О резонансах в системе двух слабосвязанных маятников Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 5 (1), с. 149-157

УДК 517.9

О РЕЗОНАНСАХ В СИСТЕМЕ ДВУХ СЛАБОСВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

© 2010 г. С.А. Королев

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 07.06.2010

Для системы двух слабосвязанных маятниковых уравнений получена трехмерная усредненная система, описывающая поведение решений в резонансных зонах. Проведено аналитическое и численное исследование этой системы.

Ключевые слова: маятниковое уравнение, резонансы, усредненная система.

(1)

I. Введение. Постановка задачи

Рассмотрим систему двух слабосвязанных маятниковых уравнений:

í X + sin x = s[(a + cos x )X + ay ]

[y + sin y = s[(b + cos y )y + px] где s - малый положительный параметр, a, b, a, в - параметры. К подобным системам приводят различные задачи физики [1, 2], биологии [3] и др.

Несмотря на то, что уравнения маятникового типа играют фундаментальную роль в теории колебаний, до сих пор они недостаточно полно исследованы. Наиболее продвинуто исследование автономных уравнений с одной степенью свободы вида

X + sin x = s(a + cos mx )X, где m - натуральное число [4]. Исследование же систем с двумя и более степенями свободы вида (1) отсутствует. В то же время имеется много работ, в которых рассматриваются квазилинейные системы с двумя степенями свободы (см., например, [5]). Подобные системы возникают из (1) при малых x, у, что не позволяет говорить о поведении решений в колебательной области при x, y е (- п, п), а также во вращательной области.

Рассмотрим задачу о структуре резонансных зон системы (1) в области колебательных движений. (Исследование в области вращательных движений принципиально не отличается от исследования в области колебательных движений.)

Говорят, что в системе (1) имеет место резонанс, если выполнено условие

pal(hl) = qffl 2 (fy ), (2)

где p, q - взаимно простые натуральные числа, fflj и Ю2 - частоты движения на замкнутых фазовых кривых невозмущенных уравнений

X + sin x = 0 и y + sin y = 0 соответственно. Эти уравнения допускают интегралы

•2

/2-

cos x

= hj, y2 /2 - cos y = ^2. В области

колебательных движений имеем: к, е (-1,1), при этом £ (0,1).

Систему (1) в области колебательных движений удобно записать в переменных действие (11,72)- угол (61,62): х = Х1(/1,61), у = Х2 (/2,62), Х = 71(/1> 01 )> у = Г2 С12 > 02 )• Тогда система примет вид:

№ = ^, (/!, /2,0!, 02 ),

[0,. = (/, ) + Ев1 (/1? /2, 0!, 02 ), I = 1,2,

где ^ = giX' , С1 =-&%, , g1 (,Х2,У1,У2) =

(3)

(

a

\

, + cos X,

y,b J ' У

Y + VF3-r

Соотношение (2) определяет на плоскости (И1, Н2) резонансные кривые. Зафиксируем некоторую точку (/*! м, Н2 рд ) на резонансной кривой с заданными значениями р и д. Усредняя систему (3) в окрестности указанной резонансной точки, придем к системе [4]:

'щ = А, (у;1 т, 12 т ) + ц[/^1 (у; 1Х рд, 12 рд ) щ +

+ Р, 2 (; (1 рд, 12 рд )щ21 г’ = 1,2,

, , Г (4)

V = ьшщ1 + Ь20щ2 +

+ Ц

Ьпи[ + ¿2lu2 + Q0 (v; (1 pq, hpq ).

где штрих означает производную по «медленному» времени т = Ц =

Ai (v ;1 pq, ^2pq ) _

2 np f

л ¿¡ip

ü? I F

12 pq,v + ~ 02,02

11pq’ 2pq

d02,

pj (V; pq ’ ^2 pq )

L2J dF>V,12pq,v+qQ2/p,02)

2np

dIj

i, j - 1,2,

ß0 (v; Л pq ’12 pq ) _

d0 2, (6)

1 2пР Г |

= — Í G,| 2np 0 _ I

2 2

- íg2

b10 - “l1pq)’ b20 - ~~“2(2pq) p

'21

1

----------ffl-

2 p

Á12 pq )■

i[e

2 2 v ’ = w + Ц|Є20М + e [UW + e02w

w

где

A - b10A! + b20A2,

C1 - b10P11 - (b12o/b20)P12 + b20P21 - b10P22,

C2 - (Ьш/ b20 )P12 + P22 + Q0,

2. Исследование несвязанных маятников

Положим в (1) а = ß = 0 и рассмотрим пер-1

вое уравнение :

x + sin x = £ (a + cos x )x.

