CC BY
5УДК 532.517.4:536.25
Численное исследование спектров турбулентной конвекции Рэлея—Бенара
И. Б. Палымский
Современная гуманитарная академия,
Новосибирский филиал, Кафедра математики и информатики 630064, Россия, Новосибирск, ул. Ватутина, 71 E-mail: palymsky@hnet.ru
Получено 07 апреля 2008 г.
В двумерной и трехмерной постановках рассмотрена задача о конвекции несжимаемой жидкости между двумя горизонтальными, свободными от касательных напряжений плоскостями при подогреве снизу. Для температурных пульсаций получены спектры Колмогорова k-5/3 и к-2,4. Для пульсаций скорости в двумерной постановке получены спектр Болджиано—Обухова к-11/Б и спектр к-5, предсказанный теоретически для жидкости с высоким числом Прандтля. Полученные данные согласуются с известными экспериментальными данными и дополняют результаты численных исследований других авторов.
Ключевые слова: моделирование, гидродинамика, конвекция, теплоперенос, спектр
I. B. Palymskiy
Numerical investigation of Rayleigh—Benard turbulent convection spectrums
Two- and three-dimensional turbulent convectional flows of viscous incompressible fluid in a horizontal layer are studied numerically. The layer is heated from below and its boundaries are assumed to be free of shear stresses. For temperature pulsations the Kolmogorov spectrums k-5/3 and k-2,4 are found. In the two-dimensional case the Obukhov— Bolgiano spectrum k-11/5 and the spectrum k-5 for the velocity pulsation are obtained. The spectrum k-5 was predicted theoretically for large-Prandtl-number liquids. The results presented in the paper are in good agreement with experimental data and organically extend the numerical results obtained by other researches.
Keywords: simulation, hydrodynamics, convection, heat transfer, spectrum Mathematical Subject Classifications: 76F35,76F65, 76M20, 76M22
1. Введение
Классическая задача о конвекции Рэлея—Бенара в различных постановках исследовалась численно [1-10] и экспериментально [11-15]. Приведем краткий обзор полученных ранее результатов при высокой надкритичности г = Еа/Еасг, где Ra и Еасг — число Рэлея и его критическое значение, а Рг — число Прандтля.
При численном моделировании различают две постановки задачи о конвекции в бесконечном горизонтальном слое — со свободными (от касательных напряжений) и жесткими (с условием прилипания) горизонтальными границами, как правило, решение предполагается периодическим в горизонтальных направлениях или удовлетворяющим специальным граничным условиям [16]. Обе постановки задачи часто приводят к решениям, которые различаются лишь количественно, а не качественно [17]. Этим и относительной простотой решения задачи о конвекции со свободными граничными условиями и объясняется интерес к этой постановке.
Основные трудности при численном моделировании конвекции при высокой надкритич-ности связаны с наличием растущих линейных возмущений с огромными инкрементами, так при г = 3,4 ■ 104 и Рг = 10 существуют возмущения, растущие в линейном приближении как ехр(1367 ■ £). Последнее обстоятельство накладывает серьезные ограничения на численные методы, затрудняя использование каких-либо итераций, верхней и нижней релаксации, последовательного решения уравнений системы. Между тем число Рейнольдса является относительно медленно растущей функцией надкритичности в конвекции Рэлея-Бенара и Ев & 375 при г = 3,4 ■ 104 (Рг = 10) [16].
Диссипация и генерация энергии турбулентности растут при увеличении надкритичности примерно как г1,3 [1,18]. При достаточно большой надкритичности большой поток переносимой из области генерации в область диссипации энергии обуславливает образование инерционных интервалов и спектров.
Известно два основных сценария развития конвективной турбулентности [19]. Сценарий Колмогорова, при котором предполагается, что температура ведет себя как пассивная примесь, предполагает наличие двух инерционных интервалов переноса энергий пульсаций температуры и скорости, с формированием одинаковых спектров к-5/3, где к — волновое число в случае зависимости от пространственных переменных либо частота — от времени. Силы плавучести здесь существенной роли не играют.
