Асимптотическая классификация решений уравнения типа Эмдена - Фаулера второго порядка с отрицательным потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.44

К.М. Дулина, Т.А. Корчемкина1

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭМДЕНА — ФАУЛЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ2

Рассматривается дифференциальное уравнение типа Эмдена - Фаулера второго порядка с отрицательным потенциалом y" — p (x, y, y') \y\k sgny = = 0. Предполагается, что функция p (x, y0, yi) положительна, непрерывна по совокупности переменных и липшицева по последним двум аргументам. В случае сингулярной нелинейности (0 < k < 1) решения рассматриваемого уравнения могут иметь особое поведение не только вблизи границ, но и во внутренней точке области определения. Поэтому рассматриваются так называемые максимально продолженные единственным образом решения. Получена асимптотическая классификация всех максимально продолженных решений рассматриваемого уравнения в случае регулярной нелинейности (k > 1) и всех максимально продолженных единственным образом решений уравнения в случае сингулярной нелинейности (0 < k < 1).

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, уравнения типа Эмдена — Фаулера, максимально продолженные решения, максимально продолженные единственным образом решения, асимптотическая классификация, регулярная нелинейность, сингулярная нелинейность.

1. Предварительные сведения

Рассмотрим уравнение типа Эмдена — Фаулера n-го порядка V(n) + Р (x,y,yy(n-1)) \y\k sgn y = 0.

И.Т. Кигурадзе и Т.А. Чантурией в монографии [1] получена классификация всех максимально продолженных решений уравнения типа Эмдена — Фаулера в случае n = 2, k > 1, p = p(x).

© Дулина К.М., Корчемкина Т.А., 2015

Дулина Ксения Михайловна ([email protected]), кафедра дифференциальных уравнений, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 119991, Российская Федерация, г. Москва, ул. Ленинские горы, 1.

Корчемкина Татьяна Александровна ([email protected]), кафедра дифференциальных уравнений, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 119991, Российская Федерация, г. Москва, ул. Ленинские горы, 1.

2Статья подготовлена по докладу конференции "СамДиф-2015".

В.А. Кондратьевым и В.А. Никишкиным в работе [2] в случае п = 2, к > 1, и р = р(х) < 0 — достаточно гладкой, для положительных решений рассматриваемого уравнения найдено большее количество членов асимптотики.

И.В. Асташовой в монографии [3] для п = 3, р = р(х) и п = 4, р = ро получена асимптотическая классификация всех максимально продолженных решений в случае регулярной нелинейности (к > 1). Асимптотическая классификация решений сингулярного уравнения (0 < к < 1) приведена в [4; 5] для уравнений третьего и четвертого порядков. В случае сингулярной нелинейности решения рассматриваемого уравнения могут иметь особое поведение не только вблизи границ, но и во внутренней точке области определения. Поэтому мы будем рассматривать так называемые максимально продолженные единственным образом решения, введенные И.В. Асташовой (см. [6]).

Определение 1.1. Решение обыкновенного дифференциального уравнения у: (а, Ь) ^ М, —то ^ а < Ь ^ +то называется максимально продолженным единственным образом, если:

1) уравнение не имеет других решений, равных у на некотором подынтервале (а, Ь) и не равных у в некоторой точке из (а, Ь);

2) уравнение либо не имеет решений, определенных на другом интервале, содержащем (а, Ь), и равных у на (а, Ь), либо имеет, по крайней мере, два таких решения, не равных друг другу в точках, сколь угодно близких к границе (а, Ь).

Заметим, что в случае 0 < к < 1 условия классической теоремы существования и единственности решения задачи Коши для рассматриваемого уравнения не выполняются. Тем не менее, справедливо следующее утверждение:

Теорема 1.1 [3, с. 201]. Пусть функция р (х, уо,..., уп-1) непрерывна по х и липшицева по у0, . . . , уп-1. Тогда для любого набора чисел х0, у0, ..., у{°_1, у которого не все у0 равны нулю, соответствующая задача Коши имеет единственное решение.

В настоящей работе рассматривается уравнение следующего вида:

у" — р (х, у, у') \у\к sgnу = 0, (1)

где к £ (0, 1) и (1, +то), и р (х, у, у') > 0.

