Каскадные процессы и скейлинг в классе моделей МГД турбулентности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.517:537.84

Т.Ю. Антонов, П.Г. Фрик

Институт механики сплошных сред УрО РАН

КАСКАДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И СКЕЙЛИНГ В КЛАССЕ МОДЕЛЕЙ МГД ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Abstract

Quadratic integrals of motion mostly determine ihe small scale turbulence structure. In (his paper we study a class of shell models of magnetohydrodynamic (MHD) turbulence, which contain three integrals of motion: the total energy, the cross-helicit}’ and the third integral W depending on model’s parameter s. One shows that for e < 1 the integral W is a helicity-like integral and the system displays a small scale dynamo effect, characterized by pronounced inertial range with equipartition of magnetic and kinetic energies. In this case the spectral index is close to Kolmogorov's "-5/3”. At e>\ W becomes a positive-defined integral. Then the character of energy transfer processes changes. As s increases, the magnetic energy: containing scale moves to small scales. At e > 2 the dynamo process becomes impossible and the magnetic field plays a role ofpassive scalar.

1.Введение

Важнейшим признаком развитой турбулентности является наличие широкого интервала масштабов, в котором имеет место каскадный перенос квадратичных величин. Наличие постоянного вдоль всего инерционного интервала спектрального потока энергии определяет характер классической колмогоровской турбулентности. Появление дополнительных квадратичных интегралов движения (величин, сохраняемых в бездисси-пативном пределе) качественно меняет характер каскадных процессов в турбулентности. Так, в двумерной гидродинамике сохраняющейся величиной является энстрофия (средний квадрат завихренности), что делает невозможным перенос энергии в малые масштабы. В результате, в двумерной турбулентности возникают два инерционных интервала: интервал переноса энстрофии в малые масштабы и интервал переноса энергии в большие масштабы.

Турбулентное движение проводящей жидкости описывается уравнениями магнитной гидродинамики (МГД). Запишем их в безразмерном виде для случая несжимаемой жидкости:

d,й + (SV)й = (ВЧ)В - V(P + Ё2 / 2) + Re 1 Дн,

dtB + fu\7)B = (BV)u+Rm-[ АВ, (1)

Уй = 0 , VB = О,

(здесь и - скорость, В - индукция магнитного поля, Р -давление, Re - число Рейнольдса, Rm- магнитное число Рейнольдса) Система (1) в пределе Re,Rm —> ос характеризуется тремя интегралами движения: общей энергией, перекрестной спиральностью и магнитной спиральностью:

Е = Еи + Ев = і\{й1 + В2)dV, Яс = J, Яв = J(ЛЯ)</Г,

где А - векторный потенциал, В - rot А . Из этих трех величин положительно определенной является только энергия, а обе спиральности могут иметь произвольный знак. Отметим, что при переходе к двумерной магнитной гидродинамике два интеграла (энергия и перекрестная спиральность) остаются неизменными, а третий заменяется на

каскадных процессах не столь однозначна, как роль положительно определенных интегралов типа энергии и энстрофии. Даже в обычной трехмерной гидродинамической турбулентности, которая помимо энергии сохраняет и спиральность Ни = \{йгои7уй',

процессы каскадного переноса спиральности и его влияния на каскад энергии по-прежнему вызывают много споров. В МГД-турбулентности ситуация еще более запутана, тем более, что экспериментальный материал по мелкомасштабной МГД-турбулентности практически отсутствует, а прямые численные исследования уравнений (1) с достаточным разрешением только начинаются (например, [1]).

В данной работе сделана попытка определить взаимосвязь законов сохранения и динамики инерционного интервала в системе гидродинамического типа с тремя интегралами движения путем рассмотрения однопараметрического класса каскадных моделей МГД-турбулентности, позволяющих непрерывным образом варьировать третий интеграл движения.

2. Каскадная модель МГД турбулентности

Каскадные модели - это простейшие спектральные модели развитой турбулентности, в которых каждая переменная характеризует амплитуду пульсаций скорости (температуры, магнитного поля и т.д.) внутри целой октавы волновых чисел. Представляя собой динамические системы из нескольких десятков уравнений, эти модели, тем не менее, воспроизводят многие достаточно тонкие свойства развитой турбулентности (см., например [2,3]).

