работе указанные исследования распространяются на случай некоторых квазилинейных уравнений, а именно, на уравнения, содержащие квадрат градиента неизвестной функции. Такие нелинейности, называемые нелинейностями Кардара—Паризи— Жанга (или КРг-нелинейностями), возникают в различных приложениях (см, напр, [2]-
[14]), а также представляют и самостоятельный теоретический интерес: они содержат производную неизвестной функции во второй степени, а это, как известно (см, напр,
[15]-[16]), максимальный (предельный) показатель, при котором условия бернштейновеко-го типа для соответствующей эллиптической задачи обеспечивают получение априорных ¿^-оценок первых производных решения через ¿^-оценку самого решения.
Асимптотические свойства решений параболических и эллиптических уравнений с КIV-нелинейноетями (включая сингулярные уравнения) изучались в [17]—[24], однако случай вырождения на бесконечности ранее не исследовался.
Значительная часть результатов настоящей работы докладывалась на Международной математической конференции по теории функций, посвященной 100-летию чл.-корр, АН СССР А, Ф, Леонтьева (Уфа, май 2017 г.). Автор признателен участникам конференции за полезные обсуждения, способствовавшие лучшему пониманию полученных результатов и улучшению их изложения.
Автор выражает глубокую благодарность А, Л, Скубачевекому за постоянное внимание к работе и В, Н, Денисову за ценные замечания,
2. Случай регулярных коэффициентов
Пусть п > 3, Р и ио —функции, определеиные в Мга, причем р положительна, а функция д непрерывна на вещественной оси. Предположим, что ограниченная функция и(х,1)
удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению
ди
р(х)^ = Аи + д(и)^и^, х е К", ге (0, +<х>),
и начальному условию
и
и0(х), х е !".
Я х
/(з) = е0 Ах.
(1) (2)
(3)
Тогда
Г 9(т)с1т
!'(*) = е° > 0,
^ / ^ *9{т)Лт ( ^ ?'(8) ¡"(8) = д(з)е 0 , т. е. д(8) =
( )
Теперь обозначим функцию ¡[и(х, I)] через ь(х, Ь) и вычислим
. ,дь . ди ^ д
Р(х) Ы - Ау = Р(х(и) Я7 -
т
р(х)Пи)| -
3=1
Г(и)
ди
х
'' / Я \ 2 "
3 = 1 ' 3 = 1
=
ди
д2и дх2
¡'(и)р(х) ^ - Г (и) |Уи|2 - Г(и)Аи
Г (и)
и ( и)
р(х)т - Лй)|уи| - Аи
( и)
ди
р(х) — - Аи - д(и)\^и{2
0.
( х, )
р(х)— = Аь, х е !", г е (0, +ж). (4)
( х, )
сти функции и, а ее след на гиперплоскости {Ъ = 0} равен ограниченной на вещественной оси функции ¡[и0(х)] = ь0(х).
г
Теперь, следуя [1], определим в!" х (0, функцию V (х, Ь) = ^ ь(х, т)<1т и наложим
о
на функции р и и0 следующие условия:
• уравнение Пуассона с правой частью -р(х) имеет решение, ограниченное в
• существует такая константа к, 0 < к < 1, что р е СК+1(!") и /(и0) е СКс(К"). Тогда, в силу [1, ТЬ 1,1], существует такая липшицевая на [0, функция А, что соот-
1
Иш л
д^ж К"-1
V(х, Ь)йах
ПТГ 2
|х|=Д
,
1
Иш л
д^ж К"-1
Г (" + 1)
ношение [ V(хх, г) -А(г)](Ьх = 0
А( )
|х|=Д
4 = 0
выполняется равномерно относительно ¿из [0, Т] для любого положительного Т. Таким образом, справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть и(х,Ь) — классическое ограниченное решение задачи, Коши для, уравнения (1), где коэффициент д непрерывен, а коэффициент р(х) и начальная, функция и0(х) удовлетворяют следующим условиям:
(!) уравнение Ат + р(х) = 0 имеет решение, ограниченное в К-;
(11) существует 'такая, константа к, 0 < к < 1, что р Е СК+^К™) и /(и0) Е С^ДК-)-Тогда, существует такая липшицевая на [0, +<х>) функция, А, что соотношение
г
1 Г Г 5
Иш ——- / [и(х,т )]dтdax = —-г^ А(Ь)
д^го К--1 } у ^ 1 ' п х Г (-)
|х|=д о
выполняется для, любого положительного ¿, а, соотношение
|Щэ ^г/ (/ ^ [<Х,Т )№ - ^¿П ^х = 0
|х|=Д \0 /
выполняется равномерно относительно ¿ из [0,Т] для, любого положительного Т.
