Аналитический метод расчета регулятора для колебательной системы с двумя степенями свободы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.9+534.01

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

© 2014 Ю.М. Заболотнов, А.А. Лобанков

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)

Поступила в редакцию 17.12.2013

Разработана методика построения приближенно-оптимальных управлений для колебательных динамических систем с несколькими степенями свободы. Проведен аналитический расчет приближенно-оптимального регулятора для колебательной системы с двумя степенями свободы Ключевые слова: колебательные системы, динамическое программирование, метод усреднения, устойчивость, приближенно-оптимальное управление.

Целью работы является разработка метода синтеза оптимального регулятора для колебательной системы с двумя степенями свободы, описывающей малые колебания относительно ее программного движения или состояния покоя. Для решения данной задачи используются принцип динамического программирования Беллмана и теория аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) Летова [1]. Рассматриваемые методы предлагается использовать совместно с методом усреднения [2]. Такой подход позволяет понизить размерность задачи и, тем самым, значительно упростить ее решение.

Рассматриваются колебательные системы, поведение которых описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений

A

d2 х

с

dt

2

+Сх= 8Q

х,

dx dt

+ е mu,

(1)

V ш У

где X - П -мерный вектор переменных состояния системы, А и С - известные квадратные симметричные матрицы, £ - малый параметр

С

задачи, Q

dx

х

' dt

- вектор-функция возмуще-

V У

ний, действующих на систему; m - матрица, определяющая структуру управляющего устройства в конкретной задаче; u - скалярное управление.

Предполагается, что для системы (1) выполнены условия управляемости и наблюдаемости [3]. Решается задача определения оптимального

Заболотнов Юрий Михайлович, доктор технических наук, профессор. E-mail: [email protected]. Лобанков Антон Алексеевич, аспирант. E-mail: [email protected]

управления системой (1) и 0 с целью демпфирования колебаний, то есть решается задача о переводе системы в начало координат. Причем оптимальность управления и понимается в смысле минимума квадратичного функционала

J = 8 (KTaK + cu2 )dt,

(2)

где а - положительно определенная матрица весовых коэффициентов для ошибок управления, ^ > 0 - весовой коэффициент для управления, К - вектор амплитуд колебаний, (г I - знак транспонирования, tk - время перехода.

Применение метода усреднения к системе (1) предполагает замену переменных в этой системе в соответствии с формулами

х

= 2 KV(i )еов(фг),

i = 1

d:=-±k, «>У "sinfaid

dt i=i

(3)

где ф - вектор фаз колебаний. Применяя стандартную процедуру перехода к переменным "амплитуды - фазы", получим дифференциальные уравнения для новых переменных

dK dt

= 8 X (К, ф)+ 8Y (ф) U,

dф

dt

= Ш+8Ф(К, ф)+ 8^(К, ф)и,

(4)

(5)

где вид функций известен.

Согласно принципу динамического программирования Беллмана, сформулированному для непрерывных динамических систем, оптимальное управление определяется из условия [1]

Ш1П

и

(гг г 2\ (ЭЖX йК ■ ( а К + си 1+1-I -+

у М эк У аг

+

(ЭЖУ йф

аг

Эф

= 0,

(6)

(К0) таК0 + ЪЖ ■{ X [к 0ф ))-

4с

(ЭЖ Л1 / \ Жо У ф)

эк0

= 0.

(10)

где Ж (К, ф) - производящая функция.

Подставляя систему (4), (5) в условие (6) и собирая вместе слагаемые, зависящие от управления, получим функцию

н(и) = £си 2 +

+ еи

'ЭЖч (ЭЖ

У (ф) +

ЭК

Эф

Ч(К ,ф)

(7)

ЭНИз условия минимума этой функции _ = 0 нетрудно определить оптимальное уп-

ение

и0 =

2с

'ЭЖ

ЭК

У (ф)+

+

ЭЖ

Ч(К ,ф)

(8)

Оптимальное управление и0 найдено с точностью до производящей функции Ж (К, ф) . Для определения дифференциального уравнения для этой функции необходимо подставить выражение (8) в условие (6), тогда

еКт аК + е

( Ж

ЭК

X (К ,ф)+

+

( эж Л

Эф

[ + еф(К ,ф)] -

(9)

V "V У

е 4с

( ЭЖ

ЭК,

У (ф)

+

( ж

Эф.

Т(К ,ф)

= 0.

где оператор (...^ есть стандартный оператор усреднения.

Уравнение (10) существенно проще исходного уравнения (9), так как слагаемые в него входящие зависят только от амплитуд и не зависят от фаз, причем, то же самое справедливо и для производящей функции Ж0) (К 0 ) .

Для обеспечения динамической устойчивости точки равновесия колебательной системы

X =-= 0 функция Ж0 (К 0 ) , удовлетворяю-

аг 0Х '

щая уравнению (10), должна быть положительно определенной. В этом случае функцию

Ж0) (К0) можно рассматривать как функцию Ляпунова, обеспечивающую устойчивость решения К0 = 0 для усредненной системы [4].

Здесь надо отметить, что с учетом соотношений (8) и (10) оптимальное управление в первом приближении можно записать в виде

. т

и

2с

V

ЭЖ

ЭК0

у (ф0)

+ е.

