CC BY
50
со
ю-
о h 111111111111111111111111111111111111111 к
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
a Ь
Рис. 4. Зависимость частоты (О) и фазовой скорости (Ь) для изотропного цилиндра
Библиографический список
1. Gazis D.C. Three-dimensional investigation of the propagation of waves in hollow circular cylinders. I. Analytical Foundation //J. Acoust. Soc. Amer. 1959. № 31. P. 568-573.
2. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1986. 176 с.
3. Мехтиев М.Ф., Фомина Н.И. Свободные колебания трансверсально-изотропного полого цилиндра // Механика композит. материалов. 2002. Т. 38, №1. С. 81-98.
4. Mirsky I. Axisymmetric vibration of orthotropic cylinders // J. Acoust. Soc. Amer. 1964. № 36. P. 21062112.
УДК 532.517.4:536.25
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРОВ ТРЕХМЕРНОЙ ТУРБУЛЕНТНОЙ КОНВЕКЦИИ
И.Б. Палымский
Современная гуманитарная академия (филиал), Новосибирск, кафедра математики E-mail: [email protected]
В трехмерной постановке рассмотрена задача о конвекции несжимаемой жидкости в прямоугольном параллелепипеде при подогреве снизу. Горизонтальные границы предполагаются свободными от касательных напряжений и изотермическими. Рассчитанный временной спектр температурных пульсаций в центре конвективной ячейки при надкритичности 410 хорошо согласуется с измеренным экспериментально при турбулентной конвекции в газообразном He при криогенной температуре. Для пульсаций скорости получены спектры Болджиано - Обухова к-11/5, k-3 и к-5. Для температурных пульсаций получены спектры Колмогорова к-5/3 и к-2'4. Такие спектры указывают на поведение температуры как пассивной примеси и на доминирование силы плавучести для скорости. Наличие ясно идентифицируемых спектров в исследуемом конвективном течении позволяет характеризовать данный процесс как развитую турбулентность.
Ключевые слова: моделирование, турбулентность, гидродинамика, конвекция, теплоперенос, спектр.
5. Ohnabe H., Nowinski J. L. On the propagation of flexural waves in anisotropic bars // Ing.-Archiv. 1971. № 40. P. 327-338.
6. Shuvalov A.L. The frobenius power series solution for cylindrically anisotropic radially inhomogeneous elastic materials // J. Mech. Appl. Math. 2003. 56(3). P. 327345.
7. Spencer A. J. M. Deformations of fibre-reinforced materials. Oxford: ClarendonPress, 1972.
8. Nayfeh A. H. The general problem of elastic wave propagation in multilayered anisotropic media // J. Acoust. Soc. Amer. 1991. № 89. P. 1521-1526.
Numerical Investigation of Spectrums of Three-Dimensional Turbulent Convection
I.B. Palymskiy
Modern University for the Humanities (Branch), Novosibirsk, Chair of Mathematics E-mail: [email protected]
The three-dimensional turbulent convectional flows of viscous and incompressible fluid in a rectangular parallelepiped numerically is simulated at heating from below. The horizontal boundaries are stress-free and isothermal. The calculated time spectrum of temperature pulsations at supercriticality is equal to 410 in centre of convective cell has a good agreement with experimental data for convection in cryogenic He. The Obukhov - Bolgiano spectra k-11/5, k-3 and k-5 have been found for velocity pulsations. Also for temperature pulsations the Kolmogorov k-5/3 and k-2'4 are obtained. Such spectrums denote on temperature behavior as passive admixture and that dominant force for velocity is buoyancy.
Keywords: simulation, turbulence, hydrodynamics, convection, heat transfer, spectrum.
И.Б. Палымский. Численное исследование спектров трехмерной турбулентной конвекции
ВВЕДЕНИЕ
Классическая задача о конвекции Рэлея - Бенара в различных постановках исследовалась численно [1-7] и экспериментально [8-12]. Наибольший интерес вызывают исследования при высокой надкритичности г = Яа/Яасг, где Яа и Яасг — число Рэлея и критическое значение числа Рэлея, ввиду их очевидной связи с проблемой прямого численного моделирования турбулентности, здесь и ниже Рг — число Прандтля.
При численном моделировании различают две постановки задачи о конвекции в бесконечном горизонтальном слое — со свободными (от напряжений) и жесткими (с условием прилипания) горизонтальными границами, как правило, решение предполагается периодическим в горизонтальных направлениях или удовлетворяющим специальным граничным условиям [13]. Обе постановки задачи часто приводят к решениям, которые различаются лишь количественно, а не качественно [14]. Этим и относительной простотой решения задачи о конвекции со свободными граничными условиями и объясняется интерес к этой постановке. Конвекция со свободными от касательных напряжений границами физически реальна и реализована в эксперименте [15].