(11)

- (7)

Невозмущенное уравнение имеет ячейку, заполненную замкнутыми фазовыми кривыми, которые определяются первым интегралом

2

/2 - cosx = hj, -1 < h\ < 1. Согласно [4], решение на замкнутых фазовых кривых имеет вид

( 2Kfa )0,

x = X1(/1,0j) = 2arcsinl k1 snj^-

(12)

(8)

01 = ffl1i, ш1 =

n

2K(k1)'

Фазовым пространством системы (4) является полноторий D2 х S1, (u, U2 ) є D2 с R2,

причем правые части периодические по v с наименьшим периодом 2п/p [4].

Преобразуем систему (4) к более удобному виду. Сделаем замену

u2 = - b10u1 - ^00 (v; hpq > hpq ))/b20

и обозначим щ = u. В результате, пренебрегая членами O (р2) придем к системе

Здесь Ю! - частота движения на замкнутых фазовых кривых, 0! е [0,2п] - угловая переменная, sn(^, ку) - эллиптический синус Якоби, К (к) - полный эллиптический интеграл первого рода, к = ^(1 + Н\)/2 - его модуль, Ну зависит от переменной действия /у.

При учете неконсервативного возмущения в (11) возможно существование предельного цикла [4]. А именно, если порождающее уравнение Пуанкаре-Понтрягина

2п

2п

dX j

507

d0j = 0

a(v;(pq, I2pq )+

+ p.[Cj ( /jpq, I2pq ) u + C2 (v,(pq, I2pq ) w| (9) u' = Al(V;(pq, /2 pq ) +

+ ц[Сз (v,(pq, /2pq )u + С4 (pq, /2pq ) w],

C3 - P11 - (0/b20)^1

(10)

12,

С4 = Рп1 Ь20 ’ е20 = Ь11 + Ь21Ьш/Ь:!0 , е11 = - 2Ь21Ь1о/Ь^0 , е02 = Ь2^Ь^0 ■

В настоящее время отсутствуют примеры систем вида (1), для которых были бы вычислены функции (10).

имеет простой вещественный нетривиальный корень, то у уравнения (11) существует грубый предельный цикл. Используя (12), находим:

а) = [(3а-1)(^12 -1)1)+ (13)

+ (2*2 + 3а - 1)Е(к1)], где Е(ку) - полный эллиптический интеграл второго рода. Уравнение Ву (ку, а) = 0 имеет ровно один простой вещественный нетривиальный корень при а £ (-1, -1/3) [4].

3. Вычисление усредненной системы

3.1. Вспомогательные преобразования. Согласно (12), старые координаты (х,у, х,_у) выражаются через новые (/у, /2, 0у, 02 ) в виде:

1 Исследование второго уравнения проводится аналогично.

0

2

k

0

х = бу) = 2агс8Іі|к18п|^2К(кі)0і,^

’ = Х2(І2,02 ) = 2аГС8ІГ(*2 8пТ^Кік2Й

, к2

X = г1(/1,0і) = 2к1 сдТ2КІі)01,к1 ],

У = 02 ) = 2^2 СП^Ы02, к2

к1 = к1(11), к2 = к2 (12 )• Условие резонанса (2) примет вид

РК (к2 рд ) = ЧК (к1 рд )

Р, Ч е N5 (р, ч) = 1.

А, (у) = в, (к,)+| 1—16п ч X

Дг' ІРІ К(кз-,)

да ( Р—1/2

х X (1 + + 2п—1)С08К2п - 1ру1

=1 (1 + аі )1 + а2 )

(16)

П=1

(14)

где

а1 = г\ , а2 = г2 ,

гг = ехр

пК| л 1

Vі -

К (к,)

і (0,1), (17)

(15)

Уравнение рК (¿2 ) = (к) неявно задает

на плоскости (к, к 2) в квадрате (о,1)2 кривые, называемые резонансными линиями (рис. 1). Условие (15) выделяет точку (к1и, &2рц ) на резонансной линии, соответствующей паре (р, д).

