МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИПОЛУСИММЕТРИЧЕСКИХ СВЯЗНОСТЕЙ НА ТРЕХМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ С МЕТРИКОЙ СОЛИТОНА РИЧЧИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

_2021 г. Выпуск 1(60). С. 23-29_

DOI: 10,17816/Ъушп2 0210123-29

УДК 512.81

П. Н. Клепиков, Е. Д. Родионов, О. П. Хромова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПОЛУСИММЕТРИЧЕСКИХ СВЯЗНОСТЕЙ НА ТРЕХМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ С МЕТРИКОЙ СОЛИТОНА РИЧЧИ

Полу симметрические связности впервые открыты Э.Картаном и являются, естественным, обобщением связности Леей- Чивиты. Свойства, параллельного переноса, таких связи остей и основные тензорные поля, исследовались И.Агриколой, К.Яно и другими математиками. В настоя,щей работе построена, математическая, модель для, изучения, полу симметрических связи остей на трехмерны,х группах Ли с метрикой инвариантного солитона, Риччи. Получена, классификация, да,нны,х связи остей на трехмерны,х уним, оду-ля,рпых группа,х Ли с левоинвариантной римановой метрикой солитона, Риччи. Доказано, что в этом, случае существуют нетривиальны,е инвариантны,е полусим,етрически,е связности. Ра,нее авторам,и проводились аналогичные исследования в классе эйнштейновых метрик.

Ключевые слова: полу симметрические связности, инвариантны, е солитоны, Риччи, группы, Ли, л,евоинва,риа,нтны,е рилитовы, метрики, математическое ,моделирование.

P. X. Klepikov, Е. D. Rodionov, О. P. Khromova

MATHEMATICAL MODELING IN THE STUDY OF SEMISYMMETRIC

CONNECTIONS ON THREE-DIMENSIONAL LIE GROUPS WITH THE

METRIC OF THE RICCI SOLITON

Semi-symmetric connections were first discovered by E. Cartan and are. a natural generalization of the Le.vi-Civita connection. The properties of the parallel transfer of such connections and the basic tensor fields were investigated by I. Agrikola, K. Yano and other mathematicians. In this paper, a mathematical model is constructed for studying semisymme.tric connections on three-dimensional Lie. groups with the. metric of an invariant Ricci soliton. A classification of these, connections on three.-dimensional unimodular Lie. groups with left-invariant Rie.mannian metric of the. Ricci soliton is obtained. It is proved that in this case, there, are. nontrivial invariant semisimetric connections. Previously, the. authors carried out similar studies in the. class of Einstein metrics.

Key words: se.mi-symmetric connections, invariant Ricci solitons, Lie. groups, left-invariant Rie.mannian metrics, mathematical modeling.

1. Введение и основные результаты

Актуальным направлением в исследовании римаповых многообразий малой размерности является математическое моделирование, создание и применение алгоритмов дня нахождения тензорных полой па римаповых многообразиях с дслыо изучения последних. В этом направлении известны многие результаты 11—121, Цслыо данной работы является

Математическое моделировал те при исследовал ши, полу симметрических связиостей па трехмерных группах Ли с метрикой солитоиа Риччи

описание алгоритма, который позволит изучить вопрос о нахождении нолуеимметриче-ских связиостей па трехмерных группах Ли с метрикой инвариантного солитоиа Риччи, В результате будет дана классификация данных связиостей па трехмерных унимодулярпых группах Ли с левоипвариаптпой римановой метрикой солитоиа Риччи, а также показано, что в этом случае существуют нетривиальные инвариантные нолуеиметричеекие связности, Ранее авторами проводились аналогичные исследования в классе эйнштейновых метрик 113,141, Более подробно.

Пусть (M, g) — римапово многообразие. Определим па данном многообразии метрическую связность V с помощью формулы

Уд-У = V9vy + g{X, Y)V - g(V, Y)X,

где V — некоторое фиксированное векторное иоле, X и Y — произвольные векторные ноля, У9 — связность Леви-Чивиты, Связность У является одной из трех основных связиостей, описанных Э, Картаном в |1|, и называется метрической связностью с векторным кручением или иолусимметричеекой связностью.