Основные трудности при численном моделировании конвекции при высокой надкритичности связаны с наличием быстрорастущих линейных возмущений, так при г = 950 и Рг = 10 существуют возмущения, растущие в линейном приближении как ехр(198£), что накладывает серьезные ограничения на численные методы. Между тем число Рейнольдса Яе является относительно медленно растущей функцией надкритичности в конвекции Рэлея - Бенара и Яе < 44 при г < 950(Рг = 10).
Диссипация и генерация энергии турбулентности растут при увеличении надкритичности приблизительно как г1'3 [1, 16]. При достаточно высокой надкритичности большой поток переносимой из области генерации в область диссипации энергии обусловливает образование инерционных интервалов и спектров. Интерес к исследованию спектров обусловлен тем, что наличие четко идентифицируемых инерционных интервалов и спектров характеризует рассматриваемый процесс как развитую турбулентность и показывает, какие физические механизмы являются доминирующими [17].
Известно два основных сценария развития турбулентности [17]. Изотермический сценарий Колмогорова предполагает наличие двух инерционных интервалов переноса энергий пульсаций температуры и скорости с формированием одинаковых спектров к-5/3, где к — волновое число в случае зависимости от пространственных переменных либо частота от времени. Силы плавучести здесь существенной роли не играют, другими словами, в этом сценарии температура — пассивная примесь.
Напротив, Р. Болджиано и А. Обухов предположили существование инерционного интервала для переноса энергии пульсаций температуры и в области больших масштабов равенство по порядку величины членов плавучести и нелинейного переноса. Это приводит к спектрам к-7/5 для температуры и к-11/5 для скорости.
В экспериментах по турбулентной конвекции для пульсаций температуры наблюдались спектр Колмогорова к-5/3, спектры Болджиано - Обухова к-7/5 и к-2'4 [8-11, 18]. Для пульсаций скорости наблюдались спектры Болджиано - Обухова к-11/5 и к-1'35, но спектр Колмогорова к-5/3 не обнаружен [10, 12].
А измерением одномерного спектра пульсаций вертикальной скорости в стратифицированной атмосфере показано, что в определенном диапазоне высот (до 2500 м) выполняется закон к-2'42, близкий к закону Болджиано - Обухова к-11/5 [19]. А в более высоких слоях атмосферы (около 8000 м) на малых частотах в спектре скорости отчетливо виден закон Ламли - Шура к-3 [20].
В немногочисленных численных исследованиях турбулентной трехмерной конвекции при высокой надкритичности для пульсаций температуры были получены спектры Болджиано - Обухова к-7/5 [3] и к-1 [1], но спектры Колмогорова к-5/3 и к-2'4 не обнаружены. Для пульсаций скорости - спектры к-5/3, к-3 [1-3], но спектр Болджиано - Обухова к-11/5 не наблюдался. Отметим очень приближенное соответствие закону Колмогорова к-5/3 для скорости [1, 2] и к-1 [1] — для температуры.
В [13] проведено исследование спектров пульсаций температуры и скорости при двумерной конвекции. Для пульсаций температуры наблюдались спектры к-5/3, к-2'4 и к-11/5, к-5 — для пульсаций скорости.
Цель работы — изучение спектров трехмерной конвекции со свободными граничными условиями при умеренно высокой надкритичности (до г < 950) и сравнение рассчитанного временного спектра пульсаций температуры с полученным в эксперименте.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В приближении Буссинеска рассматриваются трехмерные конвективные течения вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольном параллелепипеде при подогреве снизу. Прямоугольная в плане область течения имеет размеры п/а и п/в в горизонтальных направлениях, где а и в — минимальные волновые числа. Горизонтальные границы области считаются изотермическими.
Исходная система уравнений в безразмерных переменных, записанная в отклонениях от равновесного решения, имеет вид [13]
их + Уу + = 0, и + рг (иих + + ) + Рх = Ли, У + Рг (и^х + УУу + ) + Ру = Ли,
1
Pr
1 , „ _ 1 _ w
wt + — (uwx + vwy + wwz) + Pz = Aw + Ra ■ Q,
Qt + pr (uQx + vQy + wQz ) = pr △ Q + Pr, (1)
где u, v, w, p — компоненты вектора скорости и давление, Q — отклонение температуры от равновесного линейного профиля (полная температура равна © = 1 — y + Q), Л/ = /xx + /yy + /zz — оператор Лапласа, действующий на функцию /, Ra = getH3dQ/xv — число Рэлея, Pr = v/x — число Прандтля, g — ускорение силы тяжести, et, v, x — коэффициенты теплового расширения, кинематической вязкости и температуропроводности, H — толщина слоя и dQ — разность температур на горизонтальных границах, x, y и z — горизонтальные и вертикальная координаты. В дальнейшем для краткости будем называть Q и © температурой.