г = 1, 2.

Очевидно следующее

Предложение. Функции р (у) можно вычислить по формулам:

р (^’ 11 рд ,1'2 рд ) _

_д_

дІ,

1 2пр I а

| Рг I 1ЪІ2, V + У- 02,0

2 пр о ^

2,v + — 02, 02

Р )

d0^

1\-=-\рд 12 -12 рд

г, 7 = 1,2.

Наконец, обратимся к вычислению функции (V). Воспользуемся следующим разложением:

2К (к )0

,к Iтп(•)- 8й(-)(1п(-) =

СП

= Е82п-1(к- 1)0], п=1

где сп(^, к) - эллиптический косинус, dn(^, к) - дельта амплитуды, т(^, к) - дзета-функция Якоби,

2 лгп-1/2 (1 - г2п~1)

82"-1 (к ) = --

кК

X

(к К + г2""1)

(Е(к) - К(к))кГл/ 1 - к21 + К(к)еГлЯ^

-к

Рис. 1. Резонансные линии. Пары чисел - значения (Р я), соответствующие данной линии. Симметричные относительно биссектрисы линии имеют симметричные пары

Зафиксируем некоторые резонансные значения ку = курд, ^2 = к2рд. Для нахождения усредненной системы (4) в окрестности данного резонанса воспользуемся формулами (5)-(8). При р или д четном имеем: А, (у) = В, (к,-), г = 1, 2. Если р и д нечетные, то

Окончательно получаем: если р или д четное, то во() = 0 если же р и д нечетные, то

во )_“ 2к1(\ - к2 ) (к! )К (2)Х » (к ) з1п[(2п - 1)] +

Х і і

п=1 1 + а

2

+ Р

Ч

р 2кг (1 - к2 )(£і )к(2 )'

Х і аҐУі?І(к2 ) ^.п[(2„ - 1^рт].

П=1 1 + а1

71

2

Л

Вычисление коэффициентов ¿10, Ь

ь20,

ь

Коэффициенты а 10, а\\

линеино зависят от

¿21 по формулам (8) приводит к следующим параметра а исходной системы (1), а коэффи-выражениям:

dю -

1Г

.2

(

П

16к 2 К3 (к-)

К (к-)-

Е(і - )

1 - к

-

й 2т -

аі 2

п3 (3Е2()+ (і -()2(к-)+ 2(к2 - 2)к{к]^(к,)) 128ку (і - к 2 )2 К5 (к - ) ’

І = 1,2.

2

3.2. Окончательный вид усредненной системы. Поскольку коэффициенты рядов Фурье, представляющих функции А, р, 6о экспоненциально убывают с ростом номера гармоники (за счет величин аі, а2, Г2, представленных в (17)), то мы учтем в этих рядах только первую (основную) гармонику. Таким образом, мы будем исследовать упрощенную систему. Интерес представляет случай нечетных р и д, когда функции в системе (4) не являются константами. Тогда получим:

циенты а20, а22 линейно зависят от параметра Ь. В формулах (20) вместо к1? к2 нужно подставить резонансные значения к, к2рд, удовлетворяющие условию резонанса (15). В частности, для случая р = д = 1 (основной резонанс) из этого условия вытекает, что к1и = к2рд, откуда

^20 = -Ь10 , Ьц = -Ь11, с10 = с20, с11 = с22 = -с13 = = -с23, с12 = с21.

Аі (у) = а10 + ас10 соб ру, Рп (у) = ап + асп соб ру, Рі 2 (у) = асп соб ру,

А (у) = а20 + рс20 соб ру, Р21 (у) = рС21 соб ру, Р22 (у) = а22 + рС22 соб ру,

^0 (у ) = (ас13 + Рс23 Мп ру

(19)

где

а10

г20

= Ві (кі, а), ап = а -1 + 2Е(к1)/К(кі),

= В2 (к2 > Ъ) а22 = Ъ - 1 + 2е(2 )К(к2 X

с10

1 вПтЮаа^

К (к2 )(і + а1)(і + а2 )

с20

16п^/ аіа2

К (к1)(і + а1)(і + а2 )