Класс метрических связиостей, определяемых данным образом, содержит связность Леви-Чивиты и играет важную роль в исследованиях но римановой геометрии (см, |1-

ю]).

Тензор кривизны и тензор Риччи связности У определяются соответственно равенствами

Л(А, Y)Z = УГУ XZ - Уд-У yZ + У[л-.у]^ г (A', Г) = tr (Z R( A, Z)Y).

Отметим, что, в отличие от случая связности Леви-Чивиты, в данном случае тензор Риччи не обязан быть симметричным. Однако верна следующая теорема (см, |9,10|)

Теорема 1. Пусть (М,д) — (псевдо)риманово многообразие с нолусимметричеекой связностью. Тензор Риччи является симметричным тогда и только тогда, когда 1-форма 7Г, определяемая равенством 7г(А") = д(X, V) дня любого векторного ноля А" па М, замкнута, т.о. du = 0,

Определение 1. Метрика g полного римапова многообразие (М,д) называется соли-топом Риччи, если она удовлетворяет уравнению

г = Л g + LPg, (1)

где г — тензор Риччи метрики g, Lpg — производная Ли метрики g но направлению полного дифференцируемого векторного ноля Р, константа Л е R, Если M = G/H — однородное пространство, то однородная римапова метрика, удовлетворяющая (2), называется однородным солитоном Риччи, а если M = G и ноле Р .невоипвариаптпо — инвариантным со.нитоном Риччи. Более того, инвариантный со.нитон Риччи называется тривиальным, если Lpg(Y,Z) = т • g(Y, Z) дня некоторого г G 1. и любых Y Z g g, где g — алгебра Ли группы Ли G.

Замечание. Векторное ноле V неявно входит в уравнение (2), а в случае V = 0 мы получаем классическое определение солитоиа Риччи, Заметим также, что производная Ли имеет вид: LPg(X,Y) = Pg(X,Y) + д([Х, P],Y) + g(X,[Y, Р]). Более того, если со.нитон Риччи инвариантен, то Lpg(X,Y) = д([Х, P],Y) + д(X, [У, Р]) дня произвольных инвариантных полой А" и Y.

Отмстим, что в случае связности Леви-Чивиты инвариантные еолитоны Риччи иесле-дованись в работах |11-12|, где была доказана

Теорема 2. Дня любой конечномерной унимоду.нярной группы Ли с левоинвариит-ной римановой метрикой и связностью Леви-Чивиты все инвариантные еолитоны Риччи тривиальны.

Замечание. В неунимоду.нярном случае аналогичный результат до размерности четыре включительно получен П.Н.Клепиковым и Д.Н.Оскорбиным |12|.

Определение 2. Полусимметрическая связность па римановом многообразии (М,д) называется тривиальной, если векторное поле V . определяющее эту связность, равно нулю.

Основным результатом данной работы является получение искомого алгоритма и доказательство следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть (С, д, V) — трехмерная группа Ли с левошшарианпюй римановой метрикой д и нолуеимметричеекой связностью V, отличной от связности Леви-Чивиты. Тогда среди таких групп Ли существуют группы и нолуеимметричеекие связности па них, допускающие нетривиальные инвариантные еолитоны Риччи.

2. Построение алгоритма

Пусть далее М = С — группа Ли е .невоипвариаптпой римановой метрикой, д — ее алгебра Ли. Фиксируем базис еь ..., е„ .невоипвариптпых векторных полой в д и положим

С-]\ = г/;'*/. • .'/('с ' /) = .'///• г//.ч = г,/.'//.

где с^ — структурные константы алгебры Ли, д^ — компоненты метрического тензора.

Зафиксируем некоторое инвариантное векторное ноле V . с помощью которого определим па С метрическую связность V с векторным крученном.

Тогда компоненты связности V определяются формулами

Г* = (Г% + диУк- да,У&1

где (Г9)^. = ~ компоненты связности Леви-Чивита V9, ||(/ь|| — матрица

обратная к Цдь-Ц^ $ — символ Кропокера.

