CC BY
7УДК 532.517.4:536.25
О качественном различии решений двумерной и трехмерной конвекции
И. Б. Палымский
Профессор кафедры математики и информатики Современной Гуманитарной Академии, Новосибирский Филиал, ул. Ватутина 71, Новосибирск, Россия, 630064 e-mail: palymskyQhnet.ru
Получено 16 января 2008 г.
В двумерной и трехмерной постановках рассмотрена задача о конвекции вязкой и несжимаемой жидкости между двумя горизонтальными, свободными от касательных напряжений изотермическими плоскостями при подогреве снизу. Получено, что в трехмерной турбулентной конвекции средний вихревой масштаб уменьшается с ростом надкритичности, в то время как в двумерной — растет, что делает двумерную конвекцию более крупномасштабной и гладкой. Рост среднего масштаба течения при увеличении надкритичности r в двумерной конвекции обусловлен формированием при r > 4 000 красного (обратного) каскада переноса энергии, ответственного за перекачку кинетической энергии из масштаба генерации к крупным масштабам. Появление красного каскада обусловлено наличием второго, дополнительного закона сохранения для энстрофии в двумерных течениях.
Ключевые слова: моделирование, гидродинамика, конвекция, энергия, каскад
I. B. Palymskiy About qualitative difference of solutions of two-dimensional and three-dimensional convection
The problem of 2-D and 3-D convection of viscous and incompressible fluid between two horizontal stress-free isothermal planes at heating from below has been considering. It is received that in 3-D turbulent convection the mean vorticity scale decreases at growing supercriticality, but in 2-D convection the mean vorticity scale grows and it does the 2-D convection more large-scale and smooth. The growing of the mean vorticity scale at increasing supercriticality r in 2-D convection is conditioned by the red (inverse) energy cascade formed at r > 4000 and transferring the kinetic energy from generation scale to the large scales. The appearance of the red cascade is conditioned by additional conservation law for enstrophy in 2-D flows.
Keywords: simulation, hydrodynamics, convection, energy, cascade
Mathematical Subject Classifications: 76F35, 76F65,76M20, 76M22
1. Введение
Классическая задача о конвекции Рэлея-Бенара в различных постановках решалась в [1-9], причем некоторые авторы проводили расчеты в трехмерной [1-7] и двумерной [8,9] постановках при высокой надкритичности г = Да/Дасг, здесь Да и Дасг — число Рэлея и его критическое значение.
При численном моделировании различают две постановки задачи о конвекции в горизонтальном слое при подогреве снизу — со свободными (от касательных напряжений) и жесткими (с условием прилипания) горизонтальными границами; как правило, решение предполагается периодическим в горизонтальных направлениях или удовлетворяющим специальным граничным условиям [10]. Обе постановки задачи часто приводят к решениям, которые различаются лишь количественно, а не качественно [11]. Этим и относительной простотой решения задачи о конвекции со свободными граничными условиями и объясняется интерес к этой постановке.
Основные трудности при численном моделировании конвекции при высокой надкритичности связаны с наличием растущих линейных возмущений с огромными инкрементами; так, при г = 3.4 ■ 104 и числе Прандтля Рг = 10 существуют возмущения, растущие в линейном приближении как ехр(1367 ■ Ь). Последнее обстоятельство накладывает серьезные ограничения на численные методы, затрудняя использование каких-либо итераций, верхней и нижней релаксации, последовательного решения уравнений системы. Между тем, число Рейнольдса является относительно медленно растущей функцией надкритичности в конвекции Рэлея-Бенара и Де 375 при г = 3.4 ■ 104 (Рг = 10) [12].
В трехмерной турбулентности кинетическая энергия переносится из области генерации в мелкие масштабы, где она диссипируется. А в случае двумерной конвекции ожидается появление двух инерционных интервалов, по которым реализуются прямой каскад переноса энстрофии (к-3 для энергетического спектра), обеспечивающий диссипацию и обратный (красный) каскад кинетической энергии со степенным законом к-5/3, перекачивающий кинетическую энергию из масштаба генерации в область больших масштабов [13].
Обратный каскад энергии можно рассматривать как процесс самоорганизации турбулентности, в результате которого из поля мелкомасштабных пульсаций рождаются крупномасштабные когерентные структуры. Такой каскадный процесс наблюдается в двумерных, вращающихся течениях, в плазме и волнах на поверхности жидкости [14]. Очевидна важная роль красного каскада энергии для течений в океане и атмосфере. В самом деле, наряду с вихрями сравнительно небольшого масштаба (порядка 1 км) в океане существуют вих-
103
таких огромных вихревых образований представляется малореальным без постоянной подпитки их энергией из более мелких масштабов.
Каскадные процессы в несжимаемой вязкой жидкости на основе двумерных уравнений Навье-Стокса исследовались в [16-23]. Во всех известных автору работах рассматривалась стационарная однородная двумерная турбулентность, расчеты проводились в квадратной области с периодическими граничными условиями и, как правило, с введением дополнительных членов, обеспечивающих стоки энергии на малых и больших масштабах. Чтобы получить стационарный в среднем процесс, в правую часть вводилась внешняя сила, осуществляющая подкачку энергии в виде белого шума.
Красный каскад в электропроводящей жидкости (водный раствор N801) исследовался экспериментально в [14, 22, 24]. При этом течение создавалось путем пропускания через жидкость электрического тока, а роль внешней силы играли расположенные под слоем жидкости постоянные магниты.
