О гладких решениях задачи Жевре для уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2015. Том 22, № 1

УДК 514.764

О ГЛАДКИХ РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧИ ЖЕВРЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В. И. Антипин, С. В. Попов

Аннотация. Рассматривается задача Жевре для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками с меняющимся направлением времени с непрерывными условиями склеивания, которые приведены к теории интегральных уравнений с ядром, однородным степени -1. Устанавливается разрешимость краевых задач в пространствах Гельдера. Показано, что гельдеровские классы их решений зависят от выполнения необходимых и достаточных условий на входные данные задачи.

Ключевые слова: задача Жевре, уравнения с меняющимся направлением времени, условия склеивания, корректность, пространство Гельдера, интегральное уравнение с ядром, однородным степени -1.

V. I. Antipin and S. V. Popov. About Smooth Gevrey Solutions for Equations of the Third Order.

Abstract: Gevrey problem is considered for equations of the third order with multiple characteristics with changing time direction with the continuous conditions bonding, which is given to the theory of integral equations with a kernel homogeneous of degree — 1. Establishes the solvability of boundary value problems in the spaces of Holder. It is shown that the holder classes of their decisions depend on the completion of necessary and sufficient conditions on the input data of the task.

Keywords: task Gevrey, equations with changing time direction, the conditions of bonding, correctness, space holder, integral equation with a kernel homogeneous of degree —1.

1. Введение

Рассматривается уравнение Жевре третьего порядка с кратными характеристиками

иххх - sgnX • щ = ^(ж, I). (1)

Впервые разрешимость краевых задач для уравнения (1) рассматривалась в работах Т. Д. Джураева [1]. Как известно, в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных данных без дополнительных условий полностью обеспечивает принадлежность решения пространствам Гельдера ИХ'р/2, но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных данных далеко не обеспечивает принадлежность решения этим пространствам. С. А. Терсеновым [2] в

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2014—2016 гг. (проект №3047).

© 2015 Антипин В. И., Попов С. В.

простейших случаях получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в пространствах ffp'p/2 при p > 2. При этом условия разрешимости (ортогональности), которым должны удовлетворять данные задачи, были выписаны в явном виде. Далее краевые задачи Жевре рассматривались в работах [3-5]. Отметим, что в одномерном случае число необходимых условий ортогональности конечно. В то же время в многомерном случае число условий ортогональности (интегрального характера) бесконечно [6, 7]. Обобщенную, регулярную разрешимость краевых задачи Жевре можно найти в работах [8, 9].

2. Гладкая разрешимость

В области Q = О х (0,T), О = R, рассмотрим уравнение (1). Части полосы Q, где x < 0 и x > 0, обозначим через Q- и Q+.

Пространством Hp'p/3(Q), p = 3 + 7, 0 < 7 < 1, называется банахово пространство функций u(x,t), непрерывных в Q вместе со всеми производными вида Dr Dq при 3r + q < p, имеющими конечную норму

|u|QP) = (u)Q + е е iDrD>|Q0), |u|Q0) = max |u|,

где

Q

j=0 3r+q=j

<u)Q = <u)ipQ + <u)ipQ3), {U)i% = (ut)JQ + ,

Е

0<p-3r-q<3

Решение уравнения ищется из пространства Гельдера Р = 3+7,

0 < 7 < 1, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

и(х, 0) = ^(х), х> 0, и(х,Т) = ^2(х), х< 0, (2)

и условиям склеивания:

д ^ и Я^и

Единственность решения доказывается аналогично [1, с. 157]. Существование решения. Прежде чем приступить к доказательству существования решения поставленной задачи, приведем для уравнения

ди д3и

дЬ <9ж3 ° ^

фундаментальное и элементарное решения Каттабрига [10-12]. Эти решения для уравнения (4) имеют вид

[0, Ь < т,

где /о(п), /1(П) называются функциями Эйри и являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения

+ = 0 (6)

и имеют вид

оо

/о(п) = У сов(Л3 — Лп) АЛ, —те < п < +те, о

сю

/1 (п) = I[в-х3-хг> + 8ш(Л3 — Лп)] АЛ, п > —те. о

Для фундаментального решения /о (п) и элементарного решения /1 (п) справедливы оценки [11]

при /г + ] > 1 и

„ , . . , Сг (

Цо(х,4; £,т)

< 77-аННГ ехР - С2--) (8)

ПРИ < +оо, Со, С1, С2 — положительные постоянные.

Кроме того, нетрудно проверить, что

оо

ОО оо

Ш = ^ /= Я(0) = /,=-4 = -1г(|), („

оо

сс 0 сс

J /оЫ^ = у, J J /1(77) с/?7 = 0.