Рассмотрим модель МГД-турбулентности, предложенную П.Г. Фриком и Д.Д. Соколовым в работе [4]. В отличие от других МГД-моделей [5-7], эта модель в бездиссипативном пределе сохраняет три квадратичные величины, соответствующие всем известным интегралам движения в магнитной гидродинамике. В данной работе модель модифицирована таким образом, что в ней сохранен один управляющий параметр е , отвечающий, в частности, за вид интегралов движения.

Уравнения модели запишем в виде

квадрат векторного потенциала

интегралов типа спиральности в

V

V

(2)

(3)

где Uп и Вп - комплексные переменные, характеризующие соответственно пульсации скорости и магнитного поля в интервале волновых чисел кп < к \<кл+[, кп = к0 2”. Уравнения (2)-(3) в пределе Re = Rm = оо сохраняют две квадратичные величины

п п

являющиеся аналогами общей энергии и перекрестной спиральности. Эти величины остаются интегралами движения при любых значениях параметра е. Система (2)-(3) обладает и третьим интегралом движения, который можно записать в виде

w = X (sign(a- -1))" К \В„\2 , Я = log2 | е ~ 1 :. (4)

Я

Интересно, что при s - 1 меняется тип интеграла движения. Для £ > 1 интеграл (4) есть величина положительно определенная и при s -514 является аналогом квадрата векторного потенциала

Ш^а = ^К2\В„\2 . (5)

П

Для s < 1 третий интеграл (4) становится знакопеременной величиной и при £• = 1/2 имеет размерность магнитной спиральности, являясь аналогом соответствующей величины в трехмерной магнитной гидродинамике,

w2=hb=Yj(-\YK1\b„ |2. (6)

п

Отметим, что в работе [4] каскадные уравнения (2)-(3) исследовались для случаев е - М2 и £ = 5/'4, соответствующих трех- и двумерной МГД-турбулентности.

Каскадные уравнения (2)-(3) имеют в инерционном интервале стационарные решения вида

в„ = в,к> (7)

Очевидно, что при любых fi - а уравнение (3) удовлетворяется автоматически, а уравнение (2) имеет решения, известные для соответствующей гидродинамической модели [2],

«1 = А = ". «2 = А = ^log2 (8)

Первое решение соответствует колмогоровскому спектру /' ( к) « к 5,3 и присутствует при любых £ . Можно показать, что в случае /? * а стационарных решений для произвольных £ не существует.

3. Численные эксперименты

Система (2)-(3) решалась численно методом Рунге-Куггы 4-го порядка для

О < п < 25 (напомним, что такой набор переменных обеспечивает расе мотрение диапа-

зона масштабов, в котором максимальный масштаб превышает минимальный более чем

в 107 раз), Re = Rm'1 = 109. Суммарная энергия магнитного поля в начальный момент

времени составляла порядка одной сотой процента от кинетической энергии. Такая по-

становка интересна с точки зрения вопроса о реализуемости эффекта МГД-динамо, состоящего в возбуждении и поддержании магнитного поля за счет кинетической энергии

движущейся проводящей жидкости. Подчеркнем, что речь идет о так называемом мелкомасштабном динамо, состоящем в генерации магнитного поля на масштабах, принадлежащих инерционному интервалу. Цель численных экспериментов состояла в изучении влияния параметра е, связанного с третьим интегралом движения, на характер каскадных процессов и процесс генерации мелкомасштабного магнитного поля. Рассматривались значения -10 < е < 10, хотя все примечательные перестройки характера процессов лежат в значительно более узком интервале: -1 < е < 3 .

Первый интересный результат состоит в том, что ни при каких значениях параметра е в системе (2)-(3) не обнаружено устойчивых решений вида (7). Это отличает МГД-систему от чисто гидродинамической каскадной модели, получаемой из (2)-(3) при В„ = 0, в которой для 0 < е < 0,384 колмогоровское решение а = -1/3 устойчиво.

