О ГИПОТЕЗЕ ЦЕРБО НА ГРУППАХ ЛИ С ЛЕВОИНВАРИАНТНОЙ ЛОРЕНЦЕВОЙ МЕТРИКОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

О гипотезе Цербо на группах Ли...

УДК 535.64

О гипотезеЦербонагруппах Ли с левоинвариантной лоренцевойметрикой

В.В. БалащенкоОП.Н.Клепиков2п Е.Д.Родионов2,О.П. Хромова2

'Белорусский государственный университет (Минск, Белоруссия) 2Алтайский госйдарственаыйунидернитет)Барнаул, Россия)

Onthe CerboConjecture onL^<i Gronpswiththe Left-Invariant LorentzianMetric

V.V. Balashchenko1, P.N. Klepikov2, E.D. Rodionov2, O.P. Khromova2

'B olaro.rnnSteteUnioe mt y (Minsk,eelarus) 2Altni StooteUnfvorsityiBarnauhRussia)

К числумногообразийс о^]за]^]еч^]^иями]ха тен-зорныеполяотносятся брчоия Эймп^'^ем^!^^,

^]омшт^]0ново-пое^с^бныен^^с^1^с^с^бразия, конфлрмно олоские нногообоазня и-^ч- других важных классов многочбразпй. ИзялениютакихмногтоЯраеийпо-^Е^оч^епясчмбаты^1^с^1^ахр^^пврттакс^п,тто отражоно ймчнторафо^^о^ ,Н.Ме^(^е, М.агпже,М.-Д.Цао,М. Вазо Овн^]\я1^^еямевт^^н^1^1поТмЗще1^]тП метрик Иг^ня^т^ео^о^аервячм^т^с^р еолитоныРпочс. Ертирима-тоиямнтгл^с^а^Т^э^ги^яйт^^^^аиа гчуппзда Ля, оо глвомот рTмoвРЧптнтныпcoчитoнайЯпори]H апболиатоореО-иоонвapйоытнлIe с о лито ны Риоон в слрчао

гроаяЛи с левоинторинтнойчима-ырвoйыeооийсй ич слрчлтмалойаазмepнocтп.Tвс, M.Цeчбoяoчвесл, нои пофсимoдyлпопыxвpфппaи чи слевоонварчойтноуримочовоИ метсокойу связ-оостoюЫeтн-ЧитивсIвснсивaриaмтФЫIecoлитoяы Чомчи тривиальоонВнеунимодулярном случае ана-логичньшpeзyльатoaвpазметносоч четыреирш чы Еучем П.Н. и Д.р[.Оскоооеыым.

В ваОсотеиоуеоютсяинвеуиантныесолито-чп РяриисттaexмeрнаIXйноуваоФсpныx я-уппап HиолopeмцeртПмeтвнооФ. Ртзулетапол исследования aoкaзытoют,чвтснилroвпвРЧсыЕгpтмшыЛи счевоин-вapинтнoй,сopеицоoннмеяриутйчoпycвтмт чиолнп-

бHРИ0Ieа0ЯФT0ЫЫ фИчсИ, Л0BППHЫ0 0ЕРТMРИa0BЫЫX.

йрабызе полйреуиполсзя оаяссифмкации тортто-aнтныФcoвитoФoвPичрянaьрсрмерных унимоду-лярных гратшах Лис л евоинвариантнойлоронцевой метрикой.

Квючевые слова: инвариантные солитоны Риччи, группы Ли, левоинвариантные лоренцевы метрики.

Б01: 10.14258/izvasu(2022)1-12

¡^a^mfolc^isn^i^li c onstraint s on tmsorflelds in elude Einstein manifolds, Einetein-like manifoldr, i^c^nf^rmary flat mEE^ifoMs, andinumber C other important classes of manifoldr. Ohe woik of rnrny mathematisiansis drvrtfdtnthestryyofsuchmEniOnlils, lehicR ^^ rnfls^^t^d Inthemonoirapht ofA^. Besse.M. Briger, ¡Vl.-D. t^^cr, mOWang.

Riai eiiiions aon onn of ihunalurklgeneralid^iic^B^m ofElnsiein's metsics.iraRsemannlanmanifold is a hi nnmip, ienesneakaoisnaosianthlcci eolitons.

tnoarifP-Riccl ioliOons tnof£;Eti^niah in most neiail ^r^i^^^^sesf uaimonulnskie e^i^ou^iitt^iih lefl^-^r^i^^ri^s^t Riemoinian meleic^Hdsiedsa ofiowsimrnsirin. Usus, k.SierbfiifoiedE-ai ait invarlapt Ricci soHEi^i^s ^rutrinni onunimodubar LiegroupswitR 1 eftsàkvariant Riemann ian metric and Levi-Civita connection. A similarfelultuptfdimeneionOour marobtfmrd k.1 P^.irknikc^v^r^dDcf^. Oskorrin ^or thn non-untmo-Eularease.