о -с о

Для удобства вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений при ^(ж, £) = 0:

= = (ь=-^Л (10)

дх3 у

в области При этом начальные условия и условия склеивания будут иметь вид

щ1(х, 0) = ^1(х), щ2(х,Т) = ^2(—х), ж> 0, (11)

дкщ1 дйщ2

= (-1)^(0^) (А = 0,1,2). (12)

Будем предполагать, что ^¿(х) € ИР(М) (г = 1, 2). Тогда функции

являются решениями уравнений (10), удовлетворяющими условиям (11) в М. Будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (10):

t t и1(х, Ь) = У и0(х,Ь;0,т)ао(т) ¿т + J и1(х, Ь;0,т)а1 (т) ¿т + ш1(х,Ь)

о

т

и2(х, ио(0,т; х,Ь)во(т) ¿т + Ш2(х,Ь).

В силу общих результатов [11,13,14] плотности ао, а1, во должны принадлежать пространству Д^ (д = -^р), причем

ао(0)= а1 (0) = во(Т) = 0. (15)

В самом деле, отметим, что и1(х,Ь) € ), если краевые условия =

^(О,^ € Н1+~з (0, Т) и ф2(ь) = иЦ0,£) € Я^(0,Т) и выполнены условия согласования

^(0) = ^1(0), (0) = <(0), ^2(0) = ^2(0). (16) Пользуясь равенствами (9), имеем

.1 (í — т 3

о

.1 и—т)з

о

следовательно,

, (1 Г а0(т) + л/За^т) - ао(0) - л/За^О)

^ = /о(0) Л .1 --

1

п

+ /о(0)(ао(0) + УЗа1(0))Н С (17)

t

, /.ч Г ар(т) - УЗа^т) - ар(0) + л/За^О)

= /о(0) / --—-2-

.! (£ —т)з

+ 3/^(0)(ао(0) - л/3«1(0))^ + 11 ^„((М^ОУЛО^.

1+т

Если ар(£),а1(£) €= Н~з~ (0,Т), то справедливы утверждения [2,11] t

Г ар (г) + УЗа^т) - ао(0) - л/За^О) ^ ^

Т 1 '

Г ар (г) - л/За^т) - ао(0) + л/За^О) ^ ^ т)

У '

о

кроме того,

к

I ед^еомю^еят^т).

к

Следовательно, при выполнении условий ао(0) = «1(0) = 0 будут выполнены условия фг^) (Е Д^1+з(0,Т), фъ^) € (0,Т) и условия согласования (16) для

функций ао(г), а1(4).

Из условий склеивания (12) получим систему интегральных уравнений с операторами Абеля относительно ао, а1, во:

' /о(0) / °°(т'+^1(т1 с1т + Ш1(0,¿) = /о(0) /с1т + Ш2(0, ¿),

/¿(0) / °о(т)-л/3?1(г) ^ + 7,(0) | Мг^ вт + + ^ = 0) (18)

-Щ-ао(г) + ш1хх = -|/30(4) + шгжж-

Из уравнений (18) при помощи формул обращения оператора Абеля [2] получим эквивалентные системы сингулярных интегральных уравнений

' ^(ао(<) + >/3*1«)) + ^т - Ь \ (т)2/3^ ^ = Ж / *г,

_ 1 Тг Гт\1/3(30(т) Л Г Ф1 (Г) л- (19)

2ао(г) - во(г) = Ф2(*),

^(ао(<) " ^3«!«)) + + ± / (|)1/3^ *т = £ / Лг,

где

3

Ф2(г) = -[ш2хх(0,^ -Ш1хх(0^)].

п

Введем обозначения

(*) = [ Ф°(Т)-1(0) <*Т, *?(,) = ± [ Ф1(Т)-Ф1(0) ^

ои У л у (¿-т)5

оо

^2о(4)= Фэ(*) - Фэ(0).

Так как Ф°(£) € Я^(0,Т), дк = 1 + ^ [2], функции (/г = 0,1,2) при-

надлежат пространству Н(1+^)/3(0,Т), причем = 0(г(1+7)/3) для малых

г.

Докажем существование решений а1, а2, во системы уравнений (19) из пространства Нч(0,Т) (д = (р — 2)/3, р = 3 + 7, 0 < 7 < 1), удовлетворяющие условиям (15).

Предположим, что функции а1, а2, во принадлежат искомому пространству. Тогда из системы (19) следует выполнение условий

Т 3

1/оГ^1^ = Ф1(0), (20)

во(0) = -Ф2(0).

Последнее равенство эквивалентно первому условию (15) ао(0) = 0. Отметим также, что 2ао(Т) = Ф2(Т) эквивалентно условию во(Т) = 0.

При выполнении условий (20) систему уравнений (19) можно переписать

так:

' ^ы*) + ^зд» + - ± / йт = зф^О^/З + ^

- УЗД)) + +1 / ат = ^Ц),

2ао(Ь) - во(Ь)+ во(0)= ^о(Ь).