В работах [16-19,21,22] наблюдался в установившемся (в среднем) решении красный
каскад со степенным законом к-5/3. Однако в [19,20,23] красный каскад наблюдался только
в начальной стадии расчета, а при выходе на установившийся режим — заменялся на к-3.
Подобную перестройку спектра автор [20] объясняет рождением самоподобных когерентных
к-3
Подобная перестройка энергетического спектра наблюдалась и в эксперименте [24] — вначале одновременно наблюдались спектр к-5/3 красного каскада энергии и к-3'5, искаженный степенной закон прямого каскада энстрофии, а затем, после формирования крупномасштабной структуры течения (конденсации) — единый спектр к-3'3. Формирование крупномасштабной структуры течения сопровождается своеобразной обратной буфуркаци-ец — хаотический режим, с четко идентифицируемым красным каскадом, сменяется детерминистическим, регулярным после конденсации.
Эксперименты [14], проведенные в лотке размером 0.18 ■ 0.18 т2, также показали наличие четко идентифицируемого красного каскада энергии со степенным законом к-5/3, а на приводимых в работе трасерных фотографиях видно формирование крупномасштабной вихревой структуры.
В работе [22] делается попытка совместного численного и экспериментального исследования, при этом в численном моделировании красный каскад виден более определенно.
В численных исследованиях каскад энстрофии наблюдается менее устойчиво, чем красный [19]. Инерционный интервал переноса энстрофии был получен в [17,19], но рассчитанные в этих работах показатели степенного закона сильно отличаются от —3 и показывают
-5 -3.5 -5
хождение объясняется наличием когерентных вихревых структур, очень устойчивых и имеющих примерно одинаковый размер [13].
Интересное численное исследование проведено также в трехмерной вращающейся турбулентности [25]. Установлено, что при достаточно сильном вращении начинается отток подкачиваемой с помощью внешней силы энергии к большим масштабам, и течение становится квазидвумерным. В зависимости от аспектного отношение (отношение высоты обла-
к-5/3 к-3
отношениях.
В работе [26] описаны результаты совместного численного и экспериментального исследования турбулентности в вертикально стекающей под действием силы тяжести мыльной пленке, где, несмотря на большой разброс в численном и экспериментальном спектрах, автор выделяет инерционные интервалы, соответствующие прямому и обратному каскадам энстрофии и энергии.
Роль и проявление каскадных процессов в конвективной турбулентности пока не исследованы. Между тем, именно различие в каскадных процессах приводит, по-видимому, к качественному различию между двумерной и трехмерной конвективной турбулентностью при высокой надкритичности. В [10] описаны результаты расчетов спектров двумерной и трехмерной конвекции со свободными граничными условиями. В данной работе на основе подхода [10, 12, 27] выполнено двумерное и трехмерное моделирование конвекции со свободными границами и выясняется роль каскадных процессов и их влияние на средние характеристики течения.
Цель работы —исследование причин качественного различия между двумерной и трехмерной конвективной турбулентностью при высокой надкритичности, на основе исследования роли и степени влияния на средние характеристики каскадных процессов.
2. Постановка задачи
В приближении Буссинеска рассматриваются двумерные и трехмерные конвективные течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя горизонтальными плоскостями при подогреве снизу. В двумерной постановке течение рассчитывается при О = {0 ^ ^ х ^ I, 0 ^ г ^ 1}, где I = п/а — размер области по горизонтали, а а — минимальное волновое число. Трехмерная конвекция рассчитывается в квадратной в плане области {0 ^ х ^ п, 0 ^ у ^ п, 0 ^ г ^ 1}. Во всех постановках горизонтальные границы предполагаются изотермическими. Записанная в отклонениях от равновесного решения, после обезразмеривания исходная система уравнений в двумерном приближении имеет вид [28]:
Щ + — (рхШг) = Аш + КаС}х,
Ау = —и, (2.1)
+ ~р^{1РхЯх — = ~р- А (5 — -р^(рх,
Где у — функция тока, и — вихрь (г-ая компонента вектора завихренности), Q — отклонение температуры от равновесного линейного профиля (полная температура равна 0 = 1 — у +
+ (3), А/ = /жж + — оператор Лапласа, действующий на функцию /, Ка = —
число Рэлея, Рг = ^ — число Прандтля, д — ускорение силы тяжести, (3,р,х — коэффициенты теплового расширения, кинематической вязкости и температуропроводности, Н — толщина слоя и — разность температур на горизонтальных границах, х, у и г — горизонтальные и вертикальная координаты. В дальнейшем для краткости будем называть Q
0
На боковых границах для искомых функций ставятся «мягкие» граничные условия первого и второго рода, следующие из вида решения.
Искомые величины и, у и <5 разыскиваются в виде
N М-1
и(£, х, г) = ЕЕ икт(^) Рк сов (акх)вт(птг),
к=0 т=1
N М-1 и (£)
у(Ь, х,г) = т рксоз(акх)згп(тттг), (2.2)
“ , а2к2 + п2т2
к=0 т=1
N-1 М-1
Q(t,x,г) = ЕЕ Qkm(t)вin(аkx)вin(пmг),
к=1 т=1
где рк = 0.5 при к = 0 N и рк = 1 при 1 ^ к ^ N — 1.
Итак, система (2.1) решается в области О = {0 ^ х ^ I, 0 ^ г ^ 1},1 = п/а, с граничными условиями на горизонтальных у = и = Q = 0 и вертикальных ух = их = Q = 0 границах.