3. Случай сингулярных коэффициентов В уравнении (1) положим
g(s) = asB, (5)
где ¡3 G (—1, 0), а — произвольный вещественный параметр, В этом случае условия теоремы 1 не выполнены (коэффициент при нелинейности имеет особенность в начале координат), однако функция (3) по-прежнему определена:
Sx S
/J ar^dr Г a p+1
e0 dx = J e«" dx.
0 0
Отсюда следует, что f (s) = eS^+ > 0, a значит, f — строго монотонная функция. Далее,
<■11/ \ в / ч f"(s)
j (s) = asBe^+1 , следовательно, g(s) = ft( л ■
J (s)
Предположим, что ограниченная положительная функция и(х, t) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (1) с коэффициентом g, определенным формулой (5), Тогда, точно так же, как и в разделе 2, обозначая функцию f [и(х, t)] через v(x, t), непосредственной подстановкой убеждаемся, что она удовлетворяет уравнению (4), Кроме того, в силу ограниченности функции и (х, t) и строгой положительности показателя ¡3 + 1 функция v(x,t) ограничена:
Ц [и(х,Щ < sup Не №(sup |и|)"+1 ■
Значит, [1, TIi 1,1] применима и в этом случае. Тем самым справедливо следующее утверждение:
Теорема 2. Пусть u(x,t) —классическое ограниченное положительное решение задачи Коши для, уравнения (1), где коэффициент g определен форм,улой (5), ¡3 G (—1,0), a g Rn, а коэффициент р(х) и начальная функция и0(х) удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда, утверждение mеоремы 1 выполняется.
4. Предельный случай сингулярных коэффициентов В уравнении (1) положим
о
9( *) = (6)
где о > — 1.
В этом случае замена (3) неприменима, однако, следуя [25], можно использовать замену в) = 5 а+1: предполагая, что ограниченная положительная функция и(х, Ь) удовлетворя-
обозначим функцию иа+1(х, Ь) через ь(х, Ь) (эта функция корректно определена и положительна во всем полупространстве Кга х (0, в силу положительности функции и) и вычислим
, .дь . . л. . . п ди ^ д Р(х)- — ау = (° + 1)Р(х)и - — £ —
3=1 3
(а+1)и- ди
о п / о \ 2
(о + 1)р(х)иади — о(о + 1)иа-1 ^ ( ) — (о + 1)иаАи
д =1 д х3
= (о + 1)и°
=1
р(х)^ — - ^и|2 — Аи д и
0
и
мененные выше операции дифференцирования и деления законны), ( х, )
(4), а ее след на гиперплоскости {Ъ = 0} равен и$+1 (х).
г
Теперь, следуя [1], определим в Мга х (0, функцию V(х, Ь) = ^ ь(х, т)<т и потребу-
0
ем, чтобы функция р удовлетворяла условиям теоремы 1, а функция ид+1 принадлежала СЮс{Кга). Тогда, в силу [1, ТЬ 1,1], существует такая лппшпцевая на [0, функция А,
1 I ПК 2
дп-г У V(х, №х = Г^+1бА(г)
И=к
,
Д-Г / [V(х,1) — АШх = 0
|ж|=К
выполняется равномерно относительно Ь из [0, Т] для любого положительного Т. Таким образом, справедливо следующее утверждение:
и( х, )
чи Коши для, уравнения
д и о
р(х)— = Аи + -|Уи|2, х е Мга, ге (0, +ж), (7)
д и
где о > —1, коэффициент р(х) уЧовлетворяет условиям теоремы 1, а начальная, функция и0(х) такова, что ид+1 е С0с (Шп). Тогда существует такая липшицевая на [0, А
1 С ПК
К5™ У (х, г)<х = г^тгбт
И=к У2 '
82
А.Б. МУРАВНИК
выполняется при каждом положительном Ь, а соотношение
в^ I [Ца+1(х, V — А(Шх = 0
\х\=К
выполняется равномерно относительно Ь из [0,Т] для, любого положительного Т, где
г
иЛх- ^¡^Т)Л т-°> 0
0
4.1. Случай положительно определенных решений. Если несколько усилить требования, наложенные на решение, потребовав от него не положительности, а положительной определенности (т.е. положительности его нижней грани), то ограничение на коэффициент а снимается.
