CC BY
190
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXIV 1993 № 3
УДК 551.551
СПЕКТР НЕПРЕРЫВНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И КОГЕРЕНТНЫЕ СТРУКТУРЫ
Г. Н. Шур
В развитой атмосферной турбулентности одновременно могут существовать хаотические движения, образующие каскад, по которому кинетическая энергия этих движений в конце концов переходит в тепловую; двумерные вихри, образующие каскад энстрофии, также переходящей в тепло; упорядоченные когерентные структуры, берущие энергию из спектра турбулентности. Методы спектрального анализа позволяют по спектру когерентности оценить масштабы возникающих когерентных структур.
Для оценки этих структур предложен метод, использующий функциональную связь между скоростью когерентного порыва и его масштабом £
вида и = причем к - /(е), где скорость диссипации £ характеризует
уровень кинетической энергии хаотических движений. Полученная зависимость является оценкой сверху.
До недавнего времени считалось, что главным признаком турбулентности является хаотический, случайный характер изменений термодинамических характеристик потока жидкости или газа в пространстве и во времени. Полагали, что в развитом турбулентном потоке существует перенос энергии от неких первичных неоднородностей с масштабом, сравнимым с характерными размерами самого потока, к более мелким по масштабу движениям, причем это измельчение приводит в конце концов к переходу кинетической энергии в тепловую.
Хотя элемент движения в турбулентном потоке часто назывался турбулентным вихрем, речь при этом шла о нерегулярно изменяющихся в пространстве и времени элементах со случайными значениями скорости.
Спектральная плотность энергии в инерционном интервале локально-изотропной турбулентности определяется единственным параметром £ — скорость диссипации при переходе кинетической энергии в тепло:
*У(А:) = с ^2/3^-5/э.
Это справедливо в том случае, если единственным источником энергии является вихрь, возникший в результате потери устойчивости
основным потоком, а единственным стоком энергии является переход ее в тепло за счет диссипации. Однако в области волновых чисел, относящихся к классическому инерционному интервалу, могут действовать другие источники и стоки энергии. Так, например, если развитая трехмерная турбулентность существует в среде, устойчиво стратифицированной по плотности, то одновременно с каскадной передачей энергии по спектру будет происходить потеря энергии на работу против архимедовых сил. При этом спектр в инерционном интервале будет иметь большую крутизну, и, как показано в [1], в левой части инерционного интервала степенная зависимость будет иметь вид
5(£) = св11ък~ъ. (!)
В силу того что устойчивая стратификация по плотности может оказывать влияние уже на стадии образования первичных турбулентных вихрей, крупномасштабная турбулентность часто является двумерной. Установлено, что в двумерной турбулентности сохраняется не только кинетическая энергия, но и вихрь скорости (О.
По аналогии с кинетической энергией Е = ^-м2 вводится понятие энстрофии /2= [2]. Е и О вырождаются по законам
дЕ . ч дП
(— £), (— еа))-
дt ’ д1
Возникает некий масштаб длины Ьш = (е / еш)1/2, и теперь спектр энергии при спектральном переносе энстрофии в инерционном интервале волновых чисел будет определяться формулой
J(*) = <?!(* Ze)e2/3*-5/3.
Тогда на одном из концов инерционного интервала спектра существен только s, а на другом только £а. На правом конце будет Ci(kLm) = const, и тогда S(k)~ к~5/3, а на левом c^kL^) = (kLa), и тогда S(k)~ к~3, что соответствует зависимости (1). Противоречия здесь нет: архимедовы силы в устойчивом потоке подавляют вертикальную компоненту турбулентности, турбулентность в области малых к является квазидвумерной.
В последние годы представления о турбулентности подверглись существенному пересмотру. Вопреки сложившимся представлениям о том, что кинетическая энергия турбулентных хаотических пульсаций через механизм нелинейных взаимодействий переходит ко все более мелким хаотическим пульсациям, вплоть до тепловых пульсаций молекул, оказалось, что в турбулентном потоке могут возникать упорядочен-
ные когерентные структуры, которые берут энергию из спектра непрерывной турбулентности. Когерентные структуры могут брать энергию и непосредственно из осредненного движения. В этом случае наряду с неустойчивыми вихрями, порождающими колмошровский каскад, образуются долгоживущие упорядоченные структуры.
Упорядоченные когерентные структуры, образовавшиеся в процессе переноса энергии по спектру, отличаются высокой концентрацией энергии в узком диапазоне волновых чисел, тогда как в непрерывном спектре «стохастической» турбулентности энергия как бы «размазана» по спектру.
Таким образом, в настоящее время сложилось представление о том, что турбулентные течения в атмосфере имеют сложную структуру: одновременно с каскадным колмогоровским переносом кинетической энергии и каскадным переносом энстрофии существуют упорядоченные когерентные структуры.
Когерентные структуры имеют определенный жизненный цикл от возникновения до диссипации. С когерентными структурами сейчас связывают и основную роль в переносе пассивных примесей, а также тепла и количества движения.