Трехмерная постановка задачи приведена в [10]. Решение трехмерной задачи также разыскивается в виде композиции собственных функций линейной задачи устойчивости
у
решение переходило в двумерное (2.2), при этом граничные условия на боковых границах, как и в двумерной постановке, следуют из вида решения.
Пусть г = Еа/Еасг, где Еасг = 657.5 — критическое значение числа Рэлея, а число Прандтля Рг далее равно 10.
3. Численный метод и его тестирование
Приведем краткое описание спектрально-разностного численного метода, используемого для расчета двумерной конвекции. Подробное описание и результаты его тестирования приведены в [12,27,30]. Этим методом были рассчитаны двумерная конвекция при высокой надкритичности [28], энергетические спектры скорости и температуры [10] и конвекция химически равновесного реагирующего газа [31].
Трехмерная версия используемого метода, основанная на расщеплении по физическим процессам, кратко описана в [10]. А ниже кратко опишем метод расчета двумерных конвективных течений со свободными граничными условиями.
Следуя общей идеологии метода расщепления, переход от слоя n к стою n + 1 по времени производится в два этапа. На первом этапе расщепления мы устанавливаем соответствие в линейном приближении спектральных характеристик численного метода и дифференциальной задачи, а на втором учитываем нелинейные процессы.
На первом этапе расщепления учитываем линейное развитие возмущений, без учета взаимодействия гармоник.
Этап 1.
cot — — АсО RclQx?
Ар = -и, (3.3)
Qt = 2^aq~
Для эффективного решения уравнений нелинейного конвективного переноса для завихренности и и температуры Q половина вязких членов учтена на втором этапе расчета. После подстановки решения (2.2) в систему (3.3), вместо (3.3) получим систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений для двух неизвестных амплитуд икт и Qkm-Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решается аналитически, без применения каких-либо аппроксимаций по времени по формулам, выведенным программой аналитических вычислений Maple V Release 4 [27,30].
На втором этапе учитывается нелинейный конвективный перенос, т. е. учитывается взаимодействие гармоник. Здесь применена конечно-разностная схема переменных направлений (схема продольно-поперечной прогонки), ранее успешно использованная для расчета турбулентных конвективных течений в прямоугольной области при подогреве сбоку [32].
Этап 2.
+ ~p^{(PyUJx — фх^у) = ^ Д Ш,
Qt + p^fryQx ~ VxQy) = 2. pr ^ Q-
Каждое из уравнений выписанной системы для и и Q решается в два дробных шага, на каждом дробном шаге применяется схема А. А. Самарского для аппроксимации одномерных операторов на верхнем слое по времени и аппроксимации центральными разностями на нижнем.
Коэффициенты и (ру вычисляются по значениям (р после первого этапа расщепления.
Пересчет искомых полей из спектрального пространства (этап 1) в физическое (этап 2) и обратно производится по стандартным программам быстрого преобразования Фурье по косинусам и синусам.
При моделировании двумерной конвекции вычислялись средние величины: число Нус-сельта
рп/а
рп/а
! (С2г(Ь,х,0) + С2г(Ь,х,1))(1х - 1,
Муп = 2 £ £
V» т
к=в44 т=еуви
кинетическая энергия И энстрофия
N М-1 N М-1
Ек ~ 8 ЕЕ Рк^Ркт^кгги — g ЕЕ Рк Шкт,
к=0 т=1 к=0 т=1
среднее волновое число в горизонтальном направлении
„ _ £*=0 Х/т=1 кркРктшкт
£ ~ а ' \^М~ 1 л I ’
2^к=0 т=1 рк‘ркт^кт,
а также среднеквадратичные значения температуры фте и функции тока Ете.
В трехмерных расчетах энстрофия Еп и Ете не вычислялись, а остальные средние величины рассчитывались по аналогичным формулам.
Таблица 1 показывает сходимость осредненных по времени средних величин при г = = 6 ■ 103 и увеличении разрешимости. При этом для Кте, в отличие от Ып,Ек,Еп^те и Ете1 сходимость не монотонная. Энстрофия сходится медленнее других величин.
Таблица 1
Разрешимость Ии/Ю Ек/106 Еп/Ю7 К 1^те Qme ' Ю ^те/Ю2
129 • 33 1.580 2.271 7.430 1.309 2.459 2.790
257 • 65 1.648 2.481 8.073 1.223 2.467 2.987
513 • 129 1.660 2.635 8.731 1.224 2.487 3.085
1025 • 257 1.687 2.684 9.125 1.252 2.506 3.099
2049 • 513 1.710 2.714 9.320 1.266 2.525 3.127
Сходимость профилей средней температуры, температурных пульсаций, горизонтальных и вертикальной компонент скорости при г = 6 ■ 103 показана в [12]. В методических расчетах настоящей работы наблюдалось также практическое совпадение одномерных энергетических спектров температуры и скорости, вычисленных с различной разрешимостью.
Методические расчеты, проведенные в [12] при а = 1 показали, что пространственная разрешимость достаточна, если использовать [129 ■ 33] гармоник при г < 6 ■ 103 и [257 ■ 65] — при г < 3.4 ■ 104.
а
увеличивается, и при а = 0.125 в расчетах настоящей работы использовалось до [2049 ■ 65] гармоник.
Для контроля точности проверялось выполнение интегральных соотношений, например, полученное умножением третьего уравнения системы (2.1) для температуры на <5 и интегрированием по области
а = {0 ^ х ^ п/а, 0 ^ г ^ 1, £п ^ ^ £п+1}
с учетом граничных условий
2 /с (<Э™)2 + ~р^.
