О фредгольмовой разрешимости одной краевой задачи для уравнения смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О ФРЕДГОЛЬМОВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ

ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

И, Е, Егоров

Среди многочисленных работ, посвященных исследованию обобщенной разрешимости различных краевых задач для уравнений смешанного типа, отметим лишь работы [1—9]. При этом наиболее полная библиография по данной теме имеется в [6-9].

Работа посвящена доказательству теоремы о фредгольмовости и теорем об обобщенной разрешимости одной краевой задачи, которая впервые поставлена и исследована В. Н. Враговым [5,7,8].

Пусть Л — ограниченная область в Мп с кусочно гладкой границей Я, ^ = П х{г} для о < г < Т,ят = Я х (О, Т).

В цилиндрической области ^ = Л х (0,Т) рассмотрим уравнение смешанного типа

Предположим, что коэффициенты уравнения (1) достаточно гладкие в Q и выполнены условия

п

ач = аи, о-ч^ ^ е Мп, V > 0. ¿>¿=1

Следуя работе [5], введем множества

Р± = {(ж,0) : к(х,0)>оо, х еП}, Р± = {(х,Т) : к{х,Т), х е П}. © 2011 Егоров И. Е.

Краевая задача Найти решение уравнения (1) в области Q такое,

что

п\зт= 0, (2)

и |4=о = 0, щ |-5+= О, щ = 0. (3)

ро р т

Пусть Сь — класс гладких функций, удовлетворяющих условиям (2), (3). Через Сь* обозначим класс гладких функций, удовлетворяющих сопряженным краевым условиям

«1^=0, «|р-=0, v\-p+=0, [кУг + (кг - а)у] |4=т = 0. (4)

ро р т

Введем следующие обозначения: Ш^^) (^2 (Q)) — пополнение класса Сь (Сь*) то норме || • Ц1 пространства Соболева Обо-

значим через Щ—1 (Щ—1 (Q)) пространство линейных непрерывных функционалов над гильбертовым пространством При

этом отождествляем ) с его сопряженным [10].

Определение 1. Функция и(х,Ь) € Ш^^) называется обобщенным решением краевой задачи (1)-(3), если выполнено интегральное тождество

/и

[-ким + (а - кг)щю + ^ а^иХ€+ сию] ¿^ = (I, ю) (5) Я ^=1

для любой функции V € где (•, •) — двойственное соотношение

между Щ-1 и Щ(Я), I € Щ-1 (Q).

В силу теоремы Рисса о представлении линейных непрерывных функционалов левая часть интегрального тождества (5) равна (Ти, ю), где Т линейный ограниченный оператор из Щ1 в Оператор

Т* (сопряженный оператор к Т) определяется равенством

(Ти, ю) = (и, Т*ю) У и € Щ^), Ую € Щ^). (6)

Пусть Н* = Н* (А) — пополнение Щ^^) по норме

е*Л V2 + V / в2 Лт юх- ¿т | +( I' в2 Лт V ¿т

\Hi~J

Я

о / \о

¿Q.

Лемма 1. Пусть выполнены условия с(х) ^ со > О,

0, (ж,г) её?.

Тогда существует константа X > 0, такая, что имеет место неравенство

С\М\*. < \\Т(д), с = СХ >о,

для всех функций V е

Доказательство. Для любой функции V е в равенстве

(6) положим

<хЛ = !е* Лт ^г)*.

Нетрудно видеть, что и (х, принадлежит ). Сначала выбираем

А > 0 так, что а — + Хк ^ | в СЦ. С учетом краевых условий (4) после интегрирования по частям в левой части (6) получаем равенство

(и, Т%) = I + Xк^

Хк 1 -

Хе 253 а»з

¿,¿=1 о

ач I е2ЛтVI;,; йт е2Лт vx - йт

Хс(з

11 -йт

1 0\т f т о ^ 1

с]Ц + — / ку2 с!х

2 I 2

рТ т

J а»^ е2Лт vXi йт I е2Лтvxj йт + с(х) I ^ е2ЛтV йт

XI у ач I еЛ' vXi йт I е"' vXj йт + с(х) \ I е'" vdт | йх. пт \},о=1 о о \о

Отсюда в силу выбора числа X и условий леммы имеем неравенство

(и,Т*у) А*, Лс0 } .

г

Теперь для вывода искомой априорной оценки остается воспользоваться равенством

Лемма 1 доказана.

Из леммы 1 непосредственно следует [11]

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1 и / € (ф). Тогда уравнение

плотно разрешимо (Е(Т) = W2 1 (ф)).

Обозначим через И = И (А) пополнение ^Цф) по норме

где неотрицательная функция ^(Ь) построена специальным образом в доказательстве теоремы 1.1.3 из [8].