МГД-система демонстрирует сложное стохастическое поведение при всех значениях параметра, и под стационарными решениями мы будем подразумевать в дальнейшем решения, получаемые путем осреднения по времени энергии пульсаций (квадрата соответствующей переменной). На рисунке приведены стационарные спектральные распределения кинетической (Ец (п), белые точки) и магнитной (Ев(п), черные точки) энергий, полученные путем осреднения решений на временах 50 < / < 75 (время измеряется в характерных временах оборота вихря на большем масштабе). Начало осреднения выбрано так, чтобы оно заведомо превышало время, необходимое для завершения переходных процессов, связанных с конкретными начальными условиями.

На оси е выделяются две особые точки: е = 1, в которой меняется тип интеграла движения, и £ 2, в которой в уравнении (3) возникает особенность, а показатель А в

интеграле (4) меняет знак.

В области параметра е < 1 (см. рисунок,а-ж) решения характеризуются устойчивым динамо-процессом, характеризующимся приблизительным равенством магнитной и кинетической энергий практически на всех масштабах. При положительных е наблюдается ослабление магнитной энергии на самых больших масштабах (и<5), то есть магнитная энергия почти не поступает на масштабы, содержащие максимум кинетической энергии. Тем не менее, равнораспределение магнитной и кинетической энергий сохраняется на протяжении всего инерционного интервала. Наклон спектра в инерционном интервале близок к колмогоровскому, хотя и становится круче при е , приближающихся к единице (см. табл. 1, где приведены показатели степени для спектральных плотностей Е(к) ~ кх, а х = 2а -1 для кинетической и х = 2¡5 1 для магнитной

энергий).

Качественная перестройка характера решения происходит при е > 1. Блокируются процессы генерации магнитного поля в больших масштабах, причем, чем больше е, тем дальше в мелкие масштабы отодвигается граница интервала, в котором сохраняется равнораспределение кинетической и магнитной энергий (см. рисунок,з-к). Для 1,3 < е < 1,5 в спектре магнитной энергии хорошо выделяются восходящий и нисходящий участки. При в « 1,7 граница этих участков (то есть максимум в спектре) достигает диссипативного интервала (рисунок,л) и при дальнейшем росте е весь спектр магнитного поля лежит существенно ниже спектра кинетической энергии. Очевидно, что значение е = 1,7 не является выделенным - при изменение вязкости (числа Рейнольдса) будет меняться протяженность инерционного интервала и, соответственно, значение параметра, при котором максимум магнитной энергии достигнет диссипативного масштаба.

1

0,01

1

0,01

1

0,01

1

0,01

1

0,01

1

0,01

1

0,01

Рис. Энергетические спектры магнитного поля (черные точки) и поля скорости (белые точки) при различных значениях е: а) е = -5; б) г = -2; в) е = -0,5 ; г) 8 = 0; д) е = 0,5; е) е - 0,99; ж) в = 1,01; з) е = 1,1; и) б = 1,3 ; к) е = 1,5 ; л) е = 1,7; м) б = 1,99; н) е = 3; о) е = 5

I >

ООООоаж-_

'®8о0

8®«8в§

Оо

®««8

8о

Г8®88**.

*в«в

*®в,

*»в§

®в«8.

О«

от

®евв

ж

8 т о•

о

J________I_______ь

0 5 10 15

00—'^о

о

ООООо

*88,

'Оо

..—“-■■Ч

Ьоооо00о

°ог

°Оо л ...................

00°00000і

©о,

'Оо,

8

Оо

~ м

Оое

О,

о,

°°Оп

о,

о

Ч.