-----------------------------------= 1.
\ /с (<Э”+1)2 + ^ + ®у2)
Аналогично, умножением первого уравнения системы (2.1) для ш на р и ш получаем интегральные соотношения для энергии и энстрофии, соответственно.
Таблица 2 показывает хорошую точность выполнения осредненных по времени интегральных соотношений при г = 6 ■ 103, видна сходимость к 1 при увеличении разрешимости. При этом лучше всего выполняется интегральное соотношение для температуры и хуже всего — для энстрофии.
Таблица 2
Разрешимость Энергия Энстрофия Температура
129 • 33 0.9946 0.9931 0.9971
257 • 65 0.9976 0.9967 0.9984
513 • 129 0.9986 0.9977 0.9990
1025 • 257 0.9989 0.9982 1.0002
Число Рейнольдса Ке = -р- у при г = 6 • 103 было равно 131.
При проведении трехмерных расчетов энстрофия не вычислялась и контролировались соотношения интегрального баланса для кинетической энергии и температуры. Трехмерные расчеты проводились с числом гармоник [65 ■ 65 ■ 65], при увеличении пространственной разрешимости от [33 ■ 33 ■ 33] до [129 ■ 129 ■ 129] наблюдалась сходимость средних величин и профилей средней температуры, пульсаций температуры, вертикальной и горизонтальных компонент скорости [10].
4. Сравнение средних характеристик двумерной и трехмерной конвекции
На рис. 1-3 приведены профиль средней температуры, профиль температурных пульсаций и временной энергетический спектр (квадрат модуля Фурье гармоник) при г = 950 для двумерного и трехмерного решений со свободными горизонтальными границами. На рис. 1 приведен также асимптотический экспериментальный профиль температуры [33], а на рис. 2 — результат численного расчета двумерной конвекции с условиям прилипания на горизонтальных границах [12]. На рис. 3 частота измеряется в единицах и/Ик, а вертикальный сдвиг спектра трехмерного решения — искусственный.
Профили средней температуры на рис. 1 в двумерных и трехмерных расчетах близки, но результат двумерного расчета кажется более близким к экспериментальному, так как
Рис. 1. Профиль средней температуры.
Рис. 2. Профиль температурных пульсаций.
__________________I_________I______I_____I____I___І І І I_____________________I_________I_____
101 102 /> Н
Рис. 3. Временной спектр зависимости числа Нуссельта от времени.
соответствующий профиль более сглажен и участки обратного градиента менее выражены. Профили температурных пульсаций на рис. 2, полученные в двумерном и трехмерном расчетах со свободными граничными условиями, практически совпадают в центральной части, но отличаются величинами локальных максимумов вблизи горизонтальных границ, а результаты расчета двумерной конвекции с условием прилипания на горизонтальных границах, как и результаты трехмерного моделирования, показывают ясно выраженные локальные максимумы вблизи горизонтальных границ. Их формирование обусловлено наличием у профиля средней температуры участков с обратным градиентом, благодаря чему у нижней границы скапливается холодная, а у верхней — горячая жидкость и прорывающиеся от горизонтальных границ плюмы создают повышенный уровень пульсаций [12]. В двумерных расчетах настоящей работы (со свободными граничными условиями) ясно выраженные участки обратного градиента в профиле средней температуры наблюдались при г ^ 305. Оба спектра на рис. 3 — сложные, представляются непрерывными и качественно близкими, но в области частот / > 102 спектр двумерного решения кажется более плоским.
На рис. 4, 5 изображены пульсации вертикальной скорости и температуры при з = = 0.5 как функции надкритичности. Видно, что данные трехмерных расчетов подчиняются определенным степенным законам, в то время как данные двумерных расчетов имеют существенный разброс. Из рис. 4 видно, что при 280 ^ г ^ 700 пульсации вертикальной скорости в двумерных и трехмерных расчетах примерно равны по величине. Рис. 5 показывает тенденцию уменьшения величины температурных пульсаций с ростом надкритичности, а при рассмотрении подобного графика в расширенном диапазоне надкритичности (до г = 3.4 • 104) при г ^ 103 видна тенденция увеличения. Последнее физически связано с увеличением среднего вихревого масштаба и укрупнением структуры течения. Предположительно, разброс данных двумерных расчетов связан с попыткой моделирования в двумерных рамках физически трехмерного конвективного течения.
200
100
0
0 200 400 600 800 г
Рис. 4. Пульсации вертикальной скорости как функция надкритичности.
5. Средний вихревой масштаб
На рис. 6 изображено среднее волновое число Кте в горизонтальном направлении, вычисленное по кинетической энергии для двумерных и трехмерных решений. Физически волновое число Кте характеризует средний горизонтальный масштаб 1те = п/Кте вихрей, содержащих основную часть кинетической энергии. Для краткости в дальнейшем величи-
Рис. 5. Пульсации температуры как функция надкритичности. ну 1те называем вихревым масштабом.
3
К
0
XXXх
♦
X
♦ ♦*
• +0 • *
2d
г=1000
♦ — а=1 О — а=0.5 + - а=0.25 □ - а=0.125
и
Зв
X X ♦ ♦ ♦
х XX
X XXX .
• • ♦♦♦
О V
+ • *
-1-0 *• #
о +г=6000 о0<>
о +□! Л° о°
Оо^о Г=17000
, □ I
++++++ □ □ □
______I____________I_______
1
2
3 log(r) 4
Рис. 6. Среднее волновое число Кте как функция надкритичности.
