ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ПОЛУСИММЕТРИЧЕСКИХ СВЯЗНОСТЯХ НА ТРЕХМЕРНЫХ НЕУНИМОДУЛЯРНЫХ ГРУППАХ ЛИ С МЕТРИКОЙ СОЛИТОНА РИЧЧИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

О б инвариантных полусимметр ических связностях на трехмерныхнеунимодулярны х группах Л и с метриаый солитона Риччи

Д.В. ВылегжанинГП.Н.Клепикой, Е.Д. РодиоиоМ,О.П. Хрыосегя2

1Белорусский государственный университет (Минск, Белоруссия) 2Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

0 nlnvariant Semisymmat ricConnections

on Teree-Dimensiodal Non-Unimodular Lie Groups withthe Metricof the Ricci Soliton

D.V. VylegzhanintaP.N.Klepikov2, E.D.Rodiono), O.P. Khromova2

1 Belarusian State University (Minsk, Belarus) 2Altai State University (Barnaul, Russia)

Meтричесь^п^^ счязностис векторнымкручением-оси п^,^е^^ис^ме^]риче^^иекнярнос^]и ^]сррво^^оруро^ь тын.

етеииосновные тенер.кыеполя исследовалиси И.ичуктот^]^,1^.Янтируе^симимртаматт^в^^мт.

.олиттны Рмчим гфедетавляюос^ой .акаение ио-ьока Ричиииявляются eсттщоьнрымиообщеирeммe-сиииЭйнштeинa. Bивщeмелyчaеoоуиcc([eдoтaлиcи многими мамсмитикaми, чтинашло от^тркние в об-зорахХ.-Д.Цат, Р.М.Аройо — P.иафиснтс.Haрьoоеe согфсс вслучаетфичирльнымиелиао-^с^вРеичи, тени мeткикЭйшшнймр, атаске pюдиимкмноновoмсвмчae.

Bреетоящeмpaрсре ииследоваиы похуемонзтри че. скнвcтчзнасрира тче:тыикныргьчумти Лио^еврг^^и^ оитирньытрргoco([ирониpиччх. Помукруонлаиотфи-ьация данныхеьязносоеиит тHepмзихыIxиеyнимтчy-ри]еиыхгркнмих Лиcсавьиутрнмантнoйкимунoтти мет.июжсотитона Ричси. Димазoнo,чтo в эвомстрчае и^есто^т нeтчытутсьньICинвaьивмтныeнрмycиошe-TуИBOCMMЬBBУCHTCTИ. Кремт ттст, ITOHa3aH0,^0 С^е-нe0ритраeрнысиивармьитныс солиттиы Риччи. Ключевые слова-.полусимметрическиесвязностн.ин-тири антно1есооитрны1 Риччи,группыЛи, левоинвари-интныеромантвы метрика.

DOI: 10.14258/izvasu(2021)4-13

Metricconnections e^itlivector torsion, or semi-symmetricconnections, were firrt d^cvvrced by e. Cartan. Tloey ersanetoa1 g ene rariz attono^lir Lrv.-Qvit:. connectton. Tlie [topertiese^uchconnect.rns and the^ric tor^ser fiolds wseemvestigatedi by .. Age°kola, K.Yano, end othee matnlirmatidani.

soliïonsore theroïntion totne Rsuci flow antla natu rel genreoRr ationofEinstem s metпcs.tn v e gencsul cas e, tno y wrsemvestigate d ..m any whigh was rrflectod mthe rev^wr by RM.Aroyo — y. Lafuente.Teis qnrstinnis beststo&ed in thetese io My.:1 R^o^olrtons, orEinsMnmetrirr, asweUastine nomogeneoulRiemann1vncase.

This pa.er ntnestigatereemilynlmstrie cennec^tions onco^i'ee-nimenrlonbi Lie ¡ii^i^i^pgwclU tclrsmetric of anmvarientveccisoHton. Aelclstficationof g]rere canneettonivi l]lccelnrmensiouai nontbnimodutor Lievroupsnith t]lelt0t-innarirntRremnnmvn metrre oL tohe R^ciloyton isotttamrAR .s jnrovei^lsntthereire nanMoinHnvarian.sermsymmetTie conmctions m tnir cvse.rn adtliïion.iïis rhownAattAere erenvitrma1 innariart RireiSlCblnnr.