Напротив, Р. Болджиано и А. Обухов (БО) предположили существование инерционного интервала для переноса энергии пульсаций температуры и в области больших масштабов равенство по порядку величины членов плавучести и нелинейного переноса. Это приводит к спектрам к-7/5 для температуры и к-11/5 для скорости.
В двумерном случае в области малых масштабов возможно появление инерционного интервала переноса энстрофии (к-1 для температуры и к-3 для скорости) и обратного (красного) каскада переноса энергии пульсаций скорости, направленного в обратную сторону от масштаба генерации в область малых масштабов [19].
В экспериментах по турбулентной конвекции для пульсаций температуры наблюдались спектры Колмогорова к-5/3, БО к-7/5 и к-2,4 [11-14,20]. Для пульсаций скорости наблюдались спектр БО к-11/5 и к-1,35, но спектр Колмогорова к-5/3 не обнаружен [13,15]. Физические механизмы появления спектров к-2,4 и к-1,35 для пульсаций температуры и скорости, отмеченных в экспериментальных работах [11,15], соответственно в настоящее время не известны.
В немногочисленных численных исследованиях турбулентной трехмерной конвекции при высокой надкритичности для пульсаций температуры были получены спектры БО к-7/5 [3] и к-1 [1], но спектр Колмогорова не обнаружен. Для пульсаций скорости — спектры к-5/3, к-3, к-7/5 [1-3], но спектр БО к-11/5 не наблюдался.
В [4] проведено моделирование турбулентной конвекции по двумерной модели бесконечного числа Прандтля, получены спектры к-1, к-2 для пульсаций температуры и к-2 — для скорости, но спектры Колмогорова и БО не обнаружены.
В [18] описаны результаты моделирования двумерной конвекции со свободными граничными условиями при надкритичности до г = 3,4 ■ 104. В данной работе на основе этого подхода выполнено трехмерное моделирование конвекции со свободными границами при г ^ 950.
Цель работы — изучение спектров двумерной и трехмерной конвекции между двумя горизонтальными, свободными от касательных напряжений плоскостями при подогреве снизу и сравнение рассчитанных временных спектров пульсаций температуры с полученными в экспериментах по турбулентной конвекции.
2. Постановка задачи
В приближении Буссинеска рассматриваются двумерные и трехмерные конвективные течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя горизонтальными плоскостями при подогреве снизу. Конвективное течение рассматривается в прямоугольной в плане области с размерами п/а и п/в в горизонтальных направлениях, где а и в — минимальные волновые числа. Горизонтальные границы области считаются изотермическими.
Исходная система уравнений в безразмерных переменных, записанная в отклонениях от равновесного решения, имеет вид [19]
где и, V, — компоненты вектора скорости и давление, Q — отклонение температуры от равновесного линейного профиля (полная температура равна 0 = 1 — у + Q), Д/ = /хх + /уу + + /хх — оператор Лапласа, действующий на функцию /, Да = дв*Н— число Рэлея, Рг = ^/% — число Прандтля, д — ускорение силы тяжести, в*, V, х — коэффициенты теплового расширения, кинематической вязкости и температуропроводности, Н — толщина слоя и ^ — разность температур на горизонтальных границах, ж, у и г — горизонтальные и вертикальная координаты. В дальнейшем для краткости будем называть Q и 0 температурой.
Двумерный аналог системы (2.1) получается, если в искомом решении пренебречь зависимостью от у, положить V = 0 и переписать систему (2.1) в переменных функция тока ф, вихрь ш и температура Q [16].
Двумерная и трехмерная конвекция рассматривается со свободными от касательных напряжений горизонтальными границами г = 0,1:
(2.1)
w
Pr’
ф = и = Q = 0 — в двумерном случае, в дальнейшем (2d, free) [16] и
Uz = Vz = w = Q = O — в трехмерном (3d, free).