Имея в виду формулу [15, с. 177] т

/тР-1(Т — т

-^-— йт = гр-Цт - гу-1 с*ё(ст7г)

т - Ь

(21)

- ПрП«~1) Р+.-2р(2_ _ 2_ т-гу

(22)

определим а1(Т).

Введем в системе (21) новую искомую функцию во(^) = во(^) —

т

Тогда (21), воспользовавшись формулой (22), представим в виде

' + УЗД)) + -^воИ - Ь \ (7)1/3^Т <*т

1

= -|;во(0)^( - 1, |; + ЗФ^(0)^/з + ^

< 2 ^ , 1 я.^ , 1 г а у/^МИ Аг (23)

9 а (с\\т?! 2 л г

3' ' 3'

т

^-Ы*) - ^ЗД)) + + £ / йт

о

2а0(*) - Ш = -МО)? +

Так как функции ао(Ь), а1(Ь), во(Ь) ищем из пространства из первого уравнения полученной системы уравнений следует, что должно выполняться условие

1Т во(тК 1

, — ^ = - —во (0) -г + ЗФ^, (0). (24)

7Г ^ Тз /7Г Уз

Тогда при выполнении (24) в конечном итоге придем к системе уравнений

2

Уз

(«„(*) + ^За^)) + -Ц (т)4/3Ш <*т =

о т

— 0 ,

^(аоЦ) - ^аШ + + Ц (т)273Ш <*т = РЖ

где функции

(25)

о9

= -^ш

2 4 г , я-3,1,3^1-1

4 \ 3

т

+ ^оо(г),

о

9

15 г

Т°(0 = -А(0)| + ^(<)

принадлежат пространству Д^1+7'/3(0, Т), причем = О^-^) = 0,1,2)

для малых г.

Перейдем к доказательству существования функций ао(г), а1(г), во (г) из пространства Н(1+7)/3(0, Т) в полученной системе уравнений (25). Исключив ао(г), а1(г) из системы (25), имеем

2 т

4 - , .

+ — ] К а, т)во(т) ¿г = о

где

к (г,т) =

1 1

ТЗ + ¿3

4x2. 1.1 ,2ч :

ТЗ [ТЗ + г з 13 + 13 )

= ¡а).

Для ядра К (г, т) уравнение (26) справедлива оценка

(26)

к(г,т) <

Т 3 + ¿3

ТЗ

|т — г|

2 '

3

Ядро уравнения (26) преобразуем в следующем виде:

1 + -У 2

2 х (Л 3 (, , 1-, 1 -жз

Полагая в (26) ¡3\{1) = Яг^) = имеем

(27)

а/3 пу \т/ т

(28)

Интегральное уравнение (28) является уравнением с ядром, однородным степени —1 [16]. Вводя новые независимые переменные г = Те-у, т = Те-Х и обозначая

в2(у)= в1(Те-у), д2(у)= «1(Те-у), Л(х) = = е^^ВД, ех),

3

4

2 1 — Y

K1(t,T)=TsK(t,T), Р=—£1,

получим интегральное уравнение Винера — Хопфа [16,17]

4 1 [

^Д^(у) + - J % ~ х)^(х) dx = Q2(y), 0 <у< +оо. о

(29)

Нетрудно проверить выполнение условия интегрируемости

\h{x)\dx= / = 2л/3тг—:

sin(/3 + 4)7г

sin(3,0n) о

при 0 < /3 < Поэтому уравнение (28) будем рассматривать в пространстве Я^(0,Т), 0 < /3 < Функция

1г(х) = е^-^КУ!, ех) =

будет четной при ¡3 = А. Ядро (28) симметризуемо в пространстве £7.1 (0,Т) [16], в б

при этом [16, с. 518]

f sh I

Н(х) = 2 / cos(xt)—rdt

J shf

з „ 2а/37г

2 сЬ(2тгж) - 1' о

положительна и монотонна на (0, +оо) и Н(0) = 2а/37г. В пространстве Ег (0, Т)

в

уравнение [16]

т

ш + Л| ^ ^ ^ ¿г = дхОД (30)

о

однозначно разрешимо при Л (Е Жд = оо; для (28) имеем Ао = — €=

В пространствах Гельдера исследование уравнений вида (28), на который теория уравнений Винера — Хопфа (29) не переносится прямо, можно найти в работах [19,20]. Фредгольмовость интегрального оператора (28) следует из теоремы 2 в [19], а именно из условия

Уз

В(х) = 1 + — / if(t)tq-lx dt 4п J

о

нигде на действительной оси в нуль не обращается при любом q £ R, которое легко проверяется.