Трехмерная конвекция рассматривается с изотермическими и свободными от касательных напряжений горизонтальными границами z = 0,1: uz = vz = w = Q = 0. Такие граничные условия физически реальны и реализованы в эксперименте [15].
Искомые величины u, v, w, p, Q разыскиваются в виде
K N M
u(t, x, y, z) = ^ u^nm(t)pkPnPm cos(akx) cos(eny) cos(nmz),
k=0 n=0 m=0 K-1 N — 1 M
v(t, x, y, z) = ^^ ^^ ^^ vknm(t)pm sin(akx) sin(eny) cos(nmz),
k=1 n=1 m=0 K—1 N M—1
w(t, x, y, z) = ^^ ^^ ^^ wknm(t)pn sin(akx) cos(^ny) sin(nmz), (2)
k = 1 n=0 m=1
K—1 N M
p(t,x,y,z) = ^ J^Pknm(t)PnPm sin(akx) cos(eny) cos(nmz),
k=1 n=0 m=0 K—1 N M—1
Q(t,x,y,z) = ^ ^ ^ Qknm(t)pn sin(akx) cos(eny) sin(nmz),
k=1 n=0 m=1
где pk = 0.5 при k = 0, K, pk = 1 при 1 < k < K — 1, u0,0,0 в (2).
«Мягкие» граничные условия первого и второго рода на боковых границах x = 0, п/a; y = 0, п/в ставятся исходя из вида решения (2), например, при x = 0 и 0 < y < п/в из (2) находим, что ux = v = w = Q = 0 — условия на вертикальной плоскости, проходящей через центр конвективного вала, параллельно его оси. Граничные условия при y = 0 и 0 < x < п/a: uy = v = wy = Qy = 0 соответствуют условиям на границе конвективной ячейки. Некоторая искусственность такой постановки обусловлена желанием обеспечить преемственность с двумерными расчетами работы [16], где приведено сравнение с экспериментальными результатами при небольшой надкритичности.
Пусть r = Ra/Racr — надкритичность, где Racr = 657.5 — критическое значение числа Рэлея.
П.Б. Палымский. Численное исследование спектров трехмерной турбулентной конвенции__
2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД И ЕГО АПРОБАЦИЯ
Кратко опишем спектрально-разностный вариант псевдо-спектрального метода, который применяется для решения системы (1). Двумерный вариант данного метода применялся для расчетов конвекции при высокой надкритичности со свободными и жесткими граничными условиями [16], описание метода расчета, результаты линейного и нелинейного (на модельной нелинейной системе уравнений) анализа, результаты тестовых расчетов приведены в работах [21, 22].
Следуя общей идеологии расщепления на линейные и нелинейные процессы, переход от слоя n к слою n + 1 по времени производится в три этапа. На первом этапе расщепления решается полная линейная система уравнений и устанавливается соответствие в линейном приближении спектральных характеристик численного метода и дифференциальной задачи, на втором — учитываются нелинейные члены и на третьем — восстанавливается выполнение уравнения неразрывности, нарушенное на втором этапе расщепления.
Конечно-разностный метод, использующий подобное расщепление по физическим процессам получил большое распространение, но при расчете сложных течений спектральный и псевдо-спектральный (метод коллокаций) методы более эффективны [23]. В отличие от широко используемого варианта псевдо-спектрального метода [1, 5, 6] в предлагаемой его спектрально-разностной модификации на первом этапе расщепления решается полная линейная система уравнений, содержащая члены вязкости, плавучести и давления, что обеспечивает соответствие в линейном приближении спектральных характеристик численного метода и дифференциальной задачи, а на втором — вместо вычисления пространственных производных по точным формулам используется разностная схема, что снимает проблему вычислительной устойчивости [23].
На первом этапе расщепления учитываем линейное развитие возмущений, без учета взаимодействия гармоник
ut + Px = 1 A u, vt + Py = 1 A v, wt + Pz = 1 A w + RaQ, 1 w
Qt = 2Pr A Q + PT' ux + vy + wz = ° (3)
Для эффективного решения уравнений нелинейного конвективного переноса для u, v, w и Q половина вязких членов учтена на втором этапе расчета. После подстановки решения (2) в систему (3) и исключения давления с помощью уравнения неразрывности, вместо (3) получим систему из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений для четырех неизвестных амплитуд u&nm, v^nm, wknm и Qknm- Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решается аналитически, без применения каких-либо аппроксимаций по времени по формулам, выведенным программой аналитических вычислений Maple V R5.
