О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики в неоднородной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

О ГАРАНТИРОВАННОЙ ОЦЕНКЕ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

В. П. Танана, А.И. Сидикова

ASSURED ACCURACY ESTIMATION OF THE APPROXIMATE SOLUTION OF AN INVERSE PROBLEM OF THE THERMAL DIAGNOSTICS IN THE HETEROGENEOUS ENVIRONMENT

V.P. Tanana, A.I. Sidikova

1. Постановка задачи

При планировании стендовых испытаний ракетных двигателей важную роль играет точность решения соответствующих обратных задач тепловой диагностики [1] . Для достижения этой точности необходимо использовать более совершенные математические модели, в которых учтены теплофизические свойства используемых композиционных материалов [1]. Все это приводит к решению обратных граничных задач для дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. Для приближенного решения соответствующих задач необходимо получать гарантированные оценки их погрешности, которые определяют степень достоверности теоретических расчетов, используемых при планировании стендовых испытаний. Методом проекционной регуляризации [2] получены гарантированные оценки точности этого решения.

Уравнение теплопроводности в неоднородном стержне, состоящем из двух различных материалов, имеет вид

Методом проекционной регуляризации решена обратная смешанная граничная задача для уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом, и получены гарантированные оценки точности этого решения.

Ключевые слова: обратная задача, регуляризация, параболическое уравнение, преобразование Фурье

Using the method of the projection regularization the author solves the inverse mixed boundary-value problem for the heat conduction equation with the discontinuous coefficient and obtains the assured accuracy evaluation of the solution.

Keywords: inverse problem, regularization, parabolic equation, Fourier transformation

du{x,t) д Г , .du{x,t)' — = — aix) — г

at dx a[x) dx

; o<x< l, ¿>o,

(i)

1 , 0 <x < x\

X, xi<x<l,

хф 1 положительное число.

Известно, что уравнение (1) можно свести к системе

дщ(х, t) d2ui(x, t)

dt дх2

О < х < xi, t> О, (2)

ди2(х,г) _д2и2(ж,*) „ /9Х

~а^ = х м • < 1,«> о. (з)

Предположим, что решения щ(х^) и П2(х, 1) удовлетворяют начальным условиям

«1(ж,0)=0, 0<х<х1, (4)

и2(х, 0) = 0, х\ < х < 1, (5)

а также граничным условиям

^ _ ««1(0, *) = 0; t>0, (6)

«1(ж1,*) =/(*); ¿>0 (7)

«1(®1,*) = и2(х1,г); * > 0, (8)

дщ(хъг) = ди2(хг,г) 4 > 0

дх дх ’ —

_ ,,.ч ди2(1^) Л

Функцию /цг) = —----------требуется определить.

ОХ

Предположим, что /г(£) Е С2[0, оо), и существует число ¿о > 0 такое,что при ^

Л(4) = 0. (10)

Сделав замену

гщ(х^)^ 0 < х < х\, ¿>0

где к > 0 известное число и условиям согласования

v(x,t) = <

х

ui(xi,t) + x J

Xl

-d£; t> 0,

задачу (2) - (9) сведем к новой относительно функции v(x, t)

dv(x,t) d2v{x,t)

—эГ = -а^-’й-х-1'*-0' (12)

v(x, 0) = 0; 0 < x < 1, (13)

~ ««(0, t) = 0; t > 0, (14)

v(xi,t) = f(t); t> 0, (15)

i^M X dx

требуется определить.

В дальнейшем функции v(x,t), f(t)nh(t) будем считать комплекснозначными, то есть v(x,t) = Vi(x,t) + iv2(x,t), f(t) = fi(t) + if2(t) и h{t) = /ii(i) +

ih2(t), где V{(x, i), fi{x,t) и hi(x,t), i — 1,2 действительные функции.

а функцию h(t)

2. Исследование гладкости функции v(x,t)

Так как гладкость функции v(ж, t) определяется соответствующей гладкостью ее действительной Re[v(x, t)] и мнимой Im[v(x, t)] составляющих, то исследование гладкости функции v(x,t) достаточно провести в предположении, что функции v(x,t) и h(t) действительны.