Искомые величины u, v, w,p, Q разыскиваются в виде
K N M
u(t,x,y,z) = SEE Ufc„m(t)pfcPnPm cos(akx) cos(eny) cos(nmz).
k=1 n=0 m=0 K-1 N-1 M
v(t, x,y,z) = ^ ^ Vfcram(t)pm sin(akx) sin(e^y) cos(nmz),
k=1 n=1 m=0 K-1 N M-1
w(t, x, y, z) = SEE wknm(t)pn sin(akx) cos(eny) sin(nmz), (2.2)
k=1 n=0 m=1
K-1 N M
p(t, x, y, z) = EEE Pknm(t)PnPm sin(akx) cos(eny) cos^mz),
k=1 n=0 m=0 K-1 N M-1
Q(t, x, y, z) = ^ ^ ^ Qfcnm(t)Pn sin(akx) cos(eny) sin(nmz)
k=1 n=0 m=1
для (3d, free), где pk = 0, 5 при k = 0, K и 1 при 1 ^ k ^ K — 1. Представление решения для (2d, free) можно получить из (2.2) при n = 0 [16].
«Мягкие» граничные условия на боковых границах ставятся исходя из вида решения (2.2), например, при x = 0, п/a и 0 ^ у ^ п/в, 0 ^ z ^ 1 из (2.2) получаем: ux = v = w = Q = = 0, что соответствует условиям на вертикальной плоскости, проходящей через центр конвективного вала параллельно его оси. А при у = 0, п/в и 0 ^ x ^ п/a, 0 ^ z ^ 1 из (2) имеем: uy = v = wy = Qy = 0 — условия на вертикальной границе конвективной ячейки. Некоторая искусственность такой постановки граничных условий обусловлена желанием обеспечить преемственность с двумерной постановкой при n = 0 [16,18], где дано сравнение с экспериментальными результатами при небольшой надкритичности.
Пусть r = Ra/Racr — надкритичность, где Racr = 657, 511 — критическое значение числа Рэлея.
3. Численный метод
Кратко опишем спектрально-разностный метод, используемый для решения системы (2.1). Двумерный вариант данного метода применялся для расчетов конвекции при высокой надкритичности со свободными и жесткими граничными условиями [18], описание метода расчета, результаты линейного и нелинейного (на модельной нелинейной системе уравнений) анализа, результаты тестовых расчетов приведены в [ 16,21 ].
Следуя общей идеологии метода расщепления, переход от слоя n к слою n +1 по времени производится в три этапа. На первом этапе расщепления устанавливается соответствие в линейном приближении спектральных характеристик численного метода и дифференциальной задачи, на втором учитываются нелинейные члены и на третьем — восстанавливается выполнение уравнения неразрывности, нарушенное на втором этапе расщепления.
На первом этапе расщепления учитываем линейное развитие возмущений, без учета взаимодействия гармоник:
их + Vy + wz = 0, щ + Рх = | д U, 14 + Ру = | Д V,
wt + P2 = ±Aw + Ra • Q, Qt = 2 ^ • (3.1)
Для эффективного решения уравнений нелинейного конвективного переноса для u, v, w и Q, половина вязких членов учтена на втором этапе расчета. После подстановки решения (2.2) в систему (3.1) и исключения давления с помощью уравнения неразрывности вместо (3.1) получим систему из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений для четырех неизвестных амплитуд: uknm, vknm, wknm и Qknm. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решается аналитически, без применения каких-либо аппроксимаций по времени по формулам, выведенным программой аналитических вычислений Maple V R5.