На втором этапе учитывается нелинейный конвективный перенос, т.е. принимается во внимание взаимодействие гармоник:
1 , N 1 А 1 , N 1 Л
ut + — (uux + vuy + wuz) = - A u, vt + — (uvx + vvy + wvz) = - A v, Pr 2 Pr 2
wt + Pr (uwx + vwy + wwz) = 1 A w, Qt + -Pr (uQx + vQy + wQz) = A Q.
Здесь применена явная схема (с аппроксимацией направленными разностями первого порядка производных в нелинейных членах и поправкой А.А. Самарского) при достаточной разрешимости по пространству второго порядка точности [24].
На третьем этапе расщепления восстанавливается выполнение уравнения неразрывности, нарушенное на втором этапе:
un+i _ un+2/3 div (un+2/3)
-= -grad(p), ---- = A p. (4)
T T
Подстановка в систему (4) решений в форме (2) приводит систему (4) к системе алгебраических соотношений. Пересчет искомых полей из спектрального пространства в физическое и обратно производился по стандартным программам быстрого преобразования Фурье по косинусам и синусам.
При обработке данных расчетов осреднением по времени и горизонтальным координатам вычисляется профиль средней температуры и находится поле температурных пульсаций в каждый момент времени. Затем одномерным преобразованием Фурье (по косинусам и синусам в горизонтальных направлениях и по синусам в вертикальном) и осреднением по всем однородным координатам квадратов амплитуд Фурье гармоник пульсаций находятся одномерные пространственные энергетические спектры [17]. По полю температуры и скорости вычислялись одномерные пространственные спектры EQk, EQn, EQm и EVk, EVn, EVm для направлений x, y, z, соответственно.
По аналогии с двумерными расчетами [16, 21, 22] в данной работе полагалось a = ß = 1, расчеты
проводились при 50 < г < 950 и Рг = 10. Исключение составляют данные расчетов на рис. 1, полученные для корректного сопоставления с экспериментом при r = 410 и Pr = 0.8.
Результаты тестирования двумерной версии вычислительного алгоритма даны в [21]. Для проверки правильности работы трехмерного вычислительного алгоритма, проведено сравнение средних величин на двумерном решении, которое было рассчитано по двумерному [21] и трехмерному вы-f, v/H 10 числительным алгоритмам при г = 5 и Рг = 10.
Рис. 1. Временной спектр температуры, 1 — расчет, Использовалось [33 х 17] гармоник в двумерном 2 — эксперимент [8] 3 — f — fd расчете и [33 х 9 х 17] — в трехмерном.
Вычисленное число Нуссельта
iv/ß 7т/а
Nu(t) =
aß 2П2
(Qz (t, x, y, 0) + Qz (t, x, y, 1)) dxdy — 1
0 0
(в двумерном варианте определяется по аналогии) после осреднения по времени отличалось на 1%, среднеквадратичная скорость Уте — на 5.9% и среднеквадратичное значение температурных пульсаций <^те — на 2.6% от характерной температуры. Такое совпадение можно считать неплохим для методов, использующих различные искомые переменные: функция тока, вихрь [21] и скорость, давление — в настоящей работе.
Все расчеты проведены с числом гармоник 653. Для проверки достаточности разрешимости проведены тестовые расчеты при г = 950 с числом гармоник 1293 и 333. По результатам расчетов с разрешимостями 653 и 1293 при помощи квадратичной экстраполяции вычислялось точное значение средних величин. Результаты тестовых расчетов приведены в табл. 1.
Таблица 1 По приведенным в табл. 1 значени-
ям числа Яе видно, что величина схем-
Проверка достаточной разрешимости
Разрешимость Nu Re Qme
333 12.30 (14.2) 48.39 (21.2) 0.2503 (3.1)
653 13.68 (4.5) 44.05 (10.4) 0.2481 (2.2)
1293 14.18 (1.2) 40.95 (2.6) 0.2441 (0.5)
Точное значение 14.33 39.92 0.2428
Примечание. В скобках приведены отклонения от точного значения в процентах, Яе = Уте/Рг — число Рейнольдса.
ной вязкости при 653 составляет примерно 10% от физической, видна сходимость средних величин.
Вычислялось и диссипативное волновое число [1]:
0.25
I I N и — I) ЯП \
ка = 2п
(Nu — 1) Ra
pr2
которое было равно 102.04, 105.38, 105.51 и 105.55 в расчетах с разрешимостями 333, 653, 1293 и при квадратичной экстраполяции, соответственно.