Сделаем замену

U(x,t) = v(x,t) — (х + (17)

к

Тогда

5M = ??M+(I+iW);0<,<,,t>o, (18)

at ох* к

U(ж, 0) = 0; 0 < ж < 1, (19)

U'x (0, t) - kU(0, t) = 0; t > 0, (20)

UUht)=0; t> 0. (21)

Решение задачи (18) - (21) имеет вид

(X)

U{x,t) = ^2 Unit) sin(Xnx + /3„), (22)

n=0

где Xn является решением уравнения

ctg A = — , (23)

к

== "ccos(v^n)’ (24)

Un(t) = 2bn [*(25) Jo

где

2 sin(An + /?n)

Д2 [1 - An1 cos(An + 2/3n) sin An] ’ Интегрируя правую часть равенства (25) по частям, получим

Unit) =

п

h'it)- Ґ е~Х”(г~т^h"ir)dr.

Jo

(26)

(27)

Теперь исследуем гладкость функции U(x,t) по ж. Для этого, используя представление функции U(x,t) в формуле (22), рассмотрим ряд, составленный из первых производных слагаемых

сю

^2 \„Un(t)cos{\nx + pn). (28)

72=0

Из (10), (26) и (27) следует существование числа с\ > 0 такого, что для любых значений ж Є [0,1], t > 0 и п

|An Un{t) сов(Лпж + рп)\ < т|- (29)

Так как из (23) следует, что для любого п

Лп = 7ГП + /%, (30)

где

¡лп —> 0, при п —> оо, (31)

то из (30) и (31) следует существование чисел С2 и сз >0 таких, что для любого п

с2п < Ап < Сзп. (32)

Таким образом, из (32) следует, что ^ < оо, а из соотношения (29) следует равно-

^п

мерная сходимость рядов (22) и (28) на множестве [0,1] х [0, оо).

Учитывая непрерывность слагаемых соответствующих рядов, получим

оо

Ux{x, = ^ ^ ^п Unit) cos(Xnx + /Зп)? (33)

71—0

а из (33), что

Ux(x,t) £ С([0,1] х [0, оо)). (34)

Рассмотрим ряд, составленный из вторых производных слагаемых ряда (22).

оо

-''¿2 \lun(t) sin(\nx + Рп). (35)

71=0

Из (29) следует, что для любых х Е [0,1], t > 0 и п

\\lUn(t)sm{\nx +Рп)\ <%■ (36)

^П

Из (32) следует, что ряд Х]^о 2 < °°уа из (36) следует равномерная сходимость ряда (35)

на множестве [0,1] х [0, оо). Учитывая непрерывность слагаемых соответствующих рядов,

получим

оо

U^x(x, t) = -'£\2n Un(t) sm(Xnx + /U (37)

п—0

а из (37), что

С^(М)€С([0,1]х[0,оо)). (38)

Из (17),(34) и (38) следует, что

v'x(x,t)eC([ 0,1]х[0,оо)), (39)

v'xx(x, t) € С([0,1] X [0, оо)). (40)

3. Обоснование метода интегральных преобразований применительно к решению задачи (12) - (15)

Так как скорость убывания функции v(x,t) при t —> оо определяется скоростями убывания ее действительной Re[v(x,t)] и мнимой Im[v(x,t)] составляющих, то, как и в предыдущем случае, этот вопрос достаточно исследовать в предположении действительных функций h(t) и v(x, t).

Рассмотрим вспомогательную задачу, использующую условие (10)

dv(x,t) d2v{x,t)

v(x, to) = vo(x); 0 < х < 1, (42)

dv(0,t)

дх

dv(l,t)

— Kv(0, t) =0; t > to, (43)

= 0; t > t0. (44)

дх

Из (10) и (40) следует, что

«о(ж) е С2[0,1] (45)

и

^о(!) = 0, ^о(О) - куо(0) = 0. (46)

Решение задачи (41) - (46) имеет вид

ОО

Нх, 1) = ^^ е-Л"(*-4о) вт(Апж + /Зп), (47)

п=0

где Ап и /Зп определены формулами (23),(24), а

2 П

[ v0(x)sm(Xnx + /3n)dx. (48)

Jo

[l Л71, cos(An -Ь 2/3^) sin A^]

Интегрируя правую часть равенства (48) по частям, получим

2 Г1

Vn = “Т2Й---v-i----/ч , ой ' ■ , J <(ж)вш(Аnx + pn)dx. (49)