Аналогично общему случаю определим тензор кривизны Я и тензор Риччи г, В базисе е,1,..., е„ их компоненты соответственно есть

Ицк.ч = — Г^Г* + О /П /, ) 9р.Ч1 ггк = ■

Пусть Р — .иевонпвариаптпоо векторное ноле, Тогда (1) можно переписать в терминах структурных констант алгебры Ли

п, = Адц - Рк+ 4^,). (2)

к_

ГД° Гц ~ компоненты тензора Риччи, Л е К, д^ — компоненты метрического тензора, Р координаты .иевоипвариаптпого векторного ноля, с^ — структурные константы алгебры Ли д.

Пусть (С, д, V) задана метрической группой Ли С с алгеброй Ли д и векторным полом V . определяющим связность. Справедливо следующее утверждение

Лемма 1. Если метрическая группа Ли (С, д, V) удовлетворяет уравнению солитона Риччи, то в некотором базисе ... ,е„ } алгебры Ли д выполняется соотношение

Математическое моделировал те при исследовал ши, полу симметрических связиостей па трехмерных группах Ли с метрикой солитона Риччи

y¡9iA,, = o (3)

или в инвариантной форме

<7(Г,[ЛМ'])=0, VA,У eg.

Здесь cJkl — структурные константы алгебры д, определяемые разложением [е^, e¿] = cJklej.

Доказательство. Если (G, g, V) удовлетворяет уравнению солитона Риччи, то в силу (1) тензор Риччи должен быть симметричен. Тогда по теореме 1 необходимо г/тг = 0, т.е. дня произвольных векторных полой X, У е g выполняется

2гЫ{Х, Y) = Атг(У) - Утг(А) - тг([А, Y]) = -2тг([Л', Y]) = g ([А, У], V) = 0.

Фиксируя некоторый базис {e,i.....е.,,} в алгебре Ли д. из данного равенства получаем

(3).

Лемма 2. Инвариантный солитон Риччи тривиален тогда и только, когда выполняется

Pk(cki9sj + ckj9si) = T9¿j-

Следующая классификация дня трехмерных метрических групп Ли была получена Дж. Ми.ннором в 1151.

Теорема 4. Пусть G — трехмерная упимодунярпая группа Ли с .невоипвариаптпой римаповой метрикой. Тогда в ангебре Ли группы G существует ортопормироваппый базис {< i. <••_>.' :•, } такой, что:

[еь е2] = И;.( ;., [еь е3] = -а-2е-2, [е2, е3] = а^. 3. Доказательство теоремы

В данном раздело дня доказательства теоремы 3 рассмотрим систему уравнений (2) дня определения инвариантных со.нитопов Риччи, систему уравнений (3) дня определения симметричности тензора Риччи, а также систему уравнений (4) дня определения тривиальности солитона Риччи, Заметим, что в силу тензорного вида .новой и правой частей уравнения (3) все вычисления достаточно провести дня базиса Дж.Милиора, Рассуждения проведем дня унимодунярной группы Ли G, что будет достаточным дня доказательства теоремы 3.

Условие (3) имеет вид Vlai = 0, V'2a:-2 = 0, 1 ''n;¡ = 0, поэтому имеет место один из следующих сну чаев

(i) Г = (0,0,0);

(И) V = (Г1, 0,0) и «1 = 0;

(iii) V = (0,Г2,0) и o¡2 = 0;

(iv) V = (0, 0, Г3) и «з = 0;

(v) V = (Г1, Г2, 0) и О! = 0, «2 = 0;

(У!) V = (0,Г2,Г3) ио2 = 0, о3 = 0; (уп) V = (Г1, 0, Г3) и «1 = 0, «з = 0; (уШ) V = (Г1, Г2, Г3) и «1 = 0, о2 = 0, «з = 0.

С точностью до переобозначения базисных векторов интерес представляют только случаи (1), (11), (у) и (уш).

(I) В данном случае вектор V тривиален и иолусимметричеекая связность является связностью Леви-Чивиты, При этом решениями системы уравнений (2) являются следующие тривиальные солитопы

1, Л = т = 0, «1 = о2 = «з £ К, Г = (0, 0, 0), Р = (Р\ Р2, Р3).