По кинетической энергии определялось среднее горизонтальное волновое число, характеризующее горизонтальный масштаб вихрей, содержащий основную долю кинетической энергии:
K =
E2
kn
(5)
И.Б. Палымский. Численное исследование спектров трехмерной турбулентной конвекции
Здесь Ek = k n Ein — кинетическая энергия, а
E 2 = _
kn 16ав
m=M
T.
m=0
(uknmpkpnpm + v2nmpm + w2nmpn) ■
(6)
Суммирования в (5) и (6) производятся во всем диапазоне изменения индексов: 0 < к < К, 0 < п < N и 0 < т < М, при этом отсутствующие в представлении (2) гармоники доопределяются нулями.
Значение Кте было равно 3.157, 3.309, 3.544 и 3.622 в расчетах с разрешимостями 333,653,1293 и при квадратичной экстраполяции, соответственно.
По приведенным значениям к^ и Кте также видна сходимость.
Для контроля точности проверялось выполнение интегральных соотношений, например, полученное умножением уравнения для температуры системы (1) на Р и интегрированием по области
= {0 < х, у < п, 0 < г < 1, 1П < £ < 1П+1} с учетом граничных условий
Ig (Qn)2 + Pr Ig, WQ
2 J G
2 Ig (Qn+1)2 + РГ/G* (Qx2 + Qy2 + Qz2)
= i,
Таблица 2 Проверка интегральных соотношений
Разрешимость Энергия Температура
333 0.99625 0.99693
653 0.99889 0.99877
Ю со 0.99986 0.99975
2 JG УЧ ! i Pr JGt
где G = {0 < x,y < n, 0 < z < 1}.
Аналогично умножением уравнений системы (1) для u, v и w на u, v и w, соответственно, и интегрированием по Gt получаем интегральное соотношение для кинетической энергии.
Табл. 2 показывает хорошую точность выполнения осредненных по времени локальных интегральных соотношений при r = 950, видна сходимость к 1 при увеличении разрешимости.
Профили средней температуры и среднеквадратичных температурных пульсаций при этом практически совпадали, а по профилям пульсаций скорости наблюдалась сходимость при последовательном увеличении пространственной разрешимости [13]. Одномерные энергетические спектры пульсаций температуры и скорости при разрешимостях 653 и 1293 практически совпадают.
Как показали методические расчеты, спектры являются очень консервативной характеристикой, медленно изменяющейся при увеличении надкритичности и пространственной разрешимости, поэтому для исследования спектров достигнутая точность достаточна.
3. ВРЕМЕННОЙ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СПЕКТРЫ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ
Приведем результаты сравнения рассчитанного временного энергетического спектра (квадрат модуля Фурье гармоник) пульсаций температуры в центре конвективной ячейки с экспериментальными данными по турбулентной конвекции газообразного He при 5 0К [8].
Эксперименты проводились в цилиндрической ячейке из нержавеющей стали с аспектным отношением 0.5 (диаметр, отнесенный к высоте) и критическим числом Рэлея 1.7 ■ 104 [25]. Расчеты проводились при совпадающих с экспериментом надкритичности r = 410 и числе Прандтля Pr = 0.8.
На рис. 1 частота f отложена в единицах v/H2, расчетные и экспериментальные спектральные кривые нормированы так, чтобы интеграл по всем частотам был равен 1. Граничные условия и геометрия области в расчете и эксперименте различны и это несколько понижает ценность сравнения. Однако спектр в расчете и эксперименте вычислялся по пульсациям температуры в центре ячейки, где влияние граничных условий минимально из-за относительной удаленности от границ. Это и уже отмеченная выше консервативность спектров позволяют надеяться на правомерность такого сравнения.
Заметное различие приведенных на рис. 1 расчетных и экспериментальных данных наблюдается только на диссипативных частотах порядка fd = V ■ Re3/4/H, где V — среднеквадратичная скорость и Re = V ■ H/v — число Рейнольдса [26].
На рис. 2 приведены временные спектры числа Нуссельта при r = 400 (рис. 2, а) и r = 950 (рис. 2, б). Временной энергетический спектр числа Нуссельта при r = 950 весьма сложный, с характерным
2
1
для стохастических процессов заполнением длинноволновой части спектра [28, 29], а при г = 400 спектр простой, с четко видными выделенными частотами, кратными основной /0 = 99, при почти полном отсутствии движений с частотами / < /0. Качественное различие спектров на рис. 1 и 2, а обусловлено отличием в числе Прандтля (0.8 и 10).