А‘[1 - А„ cos(An + 2рп) sin Anj Jo

Из (40) и (49) следует существование числа с± > 0 такого, что для любого п

KI < (50)

^п

Из (47) и (50) следует, что для любого t > to + 1

ОО

КМ)|<С4£А-2е-Л^-Ч (51)

тг=0

ОО

К(ж,і)|<с4Х;А-1є-Л"(<-І0) (52)

п=0

И

ОО

\v'lx{x,t)\<cAY,e~Xl{t~to)- (53)

71=0

Так как

e-A2(i-t0) _ е-\\ . e-\l(t-to-i)^ (54^

а из (32) и (54) получается , что

е-Л" < [есЦ-п, (55)

то из (41), (51) - (55) следует существование числа С5 такого, что для любого t > to + 2

sup {Ь(ж,і)|, \vx(x,t)I, \v't(x,t)\, \vxx(x,t)\} < c5e_(i_to_1). (56)

жб[0,1]

Из (39), (40) и (56) следует, что для любой комплекснозначной ограниченной и непрерывной на [0, оо) х [0, оо) функции Ф(А,£) справедливы равенства

roo о г roo

/ угх(х, £)Ф(А, t)dt = — / v(x, ¿)Ф(А, £)cft Уо ¿te [./о

(57)

(58)

И

roo q2 Г roo

Уо 1»£в(М)Ф(А,*)<Й = ^2 Уо w(®,t)*(A,í)ctt .

Таким образом, мы показали, что для любого ж Е [0,1]

f7(*,í)> v'x(x,t) viv'xx(x,t) G C[0,oo)p|l-2[0,oo).

Обозначим через Mr множество пространства H = L2[0, оо) + ¿L2[0, оо), определяемое формулой

Мг = IЛ(£) : Л(4) G Я, ^°° |/i(*)|2dí + \h'(t)\2dt < г2 J, (59)

где г известное положительное число, и предположим, что при f(t) = /о(£), участвующей в условии (15), существуют функции vo(l,t) и х^о(^)? которые принадлежат множеству Мг. Но функция fo(t) нам не известна, а вместо нее даны некоторая приближенная функция fs(t) Е Н и число 8 > 0 такие, что

НЛ-/о|1я< (60)

Требуется, используя f§,S и Мг, определить приближенное решение xhs(t) задачи (12) - (16) и оценить уклонение \\hs — h\\ приближенного решения от точного.

4. Сведение задачи (12) - (16) к задаче вычисления значений неограниченного оператора

Пусть Н = ¿2[0, оо) + ÍL2[0, оо) над полем комплексных чисел, F оператор, отображающий Н на Н и определяемый формулой

i roo __

F[h(t)] = — / h(t)e~iXtdt; А > 0, Л(*) G Я, (61)

v71" Уо

a F“1— оператор, обратный F,

1 /*оо _

F-^A)] = -= / p(A)elAtdí; t > 0, д{A) G Я. (62)

V71- Jo

Лемма 1. Для операторов F и F~l,определяемых формулами (61) и (62) ^справедливы следующие соотношения Ц-РЦ < у/2 и Ц.Р" ~Ч < л/2.

Доказательство. Сначала докажем первое из соотношений. Для этого возьмем произвольную функцию h{t) ф 0 из пространства Н и продолжим ее на отрицательную полуось, положив

h(t) = 0 при t < 0. (63)

Таким образом, h(t) Е L2(—оо,оо) + гХ2(—оо, оо).

Обозначим через h(А) преобразование Фурье функции h(t)

— 1 Г°°

h(А) = __ / h(t)e~iXtdt; —оо < А < оо. (64)

v27tb J—оо

Из теоремы Планшереля, сформулированной в [3] на с.412 следует, что

11Н(А)|| = ИВДИ- (68)

Пусть /г (А) = ^[/г(£)]. Тогда из (61) и (64) следует, что для любого А > О

к( А) = лДЦХ). (66)

Из (65) и (66) следует, что при условии А > О ||Я(А)|| < л/2||/г(А)|| = \/2||/1(£)||, то есть

\\F\l < л/2- Второе соотношение доказывается аналогично. □

Из соотношений (56) и формул (57) и (58) следует применимость преобразования .Р,

определяемого формулой (61) к задаче (12) - (16).