2, Л = 0, т = 0, «1 = 0, о2 = «з е к, г = (0, 0, 0), Р = (Р\ 0, 0).

3, Л = 0, т = 0, «1 = «3 6 1, «2 = 0 V = (0, 0, 0), Р = (0, Р2, 0).

4, Л = 0, т = 0, «1 = о2 е к, «3 = о, V = (0, 0, 0), Р = (0, 0, Р3).

(II) В этом случае V = (1г1,0,0), V'1 ф 0 и о^ = 0, Тогда системы уравнений (2) и (4) примут вид

| Г1 (<>•_> - п;!) = Р1(а-2 - п;!).

I («1 - «Ю - (V1)2 = А2, 1 («2 - о2) - (Т1)2 = Л2, (5)

| («2 - «з)2 = —А, 0 = Р2«з, 0 = Р'ла-2, 0 = т,

Р1{аз - а2) = 0, Р2«з = 0, Р3о2 = 0.

Решением системы равенств (5) является

Л = -(Г1)2, т = 0, «1 = 0, о2 = -«з, «з = V = (Г1, 0,0), Р = 0, 0).

Очевидно, что оно не удовлетворяет (6), поскольку в рассматриваемом сну чае V'1 ф 0, Таким образом, найденный солитон нетривиален.

(Ш) и (пг) Данные случаи рассматриваются аналогично (и). Соответствующие нетривиальные солитопы имеют вид

1. А = — (V2)2, «1 = -«3, «з = ±^Г2, о2=т = 0, Г = (0,Г2,0), Р = (0,^,0);

2. А = — (V3)2, а1 = -а2, «2 = а3 = г = 0, Г = (0,0,Г:?), Р = (0, 0, ■£); где V2 ф 0 и V'3 ф 0 соответственно.

Математическое моделировал tue при исследовал tuu полу симметрических связи,остей на трехмерных группах Ли с метрикой солитоиа Риччи

(v) Пусть теперь V = (X , 1 ,0), Г1 Г2 ф 0 и ai = 0, а2 = 0, Тогда система уравнений (2) примет вид

К-П;. = /'V-,

г1г2 = о.

laf-CV1)2- (Г2)2 = Л,

Ï<4 + (\*)* = -A,

0 = т.

Данная система равенств не имеет решений, поскольку в рассматриваемом случае

г1 г2 + о.

(vi) и (vii) Рассуждениями аналогичными (v), заключаем что в данных случаях инвариантных солитоиов Риччи не существует,

(viii) Пусть теперь Г = (Г1, Г2, Г3) Г1 ГЦ ;i ф 0 и ai = т = 0, а2 = 0, a:i = 0, Тогда системы уравнений (2) примет вид Г2Г3 = 0. ГхГ3 = 0.

г1г2 = о.

(Г1)2 + (Г2)2 = -л. (Г1)2 + (Г3)2 = -л. (Г2)2 + (Г3)2 = -л,

0 = т.

Данная система равенств не имеет решений, поскольку в рассматриваемом случае ГХГ2Г3 + 0.

4. Заключение.

В работе изучен класс иолусимметричееких метрических связностей, которые включают в себя связность Леви-Чивиты и порождают обобщение теории солитоиов Риччи, а также общей теории относительности А. Эйнштейна, Построена математическая модель для изучения иолусимметричееких связностей на трехмерных группах Ли с метрикой инвариантного солитоиа Риччи, Данная математическая модель допускает реализацию в средах универсальных математических систем и может быть использована для изучения метрических связностей на группах Ли малой размерности (см., например, |16, 17|),

Литература

1. Cartan, Е, Sur les variétés va connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (deuxième partie) / E, Cartan // Annales Scientifiques de lEcole Normale Supérieure. -1925. - Vol. 42. - P. 17-88.

2. Yano, K. On semi-symmetric metric connection / K. Yano // Revue Roumanie de Math. Pure et Appliquées. 1970. - Vol. 15. - P. 1579-1586.