Roy woeds. trm1tymmetricslnnectiort, mvariant Ricci solitons,Lie groups, left-invariant RàemaRnianmetrics.

Введение. Ониим им мнуpминимх имнмиоио-ииР и иссмвнсoииии мисeссTмммиH ррир0уср имр-овиив мисeссTмммиH с нсиpсиммоумиооснсн мосми-овснсH сррмиссуни. Ммиимо сррмиссуи Тмии ином-имо сунммум И. Kммумисм и ооиоютсо осуосурои-иым сТсТщоииом симмитст Лори-Чириум. ИстН-

сурм умних сромиссывH и ссисриыо уоимсмиыо нт-им иссиоисPмиисн И. АeминсисH, K. Яит и ИМР-еими ммуоммуинмми [1—12]. Цоини имиитН миТт-уы ормовысо имpооиио нсиpсиммоумиоосних симм-иссуоH им УMOхмомиых емрнних Ли с мвыминсH ии-рммимиуисeс ссииусим Уиоои. В мвмpмныиыв Тpиоу

Об инвариантных полусимметрических связностях.

дана классификация данных связностей на трехмерных неунимодулярных группах Ли с левоин-вариантной римановой метрикой солитона Риччи, а также показано, что в этом случае существуют нетривиальные инвариантные полусимметрические связности. Ранее авторами проводились аналогичные исследования в классе эйнштейновых метрик [13, 14].

Более подробно. Пусть (M,g) — (псев-до)риманово многообразие. Определим на данном многообразии метрическую связность V с помощью формулы

VxY = V9XY + g(X,Y)V - g(V,Y)X, (1)

где V — некоторое фиксированное векторное поле, X и Y — произвольные векторные поля, V9 — связность Леви-Чивиты. Связность V является одной из трех основных связностей, описанных Э. Картаном в работе [1], и называется метрической связностью с векторным кручением, или полусимметрической связностью (с точностью до направления).

Класс метрических связностей, определяемых данным образом, содержит связность Леви-Чивиты и играет важную роль в исследованиях по римановой геометрии (см. [1-10]).

Тензор кривизны и тензор Риччи связности V определяются соответственно равенствами R(X,Y)Z = VYVXZ - VXVYZ + VXY]Z, r(X, Y) = tr(Z — R(X, Z)Y).

Отметим, что, в отличие от случая связности Леви-Чивиты, в данном случае тензор Рич-чи не обязан быть симметричным. Однако верна следующая теорема

Теорема 1 [9, 10]. Пусть (M,g) — (псев-до)риманово многообразие с полусимметрической связностью. Тензор Риччи является симметричным тогда и только тогда, когда 1-форма п, определяемая равенством n(X) = g(X, V) для любого векторного поля X на M, замкнута, т.е. dn = 0.

Определение 1. Метрика g полного риманова многообразия (M, g) называется солитоном Рич-чи, если она удовлетворяет уравнению

r = Лд + Lp g,

(2)

инвариантным солитоном Риччи. Более того, инвариантный солитон Риччи называется тривиальным, если Lpд(У^) = т ■ д(У^) для некоторого т £ К, и любых Y,Z £ 0, где 0 — алгебра Ли группы Ли G.

Замечание 1. Векторное поле V неявно входит в уравнение (2), а в случае V = 0 мы получаем классическое определение солитона Риччи. Заметим также, что производная Ли имеет вид: Lpд(Х, Y) = Рд(Х, Y)+д([Х, Р], Y)+д(Х, ^ Р]). Более того, если солитон Риччи инвариантен, то Lpд(Х, Y) = д([Х, Р], + д(Х, ^ Р]) для произвольных инвариантных полей X и Y.

Отметим, что в случае связности Леви-Чивиты инвариантные солитоны Риччи исследовались в работах [11-12], где была доказана

Теорема 2 [11]. Для любой конечномерной унимодулярной группы Ли с левоинваринтной ри-мановой метрикой и связностью Леви-Чивиты все инвариантные солитоны Риччи тривиальны.

Замечание 2. В неунимодулярном случае аналогичный результат до размерности четыре включительно получен П.Н. Клепиковым и Д.Н. Оскорбиным [12].

Определение 2. Полусимметрическая связность на римановом многообразии (М, д) называется тривиальной, если векторное поле V, определяющее эту связность, равно нулю.