Используя это преобразование к задаче (12) - (16), сведем ее к следующей

^^ А) = гЩх, А); ж € [0,1], А > 0, (67)

где г)(ж, А) = Р[у{х,■*)],

^ - «0(0, А) = 0 (68)

ОХ

и

г)(Ж1,А) = /(А), (69)

где/(А) =*■[/(*)].

Решение уравнения (67) имеет вид

г)(ж, А) = А{А)емжл/Х + В(Х)е~1м>х^/Х, (70)

где ¡ло = -т=(1 + г), аА(Л)иВ(Л) произвольные функции. Из (67) - (70) следует, что л/2

^ ^ сЬдо^11/А + (/хол/А)_1^8Ь//оЖ1л/Х’ ~~ ^ ^

Обозначим функцию, стоящую в правой части равенства (71) через г(\). Тогда из (71) следует, что

Й(0,А) =*(А); А > 0, (72)

а из (68) и (72), что ^ж(0, А) = яя(А); А > 0. (73)

Лемма 2. Пусть к < а д(А) = сЬ/лоХхл/Х + (/>¿0\/А)—1 вЬ./>¿0^1 л/А. Тогда существует

число св > 0 такое, что для любого А > 0 Ь(А)| > с%.

Доказательство. Так как

Лф(А)] = ^С0ЬХ1^ '^Щ^вЪх1^ + сЪх1^ + У^-сЬжху^ 8тж1у^|, (74)

1т[д{А)] = ^Щ-сЬхг^Л- вкхх^ - вЬж!^ совхг^^, (75)

Л /А 7г /А 1

ТО ИЗ (74) следует, ЧТО при условии 0 < Х\\ — < —, СОБХху — > - и

V м о )/ А А

1з(А)| >стх1^сЪх1^>^. (76)

тт IА тт [ 1

Если — < х\ у — < —, то віпжіу | > - и из (74) следует, что

|р(А)| > ^ сЬ|. (77)

Если ^ < хі\^ < то віп^іу^І > и из (74) следует, что

НА)|>^?ксЬ|. (78)

Если < Х\ у^- < 7Г, то — сое х\ и из (75) следует, что

\д(\)\>Ц^кйіЦ-. (79)

Таким образом, из (76) - (79) следует существование числа се > 0 такого, что УА Є

X

1 J

|<?(А)|>с6. (80)

Так как к, < а \д(Х)\ > | сЬ/іо^і\/А| —вії/іо#іл/А|, то нетрудно проверить существование

2тг2

числа С7 > 0 такого, что для любого А > —«-

1»(А)|>07. (81)

Из (80) и (81) следует утверждение леммы. □

Решая задачу Коши (67), (72) и (73), получим формулу (70), в которой функции А (А) и В(Х) связаны соотношениями

А(А) + £?(А) = *(А); А > 0 (82)

и

А(А) - В(А) = —^г(А); А > 0. (83)

/¿оуА

Из (70), (82) и (83) следует,что задачу (67), (72), (73) можно свести к задаче вычисления значений неограниченного оператора Т в пространстве Н х Н.

т( \ = ( ^¡лоу/Х (//ол/А^вЬ/холЛ \ / г(\) \ _ { ?>(1,А) \ , .

V кг(А) ) \ цоу/ХвЪцоу/Х сЬ/^ол/А ) V ««(А) / \ ^(М) /

В дальнейшем будем предполагать, что к < функцию г)(1,А) обозначим через #(А), а

#я( 1, А) через хМ^)- Пусть ^о(А) и к^о(А) значения, соответствующие точному значению /о (£) в формуле (15), а ^ и кг^Х)- значения соответствующего приближенному значению fs{t)^ Тогда из лемм 1,2 и формулы (60) следует

|МА)-зд(А)||<л^С8г. (85)

Множество Мг, определенное формулой (59) при преобразовании .Р, перейдет в множество Мг = РМГ, определяемое формулой

мг = |л(А) : h{A) е Н, jT°(l + A2) \h(X)\dX < г21.

(86)

Из того, что г>о(1, ¿) и х^о(^) С Мг, будет следовать, что

й0(А) и хМ*) € Мг. (87)

5. Решение задачи (84) - (87)

Для решения этой задачи используем семейство операторов {Та : а > 0}, определяемое формулой

Г ( *(А) \ _ ° I *л(А) ) -

(88)

0 ; А > а,

где ^i(A) и Z2 (А) Е üT, a оператор Т определен формулой (84).