Из рис. 6 видно, что в трехмерных расчетах Кте растет с ростом надкритичности. А более детальный анализ показывает, что при г ^ 150 волновое число следует степенному закону
Кте = 1.86 • Т
0.084
или, что эквивалентно,
^те — 1-69 • г
и, более того, при г ^ 500 с точностью до нескольких процентов Кте равно примерно половине волнового числа, наиболее быстрорастущего по линейной теории.
А в двумерной конвекции, при достаточно большой надкритичности, ясно видна тенденция к уменьшению Кте до величины порядка минимального значения а с ростом надкритичности.
2
1
Рис. 6 показывает постепенное включение больших масштабов (перестройки течения) в двумерных расчетах при увеличении надкритичности, а именно: длины области I = п(а = = 1) недостаточно при г ^ 103, I = 2п(а = 0.5) — при г ^ 6 • 103 и I = 4п(а = 0.25) — при г ^ 1.7 • 104.
Отсюда следует, что для правильного отражения постепенного включения больших масштабов в двумерной конвекции при увеличении надкритичности размер области по горизонтали I должен увеличиваться примерно по линейному закону:
I = 2.7 • (1 + 2.2 • 10-4 • г), I = п/а.
Таким образом, при достаточно большой надкритичности вихревой масштаб в трехмерной конвекции уменьшается с ростом надкритичности, и течение становится все более мелкомасштабным. А в двумерной конвекции наблюдается обратная тенденция: рост вихревого масштаба до величины порядка размера области I = п/а при большой надкритичности.
Теперь рассмотрим начальный этап развития двумерной конвекции при г = 3 • 104 и а = 0.25, в этом расчете учитывалось [2049 • 65] гармоник. На рис. 7 изображен график Кте как функции времени.
Рис. 7. Среднее волновое число как функция времени.
Из начальных данных (см. рис. 8) при = 0.0235 формируется решение, среднее волновое число которого близко к волновому числу наиболее быстрорастущего по линейной теории возмущения Кт = 10.43. Затем волновое число уменьшается, причем спадание волнового числа соответствует предсказанному по размерности закону [13] (на рис. 7 с = = 8.6 • 10-4). При £ ^ 0.1 волновое чиело Кте ^ 0.3, что близко к его среднему (0.283) и минимальному (0.25) значениям. Другими словами, вихревой масштаб при £ ^ 0.1 принимает значение порядка размера области по горизонтали.
Для иллюстрации процесса укрупнения вихревых структур рассмотрим изолинии функции тока в три последовательные момента времени.
На рис. 8 представлена функция тока на начальном этапе развития течения, Кте ^ 1.
Рис. 9 показывает начальный этап объединения вихрей и формирования крупномасштабной структуры, Кте ^ 2.36.
А рис. 10 изображает уже сформированную крупномасштабную структуру, ясно видный вихрь имеет горизонтальный размер порядка размера области I = 4п, Кте ^ 0.235.
Рис. 8. Изолинии функции тока при £ = 7.65 • 10 4.
Рис. 9. Изолинии функции тока при £ = 2.90 • 10 2.
Рис. 10. Изолинии функции тока при £ = 2.29 • 10 1.
Таким образом, в трехмерной и двумерной конвекции качественно различается поведение вихревого масштаба 1те = п/Кте при достаточно большой надкритичности.
В трехмерном решении вихревой масштаб уменьшается с ростом надкритичности примерно по степенному закону корня двенадцатой степени и течение становится более мелкомасштабным. И, наоборот, в двумерном решении вихревой масштаб имеет тенденцию к росту и при достаточно большой надкритичности принимает значения порядка размера
области. Отсюда следует, что двумерные решения более крупномасштабные и обладают большей гладкостью.
6. Спектры скорости и температуры
В этом разделе везде а = 0.25. Отмеченное укрупнение вихревого масштаба связано, очевидно, с потоком кинетической энергии из масштаба генерации к большим масштабам.
Теоретические рассмотрения показывают, что в двумерной турбулентности должны существовать два инерционных интервала со степенными законами к-5/3 и к-3, по которым реализуются каскадные процессы переноса энергии и энстрофии. Причем направления потоков, переносящих соответствующие квадратичные величины из масштаба генерации, различны: обратный (красный) каскад энергии обеспечивает перекачку энергии к большим масштабам, а прямой каскад энстрофии обусловливает диссипацию [13].
Методика вычисления осредненных по времени пространственных одномерных спектров описана в [10]. Небольшие участки спектра, отвечающие высоким волновым числам на рис. 11-16 не показаны из-за их неинформативности ввиду искажения численными эффектами [34].
На рис. 11 изображен одномерный (ж — направление) пространственный спектр скорости при г = 6-103. Ясно видны инерционные интервалы со степенными законами к-5/3 и к-3, соответствующие обратному каскаду энергии и прямому каскаду энстрофии. На рис. 11-13 кд соответствует волновому числу наиболее быстрорастущего по линейной теории возмущения.
Рис. 11. Спектр скорости при г = 6 ■ 103.
На рис. 12 одномерный спектр скорости изображен при г = 3-104. Ясно виден обратный каскад энергии со степенным законом к-5/3. Но в области более высоких волновых чисел степенной закон энстрофийного каскада к-3 трансформировался в более пологий к-2'6.
На рис. 13 приведен характерный вид спектра скорости при высокой надкритичности
7 —2 6 к-2.6.
Теперь рассмотрим перестройку температурного спектра при увеличении надкритичности.