При а < —1 применяем ту же самую степенную замену, что и при а > — 1: предполагая, что ограниченная положительно определенная функция и(х, Ь) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (7), непосредственной подстановкой (точно так же, как и при а> —1) убеждаемся, что функция ь(х, Ь) = иа+1(х, Ь) удовлетворяет уравнению (4), а для доказательства ограниченности этой функции используем положительную определенность функции и(х, ¿); действительно, вводя положительную постоянную 7== — 1 —а,
1
получаем неравенство ь(х, Ь) < -—-——.
(тг иу
Тогда, применяя [1, ТЬ 1.1], получаем следующее утверждение:
и( х, )
для, уравнения (7), где а = —1, 1пГи > В > 0, коэффициент р(х) удовлетворяет условиям теоремы 1, а начальная функция и0(х) такова, что и$+1 Е ООДК2). Тогда справедливо утверждение теоремы 3.
и( х, )
При а = —1 применяем замену ь(х, ¿) = 1п——, где В = 1пГи > 0
В
(в силу условия положительной определенности решения и). Тогда и(х, I) = Ве"(х'^, ди ди ди ди д2и (ди \ 2 д2и _
— = Ве" —, -— = Ве—, т—^ = Ве" ( -— ) + Ве"^—.2 N = 1,п). Отсюда вытекает, что дЬ сЛ дх^ дхз дх2 \дх^ дх2
Аи = Ве" (Аь + |у,и|2), |уи|2 = В2е2'" . Теперь учтем, что и удовлетворяет уравнению а = — 1
0 = р(х) ^ — Аи + 1 |уи|2 = д и
д 11 1 = р(х)Ве" — — Ве" (Ау + |уи|2) + — В2е2" |у^|2 =
д д = р(х)Ве"^ — Ве"Аь = ВеЧ р(х)— Аь ) ,
( х, )
и( х, )
Тогда, применяя [1, ТЬ 1,1], получим утверждения о поведении среднего вида
г
1 и ( х, )
Иш ——- 1п ——¿тйих =
к^ж К2-1 ]] В
\х\=К 0
1
т 1 Г Л , ч, , ? 1пВ
= 11^ ——т 1пи(х, т)атаах--^— I.
н-шжК--1 у у ( , ) х Г 2
\х\=к о У2/
Учитывая, что линейная функция £ 1п В является липшицевой на [0, функцию
Ь\пВ — А(£), где А^) — функция, фигурирующая в утверждении [1, ТЬ 1.1], мож-
А( )
1п = 1пи0 — \пВ, очевидно, принадлежит любому классу локально гельдеровых функ-В
1п и0
получим следующее утверждение:
и( х, )
для, уравнения
р(х)ди = Аи — - |Уи|2, д и
где т{и > В > 0, коэффициент р(х) удчвлетворяет условиям теоремы 1, а, начальная, функция и0(х) такова, что 1пи0 е С0с (Кга). Тогда существует 'такая, липшицевая на, [0, +<х>) функция, А, что соотношение
г
1 Г Г 2к?
Иш ——- \пи(х, т)«т«ах = —
| х|= к 0 2
,
1Ш К-т/ (У 1пи(х, т)<т — А(г)\ <(Гх = 0
| х|= к 0
выполняется равномерно относительно Ь из [0,Т] для, любого положительного Т.
Замечание. Из [26] известно, что условие (1) в теореме 1 (а значит, и во всех пяти утверждениях настоящей работы) можно заменить на следующее эквивалентное условие:
Г р(£ — х)<£
iCi
п-2
eLM (Rn).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. S. Kamin, M.A. Pozio, A. Tesei Admissible conditions for parabolic equations degenerating at infinity // Алгебра и анализ. T. 19, № 2. 2007. P. 105-121.
2. M. Kardar, G. Parisi, Y.-C. Zhang Dynamic scaling of growing interfaces // Phys. Rev. Lett. V. 56. 1986. P. 889-892.
3. E. Medina, T. Hwa, M. Kardar, Y.-C. Zhang Burgers equation with correlated noise: Renormalization group analysis and applications to directed polymers and interface growth // Phys. Rev. A. V. 39. 1989. P. 3053-3075.
4. M. Guedda, R. Kersner Self-similar solutions to the generalized deterministic KPZ equation // Nonlinear Differential Equations Appl. V. 10, № 1. 2003. P. 1-13.