На втором этапе учитывается нелинейный конвективный перенос, т. е. принимается во внимание взаимодействие гармоник:
Pf^^x ^ ) — 2 ‘
- J^(UVX + Wy + WVZ) = і L
j^(uwx + VWy + wwz) = I
Qt + рг(гі^х — 2 рг А Q^
Здесь применена явная схема, с аппроксимацией направленными разностями первого порядка производных в нелинейных членах и поправкой А. А. Самарского, при достаточной разрешимости по пространству второго порядка точности [22].
На третьем этапе расщепления восстанавливается выполнение уравнения неразрывности, нарушенное на втором этапе:
„.«,+1 _ „.«,+2/3 ё1у(-и«+2/3)
^^-----------= -ёгас1 (р), ----Ц------}- = Ар. (3.2)
Подстановкой в (3.2) решений в виде (2.2) система (3.2) приводится к системе алгебраических уравнений.
Пересчет искомых полей из спектрального пространства в физическое и обратно производился по стандартным программам быстрого преобразования Фурье по косинусам и синусам. Расчеты двумерной конвекции проводятся по подобной схеме, но без третьего этапа расщепления [21].
При обработке данных расчетов осреднением по времени и горизонтальным координатам вычисляется профиль средней температуры и находится поле температурных пульсаций в каждый момент времени. Затем, в трехмерном случае, одномерным преобразованием Фурье (по косинусам и синусам в горизонтальных направлениях и по синусам в вертикальном) и осреднением по всем однородным координатам квадратов амплитуд Фурье гармоник пульсаций находятся одномерные пространственные энергетические спектры [19]. В двумерном случае одномерные энергетические спектры находятся двумерным Фурье-преобразованием поля пульсаций (по косинусам и синусам в горизонтальном направлении и по синусам в вертикальном) и суммированием квадратов амплитуд Фурье-гармоник в одном из направлений. Например, для спектра, соответствующего горизонтальному направлению ж, выражение принимает вид: = (^^Т^1 02«)
— где угловые скобки означают осреднение по времени.
В трехмерных расчетах по полю температуры вычислялись одномерные пространственные спектры и для направлений ж и у соответственно. В двумерных расчетах по полю температуры и скорости вычислялись спектры Е^д, Е^Д и Е^т, для направлений ж и г соот-
ветственно.
Как и в [16,18,21 ], в данной работе полагалось а = в = 1. Ниже всюду Pr = 10, за исключением данных на рис. 3 и 4, где для корректного сопоставления с экспериментом Pr = 0,8.
Результаты тщательного тестирования вычислительного алгоритма для (2d, free) даны в [16]. Для проверки правильности работы вычислительного алгоритма для задачи (3d, free) проведены сравнения вычисленных средних величин на двумерном решении для (2d, free) и (3d, free) при r = 5. Использовалось [32х16] гармоник для (2d, free) и [32х8х16] — для (3d, free).
Вычисленное число Нуссельта
(для (3d, free) определяется по аналогии) после осреднения по времени отличалось на 1%, среднеквадратичная скорость — на 5,9% и среднеквадратичное значение температурных пульсаций — на 2,6% от характерной температуры. Такое совпадение можно считать неплохим для методов, использующих различные искомые переменные: функция тока, вихрь [16] и скорость, давление — в настоящей работе.
В двумерных расчетах использовалось: [65х17] гармоник — при r < 103, [129х33] — 103 ^ r ^ 6 ■ 103 и [257х65] гармоник — 6 ■ 103 ^ r ^ 3,4 ■ 104. Число Рейнольдса при этом не превосходит 375, и такая разрешимость достаточна [16]. Результаты, приведенные на рис. 4, рассчитаны с увеличенным числом гармоник [512х 128].
Расчеты по (3d, free) проводились с разрешимостью [64х64х64], число Рейнольдса равно 40 при r = 950. Для проверки достаточности разрешимости проведены тестовые расчеты при r = 950 с числом гармоник [ 128х 128х 128] и [32х32х32]. По сравнению с данными расчета с разрешимостью [ 128х 128х 128] число Нуссельта отличалось на 3,4%, среднеквадратичная скорость — на 7,6% и среднеквадратичное значение температурных пульсаций — на 0,36% от характерной температуры для числа гармоник [64х64х64] и на 13,2,18,2 и 0, 56%, соответственно для для числа гармоник [32х32х32]. По приведенным средним характеристикам видна сходимость.