С11 = С

10

п2 р(1 - а) (е((1 ) - к( ))к у і - к12 ^ + К (к1 )е( ^і-к2

І6к|2 (і - к? )к 3 (к1 )(1 + а1)

с12

К (к1)

с22

ПС

+

—20 Е(к2) -1 8к22К (к2 К (1 - к22 )К (к2 )

г ЕЫ '

ПС10

С11 8кі2К'

К (2)

С = К&)

21 К(к1)

п2д(1 - а2 ) (е((2 )- К (2 ) Гд/ї-к2+ К (к2 )ЕГд/ї-к

12К (к1)[ (1 - к2 ) (к1)

-1

С22

С20"

п2^ р (к1 ______________

С13 = 2к1 (і - к2 )К (к1 )К(к2)(1 + а2 ) ’

'К 3 (к2 )(1 + а2)

п2д§д (к2 __________

2 Рк2 (і - к2 )К (к1)К (к2 )(і + а1)

С23

Усредненная система (9) принимает вид:

' ( 2 2)

= W + Ц(е20Ы + enUW + e02"W j

w' = «30 + ((31 + P^32)oospv + цК + (аПц + вп\2)cospv)u + (2 + an2 cospv)] (21)

u' = «10 + acio cos pv + Ц-Кн + апз cos pv )u + an4 cos pv w].

Функции в этой системе выражаются посредством формул (10) через функции (19), а именно:

A(v) = азо + (а^з! + Р^32 )cos pv,

C2 (v) = а22 + а«2 cos pv,

C3 (v) = ац + апз cos pv,

Cj(v) = mx + (а nn + Pnj2 )cos pv,

Ay (v) = аю + асю cos pv,

C4 (v) = ап4 cos pv,

a30 = b10a10 + b20a20, m1 = b10 (11 - a22 \ n2 = b10c12/b20 + Pc13^ d31 = b10c10, n11 = b10(c11 - b10c12lb20), n3 = c11 - b10c12/b20,

где

При рассмотрении пар (р, д) для р, д > 5 и вычислении функций (22) выясняется, что эти функции близки к константам, так как коэффициенты, стоящие перед косинусами, близки к нулю (за счет экспоненциального убывания (17)). Поэтому данный случай также не (22) представляет интереса (усредненная система не имеет состояний равновесия, и резонанс является проходимым).

Поэтому рассмотрим случай основного резонанса р = д = 1. В этом случае курд = к2рд,

п12 = -п11 > п3 =-П2 ■

d32 = b20c20’ n12 = b20c21 - b10c22,

n4 = С\2Іb20 ■

Коэффициенты a30, m1, a22, a10, an ли нейно зависят от

4. Исследование усредненной системы

4.1. Система первого приближения. Обра-

(23)

тимся сначала к системе первого приближения для системы (21):

jv'' = a30 + (ad 3! +Р d 32 )cos pv, ^

[u ' = ay 0 + асю cos pv.

Эта система имеет первый интеграл w2/2 -

- aзoV - -Р (аЛ31 + Р^2 pv = С. Трехмерное

параметров а, Ь исходной фазовое пространство (и, w, V) расслаивается на

инвариантные цилиндры с образующими, па-При переходе к переменным действие-угол раллельными оси и. Следует различать три

мы рассматриваем ячейки невозмущенных случая:

системы (1).

уравнений, заполненные замкнутыми фазовыми кривыми, соответствующими значениям интегралов энергии — 1 < Н, Н2 < Ь < 1, что позволяет «отделиться» от сепаратрисы, поскольку сама сепаратриса при возмущении расщепляется (возникающие при этом эффекты рассмотрены в [6]). Соответственно резонансные значения модулей эллиптических интегралов должны

удовлетворять условию: 0 < к1 рд, к2рд < к < 1. Следовательно, при численном счете мы не можем рассматривать значения крд и к2рд, близкие к 1. В силу условия резонанса (15), это исключает из рассмотрения такие пары (р, ^),

как (1, д), где д > 3; (з, д), где д > 5; (рЛ где р > 3; (р,3), где р > 5 (см. рис. 1).

а) а30 = а10 = 0 « В1 (к1рд >а) = В2 (к2рд >Ь) = 0

б) азо а10 ф 0;

в) только одна из величин равна

нулю.