Рис. 12. Спектр скорости при г = 3 • 104.
Рис. 13. Спектр скорости при г = 3.4 • 104.
При 750 ^ г ^ 2000 в длинноволновой части температурного спектра виден участок со степенным законом Болджиано-Обухова (ВО) к-14, что иллюстрирует спектр температуры на рис. 14.
Но при г = 2 • 103 происходит перестройка температурного спектра, и при 2 • 103 < г ^ ^ 6 • 103 в длинноволновой части спектра появляется участок со степенным законом Бэтчелора к-1 (рис. 15).
При дальнейшем увеличении надкритичности показатель степенного закона на длинноволновом участке температурного спектра совершает колебания в интервале [0.7,1], с наибольшей вероятностью принимая значение 0.8.
Рис. 16 показывает, что при увеличении надкритичности показатель степенного закона длинноволнового спектра температуры определяется с большей точностью.
Подобная перестройка температурного спектра наблюдалась в физически близкой задаче о конвекции в вертикальной мыльной пленке при подогреве снизу [35], а именно: при разности температур < 48 К длинноволновый спектр температуры соответствовал закону БО к-14, а при > 48 К — закону Бэтчелора к-1. Авторы [35] связывают перестройку температурного спектра с формированием крупномасштабной структуры течения.
Рис. 14. Спектр температуры при г = 1.25 • 103.
Рис. 15. Спектр температуры при г = 3 • 103.
Показатель степенного закона коротковолнового спектра температуры в настоящей работе принимает значения из интервала [-5.2, -3], а в [35] этот интервал несколько меньше — [-4.2, -3].
На рис. 17 приведена диаграмма полученных в расчетах спектров — показателей степенных законов (умноженных на -1) длинноволновых спектров скорости и температуры и коротковолнового спектра скорости, представленных как функция надкритичности.
Из рис. 17 видно, что в диапазоне значений надкритичности 4 • 103 ^ г ^ 104 реализуются одновременно обратный каскад энергии и прямой каскад энстрофии. В инерционном интервале прямого каскада энстрофии спектр скорости следует степенному закону к-в, 2.9 ^ в ^ 3.1, близкому к к-3. При г ^ 104 видна тенденция к установлению единого во всем спектре степенного закона, близкого к к-2 65 и обратный каскад энергии ясно идентифицируется лишь эпизодически (например, при г = 3 • 104 на рис. 12). При большой надкритичности спектр скорости приобретает характерный вид, приведенный на рис. 13.
Рис. 16. Спектр температуры при г = 1.3 • 104.
3
й
0
Й
0 л
X
1
2
1
3 -
0000_ 6 Коротковолновый спектр скорости
+
4000
ООО д і Л Л
о о°°° о
02.6-0-0 -0-0
П~
+ + + + Н---------------5/3
---------------1.4
10000 ++++++ч+ + + +
, + Длинноволновый спектр скорости
+-
Длинноволновый спектр температуры
1 «
\ 2000 6000 ні—
750 , *
!
• •—• • •
}__________1_
0 1 104 2-104 г 3104
Рис. 17. Показатели степенных законов для скорости и температуры как функции надкритичности.
Отмеченная перестройка спектра скорости при г ~ 104 подобна полученной в численных исследованиях [19,20,23] и эксперименте [24] и обусловлена формированием крупномасштабной вихревой структуры течения. И более того так как при г > 104 крупномасштабная структура поля скорости уже сформирована, то ввиду пренебрежимо малой диссипации на больших масштабах энергетическая роль обратного каскада, сведясь лишь к поддержанию крупномасштабного поля скорости, падает. С другой стороны, с ростом надкритичности диссипация растет как г13 [10] и это приводит к усилению энстрофийного каскада, через который она реализуется. Таким образом, ослабление обратного каскада энергии и усиление прямого каскада энстрофии приводят к расширению области действия последнего и обусловливает тенденцию установления единого степенного закона. Отклонение его показателя степени на 13% от показателя степени энстрофийного каскада (—2.6 вместо — 3),
предположительно, связано с взаимодействием одновременно существующих потоков энергии и энстрофии, в результате чего степенной закон энстрофийного каскада заменяется более пологим, но простирающимся в область волновых чисел, меньших частоты генерации.
Перестройка температурного спектра при г ~ 2 • 103 также физически обусловлена формированием красного каскада энергии. При недостаточно большой надкритичности красный каскад еще не сформирован, и на больших масштабах существенна роль плавучести, что и обусловливает спектр ВО к-14. Но с повышением надкритичности энергетическое значение красного каскада усиливается. Благодаря его действию происходит перекачка энергии пульсаций скорости в большие масштабы, поле скорости становится крупномасштабным при относительно низком уровне пульсаций, и возникает так называемый вязкоконвективный интервал, где пульсации температуры управляются крупномасштабным полем скорости,
к -1 [13].
7. Влияние каскадных процессов на средние характеристики
Очевидно, что формирование крупномасштабной структуры поля скорости и связанное с ним постепенное включение больших масштабов должно отражаться в зависимостях средних величин от надкритичности при различных а.
На рис. 18 приведены в двойных логарифмических координатах пульсации вертикальной скорости (при г = 0) как функции надкритичности при различной длине области по горизонтали I = п/а. Как и на рис. 6, видно постепенное включение больших масштабов при г = 103 (длины обл асти I = п/1 = п недостаточно) иг = 6 • 103 ( I = п/0.5 = 2п — недостаточно). Относительно более слабая перестройка при г = 1.7• 104 на рис. 18 не видна.