Основным результатом работы является

Теорема 3. Пусть ^,д, V) — трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариант-ной римановой метрикой д и полусимметрической связностью V, отличной от связности Леви-Чивиты. Тогда среди таких групп Ли существуют группы и полусимметрические связности на них, допускающие нетривиальные инвариантные соли-тоны Риччи.

Основные конструкции. Пусть далее М = G — группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, 0 — ее алгебра Ли. Фиксируем базис е\,..., еп левоинваринтных векторных полей в 0 и положим

[ei7 ej

g(ei

gij,

k

cn gkS,

где r — тензор Риччи метрики g, Lp g — производная Ли метрики g по направлению полного дифференцируемого векторного поля P, константа Л s R. Если M = G/H — однородное пространство, то однородная риманова метрика, удовлетворяющая (2), называется однородным со-литоном Риччи, а если M = G — группа Ли и поле P левоинвариантно, инвариантным солитоном Риччи.

Если M = G/H — однородное пространство, то однородная риманова метрика, удовлетворяющая (2), называется однородным солитоном Риччи, а если M = G и поле P левоинвариантно —

где ск — структурные константы алгебры Ли, д} — компоненты метрического тензора.

Зафиксируем некоторое инвариантное векторное поле V, с помощью которого определим на G метрическую связность V с векторным кручением.

Тогда компоненты связности V определяются формулами Гк = (Г»% + дцVк - д3}Vs5}k, где (Г9)= 2дкв(сг]к - С]Ы + сы}) — компоненты связности Леви-Чивиты V9, ||дкя|| — матрица обратная к ||дкя||, 5к — символ Кронекера.

Аналогично общему случаю определим тензор кривизны R и тензор Риччи г. В базисе е\,... ,еп

k

cij ek

их компоненты соответственно есть Rijks =

(Г1к — + Ггй) Зps, rik = Rijksgjs.

Пусть Р — левоинвариантное векторное поле. Тогда (2) можно переписать в терминах структурных констант алгебры Ли

гV = ЛдV — Рk (cSkigsj + с^gsi)

(3)

где rij — компоненты тензора Риччи, Л 6 К, gij —

компоненты метрического тензора, Р-— коорди-

k

наты левоинвариантного векторного поля, с- — структурные константы алгебры Ли д.

Пусть ^, д^) задана метрической группой Ли G с алгеброй Ли д и векторным полем V, определяющим связность. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Если метрическая группа Ли д, V) удовлетворяет уравнению солитона Риччи, то в некотором базисе {е1,..., еп} алгебры Ли д выполняется соотношение

V ^^ сы = 0; (4)

или в инвариантной форме

д (V, [Х^]) = 0, УХ^ 6 д.

Здесь Сы — структурные константы алгебры д, определяемые разложением [е-, ег] = clktej.

Доказательство. Если ^, д, V) удовлетворяет уравнению солитона Риччи, то в силу (2) тензор Риччи должен быть симметричен. Тогда по теореме 1 необходимо dп = 0, т.е. для произвольных векторных полей X^ 6 д выполняется 2dп(X,Y) = Хп(У) — Yп(X) — п([Х^]) = -2п([Х^]) = —2д ([X^] V = 0. Фиксируя некоторый базис {е1,...,еп} в алгебре Ли д, из данного равенства получаем (4).

Лемма 2. Инвариантный солитон Риччи тривиален тогда и только, когда выполняется

Р - (ckigsj + gsi) = -д.

(5)

Следующая классификация для трехмерных метрических групп Ли была получена Дж. Мил-нором в [15].

Теорема 4. Пусть G — трехмерная неунимо-дулярная группа Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой. Тогда в алгебре Ли группы G существует ортонормированный базис {е1,е2,е3} такой, что: [е1,е2] = ае1 + ¡Зе2, [е1,е3] = 7е2 + 6ез, [ё2, ез] = 0, где а + 6 = 2.

Доказательство теоремы. В данном разделе для доказательства теоремы 3 рассмотрим систему уравнений (3) для определения инвариантных солитонов Риччи, систему уравнений (4) для определения симметричности тензора Рич-чи, а также систему уравнений (5) для определения тривиальности солитона Риччи. Заметим,

что в силу тензорного вида левой и правой частей уравнения (4) все вычисления достаточно провести для базиса Дж. Милнора. Рассуждения проведем для неунимодулярной группы Ли G, что будет достаточным для доказательства теоремы 3.