При экспериментальных исследованиях турбулентности атмосферы установленные на борту самолета-лаборатории измерительные комплексы позволяют получить пространственные реализации вертикальной и горизонтальной компонент пульсаций скорости потока, измеренных вдоль линии полета. В результате статистической обработки по программам, разработанным В. М. Ермаковым и В. В. Волковым, получены энергетические спектры вертикальной и горизонтальной компонент пульсаций скорости, а также спектр когерентности СоЬки (к). В работе [3] показано, что, приняв за оценку границы коррелированности компонент пульсации скорости ветра значение СоЬ^ (к) >0,15, можно выделить волновые числа (масштабы), на которых велика вероятность возникновения и устойчивого существования упорядоченных когерентных структур.
Существуют и другие способы обнаружения упорядоченных структур в поле турбулентности по экспериментальным данным, например метод ортогональных разложений Ламли [4]. В основу всех методов положен принцип поиска гармоник, для которых ортогональные компоненты коррелированы между собой.
В настоящей статье речь идет о диссипативных структурах [5], получающих энергию от хаотических пульсаций скорости. При образовании когерентных структур происходит концентрация энергии в очень узком диапазоне волновых чисел, и потому нельзя для оценки энергии этих структур напрямую использовать значение энергетического спектра одной из компонент пульсаций скорости на волновом числе, соответствующем высокому значению СоЬ^ (к). В процессе образования когерентных структур происходит концентрация энергии от пульсаций больших и меньших близлежащих по спектру волновых чисел.
Как указывалось выше, сейчас широко распространенным является мнение, что перенос в турбулентном потоке пассивных примесей, так же как и тепла, влаги и количества движения в направлении, перпен-
дикулярном направлению основного потока, во многом осуществляется именно когерентными структурами.
Воздействие турбулентности на летательные аппараты также в значительной степени определяется когерентными структурами. Основное отличие когерентных структур от непрерывного спектра в смысле воздействий на летательные аппараты заключается в том, что в непрерывном спектре в узкой полосе волновых чисел заключено мало энергии. В то же время при образовании когерентных структур энергия справа и слева по спектру концентрируется в очень узком диапазоне значений волновых чисел. При этом взаимодействие летательного аппарата с когерентными структурами может приобретать характер циклически повторяющихся воздействий. Такие воздействия могут быть опасными даже при сравнительно небольшой энергии, содержащейся в когерентных структурах.
Еще одной характерной особенностью когерентных структур является то, что они не привязаны жестко к определенным волновым числам (масштабам). Они могут укрупняться и, наоборот, измельчаться, причем не обязательно дискретно, путем слияния или дробления, а и плавно, что определяется нелинейностью механизма преобразования.
Как было показано в работе [3], летные эксперименты позволяют оценить масштабы когерентных структур по данным спектрального анализа. Принято считать, что такие структуры существуют в области волновых чисел (масштабов), для которых СоЬ^ (к) > 0,15, где
Є2 (*)
СоЬ™ (к) - ——
Я^к^^к)'
Здесь <2Ки — модуль амплитудного взаимного спектра; .5^ (к) и
Яи (к) — одномерные энергетические спектры.
Для оценки энергии когерентных структур естественно предположить, что между энергией такой структуры и ее масштабом имеется функциональная связь. В спектре турбулентности между энергией (скоростью) и волновым числом (масштабом) существует степенная зависимость. Для колмогоровского спектра
‘Уц (к) = = 0,2*2/3А;-5/3
2 йк
откуда
0-2= 2кБи (к) = 2 • 0,2 £2/3£-2/з_
Такая же зависимость существует и для а 2 .
Переходя от волновых чисел к масштабам, можно записать
СГ2 =0,4*2/3£,2/3
Х011 5 хип
или
<*=Д4*/Ч/3, ^=л/М^Ч/3- (2)
Квадрат пульсации скорости когерентной структуры, соответствующей определенному волновому числу к] (или масштабу Ц), будет выше, чем а2(к{). Для оценки пульсации можно предположить, что при достаточно длительном существовании турбулентной зоны в ней могли зарождаться и диссипировать когерентные структуры с волновыми числами, близкими к к{. Тогда максимальные значения сг2(А:,) должны соответствовать квадрату пульсаций скорости когерентных структур, а квадраты среднеквадратических значений — дисперсии случайных скоростей с волновыми числами к{ в спектре колмогоровской турбулентности.