(^а(А) \

) задачи (84) - (87) определим формулой

(J?w)=r“(-'(AA)); Лг°' (89)

Для выбора параметра регуляризации а = a(¿) в формуле (89) рассмотрим оценку

[ ||6?-0о||2 + \№-Xhot ]i < [ ||«?-«?||2 + \Ш-хК II2 I* + [ ||в?-«о|12 + IIXK-Xho II2 ]i,

(90)

где ( W) UtÍ^) V А>0 V хКЫ ) ° V К2о(А) )’

Так как из (85) и (89) следует, что

[ II«“ - «о II2 + \\хЦ - хЛ?||2 ]l<^2cs ||Т„|| S, (91)

а из (84) и (88), что ll^all ¿ (92)

то из (91) и (92) следует, что

[ 11*>б - «О II2 + Wxhf - хК\\2 ]% <V2c8 y/l + к2 eVf 6. (93)

Пусть

и2(а) = sup-| J [ |й0(А)|2 + |xMA)|2] dX : г)0(А), %/io(A) € Mr|. (94)

Тогда [ ||г)£-í0||2 + llxty) ~xM2 ]* < w(a). ^ (95)

Из (86) следует, что при условии, что щ(Х) и х^о(А) Е Мг

roo

/ (1 + А2)[ |«о(А)|2 + |х^о(А)|2] dX < 2г2, (96)

J а

а из (94) и (96), что

“*<«> = m

Таким образом, из (90), (93), (95) и (97) следует, что

[ IK - ¿oïl2 + ||Х*“ - ХМ2 ]* < 2 + \/2 с8 \Л + к2 ô. (98)

VI + от

Обозначим число cg л/1 + к2 через сэ и параметр регуляризации а = а(й) в формуле (89) выберем из условия:

\/\ + а2 ел/ï = -^-т. (99)

Тогда из (98) и (99) будет следовать, что

[ 11«,m - «о»2 + IIхЩт - xk,\? ]• < £§1Ш- (100)

yjl + az{à)

Так как функция \/1 + а2 строго возрастает по а и изменяется от 0 до оо, то существует единственное решение а(5) уравнения (99).

Для упрощения оценки (100) рассмотрим два уравнения и е2 .

Сд О Сд О

Для упрощения оценки (100) рассмотрим два уравнения

Решения этих уравнений обозначим через âi(£) и а2(£). Тогда при достаточно малых значениях ô справедливы соотношения

a2(Æ) < «(£) ^ô'i(Æ)- (101)

»р 1т*

где âi(£) = 21п2 —- и а2(£) = - 1п2 —-, а из (101), что â(S) ~ ln2 ô, при 6 —> 0.

Сд О 2 Сд О

Из вышесказанного следует существование числа сю > 0 такого, что при достаточно малых значениях ô справедливо неравенство

[ l|ûi(i) -ûoll2 + Ilx^“(i) ~хМ2 < сю ln-2 Ô. (102)

Воспользовавшись преобразованием F~x обратным к F, и взяв действительную часть результата, получим приближенное решение задачи (12) - (16)

X hs(t) = Re { F-1 [XhfS)(A)] }. (103)

Из леммы 1 и соотношений (102), (103) для приближенного решения х h$(t) задачи (12) - (16) справедлива оценка ||hs(t) — ho(t)\\ < у/2 х cio ln-2 ô.

Работа поддержана грантом р-урал-а № 07-01-96001.

Литература

1. Определение характеристик тонкослойных теплозащитных покрытий из решения обратных задач тепло- и массо- переноса / Г.Н. Исаков, А.Я. Кузин, В.Н. Савельев, Ф.В. Ермолаев // Физика горения и взрыва. - 2003. - Т. 39, №5. - С. 86 - 96.

2. Танана, В.П. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении неккорект-ных задач/ В.П. Танана, А.Р. Данилин // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т. 12, №7.

- С. 1323 - 1326.

3. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1972.

Кафедра вычислительной математики,

Южно-Уральский государственный университет 7413604@mail. ru

Поступила в редакцию 10 февраля 2009 г.