(11)

Для решения уравнения (9) предлагается применить метод усреднения, который заключается в поиске решения в виде асимптотических рядов. Подставляя известные формулы метода усреднения в уравнение (9) и усредняя это уравнение по фазам фф (I = 1,...п) и удерживая слагаемые только порядка е , получим

то есть слагаемые пропорциональные е можно не учитывать, так как при подстановке (11) в уравнение для амплитуд (4) эти члены изменяют только второе приближение метода усреднения.

Рассмотрим колебательную систему в форме (1) с двумя степенями свободы при наличии линейных возмущений, т.е когда п = 2 и

п = я0Х

~ л , . Усреднение двухчастотной системы

аг

позволяет представить результаты анализа колебаний в наглядной форме с помощью метода

фазовой плоскости в координатах ((1, К^ )[5].

Из приближенного уравнения для производящей функции Ж0) (К 0 ) следует, что для ее определения в первом приближении достаточно рассмотреть только уравнения амплитуд (4). Эти уравнения для случая п = 2 имеют вид

2

т

т

1

т

т

т

2

т

т

СК

Ж

1 = -г[[ ( + щи)- N2 ( + ш2и)] •

(12)

СК2 Ж

= ( + щи) — N (02 + Ш2и)] •

(13)

где

N. =

А11 + А12 Х1

N 2 =

N 3 =

N 4 =

Ю 2 ( 2 Х1 )(А11 А22 - Ай)

А11 + А12 Х 2

«1 (Х 2 - Х1 )(А11 А22 - А^)

А12 + А22 Х1

Ю 2 (Х 2 - Х1 )(А11 А22 - А2)

А12 + А22Х 2

Ь22 А22 « • (N3 М11 + N3 • М12 Х - N1 • М21 - N1 • М22 Х) -

1 2 2 —Л222 (N4 • т1 - N2 • т2)2 = 0, 2с

(16)

полученных путем подстановки функции Ляпунова Жо (к 0 ) в уравнение (10) и приравнивании к нулю коэффициентов при К^, К К1 К2, а коэффициенты М11, М12 ' М21 > М22 определяются из вида возмущающей функции 0. Нетрудно показать, что А12 = 0 . При использовании положительных корней уравнений (15), (16) для Ац и А22 будут выполняться условия Сильвестра, что обеспечивает асимптотическую устойчивость усредненной системы.

В итоге усредненная система примет вид

ёК0 г 0 N4 • щ - N2 • т2)2

= --А11 • К0 С 2 11 1

с

СК2 г . К0 (N3 • т, -N1 • т2)2 (17)

-=--А22 • К 2 -.

С 2 с

Учитывая, что

Здесь матрица собственных векторов невозмущенной системы представлена в виде

/

V =

1 1

Х1 Х

л

, где Х1 2 - коэффициенты форм

2 У

колебаний. Полное преобразование к переменным "амплитуды - фазы" для двухчастотной системы вида (1) приводится в [5].

После перехода к переменным "амплитуды-фазы", формула для определения управления примет вид

и0 =1А11 • К°(#4 • т1 - N2 • т^т^) с

- А22 • К20 (N3 • т1 - N1 • т2 ) §1П(^2 X с

(14)

где коэффициенты А11 и А22 будут положительными корнями уравнений

Ь11 - А11 « • ( N 4 •Мц - 4 •М12 • Х1 + + ^^2 •М21 + N2 • М22 •Х1) -

1 2 9

—А„ (N4 • т1 - N2 • т 2)2 = 0, 2с

К з1п(^1) =

Х2

X, +

+

« (Х2-Х) 1 1 .

« (Х2-Х1) 2'

К 2 вШ^

Х1

Ю2 (2 -Х1 ) 1 1

-X, -

Ю2 (Х2 -Х1 )

X.

2

запишем управление в исходных координатах

и0 = р1 Х1 + р 2 -X 2, (18)

где коэффициенты

Р1 =

1

Х 2

с « (Х2 -х) 1 Х1

А„ • (N4 • т1 - N2 • т2)

с Ю2 (Х2 - Х1 )

А22 • (N3 • т1 - N1 • т2)

Р2 = ^--(-)^11 ■ (М4 ■ т1 - М2 ■ т2) +

с Щ (^2 -Хх)

+ 1--(-)Лг ■ ■ т1 - ■ т2)-

с Щ2 (Х2 -Хх)

Таким образом, применение метода усреднения в сочетании с методом динамического программирования Беллмана позволило получить аналитическое решение (18) для оптимального управления системой (1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360 с..

2. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. 400 с.

3. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.

4. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. М.: Наука, 1986. 191с.

5. Заболотнов Ю.М. Теория колебаний. Самара: СГАУ, 1999. 168 с.

ANALYTICAL METHOD OF CALCULATING REGULATOR FOR THE OSCILLATORY SYSTEM WITH TWO DEGREES OF FREEDOM

© 2014 Yu.M. Zabolotnov, A.A. Lobankov

Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolev (National Research University)

The technique of construction of approximately-optimum controls is developed for oscillatory dynamic systems with several degrees of freedom. Analytical calculation of an approximately-optimum regulator for oscillatory system with two degrees of freedom is carried out.

Keywords: oscillatory systems, dynamic programming, method of averaging, stability, optimal control.

Yurii Zabolotnov, Doctor of Technical Sciences, Professor. E-mail: [email protected]

Anton Lobankov, Graduate Student. E-mail: [email protected]