В случае а) система имеет состояния равновесия (и, ^ = 0, V = ±п/(2р)), причем все они неизолированные и лежат на прямых, параллель-н^іх оси и. Несвязанные уравнения (11) имеют в

окрестности уровней

x 212 - cos x = h

1 рд ’

y V2 - cos y = h2pq по одному предельному циклу. Эти циклы грубые, если B (kjpq, a) Ф 0, B2 2pq ,Ф 0. В случае а) система (24) имеет также первый интеграл +Р d 32 )м -

- ac^w = C. Ее траектории лежат одновремен-

Рис. 2. Фазовый портрет первого уравнения системы в) первого приближения (24)

но на инвариантных цилиндрах и в инвариантных плоскостях. Фазовый портрет первого уравнения системы имеет вид, представленный на рис. 2а. Этот и другие рисунки получены с помощью программы WInSet [7].

В случае б) система (24) имеет состояния равновесия (они, как и в случае а), будут неизолированными) при выполнении условий

в РВ2 (к2 „.Ь )

в =-----/ \ а,

дВ1 (, а) (25)

^ Ы.

с10

Тогда, как и в случае а), имеется первый интеграл (а<ізі + 32)и - ас10= С, траектории

системы лежат одновременно на инвариантных цилиндрах и в инвариантных плоскостях. Фазовый портрет первого уравнения системы имеет вид, представленный на рис. 2 б.

В случае в) система (24) не имеет состояний равновесия (рис. 2в).

Представляют интерес случаи а) и б), когда в исходной системе (1) существуют резонансные периодические решения.

4.2. Система второго приближения. При учете членов O (ц ) в системе (21) теряется расслоение фазового пространства на инвариантные цилиндры. Состояния равновесия становятся изолированными.

В случае а) существуют состояния равновесия (и = 0, w = 0, v = ±П2). Для основного резонанса они имеют следующую асимптотику характеристических корней:

X, = апц + О (ц2 )

X 2,3 = ±V + Р*ю сю (а-Р) + «nlV2 + О ( 2 )•

Одно из состояний равновесия является седлом, другое - узел-фокусом (устойчивым при aп < 0 и неустойчивым при ап > 0 ).

В случае б) при выполнении условий (25) существуют состояния равновесия

которые

( ( а ^

ai0

и = 0, w = 0, v = ± arccos-----—

V l ac10, ,

для основного резонанса имеют следующую асимптотику характеристических корней:

k = al0a22 - а20а11 ц + о(ц2

а10 - а20

(и2)

(

\

1 -:М

а.

а

v а10 у

аіоаі1 - а2оа22 и+0(2 )

а2

с2 а10 +

С10---------2

а2

2(

)

(10 - а20

Одно из состояний равновесия является седлом, другое может быть узел-фокусом либо седло-фокусом.

4.3. Полностью усредненная система. Наряду с трехмерной усредненной системой (21) рассмотрим полностью усредненную систему (ПУС) [4]:

к - 1

kiK (ki)

(2k2 + 3a - l)E(k )] 1

[(3a -1)2 -1)(ki)-

k2 -

k2K (k2 )

[(3b -1)2 -i)k(2)-)(k2 )

(26)

+ (к22 + 3Ь -1

Эта двумерная автономная система, фазовым пространством которой является открытый

квадрат (0,1), определяет изменение переменных к1, к2 (а значит, и переменных действия 1Х, 12 ) без учета влияния резонансов. Нули правых частей системы совпадают с нулями порождающих функций (13), которые определяют существование предельных циклов в возмущенных несвязанных уравнениях (11). Если параметры а, Ь лежат в интервале (-1, -1/3), то ПУС имеет внутри квадрата устойчивое состояние равновесия (к , к2). Каждая координата этого состояния равновесия соответствует уровню, в окрестности которого у возмущенного несвязанного уравнения родится предельный цикл. На рис. 3 приводится фазовый портрет ПУС в случае наличия состояния равновесия (фазовые траектории изображены сплошными линиями) и резонансные линии (изображены пунктиром), определяемые уравнением рК(к2 ) = дК(к ). Резонансные линии показаны те же, что и на рис. 1.