I___________________________1____________________________I • I

0 5 10 15

Таблица 1

Наклоны спектров энергии поля скорости и магнитного поля (Ев * Еи)

£ 2 а -1 2/9-1

-5,00 -1,716 -1,736

-4,00 -1,742 -1,744

-3,00 -1,672 -1,67

-2,00 -1,622 -1,632

-1,00 -1,676 -1,69

-0,50 -1,678 -1,732

0,00 -1,708 -1,8

0,50 -1,64 -1,634

0,99 -1,74 -1,684

1,01 -1,728 -1,718

1,10 -1,768 -1,706

1,20 -1,738 -1,742

1,25 -1,856 -1,772

1,30 -1,922 -1,838

1,40 -1,996 -1,886

1,50 -2,192 -1,97

Таблица 2

Наклоны спектров энергии поля скорости и магнитного поля (Ев « Е1;)

Є 2а -1 2/?-1 2Д-1 20г-\

1,25 -1,722 1,574 0,362 2,444

1,30 -1,814 0,622 0,144 2,102

1,40 -1,648 0,684 -0,354 0,94

1,50 -2,314 -0,306 -0,342 1,628

1,60 -2,28 -0,694 -0,622 1,034

1,70 -2,254 -1,224 -0,858 0,538

1,80 -1,97 -1,328 -1,192 -0,414

1,90 -1,916 -1,612 -1,39 -0,864

1,99 -1,952 -1,924 -1,51 -1,066

2,01 -1,894 -1,924 -1,566 -1,24

2,50 -1,766 -2,936 -2,202 -2,638

3,00 -1,722 -3,374 -2,64 -3,558

4,00 -1,692 -3,172 -3,24 -4,786

5,00 -1,636 -3,684 -3,682 -5,726

Тонка е = 2 определяет нижнюю границу области, в которой мелкомасштабный динамо-процесс становится невозможным даже при сколь угодно больших магнитных числах Рейнольдса. Рассматривая рисунок,(н-с} и табл. 2, можно видеть, что чем больше s, тем круче становится спектр. В то же время происходит рост энергии крупномасштабного магнитного поля (при £ = 5 в наибольшем масштабе значения магнитной и кинетической энергии становятся близкими друг другу). Такое поведение связано с тем, что при е > 2 показатель Я в интеграле (4) становится положительным и величина W становится магнитным аналогом обобщенной энстрофии. Последнее означает, что спектральный поток магнитной энергии возможен только в направлении больших масштабов при одновременном переносе W к малым масштабам.

В заключение отметим, что в решениях системы для е > 1 в спектре магнитного поля есть участки, в которых его энергия значительно меньше кинетической энергии. Это означает, что обратное влияние магнитного поля на поле скорости слабо и магнитное поле на соответствующих масштабах может рассматриваться как пассивная примесь. Для таких режимов встает вопрос о возможных стационарных решениях

Вп - В,.к!г\, реализующихся при заданном решении для скорости £/„ =U0k“ (то есть

требуется найти /3 при заданном а). Таких решений три: /7 = а , которое существует

для любых s, и пара решений

l+a + log,|£--l| .

/?, =------------------, рг =-(l + 2a + log2|e-l|), (9)

которые возможны только при 8 > 1. Из табл. 2 видно, что большинство значений /?, полученных для слабого магнитного поля, не соответствует ни одному из решений (9). Лишь при больших £ значения Р стремятся К решению /?[ .

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 99-01-00362)

Библиографический список

1. Mueller W.-C., Biskamp D. Scaling properties of three-dimensional MHD turbulence /7 Phys. Rev. Lett - 2000.-Vol.84.-№.3.-P.475-478.

2. Bifferale L., Lambert A., Lima R., Paladin G. Transition to chaos in a shell model of turbulence //Physica D.-1995.-Vol.80,.\». 1 -2.-P.l05-115.

3. Frick P., Dubrulle B., Babiano A Scaling properties of a class of shell models // Phvs Rev. Е,-1995.-Vol.51.-№.6.-P.5582-5593.

4. Frick P., SokoloffD. Cascade and dynamo action in a shell model ofMHD turbulence// Phys. Rev. E.-1998. - Vol. 57.-№.4.-P.4155-4164.

5. Gloaguen C., Leorat J., Pouquet A , Grappin R. A scalar model for MHD turbulence V Physica D -1985.-Vol.17.-P 154-182.

6 Carbone V. Scale similarity of velocity structure fonctions in ftilly developed MHD turbulence // Phys.Rev.E.-1994.-Vol,50 -P.671-674.

7. Biscamp D. Cascade model for magnetohydrodynamic turbulence // Phys.Rev.E -1994.-Vol.50.-№4.-P.2702-2711.

Получено 10.04.2000