10* 10" / v/H 10"
а б
Рис. 2. Временной энергетический спектр числа Нуссельта, а — r = 400, б — r = 950
Для пульсаций температуры и скорости при Pr = 10 характерные спектры формируются при r > 500 и имеют устойчивый характер вплоть до r = 950. Ниже везде Pr = 10 и r = 950 на рис. 3-5. Высокочастотные участки спектров на рис. 3-5 не приведены из-за их нефизичности ввиду искажения численными эффектами на краю спектра разностных операторов [27].
Теперь рассмотрим одномерные пространственные энергетические спектры температурных пульсаций. На рис. 3 показаны спектры, соответствующие горизонтальным направлениям x (рис.3, а) и y (рис.3, б), видны продолжительные участки со степенными законами k-2'4 и k-5/3 соответственно. В спектре температурных пульсаций, соответствующем вертикальному направлению, виден участок со степенным законом k-5/3.
lg(a£)
1.2 lg(ßn) 1.6
Рис. 3. Спектры температурных пульсаций в горизонтальных направлениях: а — х, б — у
Спектры к-5/3 и к-2'4 в спектре пульсаций температуры были получены при двумерном моделировании сложных режимов конвекции [13].
Спектры к-5/3 и к-2.4 наблюдались в экспериментах по турбулентной конвекции в газообразном гелии при криогенной температуре [8, 11]. Спектр к-2'4 пока не получил теоретического и физического обоснования, а наблюдавшийся спектр к-5/3 указывает на поведение температуры как пассивной примеси [17].
4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СПЕКТРЫ ПУЛЬСАЦИЙ СКОРОСТИ
Рассмотрим теперь одномерные энергетические спектры пульсаций скорости. На рис. 4 приведены спектры, отвечающие горизонтальным направлениям х (рис.4, а) и у (рис.4, б), видны продолжительные участки со степенными законами Болджиано - Обухова к-11/5 и п-3 соответственно. Спектр п-3 наблюдался при численном исследовании турбулентной конвекции Рэлея - Бенара [1, 2].
б
а
И.Б. Палымский. Численное исследование спектров трехмерной турбулентной конвекции
0.2 0.6 1.0 1.4 0.4 0.8 1.2 ^(ри) 1.6
а б
Рис. 4. Спектры пульсаций скорости в горизонтальных направлениях: а — х, б — у
На рис. 5 приведен спектр, отвечающий вертикальному направлению г. Ясно виден спектр т-5, предсказанный теоретически для турбулентной конвекции с высоким числом Прандтля [17].
Спектры к-11/5 и к-5 в спектре пульсаций скорости были получены при двумерном моделировании конвекции [13].
Подчеркнем, что степенные законы к-11/5 и к-3 в спектре скорости типичны для стратифицированных течений и известны как законы Болджи-ано - Обухова и Ламли - Шура, что указывает на доминирование силы плавучести. Степенные законы Болджиано - Обухова и Ламли - Шура для пульсаций скорости наблюдались в стратифицированной атмосфере [19, 20] и, дополнительно, закон Болджиано - Обухова — в лабораторных экспериментах по турбулентной конвекции [10, 12].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
5
)
0.5 1.0 1.5 \ginm) 2.0
Рис. 5. Спектр пульсаций скорости в вертикальном направлении
Временной спектр температурных пульсаций в центре конвективной ячейки, рассчитанный по трехмерной модели со свободными граничными условиями, при надкритичности 410 имеет хорошее согласование с экспериментальными данными по турбулентной конвекции в газообразном Не при криогенной температуре [8]. Существенные отклонения наблюдаются только на диссипативных ча-
стотах.
Для пульсаций скорости получены спектры Болджиано - Обухова к-11/5,к-3 и к-5. Спектр Болджиано - Обухова наблюдался в экспериментах по турбулентной конвекции [10, 12], к-3 — в трехмерных расчетах турбулентной конвекции [1, 2] и известен как закон Ламли - Шура в стратифицированной атмосфере, а к-5 - предсказан теоретически для турбулентной конвекции при высоком числе Прандтля [17]. Отметим, что спектр Колмогорова к-5/3 для пульсаций скорости, наблюдавшийся в численных исследованиях турбулентной конвекции [1-3], в настоящей работе не был обнаружен, что объясняется низким числом Рейнольдса (Яе < 44) в расчетах данной работы [30]. Также относительно низкими числами Рейнольдса объясняется и отсутствие изотропии малых масштабов в горизонтальных направлениях (согласно [30] изотропия малых масштабов наблюдается при Яе > 100). В двумерных расчетах [13] получены спектры Болджиано - Обухова к-11/5 и к-5 для пульсаций скорости. Подчеркнем, что степенные законы Болджиано - Обухова и Ламли - Шура в спектре скорости типичны для стратифицированных течений, что указывает на доминирование силы плавучести.