Рис. 3. Фазовый портрет полностью усредненной системы и резонансные линии

Хотя формально ПУС не определяет поведение решений четырехмерной системы (1), но она описывает динамику изменения переменных действия 11, /2 (зависящих от них переменных к, к2 ). Фазовая точка, двигаясь по соответствующей фазовой кривой ПУС, попадает в окрестности точек резонансных линий. При этом соответствующий резонанс может оказаться проходимым (усредненная система не имеет состояний равновесия) или частично проходимым (состояния равновесия есть) [4]. Как было отмечено ранее, резонансы с номерами р, ^ > 5 являются проходимыми. Окрестность точки проходимого резонанса фазовая точка беспрепятственно преодолевает и продолжает движение по фазовой кривой ПУС. Если фазовая точка оказывается в окрестности частично проходимого резонанса, она либо преодолевает ее, либо захватывается и остается в этой окрестности (все зависит от начальных условий). В последнем случае динамика будет определяться трехмерной усредненной системой (21) в окрестности соответствующей резонансной точки (см. рис. 5a, 5б).

Нетрудно показать, что окрестностей точек частично проходимого резонанса, которые встретятся на пути данной фазовой точки, будет лишь конечное число. Если фазовая точка не будет захвачена ни одной из этих окрестностей, то она окажется в окрестности устойчивого состояния равновесия (к*,к2). В случае несоизмеримости частот уровней, соответствующих к* и к\ (то есть в случае, когда состояние

+

+

равновесия ПУС не лежит на какой-либо резонансной линии), установится двухчастотный режим (см. рис. 5в, 5г).

Для дальнейшего исследования второго приближения системы (21) воспользуемся численными методами и компьютером.

4.4. Численное исследование усредненной системы. Вычисление коэффициентов в системе (21) проводилось в математическом пакете Maple. Для kipq = k2pq = 0.5 получаем следующие значения:

е20 = 0, еп = 0.241475799092, е02 = 0.865424664632, а30 = -0.0721722256833а+0.0721722256833Ь, d3i = -0.0721480686882, d32 = -d31,

mi = -0/13951289405a + 0.139512894051b, n11 = -0.139360123388, n12 = -n11, a22 = b + 0.74101960608, n2 = -0.998904971467, a10 = 0.517315809225a + 0.450371702038, c10 = 0.517142656804, a11 = a + 0.74101960608, n3 = -n2, n4 = 3.30247955972.

На рис. 4 представлены некоторые фазовые портреты усредненной системы (21) для ki pq =

= k2pq = 0.5, ц = 0.05. Рис. 4a соответствует

случаю а) (см. пункт 4.1), состояния равновесия: устойчивый узел-фокус и седло. Рис. 4б соответствует случаю б), одномерное многообразие седло-фокуса наматывается (в обратную сторону по времени) на предельный цикл второго рода, также на него наматывается (в обратную сторону по времени) одна из сепаратрис седла.

На рис. 5 представлено поведение траекторий и решений исходной четырехмерной систе-

мы (1) для значений параметров: ц = 0.05, a = = -0.73, b = -0.95, a = 0.4, р = -0.2259186624

Автор благодарит А.Д. Морозова за постановку задачи и руководство работой.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-01-00356, а также в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (шифр проекта НК-13П-13).

Список литературы

1. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 536 с.

2. Honjo, S. Structure of Resonances and Transport in Multi-dimensional Hamiltonian Dynamical Systems // Advances in Chemical Physics. 2005. V. 130, Part B. P. 437-463.

3. Борисюк Г.Н., Борисюк P.M., Казанович Я.Б. и др. Осцилляторные нейронные сети. Математические результаты и приложения // Математическое моделирование. 1992. Т. 4, № 1. С. 3-43.

4. Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в ква-зиконсервативных системах. М.-Ижевск: Изд-во РХД, 2005. 424 с.

5. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.

6. Королев С.А., Морозов А.Д. О периодических возмущениях автоколебательных маятниковых уравнений // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, № 2. С. 1-11.

7. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. М.-Ижевск: Изд-во Инст. компьют. исслед., 2003.

ON RESONANCES IN A SYSTEM OF TWO LOOSELY COUPLED PENDULUMS

S.A. Korolev

A 3D averaged system has been obtained to describe the behavior of solutions in resonant zones for the system of two loosely coupled pendulum equations. The system has been studied analytically and numerically.

Keywords: pendulum equation, resonances, averaged system.