Профили средней температуры и среднеквадратичных температурных пульсаций при этом практически совпадали, наибольшие отклонения наблюдались для пульсаций скорости. На рис. 1 и 2 приведены профили среднеквадратичных пульсаций вертикальной (рис. 1) и горизонтальной (ж — направление, рис. 2) скорости при r = 950. Из рис. 1 видно, что профили, рассчитанные с числом гармоник [ 128х 128х 128], [64х64х64] и [32х32х32], близки и на рис. 2 видна сходимость. Сходимость профилей пульсаций горизонтальной скорости, соответствующей у-направлению, выражена лучше.
Как показали методические расчеты, спектры являются очень консервативной характеристикой, медленно изменяющейся при изменении надкритичности и пространственной разрешимости, поэтому для исследования спектров достигнутая точность достаточна при двумерном и трехмерном моделировании.
4. Временной спектр пульсаций температуры
Приведем результаты сравнения рассчитанного временного энергетического спектра (квадрат модуля Фурье-преобразования функции времени) Et(f) пульсаций температуры в центре конвективной ячейки с экспериментальными данными по турбулентной конвекции газообразного гелия при 5°K[11].
п/а
0
Рис. 1. Профили среднеквадратичных пульсаций вертикальной скорости, рассчитанные с числом гармоник [128x128x128](линия 1), [64x64x64](2) и[32x32x32](3)
Рис. 2. Профили среднеквадратичных пульсаций горизонтальной (х — направление) скорости, рассчитанные с числом гармоник [128x128x128] (линия 1), [64x64x64] (2) и [32x32x32] (3)
Рис. 3. Временной спектр температурных пульсаций при r = 410, 1 — расчет по (3d, free), 2 — эксперимент [11] и 3 — fd
Рис. 4. Временной спектр температурных пульсаций при r = 6400, 1 — расчет по (2d, free), 2 — эксперимент [11] и 3 — fd
Эксперименты проводились в цилиндрической ячейке из нержавеющей стали с аспектным отношением (диаметр отнесенный к высоте) 0,5 и критическим числом Рэлея 1, 7 ■ 104 [23]. Расчеты проводились по трехмерной (3d, free) и двумерной (2d, free) моделям при совпадающей с экспериментом надкритичности и числе Прандтля. На рис. 3 и 4 частота f отложена в единицах v/H2, расчетные и экспериментальные спектральные кривые нормированы так, чтобы интеграл по всем частотам был равен 1.
На рис. 3 приведены рассчитанный по (3d, free) временной спектр при r = 410 и экспериментальные данные [11]. Заметное отклонение наблюдается только на диссипативных частотах порядка fd = V ■ Re3/4/H [24], где V — среднеквадратичная скорость и Re — VH/v — число Рейнольдса.
На рис. 4 экспериментальные данные [11] сравниваются с рассчитанными по (2d, free) модели при r = 6400. Как и на рис. 3, существенное отклонение только на высоких частотах порядка fd. Для не слишком большой в горизонтальном направлении области данные расчетов по двумерной модели со свободными граничными условиями дают близкие к эксперименту зна-
чения числа Жи, профили средней температуры и температурных пульсаций даже при высокой надкритичности г ~ 104 [ 16], что с учетом уже отмеченной слабой зависимости анализируемых спектров от величины надкритичности, пространственной и временной разрешимости позволяет надеяться на правомерность такого сравнения.