5. F. Ginelli, H. Hinrichsen Mean field theory for skewed height profiles in KPZ growth processes // J. Phvs. A. V. 37, № 46. 2004. P. 11085-11100.
6. V. V. Anh, N. N. Leonenko, L. M. Sakhno Spectral properties of Burgers and KPZ turbulence // J. Stat. Phvs. V. 122, № 5. 2006. P. 949-974.
7. H. Spohn Exact solutions for KPZ-type growth processes, random matrices, and equilibrium shapes of crystals I ! Phvs. A. V. 369, № 1. 2006. P. 71-99.
8. A. Gladkov, M. Guedda, R. Kersner A KPZ growth model with possibly unbounded data: correctness and blow-up 11 Nonlinear Anal. V. 68, № 7. 2008. P. 2079-2091.
9. J. Quastel KPZ universality for KPZ // XVIth International Congress on Mathematical Physics. Hackensack, X.J: World Sci. Publ. 2010. P. 401-405.
10. I. Corwin, P. L. Ferrari, S. Péché Universality of slow decorrelation in KPZ growth // Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. V. 48, № 1. 2012. P. 134-150.
11. G. Schehr Extremes of N vicious walkers for large N: application to the directed polymer and KPZ interfaces 11 J. Stat. Phvs. V. 149, № 3. 2012. P. 385-410.
12. H. Spohn KPZ scaling theory and the semidiscrete directed polymer model // Math. Sci. Res. Inst. Publ. V. 65. 2014. P. 483-493.
13. C. Bernardin, P. Gongalves, S. Sethuraman Occupation times of long-range exclusion and connections to KPZ class exponents // Probab. Theory Related Fields. V. 166, № 1-2. 2016. P. 365-428.
14. T. Funaki, M. Hoshino A coupled KPZ equation, its two types of approximations, and existence of global solutions 11 J. Funct. Anal. V. 273, № 3. 2017. P. 1165-1204.
15. H. Amann, M. G. Crandall On some existence theoremes for semi-linear elliptic equations // Ind. Univ. Math. J. V. 27, № 5. 1978. P. 779-790.
16. Похожаев С.И. Об уравнениях вида Аи = f (х, и, Du) // Матем. сб. Т. 113(155), Л*8 2(10). 1980. С. 324-338.
17. Денисов В.Н., Муравник А.Б. О стабилизации решения задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений // Дифференц. уравнения. Т. 38, № 3. 2002. С. 351-355.
18. А.В. Muravnik On stabilization of solutions of singular quasi-linear parabolic equations with singular potentials 11 Fluid Mech. Appl. V. 71. 2002. P. 335-340.
19. Муравник А.Б. О стабилизации решений некоторых сингулярных квазилинейных параболических задач // Мат. заметки. Т. 74, № 6. 2003. С. 858-865.
20. V.N. Denisov, А.В. Muravnik On asymptotic behavior of solutions of the Dirichlet problem in halfspace for linear and quasi-linear elliptic equations // Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. V. 9. 2003. P. 88-93.
21. Денисов B.H., Муравник А.Б. Об асимптотике решения задачи Дирихле для эллипт,ическо-го уравнения в полупространстве // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Физматлит. 2003. С. 397-417.
22. А.В. Muravnik On properties of the stabilization functional of the Cauchy problem for quasilinear parabolic equations // Труды Ин-та математики HAH Беларуси. Т. 12, № 2. 2004. С. 133-137.
23. А.В. Muravnik On stabilization of solutions of elliptic equations containing Bessel operators // Integral methods in science and engineering. Analytic and numerical techniques. Boston, MA: Birkhauser. 2004. P. 157-162.
24. Муравник А.Б. О стабилизации решений сингулярных эллиптических уравнений // Фундамент. и прикл. матем. Т. 12, № 4. 2006. С. 169—186.
25. Бицадзе А.В. К теории одного класса нелинейных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. Т. 13, № 11. 1977. С. 1993-2008.
26. Н. Brezis, S. Kamin Sublinear elliptic equations in Rra // Manuscripta Math. V. 74. 1992. P. 87-106.
Андрей Борисович Муравник,
AO «Концерн «Созвездие»,
ул. Плехановская, 14,
394018, г. Воронеж, Россия
Российский университет дружбы народов,
ул. Миклухо-Маклая, д. 6,
117198, г. Москва, Россия
E-mail: amuravnik@yandex. ru