В [7] при к > 1 показана непрерывная зависимость положения асимптот максимально продолженных решений уравнения (1) от начальных условий, доказано существование максимально продолженных решений уравнения (1) с наперед заданной областью определения.

Для формулировки основных результатов нам понадобится ряд определений.

Определение 1.2. Решение уравнения (1) называется положительным кне-зеровским на интервале [х0; +то), если оно удовлетворяет условиям у(х) > 0, у'(х) < 0 при х ^ х0.

Определение 1.3. Решение уравнения (1) называется положительным кнезе-ровским при убывании аргумента на интервале (—то; х0], если оно удовлетворяет условиям у(х) > 0, у'(х) > 0 при х ^ х0.

Определение 1.4. Решение уравнения (1) называется отрицательным кне-зеровским на интервале [х0; +то), если оно удовлетворяет условиям у(х) < 0, у'(х) > 0 при х ^ х0.

Определение 1.5. Решение уравнения (1) называется отрицательным кнезе-ровским при убывании аргумента на интервале (—то; х0], если оно удовлетворяет условиям у(х) < 0, у'(х) < 0 при х ^ х0.

Определение 1.6. Пусть у(х) — максимально продолженное единственным образом решение уравнения (1), а — граничная точка его области определения.

Решение y(x) называется влипающим в нуль в точке а, если

lim y(x) = lim y'(x) = 0.

2. Основные результаты

Введем обозначения

k - 1 '

C(_) ( a(a +1) ) — (p(k - 1)2 )

C(P) = HH = UkWi

2

Теорема 2.1. Пусть к > 1, функция р(х, уо, ух) непрерывна по совокупности переменных, липшицева по последним двум аргументам равномерно по х, удовлетворяет неравенствам

0 < т < р(х, у0, ух) < М < +то (2)

и имеет следующие пределы функции:

1) Р+ при х ^ +то, у0 ^ 0, ух ^ 0,

2) Р- при х ^ —то, у0 ^ 0, ух ^ 0, а также при любом с € К,

3) Р+ при х ^ с, у0 ^ +то, ух ^ ±то,

4) Р- при х ^ с, у0 ^ —то, ух ^ ±то.

Тогда все максимально продолженные решения уравнения (1) в соответствии со своим асимптотическим поведением делятся на следующие девять типов: 0. Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение уо(х) = 0. 1-2. Заданные на (Ь, +то) положительные и отрицательные кнезеровские решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения:

ух(х) = С(Р+) (х — Ь)-а (1 + о(1)), х ^ Ь + 0,

ух(х) = С(Р+)х-а (1 + о(1)), х ^ +то,

и

у2(х) = —С(Р-) (х — Ь)-а (1 + о(1)), х ^ Ь + 0,

у2(х) = —С(Р+)х-а (1 + о(1)), х ^ +то.

3-4. Заданные на (—то, а) положительные и отрицательные кнезеровские при убывании аргумента решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения:

уз(х) = С(Р+) (а — х)-а (1 + о(1)), х ^ а — 0,

уз(х) = С(Р-)|х|-а (1 + о(1)), х ^ —то,

и

у4(х) = —С(Р-) (а — х)-а (1 + о(1)), х ^ а — 0,

у4(х) = —С(Р-)1х1-а (1 + о(1)), х У ^о.

5-6. Заданные на (а, Ь) знакопостоянные решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения:

у5(х) = С(Р+) (х — а)-а (1 + о(1)), х ^ а + 0,

У5(х) = С(Рь+) (Ь - х)-а (1 + 0(1)), X ^ Ь - 0,

и

У6(х) = -С(Р-) (х - а)-а (1 + о(1)), х ^ а + 0,

Уб(х) = -С(Р-) (Ь - х)-а (1 + 0(1)), х ^ Ь - 0.