5. Численное исследование пространственных спектров
Рассмотрим сначала одномерные пространственные энергетические спектры, полученные расчетом по двумерной модели (2d, free), соответствующие горизонтальному (рис. б, б и 9) и вертикальному (рис. 7, В и lO) направлениям. Небольшие участки высокочастотного спектра на рис. б, б, 9— 12 не приведены, ввиду их не информативности из-за искажения численными эффектами на краю спектра [2б].
На рис. б и б представлены спектры пульсаций температуры EQ как функции от ak. При умеренно высокой надкритичности 5OO ^ r ^ lO3 виден только спектр Колмогорова k_5/3 (рис. б), затем при r w lO3 происходит перестройка с формированием двух интервалов со степенными законами k_5/3 и k_2,4 (рис. б), а при r ^ 2 ■ lO4 в спектре пульсаций четко идентифицируется только один интервал со степенным законом k_2,4.
Рис.5. Пространственный спектр пульсаций температуры в горизонтальном направлении, 1 — расчет по (2d, free) при r = 750, 2 — k-5/3
Рис. 6. Спектр пульсаций темпера-
туры в горизонтальном направлении, 1 — расчет по (2d, free) при
r = 104,2 — k-5/3, 3 — k-2’4
На рис. 7 и 8 представлены спектры пульсаций температуры EQm как функции от пт. Участки многозначности с двумя ветвями спектральных кривых на рис. 7 отражают разделение гармоник по виду их симметрии при еще недостаточно развитом турбулентном перемешивании. При надкритичности в интервале 103 ^ r ^ 1, 5 ■ 104 на ветвях спектральной кривой видны спектры Колмогорова т-5/3 и т-2,4 (рис. 7), но при r ^ 1, 5 ■ 104 обе ветви следуют степенному закону т-5/3 (рис. 8).
На рис. 9 представлен спектр пульсаций кинетической энергии EVk. При r ^ 103 четко идентифицируется спектр БО k-11/5 для пульсаций скорости.
На рис. 10 представлен спектр пульсаций кинетической энергии EVm. При r ^ 4 ■ 103 четко
-5
виден спектр m 5, предсказанный теоретически для пульсаций скорости в жидкости с высоким числом Прандтля [19].
Теперь рассмотрим одномерные пространственные энергетические спектры температурных пульсаций, полученные расчетом по трехмерной (3d, free) модели при r = 950.
lg( жш)
lg( жш)
Рис. 7. Спектр температурных пульсаций в вер- Рис. 8. Спектр температурных пульсаций в вертикальном направлении, 1 — расчет по (2d, free) тикальном направлении, 1 — расчет по (2d, free)
при r = 6 ■ 103, 2 — m 5/3, 3 — 1
-2,4
при r = 3,4 ■ 104, 2 — m 5/3, 3 — m 5/3
lg( жш)
Рис. 9. Спектр пульсаций скорости в горизон- Рис. 10. Спектр пульсаций скорости в верти-
тальном направлении, 1 — расчет по (2d, free) кальном направлении, 1 — расчет по (2d, free)
при r
= 1250,2 — m-11/5
при r = 3, 4 ■ 104, 2 — m 5, 3 — m
-,-9
На рис. 11 и 12 приведены спектры температурных пульсаций, отвечающие горизонтальным х- (рис. 11) и у- (рис. 12) направлениям при г = 950. Четко идентифицируются спектры к-2,4 (рис. 11) и п-5/3 (рис. 12).
В заключение для двумерной задачи проанализируем характерные масштабы. Диссипативное волновое число может быть вычислено по формулам [1,16]:
kd = 2п(
(Nu 1) До. о 25 Рг2
и с графической точностью во всем диапазоне изменения надкритичности представляется степенной зависимостью: к^ = 11,1 ■ г0,319.