Условие (4) имеет вид

2 + 5V3 = 0, аV2 + ^3 = 0,

где а + 6 =2. Поэтому имеет место один из следующих случаев

(1) V = (V1,0,0);

(п) V = (V1,0, V3) и а = 2, в = 6 = 0;

(111) V = (V^^ и а = — V3, 7 =

+ 2V 2Ж3 вV3 + 2V2 ■, 5 =

(V2)2

V2

Рассмотрим их последовательно.

(1) В данном случае уравнение солитона (3) имеет вид

0 = Р2 в + Р36, 0 = Р2 а + Р3^,

а1 + в6 +1V 1(в + 7) = Р 1(7 + в),

— а2 — 2аV1 — 1 в2 + 172 — а6 — 5V1 — (V1)2 = = Л — 2Р 1а,

— 172 — 62 — 26V1 + 1 в2 — а6 — аМ1 — (V1)2 = = Л — 2Р Ч

— а2 — а^1 — 1 в2 — в7 — 172 — 52 — 5V1 = Л,

где а + 6 = 2.

Решениями данной системы равенств являются

1. а = 2 — 6, Л = —4 — 2V1 +46 — 252 — 272, 7 = в, V = (±^262 — 46 + 4 + 272,0,0), Р =

VI + 1,0, 0

2. а = 2, в = 7 = 6 = 0, Л = —8, V = (2,0,0), Р = (2,0, Р3);

Об инвариантных полусимметрических связностях...

3. а =1, в = -Y, S =1, Л = -2 - 2V1,

V = (V1, 0,0), Р = 1+2/1)2, 0, 0) ;

4. а = 2-S, в = Y = ±V2S - S2, S e (0; 2), Л = 0,

V = (-2, 0,0), P = (Vp2, - вР

4. Пусть а = 2 - S, в = Y = ±V2S - S2, S e (0; 2), Л = 0, V = (-2, 0, 0),

S

5. а = 2 - S, в

Y

±л/25 - 52, 5 е (0;2), Л = -8, V = (2, 0,0), Р = ^2, Р2, -^р-

Проверим, какие из полученных солитонов тривиальны, а какие нет.

Заметим, что в рассматриваемом случае условие (5) того, что векторное поле Р является конформно-киллинговым, равносильно системе уравнений вида

2Р 1а = 0, 2Р 15 = 0, Р 1(в + 7) = 0, Р2 а + Р37 = 0, Р2 в + Р35 = 0,

(6)

где а + 5 = 2.

1. Пусть Л= -4 - 2V1 +45 - 252 - 272, а = 2 - 5, 7 = в, V = (±^252 - 45 + 4 + 272, 0,0^,

Р = + 1,0,0^. Система равенств (6) упрощается до системы вида

Р 1(2 - 5) = 0, Р15 = 0, Р 1в = 0. (7)

Откуда заключаем, что векторное поле Р является конформно-киллинговым при Р1 = 0, что равносильно условию V1 = -2 или 52 + 25 + 72 = 0. Класс таких солитонов не пуст. Например, в нем содержится солитон вида а = 2, в = 7 = 5 = 0, Л = 0, V = (-2,0,0), Р = (0, 0, Р3).

2. Пусть а = 2, в = 7 = 5 = 0, Л = -8, V = (2,0,0), Р = (2, 0, Р3). Тогда первое уравнение в (6) обращается в неверное равенство. Следовательно, векторное поле Р не является конформно-киллинговым.

3. Пусть а = 1, в = -7, 5 =1, Л = -2 - 2V1,

V = (V1, 0,0), Р = ( У-+2У 1)2, 0,0) . Заметим, что рассматриваемый солитон Риччи удовлетворяет условию (6) при 2Р1 = V1 + (V1)2 = 0, т.е. при

VI =0 или V1 = -1.

Если V1 = -1, то для данного тривиального солитона Риччи выполняется а =1, в = -7, 5 =1, Л = 0, V = (-1,0, 0), Р = (0,0, 0) .

Если V1 = 0, то векторное поле V становится тривиальным и полусимметрическая связность в этом случае является связностью Леви-Чивиты.

Р = 0,Р2,-

вР2

. Непосредственно подстанов-

кой рассматриваемого солитона в (6) убеждаемся, что векторное поле Р не является конформно-киллинговым.