Интегральное уравнение (26) будем рассматривать как уравнение относительно /?з(£) = fio(t)t~i. Найдем решения /Зз(i), не ограниченные при t = 0, но допускающие особенность порядка меньше 1 и ограниченные при t = T. Из уравнения (26) имеем

т

4--Ш + - f K(t, г)г§вз(т) dr = (31)

УЗ 7Г J is

— оо

Из уравнения (31) следует, что для того чтобы во(Т) = 0, необходимо и достаточно, чтобы

1 1 г,^ Я{Т)

i J K(T,r)rïk(r)dT = (32)

о

При выполнении условия (32) придем к следующему уравнению:

т

Ш + \ J K2(t,T)p3(T)dT = Q3(t), (33)

л/з тг

о

где

+ M + №) Q(t) Q(T)

K2 (t,T) = 2 2-Y-J- 2 2-J—J-—J-, y3(i) =

ТЗ (тз + тз£з + £з)(тз + тзТз + Тз) ¿3 Тз

Для функции Кз(£,

— —г~—■—- уравнения (33) справедливы оценки

Тз -4 3

тзТз

0 < К3(1,т) < 2~;--т:-(34)

тз\т — Цз \т — 1 |з

Отсюда легко вывести, что , на концах 0, Т соответственно

будут вести себя как (Т — , (Т — , причем /?о(£) € Д^-^1 (0, Т), акЦ) € Ятг(0,Т) (/г = 0,1).

т

Поведение интеграла ^ / К3{1,т)(53(т) ¿т на концах контура интегрирова-

о

ния находится по формуле [15, с. 136]

г

1 АГ+°-\

Г HJ ' Г (р + а)

о

Отсюда легко получить т

■ J К3(1,т)р3(т) dr = 0((Т -i)ï) для малых Т - i,

1

п

2 *

t3 Г 1 + -у

— / К3(1,т)133{т) dr = Oit з ) для малых t.

п J о

Системы уравнений (25) эквивалентны исходной системе уравнений (18) при выполнении четырех условий (20), (24) и (32). Подставляя найденные значения функций ao(t), ai(t), во(^) в условия (20), (24) и (32), получим четыре условия разрешимости задачи (1)—(3) в пространстве HX'p/3(Q). Эти условия обозначим так:

Ls(^i,^2) = 0, s = 1, 2, 3, 4. (35)

Итак, доказана

Теорема. Пусть G Hp (p = 3 + у), 0 <y< 1. Тогда при выполнении

четырех условий (35) существует единственное решение уравнения (1) в Q из пространства Hp'p/3 (Q± ), удовлетворяющее условиям (2), (3).

Замечание. Аналогичные исследования можно провести в случае , G Hp (p = 31 + y), 0 < y < 1, где 1 > 1 — целое число.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнения смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979.

2. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

3. Попов С. В. Параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, № 2. С. 93-112.

4. Попов С. В. О гладкости решений параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Докл. РАН. 2005. Т. 400, № 1. С. 29-31.

5. Потапова С. В., Попов С. В. Разрешимость параболических уравнений 2п-го порядка с меняющимся направлением эволюции // Вестн. Самар. ун-та: естественнонауч. сер. 2007. № 6. С. 162-175.

6. Пятков С. Г. О свойствах собственных функций одной спектральной задачи и их приложения // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т математики, 1984. С. 115-130.

7. Пятков С. Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, № 6. С. 1322-1327.

8. Антипин В. И., Попов С. В. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с меняющимся направлением времени // Вестн. Южно-Уральск. гос. ун-та. 2012. Т. 14, № 40. С. 19-28.

9. Антипин В. И. Разрешимость краевой задачи для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 54, № 2. С. 245-257.

10. Cattabriga L. Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caratteristiche multiple // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1961. V. 31. P. 1-45.

11. Cattabriga L. Problemi al contorno per equazioni paraboliche di ordine 2n // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1958. V. 28. P. 376-401.

12. Cattabriga L. Equazioni paraboliche in due variabili. I // Rend. sem. fac. sc. Univ. Cagliari. 1961. V. 31, N 1-2. P. 48-79; II // Rend. sem. fac. sc. Univ. Cagliari. 1962. V. 32, N 3-4. P. 254-267.

13. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

14. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970.

16. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1. Душанбе: Дониш, 1966.

17. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971.

18. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.

19. Солдатов А. П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением // Диф-ференц. уравнения. 1974. Т. 10, № 1. С. 143-152.

20. Солдатов А. П. Один класс сингулярных интегральных уравнений со сдвигом некарле-мановского типа // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, № 1. С. 137-150.

Статья поступила 16 февраля 2015 г.

Антипин Василий Иванович, Попов Сергей Вячеславович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова,

Институт математики и информатики,

кафедра математического анализа,

ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000

madu@ysu.ru, antvasiv@mail.ru