Волновое число Болджиано кь, характеризующее точку смены механизма БО Колмогоров-ским, при этом сценарий БО может реализовываться при волновых числах меньших кь, можно вычислить по формулам [12,16]:
kb =
Nu2
-2
lg(EQ)
-3
-2
^— 2 lg(EQm)
/ -3 - 1
-4
1 1 1 1 1 1 -5 • • 1 1 1 1 1 1 1
0,25 0,6
1,0 1,4
lg(ok)
0,4 0,8
1,2 1,6
\g(wm)
Рис. 11. Спектр пульсаций температуры в горизонтальном направлении x, 1 — расчет по (3d, free) при r = 950,2 — k-5/3, 3 — k-2,4
Рис. 12. Спектр температурных пульсаций в горизонтальном направлении у, 1 — расчет по (3d, free) при r = 950,2 — п-5/з, 3 — n-2,4
Рис. 13. Максимальное волновое число kmax (линия 1), волновые числа диссипации kd (2) и Болджиа-но kb (3)
На рис. 13 изображены как функции надкритичности: kmax = max(aK, nM) = aK — наибольшее учитываемое волновое число (линия 1), волновые числа Болджиано kb (2) и диссипации kd (3).
При r = 1250 получим, что log kb = 2,01, и из рис. 9 видно, что степенной закон БО для скорости реализуется при волновых числах меньших kb, что находится в полном соответствии с теоретическими рассмотрениями [19]. Это остается справедливым и при r = 34000.
6. Заключение
Временные спектры температурных пульсаций в центре конвективной ячейки, рассчитанные по трехмерной (3d, free) (r = 410) и двумерной (2d, free) (r = 6400) моделям согласуются с экспериментальными данными по турбулентной конвекции в газообразном криогенном He, заметные отклонения наблюдаются только на диссипативных частотах [11].
Для пульсаций скорости в двумерной постановке получены спектры БО для скорости k-11/5 и k-5. Спектр БО наблюдался в экспериментах по турбулентной конвекции [13,15], а k-5 — предсказан теоретически для конвекции в жидкости с высоким числом Прандтля [19].
Однако спектр Колмогорова k-5/3, наблюдавшийся в расчетах [1—3], в настоящей работе получен не был, так же как и в немногих известных автору экспериментах по турбулентной конвекции, где исследовались спектры пульсаций скорости [13,15]. Отсутствие спектра Колмогорова для скорости в расчетах данной работы естественно и объясняется низким числом Рейнольдса (до 375 в двумерных и 40 — в трехмерных расчетах).
Для температурных пульсаций в двумерной и трехмерной постановках получены спектры Колмогорова k-5/3 и k-2,4. Эти спектры наблюдались в многочисленных экспериментах по турбулентной конвекции [11 — 14]. Однако спектр БО k-7/5 для температурных пульсаций, наблюдавшийся в ряде экспериментальных работ [11,12,14], в настоящей работе получен не был, как и в большинстве известных автору численных исследований [1,2,4,10]. Исключение составляет расчетная работа [3], где спектр БО получен обработкой зависимостей температурных пульсаций от времени в фиксированных точках пространства (временные спектры).
Частичное подтверждение возможности одновременной реализации двух сценариев развития турбулентности (Колмогорова и БО) получено в эксперименте по конвекции глицерина в вертикальной тороидальной ячейке, где в зависимости от расположения датчиков термопар для температурных пульсаций реализуется спектр Колмогорова либо БО [20].
Формирование спектра Колмогорова k-5/3 для температурных пульсаций кажется удивительным, так как реализация сценария Колмогорова предполагает наличие двух инерционных интервалов переноса энергий пульсаций температуры и скорости, с формированием одинаковых спектров k-5/3. Но для пульсаций кинетической энергии спектр Колмогорова в этой серии расчетов не наблюдался.
Список литературы
[1] Kerr R.M. Rayleigh Number Scaling in Numerical Convection, J. Fluid Mech., 1996, vol. 310, pp. 139-179.
[2] Malevsky A. V. Spline-characteristic method for simulation of convective turbulence, J. Comput. Phys., 1996, vol. 123, №2, pp. 466-475.