ET s^isfn iovariaRtBiccisolitonson iitrse-climrpuional animedikar Oia oioups witl -hi Lursntzionmalrif. The stucsy result! show ittai unlmoilularLiegioups reith left-invarianlhorentosan metrif rimll invariant othofOEnn Irmal so^e^s.^n Ohtspapis, art^n^p-le^^t^i^srflr cation of invariant Ricci solitons on three-dimensionaluntmodular hiagroupswith left-invariant Lorentzianmetric is oatalned.

Keywords: invariant Ricci solitons, Lie groups, left-invariant Lorentzian metrics.

1. Предварительные сведения. Пусть

(M, g, V) — (псевдо)риманово многообразие со связностью Леви-Чивиты. Определим тензор кривизны и тензор Риччи связности V соответствен-

но равенствами R(X,Y)Z = Vy VxZ -VxVyZ + V[x,y]Z, r(X,Y) = tr(Z ^ R(X,Z)Y).

Определение 1. Метрика g полного риманова многообразия (M, g) называется солитоном Рич-

ТзвестияАитГА. Математика и механика. 2022. № 1 (123)

чи, если она удовлетворяет уравнению

r = Лд + Lp g,

(1)

Лемма. [3] Инвариантный солитон Риччи тривиален тогда и только тогда, когда выполняется

где r — тензор Риччи метрики g, Lp g — производная Ли метрики g по направлению полного дифференцируемого векторного поля P, константа Л е R.

Если M = G/H — однородное пространство, то однородная риманова метрика, удовлетворяющая (1), называется однородным солитоном Риччи, а если M = G — группа Ли и поле P левоин-вариантно — инвариантным солитоном Риччи.

Замечание 1. Производная Ли имеет вид: Lpg(X, Y) = Pg(X, Y)+g([X, P], Y)+g(X, [Y, P]). Если солитон Риччи инвариантен, то Lpg(X,Y) = g([X, P], Y) + g(X, [Y,, P]) для произвольных инвариантных полей X и Y.

Определение 2. Метрика g (псевдо)риманова многообразия (M, g) называется тривиальным солитоном Риччи, если Lp g = rg при некоторой константе т е R.

Заметим, что ранее инвариантные солитоны Риччи изучались Л. Цербо, П.Н. Клепиковым и Д.Н. Оскорбиным [1,2].

Теорема 1. [1] Для любой конечномерной уни-модулярной группы Ли с левоинваринтной рима-новой метрикой и связностью Леви-Чивиты все инвариантные солитоны Риччи тривиальны.

Теорема 2. [2] Для любой четырехмерной неунимодулярной группы Ли с левоинваринтной римановой метрикой и связностью Леви-Чивиты все инвариантные солитоны Риччи тривиальны.

Пусть далее M = G — группа Ли с левоин-вариантной лоренцевой метрикой, g — ее алгебра Ли. Фиксируем базис {e1,...,en} левоинваринт-ных векторных полей в g и положим

[ei, ej] ckj ek, g(ei,ej ) gij , cijs ckj gks,

где ckj — структурные константы алгебры Ли, gij — компоненты метрического тензора.

Компоненты связности Леви-Чивиты V задаются формулами r|j = 2gks(cijk - cjki + ckij).

Соответственно тензор кривизны R и тензор Риччи r в базисе {e1,...,en} определяется равенствами Rijks

i^'ik rpjl — rjkru + cij rfk) gps, rik = Rijksgjs .

Пусть P — левоинвариантное векторное поле. Тогда (1) можно переписать в терминах структурных констант алгебры Ли

rij = - P (ckigsj + cljgsi)

(2)

где г^у — компоненты тензора Риччи, Л 6 К, д^ —

компоненты метрического тензора, Рк — коорди-

к

наты левоинвариантного векторного поля, ск — структурные константы алгебры Ли д.

P k (ckigsj + ckj gsi) = Tgij.

(3)

Рассмотрим далее трехмерный случай. Следующая классификация для трехмерных метрических групп Ли была получена в [4-6].