Программа АСБР, разработанная В. М. Ермаковым для статистической обработки результатов летных экспериментов, оперирует числовыми значениями изучаемого физического параметра, снятыми с дискретностью, обеспечивающей значимую оценку величины на правом краю спектра. Анализ показал, что распределение значений близко к нормальному. Из этого, конечно, еще не следует, что амплитуды составляющих спектра в каждом узком диапазоне волновых чисел будут распределены также по нормальному закону, даже если спектр достаточно монотонен — не имеет особенностей. Этот вопрос требует специального анализа. Однако из общих соображений можно предположить, что:
— во-первых, амплитуда скорости когерентного вихря с масштабом Ц = 1 / к{ будет больше, чем среднее квадратическое значение амплитуды спектральных составляющих этого же масштаба;
— во-вторых, положив все-таки распределение амплитуд в узком спектральном диапазоне нормальным, оценкой сверху в предварительном порядке можно считать значение За-; для проверки следует проанализировать достаточно протяженные временные ряды значений измеряемого параметра в узком спектральном диапазоне в окрестности к,-.
Рассмотрим в качестве примера результаты статистической обработки одного режима, выполненного на самолете Ил-18 на высоте 500 м. На рис. 1 представлены одномерные спектры вертикальной и горизонтальной компонент пульсаций скорости ^ (к) и (к), соответствующие им спектры энергии кЯ„ (к) и кЯи (к), а также спектр когерентности СоЬ№и (к). Для определения масштаба возникающих когерентных структур взяты значения СоЬ^ (£) > 0,15 в соответствии с работой [3].
Наиболее вероятным масштабом когерентных структур является 237 м (к,- = 4,42 • 10-3м-1), для которого значение СоЬ^ (к) составляет 0,39. В окрестности этого масштаба наклон спектров 5^ (к) и (к) близок к -5/3. Значение спектральной скорости переноса энергии ек [1], опре-
*й(*)У.с'г
т*3с'г
Рис. 1. Результаты статистической обработки данных режима самолета Ил-18 на высоте 500 м:
1-Зу,(к); 2 Бц (к); {-к3^ку>
2 — к$и(к); 3 — СоЬ^ (к); 4 — энергия на единицу массы когерентной структуры
К
Рис. 2. Зависимость коэффициента К = (и = АХ1/3) от е
деленное по 5*,(к), равно 10см2 с_3(10_3м2 с-3). Используя соотношение (2), получим
= 7М(10-3)1/32371/3 = 0,4м • с-1.
Таким образом, характерная скорость когерентных структур этого масштаба может достигать 3<т= 1,2м • с_1. Для оценки энергии на единицу масштаба можно воспользоваться соотношением
. 1^2 =^Ья>1 = о,72м2-с-2.
2 2
На рис. 1 показано, как соотносится энергия когерентных образований с энергией, «размазанной» по спектру (всплеск кривой 1' в районе Л,- до точки 4). Если же для уровня энергии пользоваться такой
характеристикой, как ек> то для приведенного примера в когерентных структурах эта величина возросла на порядок.
В работе [6] приведена зависимость амплитуды отдельных, так называемых дискретных порывов от их пространственного масштаба, а в работе [7] предлагалось в число параметров, связывающих скорость порыва с его масштабом, включить скорость диссипации. Выше было показано, что и для когерентных структур, возникающих из хаотических пульсаций скорости, существует связь между энергией этих упорядоченных структур и их масштабами. В коэффициент, связывающий максимальную скорость и масштаб, входит скорость диссипации е, характеризующая уровень энергии спектра непрерывной хаотической турбулентности, породившей эти структуры. На рис. 2 представлена зависимость от е коэффициента К в формуле
и = К1}'\
где и — характерная скорость когерентной структуры, Ьк — масштаб
когерентной структуры, К = Зу[0~4е1/3.
В заключение следует отметить, что, используя результаты экспериментальных исследований турбулентности, выполненных на специально оборудованных самолетах-метеолабораториях, можно оценить параметры непрерывной (хаотической) турбулентности, энстрофии и возникающих за счет энергии хаотических движений когерентных упорядоченных структур.
Полученные экспериментальные данные систематизируются и нормируются по высоте, метеорологическим ситуациям и т. д. Такой подход представляется нам наиболее плодотворным при разработке физических моделей атмосферной турбулентности, предназначенных для инженерных расчетов.
1.Шур Г.Н. Перенос энергии по спектру турбулентности свободной атмосферы/ДУрбулентные течения.—М.: Наука.—1970.
2. Batchelor G. К. Computation of the energy spectrum in homogeneous two-dimensional turbulence//Phys. Fluids Suppl. — 1969. V.12, N 12.
3. Пи нус H. 3., Шур Г. Н. Экспериментальные исследования когерентной структуры турбулентных течений в нижней тропосфере//МиГ. — 1989, №5.
4. Sumley J. L. Stochastic tools in tuibulence//Acad. Press. — 1970, N4.
5. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах//М.: Мир. —1979.
6.Бызова Н. Л., Алакоз А. В., Львов Г. М., Шур Г. Н. О модели турбулентности нижней тропосферы//МиГ. — 1990, № 6.
7.Бызова Н. Л., Иванов В. Н., Гаргер Е. К. Турбулентность в пограничном слое атмосферы//Л.: Гидрометеоиздат. — 1989.
Рукопись поступила 19/Х 1991г.