[3] Verzicco R., Camussi R. Numerical experiments on strongly turbulent thermal convection in a slender cylindrical cell, J. Fluid Mech., 2003, vol. 477, pp. 19-49.
[4] Malevsky A. V., Yuen D. A. Characteristics-based methods applied to infinite Prandtl number thermal convection in the hard turbulent regime, Phys. Fluids. A.. 1991, vol. 3, №9, pp. 2105-2115.
[5] Shishkina O., Wagner C. Analysis of thermal dissipation rates in turbulent Rayleigh-Benard convection, J. Fluid Mech., 2006, vol. 546, pp. 51-60.
[6] Cortese T., Balachandar S. Vortical nature of thermal plumes in turbulent convection, Phys. Fluids. A., 1993, vol. 5, №12, pp. 3226-3232.
[7] Werne J. Structure of hard-turbulent convection in two dimensions: Numerical evidence, Phys. Rev. E., 1993, vol. 48, №2, pp. 1020-1035.
[8] Curry J. H., Herring J. R., Loncaric J., Orszag S. A. Order and disorder in two-and three-dimensional Benard convection, J. Fluid Mech., 1984, vol. 147, pp. 1-38.
[9] Герценштейн С. Я., Родичев Е. Б., Шмидт В. М. Взаимодействие трехмерных волн во вращающемся горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, Докл. АН СССР, 1978, т. 238, №3, с. 545-548.
[10] Grotzbach G. Spatial resolution requirements for direct numerical simulation of the Rayleigh-Benard convection, J. Comp. Phys., 1983, vol. 49, pp. 241-264.
[11] Wu X.-Z., Kadanoff L., Libchaber A., Sano M. Frequency power spectrum of temperature fluctuations in free convection, Phys. Rev. Lett., 1990, vol. 64, №18, pp. 2140-2143.
[12] Cioni S., Ciliberto S., Sommeria J. Temperature structure functions in turbulent convection at low Prandtl number, Europhys. Lett., 1995, vol. 32, №5, pp. 413-418.
[13] Ashkenazi S., Steinberg V. Spectra and statistics of velocity and temperature fluctuations in turbulent convection, Phys. Rev. Lett., 1999, vol. 83, №23, pp. 4760-4763.
[14] Niemela J. J., Skrbek L., Sreenivasan K. R., Donnelly R. J. Turbulent convection at very high Rayleigh numbers, Nature, 2000, vol. 404, №20, pp. 837-840.
[15] Shang X.-D., Xia K.-Q. Scaling of the velocity power spectra in turbulent thermal convection, Phys. Rev. E., 2001, vol. 64, pp. 065301-1—065301-4.
[16] Палымский И. Б. Численное моделирование двумерной конвекции при высокой надкритичности, Успехи механики, 2006, №4, с. 3-28.
[17] Гетлинг А. В. Конвекция Рэлея—Бенара. Структуры и динамика, М.: Эдиториал УРСС, 1999, 247 с.
[18] Палымский И. Б. Численное моделирование двумерной конвекции, роль граничных условий, Известия РАН. МЖГ, 2007, №4, с. 61-71.
[19] Фрик П. Г. Турбулентность: подходы и модели, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 292 с.
[20] Браже Р. А., Куделин О. Н. Экспериментальная реализация модели Лоренца конвективной неустойчивости жидкости в вертикальной тороидальной ячейке, Изв. вузов. ПНД, 2006, т. 14, №6, с. 88-98.
[21] Палымский И. Б. Линейный и нелинейный анализ численного метода расчета конвективных течений, Сиб. ж. вычисл. математики, 2004, т. 7, №2, с. 143-163.
[22] Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и мас-сообмена, М.: Наука, 1984, 285 с.
[23] Гершуни Г.З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости, М.: Наука, 1972, 392 с.
[24] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, М.: Наука, 1988, 733 с.
[25] Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, 2-е изд., М.: Наука, 1978, 687 c.