Рис. 18. Пульсации вертикальной скорости как функция надкритичности при различных а.
На рис. 19 представлена кинетическая энергия на единицу длины области Е&/I, I = = п/а а.
при г = 6 • 103 и г = 1.7 • 104.
В то же время рис. 20 показывает, что на интегральной характеристике теплообмена — числе Нуссельта — отмеченные перестройки отражаются более мягко, опосредованно. Отмеченные выше перестройки течения наблюдаются здесь при более высоких значениях
Ек/1
1.5107
1107
5-106
а
надкритичности, а именно: длины области I = п недостаточно при г = 104 и I = 2п — при г = 2 • 104.
Ии 25
20 15 10
а
8. Заключение
В двумерной и трехмерной постановках рассмотрена задача о конвекции вязкой и несжимаемой жидкости между двумя горизонтальными, свободными от касательных напряжений и изотермическими плоскостями при подогреве снизу.
Получено, что в трехмерной турбулентной конвекции вихревой масштаб уменьшается с ростом надкритичности примерно по закону корня двенадцатой степени, в то время как в двумерной ясно видна обратная тенденция — вихревой масштаб растет до значения порядка размера области. Последнее обстоятельство делает двумерную конвекцию более крупномасштабной и гладкой.
2й
0 — а=!
О — а=0.5 □
+ - а=0.25 +
□ - а=0.125 □ +
7=17000 +
I □
I □ +
9 о 0
+ . ° . *
г=6000 пф О • •
* I___________________I
1 104 2 104 г 3104
0
При значении надкритичности 4 ■ 103 ^ r ^ 104 в спектре скорости одновременно наблюдаются два инерционных интервала, соответствующие обратному каскаду энергии со степенным законом k-5/3, перекачивающему кинетическую энергию из масштаба генерации в крупные масштабы, и прямому каскаду энстрофии со степенным законом k-3, который обеспечивает диссипацию. А при r > 104 видна тенденция к установлению единого степенного закона k-2'6 — слегка искаженного закона энстрофийного каскада.
Перестройка спектра скорости при r ~ 104, как и отмеченная в численных исследованиях [19,20,23] и эксперименте [24], обусловлена формированием крупномасштабной структуры течения. Более того, относительное ослабление обратного каскадного переноса энергии к большим масштабам (крупномасштабная структура поля скорости уже сформирована, а диссипация энергии пренебрежимо мала на больших масштабах) и усиление прямого каскада энстрофии из-за роста диссипации (примерно как r1'3 [10]) усиливает тенденцию установления единого степенного закона. Отклонение его показателя степени на 13% от показателя степени энстрофийного каскада (—2.6 вместо —3), предположительно, связано с взаимодействием потоков энергии и энстрофии, в результате чего степенной закон энстрофийного каскада заменяется более пологим, но простирающимся в область волновых чисел, меньших частоты генерации.
Обсудим теперь перестройку длинноволнового спектра температуры. В температурном спектре при 750 ^ r ^ 2 ■ 103 наблюдается степенной закон Болджиано-Обухова k-1'4, который при 2 ■ 103 ^ r ^ 6 ■ 103 заменяется законом Бэтчелора — k-1. При r > 6 ■ 103 показатель степени в степенного закона k-e принимает значения из интервала [0.7,1], с наиболее вероятным значением 0.8.
Подобная перестройка наблюдалась экспериментально в физически близкой задаче о конвекции в вертикальной мыльной пленке при подогреве снизу [35]. В спектре температуры при dQ < 48 К наблюдался спектр БО k-1'4, а при dQ > 48 К — спектр Бэтчелора k-1. Авторы [35] связывают перестройку температурного спектра с формированием крупномасштабной структуры течения.
В самом деле, указанная перестройка температурного спектра при r w 2 ■ 103 обусловлена действием красного каскада энергии, что находит свое отражение в процессе формирования крупномасштабной структуры течения (конденсации). При недостаточно большой
надкритичности красный каскад еще не сформирован и на больших масштабах существен-
k-1.4.
благодаря действию красного каскада, происходит перекачка энергии пульсаций скорости в большие масштабы, поле скорости становится крупномасштабным при относительно низком уровне пульсаций и возникает так называемый вязкоконвективный интервал, где пульсации температуры управляются крупномасштабным полем скорости, что обусловливает k-1
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект №07-01-96070).
Список литературы
[1] Kerr R. М. Rayleigh Number Scaling in Numerical Convection // J. Fluid Mech., 1996, vol. 310,
pp.139-179.
[2] Malevsky A. V. Spline-Characteristic Method for Simulation of Convective Turbulence // J. Comput.
Phys., 1996, vol. 123, no. 2, pp. 466-475.
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[Ю]
[П]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[IT]
[18]
[19]
[20] [21] [22] [23]
Verzicco R. and Camussi R. Numerical Experiments on Strongly Turbulent Thermal Convection in a Slender Cylindrical Cell // J. Fluid Mech., 2003, vol. 477, pp. 19-49.
Shishkina O. and Wagner C. Analysis of Thermal Dissipation Rates in Turbulent Rayleigh-Benard Convection // J. Fluid Mech., 2006, vol. 546, pp. 51-60.
Cortese T. and Balachandar S. Vortical Nature of Thermal Plumes in Turbulent Convection // Phys. Fluids A, 1993, vol. 5, no. 12, pp. 3226-3232.