5. Пусть а = 2 - 5, в = 7 = ±^25 - 52, 5 е (0; 2), Л = -8, V = (2, 0, 0),

( вР 2\

Р = (2, Р2,--— 1. Для указанного солитона

Риччи векторное поле Р не является конформно-киллинговым. Это очевидно следует из первых двух уравнений системы (6) и того факта, что для данного солитона Риччи Р1 = 2 и а = 2 - 5.

(п) В данном случае уравнение солитона (3) примет вид

V ^3 = 0, 1

2 V 7 = 2Р2 + Р 7,

27 +1V17 = Р17,

- 4 - 4V1 + 172 - (V3)2 - (V1)2 = Л - 4Р1, (8)

- 272 - 2V1 - (V1)2 =Л,

- 4 - 2V1 - 172 - (V3)2 = Л,

Из первого уравнения системы заключаем, что либо V1 = 0, либо V3. Если V3 = 0, то попадаем в рассмотренный выше случай (1). Если V1 = 0, то из последних двух уравнений (8) заключаем, что данная система равенств неразрешима в поле действительных чисел.

Случай (ш) рассматривается аналогично с помощью систем компьютерной математики и не дает искомых связностей.

Заключение. В работе исследован класс полусимметрических метрических связностей, которые включают в себя связность Леви-Чивиты. Получена классификация данных связностей на трехмерных неунимодулярных группах Ли с лево-инвариантной римановой метрикой солитона Рич-чи. Кроме того, построена математическая модель для изучения полусимметрических связностей на группах Ли с метрикой инвариантного солитона Риччи.

Библиографический список

1. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (deuxième partie) // Ann. Ecole Norm. Sup. 1925. Vol. 42.

2. Yano K. On semi-symmetric metric con-

nection // Revue Roumame de Math. Pure et Appliquées. 1970. Vol. 15.

3. Agricola I., Kraus M. Manifolds with vectorial torsion // Differential Geometry and its

Applications. 2016. Vol. 46.

4. Muniraja G. Manifolds Admitting a Semi-Symmetric Metric Connection and a Generalization of Schur's Theorem // Int. J. Contemp. Math. Sci. 2008. Vol. 3. № 25.

5. Agricola I., Thier C. The Geodesics of Metric Connections with Vectorial Torsion // Annals of Global Analysis and Geometry. 2004. Vol. 26.

6. Родионов Е.Д., Славский В.В., Хромова О.П. О секционной кривизне метрических связностей с векторным кручением // Известия Алт. гос. ун-та. 2020. № 1(111) DOI: 10.14258/izvasu(2020)1-21.

7. Yilmaz H.B., Zengin F.O., Uysal. S.A. On a Semi Symmetric Metric Connection with a Special Condition on a Riemannian Manifold // European journal of pure and applied mathematics. 2011. Is. 2. Vol. 4.

8. Zengin F.O., Demirbag S.A., Uysal S.A., Yilmaz H.B. Some vector fields on a riemannian manifold with semi-symmetric metric connection // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. 2012. Is. 2. Vol. 38.

9. Barua B., Ray A. Kr. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold // Indian J. pure appl. Math. 1985. Vol. 16. № 7.

10. De U.C., De B.K. Some properties of a semi-symmetric metric connection on a Riemannian manifold // Istanbul Univ. Fen. Fak. Mat. Der. 1995. Vol. 54.

11. Cerbo L.F. Generic properties of homogeneous Ricci solitons // Adv. Geom. 2014. Is. 2. Vol. 14.

12. Клепиков П.Н., Оскорбин Д.Н. Однородные инвариантные солионы Риччи на четырехмерных группах Ли // Известия Алт. гос. ун-та. 2015. № 1/2(85) DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.2-21.

13. Клепиков П.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. Уравнение Эйнштейна на трехмерных метрических группах Ли с векторным кручением // Итоги науки и техники. Серия : Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2020. Т. 181. № 3. DOI: 10.36535/0233-6723-2020181-41-53.

14. Клепиков П.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. Уравнение Эйнштейна на трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразиях с векторным кручением // Математические заметки СВФУ. 2019. Т. 26. № 4. DOI:10.25587/SVFU.2019.49.61.003.

15. Milnor J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups // Adv. Math. 1976. Vol. 21.