На основании равенства (6) аналогично доказательству леммы 1 и теоремы 1.1.3 из [8] доказывается следующая

Лемма 2. Пусть коэффициент с(х) > 0 достаточно большой, выполнено условие

к(х,0) > О, к{х, Т) < 0 или к(х, 0) < О, к(х, Т) > О пли к(х, 0) <0, к(х, Т) < 0 или к(х, 0) > 0, к(х, Т) > 0. Тогда существует константа А > 0 такая, что имеет место неравенство

1М|1 = 1Мк.

Ти = /

(Г)

и имеет место один из следующих случаев:

Доказательство. Для любой функции и(х, г) из Щ (ф) рассмотрим функцию

т

Ф.ч^т/е-Лт«(„„„т + ^мм),

г

где у,ф — неотрицательные бесконечно дифференцируемые функции, которые в дальнейшем выбираются соответствующим образом.

Поскольку функция и(х, г) принадлежит интегрируя по

частям, имеем

(Ти,у) = !

+ А к) фе-2М - + ср + ^(к<рг)г

у | —ки2 + ацих.иХ1

-(фе

2\г\

т

ац ^ е 2ЛтиХн Зт J е 2ЛтиХ} Зг+с(х) {J е 2ЛтиЗт

>1]

1ц=1 г т

-2Лт

— [(а — кг)фги ! е 2ЛтиЗт+(а — кг)уиги + (кфг)ги J е 2ЛтиЗт > Зф

г

фТ

ке 2ЛТи2 Зх--/ к(рги2 Зх

ф

ац

Ь1=1 о

ац I е 2ЛтиХн Зт е 2Лтих

Зт

^ (/е-ЛиЗг

Зх. (8)

На основании условий леммы найдется число А > 0 такое, что

3 3 а--^ + А к ^ — \/(ж,£) € С^.

и

г

1. Пусть имеют место неравенства к(х,0) ^0, к(х, Т) < 0. Выберем числа Т0, Т так, чтобы к(х,г) < -§±<$,1 е [Т0, Т\,Та<Т1< Т.

Будем считать, что ^(г) = 0, г е [0,То]; <^(г) = 1, г е [ТЬТ]; ^^ = /л, где / — положительное число. Тогда нетрудно видеть, что функция ^(х, г) принадлежит (Ц). Найдется число / > 0 такое, что

^2ХТ+ l(kcpt)t>h>0. В силу теоремы вложения имеем

J и (х, Т) Зх ^ £ J | и + их\ ЗЦ + КЕ J и ЗЦ, £ > 0.

п Пх(Т1,Т) ^ г=1 ' Пх(Т!,Т)

Выбирая £ > 0 достаточно малым и затем используя условия теоремы, неравенство Коши и очевидное неравенство

И! < С\\и\\Н1, С>0,

из соотношения (8) получаем искомую априорную оценку леммы 2.

2. При к(х,0) < 0, к(х,Т) > 0 возьмем числа г0, Ь такие, что

к(х,г) < -§1 < о, г е [о,г0}; о <гг <г0 <Т.

Положим

^(г) = 0, г е [г0,ту, ф) = \, г е [0,г}; Ф(г) = /,г е ФЛг) > О, ^(0) > фо>0; ф(0) = 0.

По построению функция V принадлежит Щ. Снова существует / > 0 такое, что

5-е-^тф + ^е-^ф, + > ¿2 > 0.

Тогда из соотношения (8) следует априорная оценка леммы 2. к х, < к х, Т <

к(х, г) < -§1 < о, г е [о, г0] и [Т0, Т.

В качестве ф^) рассмотрим функцию ф^) из п. 2 и положим

v(t) = i,t Mot и [TbT]; v{t) = o,t е [t0,T0}.

Сначала число ^ выбирается, как в п. 2. Поступая на отрезке [To,T], как в п. 1, и на [0,to], как в п. 2, из соотношения (8) снова получим утверждение леммы 2.

4. Пусть k(x,0) ^0, k(x,T) ^ 0. В данном случае для получения априорной оценки леммы 2 достаточно рассмотреть функции ф = 0, ф = 1. Лемма 2 доказана.

Отсюда непосредственно следует

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда краевая задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения из WHQ).