Теорема 3. Пусть G — трехмерная унимо-дулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой. Тогда в алгебре Ли группы G существует псевдо-ортонормированный базис {е1,е2,е3} такой, что метрическая алгебра Ли группы G содержится в следующем списке:

1. Случай А1:

[еье2] = «зез, [еь ез] = -а2е2, [е2,ез] = а1 еь

с времениподобным е1;

2. Случай А2:

[е1,е2] = (1 - а2) ез - е2,

[е1, ез] = ез - (1 + а2) е2, [е2, ез] = а1еь

с времениподобным ез;

3. Случай Аз:

[еь е2] = е1 - а1 ез, [е1, ез] = -а1е2 - еь [е2, ез] = а1е1 + е2 + ез,

с времениподобным ез;

4. Случай А4:

[е1 ,е2] = азв2, [еь ез] = -а2е1 - а^2, [е2, ез] = -а,1в1 + а^,

с времениподобным е1 и а2 = 0. Основным результатом работы является Теорема 4. Пусть д, V) — трехмерная уни-модулярная группа Ли с левоинвариантной ло-ренцевой метрикой д и связностью Леви-Чивиты V. Тогда нетривиальные инвариантные солитоны Риччи групп Ли д, V) исчерпываются списком:

Случай А2 :

2

1.л=-а^, р=(-а^,Р2,-Р2

а2 = а1 = 0, Р2 6 К;

2. Л = 0, Р = (-а2, 0, 0), а1 = 0, а2 = 0.

Случай Аз:

2

Л = -а1, Р = (а1,-1,-1), а1 6 К.

Случаи А1 и А4 не допускают нетривиальных инвариантных солитонов Риччи.

О гипотезе ЦербонагруппахЛи.

2. Доказательство основной теоремы.

В данном разделе докажем теорему 4. Для этого рассмотрим систему уравнений (2), определяющую инвариантных солитонов Риччи, а также систему уравнений (3) — условие тривиальности инвариантного солитона. Заметим, что в силу тензорного вида левой и правой частей уравнения (2) все вычисления достаточно провести для базиса теоремы 3.

Случай А1.

Запишем систему равенств (2) для определения инвариантных солитонов

(«1 + а2 + аз)(а1 + а2 — аз) = 2Л, (а1 + а2 + аз)(а1 — а2 + аз) = 2Л, (а1 + а2 — аз)(а1 — а2 —Ьаз) = — 2Л, Р1 (аз — а2 ) = 0, Р 2(а1 + аз) = 0, Р 3(а1 + а2) = 0.

Решениями данной системы уравнений являются следующие инвариантные солитоны

1. Л = — 2а2, —а1 = а2 = аз е К, Р = (Р1 ,Р2, Р3);

2. Л = 0, а1 =0,а2 = а3 е К, Р = (Р1, 0, 0);

3. Л = 0, а1 = —а3 е К, а2 = 0, Р = (0, Р2, 0);

4. Л = 0, а1 = —а2 е К, а3 = 0, Р = (0, 0, Р3).

Условие (3) тривиальности солитона в рассматриваемом случае имеет вид:

Р1 (аз — а2)=0, Р2(а1 + аз) = 0, Р3(а1 + а2) = 0, т = 0.

Очевидно, что все найденные в этом случае инвариантные солитоны удовлетворяют данному условию (т.е. являются тривиальными). При этом т = 0.

Случай А2 .

Запишем систему равенств (2) для рассматриваемого случая

Рз(а1 — а2 — 1) — Р2 =0, Р2(а2 — а1 — 1) — Рз = 0, а1 — 2а2 = 2Р1,

1

(4)

а1 — — а1 — 2а2 + а1 а2 = —Л + 2P , 1

2

а1 + ^ а2 — 2а2 — а1 а2 = Л + 2P1.

2

Решениями данной системы уравнений являются следующие инвариантные солитоны

1. Л= — 1 а2,а1 = а2 е К, Р = (—у ,Р2, —Р2) ;

2. Л = 0, а1 = 0,а2 е К, Р = (—а2, 0, 0).

Условие (3) тривиальности солитона в рассматриваемом случае имеет вид:

Р1 = 0, ±2Р1 = т, Р2(а1 — а2) + Рз = 0, Рз(1 + а2 — а1) + Р2 =0, т = 0.

Очевидно, что первый из полученных инвариантных солитонов при а1 =0 и т = 0 будет удовлетворять (5) и иметь вид

Л = т = а1 = а2 = 0, а3,Р2 в R, P = (0, Р2, —Р2).

