О глобальном исследовании двухчастотных систем, близких к нелинейным интегрируемым Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 92), с. 239-240

239

УДК 534.1,517.9

О ГЛОБАЛЬНОМ ИССЛЕДОВАНИИ ДВУХЧАСТОТНЫХ СИСТЕМ, БЛИЗКИХ К НЕЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРИРУЕМЫМ

© 2011 г. А.Д. Морозов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассматриваются системы с 3/2 и двумя степенями свободы, близкие к нелинейным интегрируемым. Для систем с 3/2 степенями свободы приводятся результаты исследования структуры резонансных зон (проходимые, частично проходимые и непроходимые; невырожденные и вырожденные). Используется метод усреднения, а также методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем. Если для систем с 3/2 степенями свободы в резонансных случаях усредненные системы двумерные, то для систем с двумя степенями свободы - трехмерные, определенные на полнотории. Обсуждаются результаты по исследованию таких частично усредненных систем. Наряду с этим приводятся полностью усредненные системы и обсуждается проблема глобального поведения решений. Рассмотрение иллюстрируется на примере уравнений типа Дюффинга - Ван-дер-Поля.

Ключевые слова: резонансы, предельные циклы, усреднение.

Рассматриваются системы вида дH (х, у)

x = ■

ду

- + sg (x, у, vt),

дH (x, у)

у =--------- ------+ sf (x, у , Vt),

дх

X + а( x) = sF (x, X, у, у),

У + Ь( у) =sG( x, X, у, у),

(1)

(2)

где функции Н, /, g, a, Ь, F, G - достаточно гладкие по своим аргументам и периодические ф = vt с периодом 2п, V - параметр, є - малый положительный параметр. К системам такого вида приводит решение многочисленных прикладных задач. В то же время они играют важную роль в теории нелинейных колебаний. Если посмотреть литературу, в которой рассматриваются системы такого вида, то во многих случаях можно увидеть предположение о линейности невозмущенных систем. В наших исследованиях невозмущенные системы нелинейные.

Предположим, что невозмущенные системы имеют ячейки, заполненные замкнутыми фазовыми кривыми. В таких ячейках системы (1), (2) удобно записать в переменных действие-угол. Система (1) преобразуется к виду І = sP( І,0, ф) f (x, у, ф) х0- g (x, у, ф) у^ ],

0 = ю(І) + sQ(1, 0, ф) = <в(І) + s[-Х + §у\ ], (3) ф = V, а система (2) - к виду

І = sA(І, J, 0, ф), І = sB(І, J, 0, ф),

0=ю1(І) + sC(І, І, 0, ф), (4)

ф = Ю2(І) + sD(1, 1, 0, ф), где функции Р, Q, А, В, С, D - периодические по угловым координатам 0, ф с периодом 2п. Говорят, что в рассматриваемых системах имеет место резонанс, если частоты соизмеримы. Для систем вида (3) условие резонанса имеет вид ю(Т) = (д/р)У, а для (4) - вид ю1(Т) = (д/р)ю2(І), где р, д - взаимно простые целые числа. Для системы (3) из условия резонанса находим резонансные уровни І = Ірд. При этом резонанс называют невырожденным, если dю(Іpq уйІ Ф 0. В противном случае резонанс называют вырожденным. Для системы (4) условие резонанса определяет на плоскости (І, І) резонансные кривые. Здесь также можно определить невырожденные и вырожденные резонансы.

В окрестности резонансных значений «действия» система (3) приводит к двумерной автономной усредненной системе на цилиндре, а система (4) - к трехмерной системе на полно-тории.

Следует отметить проблемы теоретического исследования рассматриваемых систем и, в первую очередь, систем вида (2). Во-первых, это связано с тем, что трудно найти решение невозмущенных осцилляторов. В простейших случаях решение представляется через эллиптические функции, что приводит к проблемам в вычислении усредненных систем. Во-вторых, частоты невозмущенных осцилляторов зависят

240

А.Д. Морозов

от значений интеграла энергии невозмущенных систем, что приводит к существованию всюду плотного множества резонансных значений энергии. В этом случае установить глобальное поведение решений в рассматриваемых ячейках можно лишь при неконсервативных возмущениях. В-третьих, в границу ячеек у невозмущенных систем могут входить контуры, составленные из сепаратрис и седел. Тогда у возмущенных систем может существовать гомоклиническая структура Пуанкаре и сложное поведение решений.

Важную роль в исследовании резонансных структур играют предельные циклы: автономных систем — для (1) и несвязанных систем — для (2). Для системы (1) это система

. дН( х, у)

х =---;----+8£ ( х, у ),

У = -

ду дН (х, у) дх

+еf (х, у),

где £, f — средние значения по ф функций /и g соответственно.

Используя [1—4], планируется рассмотреть следующие вопросы.

1. Системы с 3/2 степенями свободы.

1.1. Невырожденные резонансы: проходимые, частично проходимые и непроходимые резонансы; синхронизация и прохождение через резонанс; полигармонические возмущения.

1.2. Вырожденные резонансы: существование вырожденных резонансов; существование максимальной сепаратрисной сети; анализ резонансных зон вблизи вырожденных уровней;

существование «вихревых пар».

1.3. Глобальное поведение решений.

2. Системы с двумя степенями свободы.

2.1. Структура невырожденных резонансных зон.

2.2. Полностью усредненная система и обсуждение проблемы глобального поведения решений.

2.3. Пример: система двух уравнений Дюф-финга - Ван-дер-Поля.

Результаты численного счета, полученные с помощью программы WInSet [5], иллюстрируют теоретические результаты.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №09-01-00356), программы «Кадры» №НК-13П-13, Правительства РФ (грант №111. G34.31.0039).

Список литературы

1. Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в ква-зиконсервативных системах. М.-Ижевск: РХД, 2005. 422 с.

2. Morozov A.D. On degenerate resonances and «vortex pairs» // RCD. 2008. Vol. 13, No 1. P. 27-36.

3. Morozov A.D, Kondrashov R.E. On resonances in systems of two weakly connected oscillators // RCD. 2009. Vol. 14, No 2. P 237-247.

4. Кондрашов Р.Е., Морозов А.Д. К исследованию резонансов в системе двух уравнений Дюффинга -Ван-дер-Поля // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, №2. С. 241 254.

5. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. М.-Ижевск: Изд-во Инст. компьют. исслед., 2003. 304 с.

ON THE GLOBAL INVESTIGATION TWO- FREQUENCY SYSTEMS CLOSE TO NON-LINEAR INTEGRABLE

A.D. Morozov

The systems with 3/2 and two degrees of freedom close to nonlinear integrable are considered. For systems with 3/2 degrees of freedom the results of research of structure of resonant zones (passable, partially passable and impassable; non-degenerate and degenerate) are presented. The method of averaging, and also methods of the qualitative theory and the theory of bifurcation of dynamic systems is used. If for systems with 3/2 degrees of freedom in resonant cases the average systems are two-dimensional, for systems with two degrees of freedom are three-dimensional determined on solid torus. The results on research of such partially average systems are discussed. Alongside with it the completely average systems are resulted, and the problem of global behavior is discussed. The consideration is illustrated on an example of the equations such as Duffing - Van-der-Pole.

Keywords: resonances, limit cycles, averaging.