Вообще говоря, уравнение (7) не является нормально разрешимым

[10]. Действительно, пусть выполнены условия лемм 1, 2 и k(x, 0) <

0, k(x,T) > 0. Тогда го краевых условий (4) следует, что W^iQ) = о

WQ

R(T) = R(T). Тогда в силу теоремы 1 получаем R(T) = W2_1((3). Из единственности обобщенного решения краевой задачи (1)-(3) следует существование обратного оператора T-1, который по теореме Банаха об обратном операторе ограничен. Следовательно, справедлива оценка

IMIi < С3\\TuW-! Vu е Wi(Q), которая также выполняется для функций u е С^ (Q). Тогда согласно теореме 6.4.1 из [9] оператор L будет эллиптическим в Q. Из полученного противоречия имеем, что уравнение (7) не является нормально разрешимым.

Теперь рассмотрим T как оператор из H в W-1 (Q) с областью определения D(T) = W^Q). При этом D(T*) С W^iQ), равенство (6) и априорная оценка леммы 1 справедливы лишь для функций v(x,t) из D(T*). Из леммы 2 следует, что R(T*) = H[, где H{ — пространство, сопряженное к H, и число А > 0 выбирается соответствующим образом.

Теорема 3. Пусть выполнены условия

с(х) > 0, х £ Л; а - ^ > 3 > 0, (х,Ь) € С^.

Тогда для первого положительного собственного значения оператора Т* имеет место оценка

> | • (9)

Доказательство. В равенстве 0 = (и,Т*v - /V) положим и =

г

/ V Зт, где V е И(Т*). После интегрирования по частям с учетом крае-о

вых условий (4) имеем равенство

Т

О = I ( а — —/г4 v2 ЗЦ — —/л I v Зт Зх + — куг Зх

Зх.

- ~ ! ку2 Зх + - ! ^ ац J уХн Зт ! Зт + с | / v Зт Р- Пт Ы=1 о о

Р т

Из данного равенства в силу условий теоремы получаем неравенство 0> ([ v2 ЗСI

Я

Отсюда следует, что уравнение Т*v — /V = 0 имеет тривиальное решение при ц < Щ. Поэтому для /лх справедливо неравенство (9).

Теорема 4. Ограниченное в Н\ множество компактно в (Ц). Доказательство. Из ограниченности множества М в Н следует, что множество

М' = | Т е-Хт Зт, и е М

ограничено в пространстве Ш^Ц). Пусть {ит} — любая последова-М

Т

vm = J е—Хтит Зт. г

В силу известных теорем вложения из {vm} можно извлечь фундаментальную в L2(Q) подпоследовательность {v^}, для которой {v^(x, О)}

L

неравенства

К - uk Ww-1 Q ^ С ОК - vk\\ыя) + I|vs (x^) - vk (x^) WL2(fi\P-)].

Аналогично доказывается, что вложение Hf в W—1 (Q) также вполне непрерывно.

T

пне T, так как множество D(T*) плотно в W^Q) и число А > 0 выбрано соответствующим образом. Тогда из равенства R(T) = W2_1(Q) следует, что уравнение Tu = / везде разрешимо и (Т— ограниченный оператор.

Пусть В — вполне непрерывный оператор вложения H в W—1 (Q). Рассмотрим операторное уравнение

(Т — ¡лВ)и = /, feW^iQ). (10)

Теорема 5. Пусть выполнены условия

13 _

a - -kt > ô > 0, a - -kt > ô > 0, (x,t) g Q,

h имеет место один из случаев:

k(x, 0) > 0, k(x, T) < 0 или k(x,0) <0, k(x, T) >0 или

k(x, 0) < 0, k(x, T) < 0 или k(x, 0) > 0, k(x, T) > 0, ж g 0.

Тогда существует константа А > 0 такая, что уравнение (10) фредголь-мово в пространстве H (А).

Доказательство. Выберем А > 0 так, что

1 (5 3

a - -kt + Хк > -, a--kt + Xk^-, (x,t)eQ.

Найдется такое достаточно большое число / > 0, что для L+/q выполняются все условия лемм 1, 2. Тогда оператор (T + /оВограничен.

Фредгольмовость уравнения (10) следует из того, что оно эквивалентно операторному уравнению

и = (/л + /л0)(Т + /лоВ^Ви +(Т + /л0 В)-1/ Н

ЛИТЕРАТУРА

1. Вицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

2. Михайлов В. П. Об обобщенной задаче Трикоми // Тр. МИАН. 1968. Т. 103. С. 142-161.

3. Каратоираклиев Г. Д. О некоторых краевых задачах для уравнения смешанного типа в многомерных областях // Докл. Волг. акад. наук. 1970. Т. 23, № 10. С. 1183-1186.

4. Диденко В. П. Об обобщенной разрешимости задачи Трикоми // Укр. мат. журн. 1973. Т. 25, № 1. С. 14-19.

5. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098-1105.

6. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

7. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990.

8. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

9. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

10. Верезаиский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965.

11. Крейи С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

г. Якутск

21 января 2011 г.