3. Agrieola, I. Manifolds with vectorial torsion / I. Agricola, M. Krans // Differential Geometry and its Applications. 2016. - Vol. 46. - P. 130-147.

4. Mnniraja, G. Manifolds Admitting a Semi-Symmetric Metric Connection and a Generalization of Schnr's Theorem // International Journal of Contemporary Mathematical Sciences. -2008. - Vol. 25, Is. 3. - P. 1223-1232.

5. Agricola, I. The Geodesies of Metric Connections with Vectorial Torsion / I. Agricola, C. Thier // Annals of Global Analysis and Geometry. - 2004. - Vol. 26. - P. 3211-332.

6. Родионов, Е, Д. О секционной кривизне метрических связностей с векторным крученном / Е, Д. Родионов, В, В, Славский, О, П, Хромова, - Текст : непосредственный // Известия АлтГУ. - 2020. - Л2 1. - С. 124-127.

7. Yilmaz, Н. В. On a Semi Symmetric Metric Connection with a Special Condition on a Riemannian Manifold / H. B. Yilmaz, F. O. Zongin, S. A. Uysal // European journal of pure and applied mathematics. - 2011. - Vol. 4, Is. 2. - P. 152-161.

8. Zengin, F. O. Some vector fields on a riemannian manifold with semi-symmetric metric connection / F. O. Zengin, S. A. Demirbag, S. A. Uysal |et al,| // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. - 2012. - Vol. 38, Is. 2. - P. 479-490.

9. Ваша, В. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold / В. Ваша, A. Kr. Ray // Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. -1985. - Vol. 16, Is. 7. - P. 736-740.

10. Do, U, C. Some properties of a semi-symmetric metric connection on a Riemannian manifold / U, C. Do, В. K. Do // Istanbul Universitesi Fen Fak?ltesi Mat. Dor. - 1995. -Vol. 54. - P. 111-117.

11. Di Corbo, L. Generic properties of homogeneous Ricci solitons / L. Di Cerbo // Advances in Geometry. - 2014. - Vol. 14, Is. 2. - P. 225-237.

12. Клепиков, П. H. Однородные инвариантные со.нитоны Риччи на четырехмерных группах Ли / П. Н. Клепиков, Д. Н. Оскорбин. - Текст : непосредственный // Известия АлтГУ.' - 2015. - Т. 1, Л2 2. - С. 115-122.

13. Клепиков, П. Н. Уравнение Эйнштейна на трехмерных метрических группах Ли с векторным крученном / П. Н. Клепиков, Е. Д. Родионов, О. П. Хромова. - Текст : непосредственный // Итоги науки и техники. Серия: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - 2020. - Т. 181, JY2 3. - С. 41-54.

14. Клепиков, П. Н. Уравнение Эйнштейна на трехмерных локально симметрических (нсевдо)римаповых многообразиях с векторным крученном / П. Н. Клепиков, Е. Д. Родионов, О. П. Хромова. - Текст : непосредственный // Математические заметки СВФУ - 2019. - Т. 26, Л2 4. - С. 25-36.

15. Milnor, J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups / J. Milnor // Advances in Mathematics. - 1976. - Vol. 21. - P. 293-329.

16. Программный комплекс дня определения секционной кривизны метрических групп Ли : свидетельство о регистрации программы дня ЭВМ : JY2 2020614218 : заявл, 23.03.2020 : опубл. 27.03.2020 / Хромова О. П. - Текст : электронный // ЭБС АлТ-ГУ, - URL: http://(^ibrary.asH.rH/xmlHi/handle/asH/10158?show=fHll (дата обращения: 10.04.2021).

17. Программный комплекс дня нахождения инвариантных тензорных полой конечномерных групп Ли : свидетельство о регистрации программы дня ЭВМ : JY2 2014612649 : заявл. 14.10.2013 : опубл. 20.03.2014 / Оскорбин Д. Н,, Хромова О. П. - Текст : электронный // ЭБС АлТГУ, - URL: http://elibrary.asH.rH/handlo/asH/7432 (дата обращения: 10.04.2021).