Для температурных пульсаций, как и в двумерных расчетах [13], получены спектры Колмогорова к-5/3 и к-2'4. Спектр к-5/3 и к-2'4 для температурных пульсаций наблюдались в экспериментах по турбулентной конвекции [8, 9, 11, 18]. Спектр к-2'4 пока не получил теоретического и физического обоснования, а наблюдавшийся спектр к-5/3 указывает на поведение температуры как пассивной примеси [17]. Отметим, что спектр Болджиано - Обухова к-7/5, наблюдавшийся в экспериментальных
исследованиях [8, 9, 11, 18], в расчетах данной работы не наблюдался, как и в численных исследованиях [1, 2]. Спектр Болджиано - Обухова k-7/5 обнаружен во временных спектрах при трехмерном моделировании турбулентной конвекции воздуха при огромной надкритичности (до r ~ 3 ■ 107) [3]. Предположительной причиной отсутствия спектра Болджиано - Обухова для пульсаций температуры в расчетах данной работы может быть недостаточно большое значение надкретичности.
Частичное подтверждение возможности одновременной реализации двух сценариев турбулентности (изотермического Колмогорова и Болджиано - Обухова) получено в эксперименте по конвекции глицерина в вертикальной тороидальной ячейке, где в зависимости от расположения датчиков термопар для температурных пульсаций реализуется спектр Колмогорова либо Болджиано - Обухова [18].
В заключение подчеркнем, что хотя относительно невысокие числа Рейнольдса (Re < 44) в расчетах данной работы обусловливают отсутствие изотропии малых масштабов двух горизонтальных направлений, наличие ясно идентифицируемых спектров в исследуемом конвективном течении, которые имеют устойчивый характер и наблюдаются при 500 < Ra/Racr < 950, позволяет нам характеризовать данный процесс как турбулентность.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-96070).
Библиографический список
1. Kerr R.M. Rayleigh number scaling in numerical convection // J. Fluid Mech. 1996. V. 310. P. 139-179.
2. Malevsky A.V. Spline-characteristic method for simulation of convective turbulence // J. Comput. Phys. 1996. V. 123, № 2. P. 466-475.
3. Verzicco R, Camussi R. Numerical experiments on strongly turbulent thermal convection in a slender cylindrical cell // J. Fluid Mech. 2003. V.477. P. 19-49.
4. Shishkina O., Wagner C. Analysis of thermal dissipation rates in turbulent Rayleigh - Benard convection // J. Fluid Mech. 2006. V. 546. P. 51-60.
5. Cortese T., Balachandar S. Vortical nature of thermal plumes in turbulent convection // Phys. Fluids. A. 1993. V. 5, № 12. P. 3226-3232.
6. Curry J.H., Herring J.R., Loncaric J., Orszag S.A. Order and disorder in two- and three-dimensional Benard convection // J. Fluid Mech. 1984. V. 147. P. 1-38.
7. Герценштейн С.Я., Родичев Е.Б., Шмидт В.М. Взаимодействие трехмерных волн во вращающемся горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 3. C. 545-548.
8. Wu X.-Z., Kananoff L., Libchaber A., Sano M. Frequency power spectrum of temperature fluctuations in free convection // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64, № 18. P. 2140-2143.
9. Cioni S., Ciliberto S., Sommeria J. Temperature structure functions in turbulent convection at low Prandtl number // Europhys. Lett. 1995. V. 32, № 5. P. 413-418.
10. Ashkenazi S., Steinberg V. Spectra and statistics of velocity and temperature fluctuations in turbulent convection // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83, № 23. P. 4760-4763.
11. Niemela J.J., Skrbek L, Sreenivasan K.R., Donnelly R.J. Turbulent convection at very high Rayleigh numbers // Nature. 2000. V. 404, № 20. P. 837-840.
12. ShangX.-D, Xia K.-Q. Scaling of the velocity power spectra in turbulent thermal convection // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 065301-1-4.
13. Палымский И.Б. Численное исследование спектров турбулентной конвекции Рэлея - Бенара // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4, № 2. С. 145-156.
14. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея - Бенара. Структуры и динамика. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 247 с.
15. Goldstein R.J., Graham D.J. Stability of a horizontal fluid with zero shear boundaries // Phys. Fluids. 1969. V. 12, № 6. P. 1133-1137.
16. Палымский И.Б. Численное моделирование двумерной конвекции, роль граничных условий // Известия РАН. МЖГ. 2007. № 4. С. 61-71.