7-8. Заданные на (а, Ь) решения со степенной асимптотикой и разными знаками вблизи обеих границ области определения:

у7(х) = С(Р+) (х - а)-а (1 + о(1)), х ^ а + 0,

У7(х) = -С(Р-) (Ь - х)-а (1 + 0(1)), х ^ Ь - 0,

и

У8(х) = -С(Р-) (х - а)-а (1 + о(1)), х ^ а + 0,

У8(х) = С(Р+) (Ь - х)-а (1 + 0(1)), х ^ Ь - 0.

Теорема 2.2. Пусть 0 < к < 1, функция р(х, Уо, У1) непрерывна по совокупности переменных, липшицева по последним двум аргументам равномерно по х, удовлетворяет неравенствам (2) и имеет следующие пределы:

1) Р++ при х ^ +ж, У0 ^ +ж, У1 ^ +ж,

2) Р+__при х ^ +ж, У0 ^ -ж, У1 ^ -ж,

3) Р-+ при х ^ -ж, У0 ^ +ж, У1 ^ -ж,

4) Р__при х ^ -ж, у0 ^ -ж, у1 ^ +ж,

а также при любом с £ М,

5) Рс при х ^ с, у0 ^ 0, у1 ^ 0.

Тогда все максимально продолженные единственным образом решения уравнения (1) в соответствии со своим асимптотическим поведением делятся на следующие восемь типов.

1-2. Заданные на полупрямой (Ь, +ж) положительные и отрицательные влипающие в нуль в точке Ь решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения:

У1(х) = С(Рь) (х - Ь)-а (1 + 0(1)), х ^ Ь + 0,

У1(х) = С(Р++)х-а (1 + 0(1)), х ^ +ж,

и

у2(х) = -С(Рь) (х - Ь)-а (1 + 0(1)), х ^ Ь + 0,

У2(х) = -С(Р+-)х-а (1 + 0(1)) , х ^ +ж.

3-4. Заданные на полупрямой (-ж, а) положительные и отрицательные влипающие в нуль в точке а решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения:

Уз(х) = С(Ра) (а - х)-а (1 + 0(1)), х ^ а - 0,

Уз(х) = С(Р-+)|х|-а (1 + 0(1)), х У ^о,

и

у4(х) = -С(Ра) (а - х)-а (1 + 0(1)), х ^ а - 0,

У4(х) = -С(Р__)|х|-а (1 + 0(1)), х ^ -ж.

5-6. Заданные на всей числовой прямой знакопостоянные решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения:

У5(х) = С(Р++)х-а (1 + 0(1)), х ^ +ж,

У5(х) = С(Р-+)\х\-а (1 + 0(1)), X ^-ж,

и

Уб(х) = -С(Р+-)х-а (1 + о(1)), х ^ +ж,

Уб(х) = -С(Р--)\х\-а (1 + о(1)), х ^ -ж.

7-8. Заданные на всей числовой прямой решения со степенной асимптотикой и разными знаками вблизи обеих границ области определения:

ут(х) = С(Р++)х-а (1 + о(1)), х ^ +ж,

уг(х) = -С(Р--)\х\-а (1 + о(1)), х ^ -ж,

и

У8(х) = -С(Р+-)х-а (1 + о(1)), х ^ +ж, У8(х) = С(Р-+)\х\-а (1 + о(1)), х У ^о.

Литература

[1] Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990. 432 с.

[2] Кондратьев В.А., Никишкин В.А. О положительных решениях уравнения у" = = p(x)yk// Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. Саранск, 1980. С. 134-141.

[3] Асташова И.В. Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / под ред. И.В. Асташовой. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. С. 22-288.

[4] Astashova I.V. On asymptotic classification of solutions to the singular third- and fourth-order Emden-Fowler Equations // Czech-Georgian Workshop on Boundary Value Problems. Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Czech Republic, 2015. URL: http://users.math.cas.cz/ sremr/wbvp2015/abstracts/astashova.pdf.

[5] Astashova I.V. On existence of quasi-periodic solutions to a nonlinear singular higherorder differential equation and asymptotic classifcation of its solutions for the forth order // International Workshop on the Qualitative Theory of Differential Equations (QUALITDE-2014), 2014. URL: http://rmi.tsu.ge/eng/QUALITDE-2014.

[6] Асташова И.В. Об асимптотическом поведении решений нелинейных дифференциальных уравнений с сингулярной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2014. T. 50. № 11. C. 1551-1552.