Curry J. H., Herring J.R., Loncaric J., and Orszag S. A. Order and Disorder in Two- and ThreeDimensional Benard Convection // J. Fluid Mech., 1984, vol. 147, pp. 1-38.
Герценштейн С. Я., Родичев Е. Б., Шмидт В. М. Взаимодействие трехмерных волн во вращающемся горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу // Докл. АН СССР, 1978, т. 238, №3, с. 545-548.
Malevsky A.V. and Yuen D. A. Characteristics-Based Methods Applied to Infinite Prandtl Number Thermal Convection in the Hard Turbulent Regime // Phys. Fluids A, 1991, vol. 3, no. 9, pp. 21052115.
Werne J. Structure of Hard-Turbulent Convection in Two Dimensions: Numerical Evidence // Phys. Rev. E, 1993, vol. 48, no. 2, pp. 1020-1035.
Палымский И. Б. Численное исследование спектров турбулентной конвекции Рэлея-Бенара // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №2, с. 145-156.
Гетлинг А. В. Конвекция Рэлея-Бенара: Структуры и динамика. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 247 с.
Палымский И. Б. Численное моделирование двумерной конвекции при высокой надкритично-сти // Усп. механ., 2006, №4, с. 3-28.
Фрик П. Г. Турбулентность: подходы и модели. М.-Ижевск: Инст. компьют. иссл., 2003. 292 с.
Shats М. G., Xia Н., Punzmann Н., and Falkovich G. Supression of Turbulence by Self-Generated and Imposed Flows // Phys. Rev. Lett., 2007, vol. 99, no. 16, pp. 164502.
Физика океана / Под ред. Ю. П. Доронина. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. 296 с.
Frish U. and Sulem P. L. Numerical Simulation of the Inverse Cascade in Two-Dimensional
Turbulence // Phys. Fluids, 1984, vol. 27, no. 8, pp. 1921-1923.
Babiano A., Dubrulle B., and Frick P. Scaling Properties of Numerical Two-Dimensional Turbulence // Phys. Rev. E, 1995, vol. 52, no. 4, pp. 3719-3729.
Boffetta G., Celani A., and Vergassola M. Inverse Energy Cascade in Two-Dimensional Turbulence: Deviations from Gaussian Behavior // Phys. Rev. E, 2000, vol. 61, no. 1, pp. R29-R32.
Tran С. V. and Bowman J. C. Robustness of the Inverse Cascade in Two-Dimensional Turbulence // Phys. Rev. E, 2004, vol. 69, pp. 036303.
Borue V. Inverse Energy Cascade in Stationary Two-Dimensional Homogeneous Turbulence // Phys. Rev. Lett., 1994, vol. 72, no. 10, pp. 1475-1478.
Smith L. M. and Yakhot V. Bose Condensation and Small-Scale Structure Generation in a Random Force Driven 2D Turbulence // Phys. Rev. Lett., 1993, vol. 71, no. 3, pp. 352-355.
Chen S., Ecke R. E., Eyink G.L., Rivera М., Wan М., and Xiao Z. Physical Mechanism of the
Two-Dimensional Inverse Energy Cascade // Phys. Rev. Lett., 2006, vol. 96, no. 8, pp. 084502.
Chertkov М., Connaughton C., Kolokolov I., and Lebedev V. Dynamics of Energy Condensation in Two-Dimensional Turbulence // Phys. Rev. Lett., 2007, vol. 99, no. 8, pp. 084501.
[24] Shats М. G., Xia Н., and Punzmann Н. Spectral Condensation of Turbulence in Plasmas and Fluids and Its Role in Low-To-High Phase Transitions in Toroidal Plasma // Phys. Rev. E, 2005, vol. 71, pp. 046409.
[25] Smith L. M. and Waleffe F. Transfer of Energy to Two-Dimensional Large Scales in Forced, Rotating Three-Dimensional Turbulence // Phys. Fluids, 1999, vol. 11, no. 6, pp. 1608-1622.
[26] Bruneau C.H. and Kellay H. Experiments and Direct Numerical Simulations of Two-Dimensional Turbulence // Phys. Rev. E, 2005, vol. 71, pp. 046305.
[27] Палымский И.Б. Линейный и нелинейный анализ численного метода расчета конвективных течений // Сиб. журн. вычисл. матем., 2004, т. 7, №2, с. 143-163.
[28] Палымский И. Б. Численное моделирование двумерной конвекции, роль граничных условий // Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2007, №4, с. 61-71.
[29] Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
[30] Палымский И.Б. Метод численного моделирования конвективных течений // Вычисл. технологии, 2000, т. 5, №6, с. 53-61.
[31] Palymskiy I.B., Fomin P. A., and Hieronymus H. Rayleigh-Benard Convection in Chemical Equilibrium Gas (Simulation of Surface Detonation Wave Initiation) // Appl. Math. Modelling, 2008, vol. 32, no. 5, pp. 660-676.
[32] Пасконов В. М., Полежаев В. П., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и мас-сообмена. М.: Наука, 1984. 285 с.
[33] Chu T.Y. and Goldstein R. J. Turbulent Convection in a Horizontal Layer of Water // J. Fluid Mech., 1973, vol. 60, pp. 141-159.
[34] Рождественский Б. Л., Яненко H. H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. 2-е изд. М.: Наука, 1978. 687 с.
[35] Zhang J. and Wu X. L. Density Fluctuations in Strongly Stratified Two-Dimensional Turbulence // Phys. Rev. Lett., 2005, vol. 94, no. 17, pp. 174503.