(6)

Второй инвариантный солитон будет удовлетворять (5) только при а2 = 0. Стоит отметить, что при этом он будет содержаться в (6) для Р2 = 0.

Случай Аз.

Системы уравнений (2) и (3) в данном случае имеют соответственно вид

а1 = P1,

Р2 + Р3 = —2, а2 = —2Л — 4Р2 + 4Р3, 4 + а2 = —2Л — 4Р3, 4- а? = 2Л — 4Р2.

Р1 = 0, 2Р2 = т, —2Р3 = т, — 2Р2 + 2Р3 = т, Р3 + Р2 = 0.

(7)

(8)

Решением (7) является следующий инвариантный солитон

Л = —^, а? в R, Р = (а?, —1, —1).

Данный солитон не является тривиальным, поскольку не удовлетворяет последнему равенству из (8).

Случай А4.

В данном случае система уравнений (2) примет вид

Р V — Р2 = 0,

Р а2 + Р2а? = 0, а?а2 + а? = —Р2аз,

— а2 — 1 = Л,

— а2 + а2 = —Л + 2Р3а2, а2 — 1 = Л — 2Р ?а3 + 2Р3

и

2

МзвестияАитГА. Математика и механика. 2022. № 1 (123)

Ее решениями являются следующие инвариантные солитоны:

1. Л = -2, а1,а3 е К, а2 = -1, Р = (0, 0, 0);

2. Л = -2, а1 = 1, а2 = -1, а3 = 0, Р = (Р2, Р2, 0);

3. Л = -2, а1 = а2 = -1, а3 = 0, Р = (-Р2, Р2, 0) .

Запишем теперь условие (3) Р2а3 = 0, 2Р3а2 = г, -РV + Р2 =0,

3! , 2 2 , 1 1 3 , (Ю)

т = 0, Р а2 + Р2а1 = 0, 2Р 1а3 - 2Р3 = т.

Непосредственной подстановкой найденных солитонов в (10) убеждаемся, что все они тривиальны. Теорема 4 доказана.

Заключение. В работе получена классификация инвариантных солитонов Риччи на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинва-риантной лоренцевой метрикой, указаны нетривиальные инвариантные солитоны Риччи. Это позволяет дать ответ на гипотезу Л. Цербо в лорен-цевом случае. В дальнейшем предполагается рассмотреть неунимодулярные группы Ли размерности 3, а также изучить инвариантные солитоны Риччи для метрических групп Ли более высоких размерностей.

Другие важные результаты по исследованию однородных и, в частности, инвариантных соли-тонов Риччи содержатся в [7-10].

Библиографический список

1. Cerbo L.F. Generic properties of homogeneous Ricci solitons // Adv. Geom.

2014. Is. 2. Vol. 14. DOI: 10.1515/advgeom-2013-0031.

2. Клепиков П.Н., Оскорбин Д.Н. Однородные инвариантные солионы Риччи на четырехмерных группах Ли // Известия Клт. гос. ун-та.

2015. №. 1/2(85) DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.2-21.

3. Klepikov P.N., Rodionov E.D., Khromova O.P. Invariant Ricci Solitons on Three-Dimensional Metric Lie Groups with Semi-Symmetric Connection // Russian Mathematics. 2021. Vol. 65. № 8. DOI: 10.3103/S1066369X21080090.

4. Calvaruso G. Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds //J. Geom. Phys. 2007. Vol. 57 DOI: 10.1016/j.geomphys. 2006.10.005.

5. Rodionov E.D., Slavskii V.V., Chibrikova L.N. Locally conformally homogeneous

pseudo-Riemannian spaces // Siberian Advances in Mathematics. 2007. Vol. 17. № 3.

6. Cordero L.A., Parker P.E. Left-invariant Lorentzian metrics on 3-dimensional Lie groups // Rend. Mat. 1997. Vol. 17.

7. Griffin E. Gradient ambient obstruction solitons on homogeneous manifolds // Annals of Global Analysis and Geometry. 2021. Vol. 60. DOI: 10.1007/s10455-021-09784-3.

8. Arroyo R. M., Lafuente R. Homogeneous Ricci Solitons in Low Dimensions // International Mathematics Research Notices 2015. Vol. 2015. № 13. 2015 DOI:10.1093/imrn/rnu088.

9. He C., Petersen P., Wylie W. Warped product Einstein metrics on homogeneous spaces and homogeneous Ricci solitons // arxiv.org/abs/1302.0246.

10. Buttsworth T. SO(2) x SO(3)-invariant Ricci solitons and ancient flows on S4 // arxiv.org/abs/2104.12996.