[7] Дулина К.М., Корчемкина Т.А. О существовании решений с заданной областью определения уравнений типа Эмдена - Фаулера второго порядка // Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения: сб. науч. тр. М.: МЭСИ, 2014. C. 19-27.

References

[1] Kiguradze I. T., Chanturia T. A. Asymptotic properties of solutions of nonautonomous ordinary differential equations. M., Nauka, 1990, 432 p. [in Russian].

[2] Kondrat'ev V. A., Nikishkin V. A. On the positive solutions of the equation y" = = p(x)yk in Nekotorye voprosy kachestvennoi teorii differentsial'nykh uravnenii i teorii upravleniia dvizheniem [Some problems of qualitative theory of differential equations and the theory of motion control]. Saransk, 1980, pp. 134-141 [in Russian].

[3] Astashova I. V. Qualitative properties of solutions to quasilinear ordinary differential equations in: Kachestvennye svoistva reshenii differentsial'nykh uravnenii i smezhnye voprosy spektral'nogo analiza: nauchnoe izdanie pod red. I.V. Astashovoi [Qualitative properties of solutions to the differential equations and related topics of spectral analysis: scientific edition]. I.V. Astashova (Ed.). M., IuNITI-DANA, 2012, pp. 22-288 [in Russian].

[4] Astashova I. V. On asymptotic classification of solutions to the singular third- and fourth-order Emden-Fowler equations. Czech-Georgian Workshop on Boundary Value Problems. Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Czech Republic, 2015. Retrieved from: http://users.math.cas.cz/ sremr/wbvp2015/abstracts/astashova.pdf. [in English].

[5] Astashova I. V. On existence of quasi-periodic solutions to the nonlinear singular higher-order differential equation and asymptotic classifcation of its solutions for the forth order. International Workshop on the Qualitative Theory of Differential Equations (QUALITDE-2014), 2014. Retrieved from: http://rmi.tsu.ge/eng/QUALITDE-2014 [in English].

[6] Astashova I. V. On the asymptotic behavior of solutions of differential equations with a singular nonlinearity. Differents. Uravneniia [Differential equations], 2014, Vol. 50, no. 11, pp. 1551-1552 [in Russian].

[7] Dulina K. M., Korchemkina T. A. On existence of solutions to second-order Emden-Fowler type differential equations with prescribed domain in: Sbornik trudov minikonferentsii «Kachestvennaia teoriia differentsial'nykh uravnenii i prilozheniia» [Proceedings of International miniconference "Qualitative theory of differential equations and applications"]. M., MESI, 2014, pp. 19-27 [in Russian].

K.M. Dulina, T.A. Korchemkina3

ASYMPTOTIC CLASSIFICATION OF SOLUTIONS TO THE SECOND-ORDER EMDEN - FOWLER TYPE DIFFERENTIAL EQUATION WITH NEGATIVE

POTENTIAL

Consider the second-order differential equation of Emden - Fowler type with negative potential y" — p (x, y, y') \y\k sgn y = 0. The function p (x, y, y') is assumed positive, continuous, and Lipschitz continuous in y, y'. In the case of singular nonlinearity (0 < k < 1) the solutions to above equation can behave in a special way not only near the boundaries of their domains but also near internal points of the domains. This is why a notion of maximally uniquely extended solutions is introduced. Asymptotic classification of non-extensible solutions to above equation in case of regular nonlinearity (k > 1) and classification of maximally uniquely extended solutions to above equation in case of singular nonlinearity (0 < k < 1) are obtained.

Key words: second-order ordinary differential equations, equations of Emden - Fowler type, non-extensible solutions, maximally uniquely extended solutions, asymptotic classification, regular nonlinearity, singular nonlinearity.

Статья поступила в редакцию 8/VJ//2015. The article received 8/VT7/2015.

3 Dulina Kseniya Mihailovna ([email protected]), Department of Differential Equations, Lomonosov Moscow State University, 1, Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation.

Korchemkina Tatiana Aleksandrovna ([email protected]), Department of Differential Equations, Lomonosov Moscow State University, 1, Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation.