УДК 519.9+534.01
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
© 2014 Ю.М. Заболотнов, А.А. Лобанков
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)
Поступила в редакцию 17.12.2013
Разработана методика построения приближенно-оптимальных управлений для колебательных динамических систем с несколькими степенями свободы. Проведен аналитический расчет приближенно-оптимального регулятора для колебательной системы с двумя степенями свободы Ключевые слова: колебательные системы, динамическое программирование, метод усреднения, устойчивость, приближенно-оптимальное управление.
Целью работы является разработка метода синтеза оптимального регулятора для колебательной системы с двумя степенями свободы, описывающей малые колебания относительно ее программного движения или состояния покоя. Для решения данной задачи используются принцип динамического программирования Беллмана и теория аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) Летова [1]. Рассматриваемые методы предлагается использовать совместно с методом усреднения [2]. Такой подход позволяет понизить размерность задачи и, тем самым, значительно упростить ее решение.
Рассматриваются колебательные системы, поведение которых описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений
A
d2 х
с
dt
2
+Сх= 8Q
х,
dx dt
+ е mu,
(1)
V ш У
где X - П -мерный вектор переменных состояния системы, А и С - известные квадратные симметричные матрицы, £ - малый параметр
С
задачи, Q
dx
х
' dt
- вектор-функция возмуще-
V У
ний, действующих на систему; m - матрица, определяющая структуру управляющего устройства в конкретной задаче; u - скалярное управление.
Предполагается, что для системы (1) выполнены условия управляемости и наблюдаемости [3]. Решается задача определения оптимального
Заболотнов Юрий Михайлович, доктор технических наук, профессор. E-mail: yumz@yandex.ru. Лобанков Антон Алексеевич, аспирант. E-mail: mart1989@mail.ru
управления системой (1) и 0 с целью демпфирования колебаний, то есть решается задача о переводе системы в начало координат. Причем оптимальность управления и понимается в смысле минимума квадратичного функционала
J = 8 (KTaK + cu2 )dt,
(2)
где а - положительно определенная матрица весовых коэффициентов для ошибок управления, ^ > 0 - весовой коэффициент для управления, К - вектор амплитуд колебаний, (г I - знак транспонирования, tk - время перехода.
Применение метода усреднения к системе (1) предполагает замену переменных в этой системе в соответствии с формулами
х
= 2 KV(i )еов(фг),
i = 1
d:=-±k, «>У "sinfaid
dt i=i
(3)
где ф - вектор фаз колебаний. Применяя стандартную процедуру перехода к переменным "амплитуды - фазы", получим дифференциальные уравнения для новых переменных
dK dt
= 8 X (К, ф)+ 8Y (ф) U,
dф
dt
= Ш+8Ф(К, ф)+ 8^(К, ф)и,
(4)
(5)
где вид функций известен.
Согласно принципу динамического программирования Беллмана, сформулированному для непрерывных динамических систем, оптимальное управление определяется из условия [1]
Ш1П
и
(гг г 2\ (ЭЖX йК ■ ( а К + си 1+1-I -+
у М эк У аг
+
(ЭЖУ йф
аг
Эф
= 0,
(6)
(К0) таК0 + ЪЖ ■{ X [к 0ф ))-
4с
(ЭЖ Л1 / \ Жо У ф)
эк0
= 0.
(10)
где Ж (К, ф) - производящая функция.
Подставляя систему (4), (5) в условие (6) и собирая вместе слагаемые, зависящие от управления, получим функцию
н(и) = £си 2 +
+ еи
'ЭЖч (ЭЖ
У (ф) +
ЭК
Эф
Ч(К ,ф)
(7)
ЭНИз условия минимума этой функции _ = 0 нетрудно определить оптимальное уп-
ение
и0 =
2с
'ЭЖ
ЭК
У (ф)+
+
ЭЖ
Ч(К ,ф)
(8)
Оптимальное управление и0 найдено с точностью до производящей функции Ж (К, ф) . Для определения дифференциального уравнения для этой функции необходимо подставить выражение (8) в условие (6), тогда
еКт аК + е
( Ж
ЭК
X (К ,ф)+
+
( эж Л
Эф
[ + еф(К ,ф)] -
(9)
V "V У
е 4с
( ЭЖ
ЭК,
У (ф)
+
( ж
Эф.
Т(К ,ф)
= 0.
где оператор (...^ есть стандартный оператор усреднения.
Уравнение (10) существенно проще исходного уравнения (9), так как слагаемые в него входящие зависят только от амплитуд и не зависят от фаз, причем, то же самое справедливо и для производящей функции Ж0) (К 0 ) .
Для обеспечения динамической устойчивости точки равновесия колебательной системы
X =-= 0 функция Ж0 (К 0 ) , удовлетворяю-
аг 0Х '
щая уравнению (10), должна быть положительно определенной. В этом случае функцию
Ж0) (К0) можно рассматривать как функцию Ляпунова, обеспечивающую устойчивость решения К0 = 0 для усредненной системы [4].
Здесь надо отметить, что с учетом соотношений (8) и (10) оптимальное управление в первом приближении можно записать в виде
. т
и
2с
V
ЭЖ
ЭК0
у (ф0)
+ е.
(11)
Для решения уравнения (9) предлагается применить метод усреднения, который заключается в поиске решения в виде асимптотических рядов. Подставляя известные формулы метода усреднения в уравнение (9) и усредняя это уравнение по фазам фф (I = 1,...п) и удерживая слагаемые только порядка е , получим
то есть слагаемые пропорциональные е можно не учитывать, так как при подстановке (11) в уравнение для амплитуд (4) эти члены изменяют только второе приближение метода усреднения.
Рассмотрим колебательную систему в форме (1) с двумя степенями свободы при наличии линейных возмущений, т.е когда п = 2 и
п = я0Х
~ л , . Усреднение двухчастотной системы
аг
позволяет представить результаты анализа колебаний в наглядной форме с помощью метода
фазовой плоскости в координатах ((1, К^ )[5].
Из приближенного уравнения для производящей функции Ж0) (К 0 ) следует, что для ее определения в первом приближении достаточно рассмотреть только уравнения амплитуд (4). Эти уравнения для случая п = 2 имеют вид
2
т
т
1
т
т
т
2
т
т
СК
Ж
1 = -г[[ ( + щи)- N2 ( + ш2и)] •
(12)
СК2 Ж
= ( + щи) — N (02 + Ш2и)] •
(13)
где
N. =
А11 + А12 Х1
N 2 =
N 3 =
N 4 =
Ю 2 ( 2 Х1 )(А11 А22 - Ай)
А11 + А12 Х 2
«1 (Х 2 - Х1 )(А11 А22 - А^)
А12 + А22 Х1
Ю 2 (Х 2 - Х1 )(А11 А22 - А2)
А12 + А22Х 2
Ь22 А22 « • (N3 М11 + N3 • М12 Х - N1 • М21 - N1 • М22 Х) -
1 2 2 —Л222 (N4 • т1 - N2 • т2)2 = 0, 2с
(16)
полученных путем подстановки функции Ляпунова Жо (к 0 ) в уравнение (10) и приравнивании к нулю коэффициентов при К^, К К1 К2, а коэффициенты М11, М12 ' М21 > М22 определяются из вида возмущающей функции 0. Нетрудно показать, что А12 = 0 . При использовании положительных корней уравнений (15), (16) для Ац и А22 будут выполняться условия Сильвестра, что обеспечивает асимптотическую устойчивость усредненной системы.
В итоге усредненная система примет вид
ёК0 г 0 N4 • щ - N2 • т2)2
= --А11 • К0 С 2 11 1
с
СК2 г . К0 (N3 • т, -N1 • т2)2 (17)
-=--А22 • К 2 -.
С 2 с
Учитывая, что
Здесь матрица собственных векторов невозмущенной системы представлена в виде
/
V =
1 1
Х1 Х
л
, где Х1 2 - коэффициенты форм
2 У
колебаний. Полное преобразование к переменным "амплитуды - фазы" для двухчастотной системы вида (1) приводится в [5].
После перехода к переменным "амплитуды-фазы", формула для определения управления примет вид
и0 =1А11 • К°(#4 • т1 - N2 • т^т^) с
- А22 • К20 (N3 • т1 - N1 • т2 ) §1П(^2 X с
(14)
где коэффициенты А11 и А22 будут положительными корнями уравнений
Ь11 - А11 « • ( N 4 •Мц - 4 •М12 • Х1 + + ^^2 •М21 + N2 • М22 •Х1) -
1 2 9
—А„ (N4 • т1 - N2 • т 2)2 = 0, 2с
К з1п(^1) =
Х2
X, +
+
« (Х2-Х) 1 1 .
« (Х2-Х1) 2'
К 2 вШ^
Х1
Ю2 (2 -Х1 ) 1 1
-X, -
Ю2 (Х2 -Х1 )
X.
2
запишем управление в исходных координатах
и0 = р1 Х1 + р 2 -X 2, (18)
где коэффициенты
Р1 =
1
Х 2
с « (Х2 -х) 1 Х1
А„ • (N4 • т1 - N2 • т2)
с Ю2 (Х2 - Х1 )
А22 • (N3 • т1 - N1 • т2)
Р2 = ^--(-)^11 ■ (М4 ■ т1 - М2 ■ т2) +
с Щ (^2 -Хх)
+ 1--(-)Лг ■ ■ т1 - ■ т2)-
с Щ2 (Х2 -Хх)
Таким образом, применение метода усреднения в сочетании с методом динамического программирования Беллмана позволило получить аналитическое решение (18) для оптимального управления системой (1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360 с..
2. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. 400 с.
3. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.
4. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. М.: Наука, 1986. 191с.
5. Заболотнов Ю.М. Теория колебаний. Самара: СГАУ, 1999. 168 с.
ANALYTICAL METHOD OF CALCULATING REGULATOR FOR THE OSCILLATORY SYSTEM WITH TWO DEGREES OF FREEDOM
© 2014 Yu.M. Zabolotnov, A.A. Lobankov
Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolev (National Research University)
The technique of construction of approximately-optimum controls is developed for oscillatory dynamic systems with several degrees of freedom. Analytical calculation of an approximately-optimum regulator for oscillatory system with two degrees of freedom is carried out.
Keywords: oscillatory systems, dynamic programming, method of averaging, stability, optimal control.
Yurii Zabolotnov, Doctor of Technical Sciences, Professor. E-mail: yumz@yandex.ru
Anton Lobankov, Graduate Student. E-mail: mart1989@mail.ru