17. ФрикП.Г. Турбулентность: подходы и модели / Ин-т компьютерных исследований. М.; Ижевск, 2003. 292 с.
18. Браже Р.А., Куделин О.Н. Экспериментальная реализация модели Лоренца конвективной неустойчивости жидкости в вертикальной тороидальной ячейке // Изв. вузов. ПНД. 2006. Т. 14, № 6. C. 88-98.
19. Атмосфера: Справочник / Под ред. Ю.С. Седунова Л.: Гидрометеоиздат, 1991. 510 с.
20. Филлипс О. М. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. 319 с.
21. Палымский И.Б. Численное моделирование двумерной конвекции при высокой надкритичности // Успехи механики. 2006. № 4. С. 3-28.
22. Палымский И.Б. Линейный и нелинейный анализ численного метода расчета конвективных течений // Сиб. журн. вычисл. математики. 2004. Т. 7, № 2. С. 143-163.
23. Шуманн У., Гретцбах Г., Кляйзер Л. Прямые методы численного моделирования турбулентных течений // Методы расчета турбулентных течений. М.: Мир, 1984. 464 с.
24. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообме-на. М.: Наука, 1984. 285 с.
25. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
О.М. Ромакина. Об установившихся поперечных колебаниях прямоугольной пластинки
26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 733 с.
27. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. 2-е изд. М.: Наука, 1978. 687 с.
28. Palymskiy I.B., Fomin P.A., Hieronymus H. The Rayleigh-Benard convection in gas with chemical
УДК 539.3
ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
О.М. Ромакина
Саратовский государственный университет, кафедра компьютерной алгебры и теории чисел E-mail: [email protected]
При предположениях классической теории Кирхгофа рассматривается задача об установившихся колебаниях тонкой прямоугольной пластинки из упругого ортотропного материала. Двумерная краевая задача сводится к одномерной модифицированным методом сплайн-коллокации. Одномерная задача решается численно устойчивым методом дискретной ортогонализа-ции. Приведены результаты вычислений первых трех резонансных частот и графики, изображающие форму деформированной срединной поверхности, для трех вариантов условий на контуре.
Ключевые слова: метод сплайн-коллокации, ортотропная пластинка.
reactions // Сиб. журн. вычисл. математики. 2007. Т. 10, № 4. P. 371-383.
29. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 378 с.
30. Турбулентность. Принципы и применение / Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена. М.: Мир, 1980. 535 с.
Orthotropic Plate O.M. Romakina
Saratov State University,
Chair of Computer's Algebra and Theory of Numbers E-mail: [email protected]
The problem of the steady transverse vibrations of a rectangular orthotropic plate under the classical Kirchhoff theory assumptions is considered. Two-dimensional problem is reduced to one-dimensional via the modified spline-collocation method. One-dimensional problem is numerically solved with the stable discrete orthogonalization method. Numerical results for three resonance frequencies and plots for deformed middle-surface are presented for three types of boundary conditions on the edges.
Key words: modied method of spline collocation, ortotropic plate.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
Уравнение для определения прогиба — при динамическом изгибе ортотропной пластинки в рамках классической теории Кирхгофа, как известно [1], имеет вид
^ д4 — ^^ д4 — ^ д4 — , д2 —
Б Ж? + 2Б а^ + Б + рН^ = «(х'у'Ь)' (|)
где — = —(х,у,Ь) — прогиб точек срединной плоскости; Н — толщина пластинки; Ь — время; координатные оси х и у направлены по главным направлениям анизотропии; Б (г = 1, 2,3) — соответствующие жесткости; р — плотность материала.
Будем рассматривать установившиеся колебания пластинки под действием поперечной нагрузки интенсивности
д(х,у,£) = -о(х,у)в т шЬ. (2)
Тогда в безразмерных переменных £ = х/а, п = у/Ь (а и Ь — размеры пластинки в плане) для безразмерной амплитуды Ш(£,п) прогиба —(х,у,Ь) = НШ(£, п) втшЬ из (1) с учетом (2) следует уравнение
д4 Ш 2 д4 Ш 4 д4 Ш _
^ + ^с2д^д^ + ^с4 - Д4Ш = П^' (3)
где Л4 = рН°а2ш2/Б* — безразмерный частотный параметр.
Амплитудные значения внутренних моментов и обобщенных поперечных усилий выражаются через функцию Ш по формулам
*{ д2Ш 2 д2 „^ { д2 Ш 2 д2 ~ * д 2Ш
М* = -а2^ -^т + ^2 с2^ ' м* = — а2 Б * ц ^ + с2^^ ' Нху = -а2Я * Ц2С—'
