О краевой задаче для уравнения смешанного типа со спектральным параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2014. Том 21, № 1

УДК 517.956

О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ И. Е. Егоров

Аннотация. В цилиндрической области пространства для уравнения сме-

шанного типа второго порядка со спектральным параметром изучается краевая задача В. Н. Врагова. При определенных условиях на коэффициенты уравнения установлены априорные оценки, которые позволяют доказать однозначную разрешимость краевой задачи в энергетическом классе. Получены достаточные условия фредгольмовой разрешимости краевой задачи в энергетическом классе.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, априорная оценка, неравенство, равенство, условия ортогональности.

В настоящее время изучению краевых задач для уравнения смешанного типа со спектральным параметром посвящено довольно много работ [1—7]. Наиболее полную библиографию по данной теме можно найти в [2,5,6]. Но большинство результатов получены для модельных уравнений смешанного типа со спектральным параметром на плоскости.

В данной работе исследуется краевая задача для уравнения смешанного типа со спектральным параметром в многомерном случае, которая впервые была изучена В. Н. Враговым [3,4,8].

Пусть О — ограниченная область в Мп с границей 5 € С1, О4 = О х Ь для 0 < Ь < Т, Бт = 5 х (0,Т), ф = О х (0,Т).

В цилиндрической области ф рассмотрим уравнение смешанного типа

Ьп - Хп = /(х, Ь), (1)

где

п

Т>11 = Т /^/.и. — \

дх,

п д

Ьи = к(х,1)ии— у ——(а^(х)их.) + а(х, 1)щ + с(х)г дх, 1

1,3 = 1 ■>

Х — комплексное число.

Будем предполагать, что коэффициенты дифференциального оператора Ь — вещественные достаточно гладкие функции в (5 и выполнены условия

п

а, = а,г, ^ аг,&^ > V|£|2, £ € Мп, V > 0. ¿,¿=1

Введем множества

Р0± = {(ж, 0) : к(х, 0) ^ 0, х € О}, РТ± = {(х, Т) : к(х, Т) ^ 0, х € О}.

© 2014 Егоров И. Е.

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Q такое, что и\8т = 0, и|4=0 = О, щ\-р+=0, щ\р-=0. (2)

0 P T

г2{

Пусть Сь — класс комплекснозначных функций из Ж-удовлетворяющих условиям (2). Через Сь* обозначим класс комплекснозначных функций из удовлетворяющих сопряженным краевым условиям

Чят=0, Чр-=0, Чр+=0, [куг + (кг-а)у]\г=т = 0, (2*)

n д

L*v = к(х, t)vtt - ——(alj(x)vXj) + (2kt-a)vt + (c + ktt-at)v.

причем

п

Г/*7! = Т — \

. . , дх,

Рассмотрим известное пространство Соболева Ж2 со скалярным произведением

= у

dQ, ||uM2 =(u,u)i, u,v G W21(Q),

+ У^ Uxi VXi + UtVt

Q

и пространство L2(Q), в котором

(и,«)^У uudQ, ||u|2 = (u,u), u,v G L2(Q). Q

Пусть W2(Q) — пополнение класса Cl по норме пространства Соболева W2(Q), а W21(Q) — подпространство W21(Q), выделенное условиями

«Ist = 0, Чр- = 0, = 0.

P 0 P T

Определение 1. Функцию u G L2(Q) будем называть сильным решением краевой задачи (1), (2), если существует последовательность функций um G Cl таких, что

lim ||um - u|| = lim ||Lum - Aum - f || = 0, f G ¿2(Q)-

m—m—

Определение 2. Функция u(x, t) G W2(Q) называется обобщенным решением краевой задачи (1), (2), если выполнено интегральное тождество

a(u, v) — A(u, v) = (f, v) (3)

для любой функции v G W21(Q), f G L2(Q) и

a(u, v) = J Q

- kutvt + ^ aijuXivXj + (a - kt)utv + < i,j=1

dQ.

Аналогично даются определения сильного решения и обобщенного решения сопряженной краевой задачи для уравнения Ь*г> — Аг> = д, д С с краевыми

условиями (2*).

В силу равенства

(Ьи, V) = (и, Ь*г>), и С Сь, V С Сь*,

оператор Ь с областью определения Сь допускает замыкание Ь = Ав пространстве ¿2^). Введем множество

£>(¿,7,^) = |а € С : Р*,е А < у« — (1тА)21.

Лемма 1. Пусть выполнены условия

с(ж) > с0, а - ^ + ф > 8 > 0, 7 > 0. Тогда при А € 7, со) имеет место неравенство

||и||х < сх||Аи - Аи||, сх > 0, (4)

для всех функций и € _0(А — АЕ).

Доказательство. Неравенство (4) достаточно установить для функций и(ж, £) из Сх. Для функций и € Сх после интегрирования по частям с учетом краевых условий (2) имеем

Ив У (Ьи — Аи)е-2т*и4 ¿д = J е

-.1е-"*

Я

2

а - к) \щ\2

+ 7 а Ци^^иЖз- + (— Ив А + с)7|и|2 — (1т А) 1т(ии^ 1

+ ^ J ке-2~<т\щ\2 с1х

1С е-2^Т

2 / + —

У^ ациЖз- + (— Ив А + с)|и|

¿Ж.

Отсюда, используя неравенство Коши с е и неравенство Пуанкаре — Фридрихса, получим оценку (4). Лемма 1 доказана.

Из неравенства (4) следует, что .О (А — АЕ) С ^2х(д). Рассмотрим множество £>*(<52, 7,МьМг) = {А € С : ИеЛ < - ^е4тт(1т А)2, ИеЛ < -ц2}, ¿2 > 0, М1 > 0, М2 > 0.

Лемма 2. Пусть выполнено условие

3

а, - -кг + -¡к > 5 > 0, 7 > 0, и имеет место один из следующих случаев:

либо ¿(ж, 0) > 0, &(ж, Т) < 0, либо &(ж, 0) < 0, &(ж, Т) > 0,

либо &(ж, 0) < 0, ¿(ж, Т) < 0, либо ¿(ж, 0) > 0, &(ж, Т) > 0. Тогда при А € С* (¿2, 7, Мъ М2) имеет место неравенство

Мх < сг||Аи — А^у, С2 > 0, (5)

для всех функций V € _0(А* — АЕ), причем параметры ¿2, Мъ М2 выбираются в зависимости от вышеназванных случаев.

Доказательство. Для любой функции v(ж, ¿) из Сх* рассмотрим выра-

жение

/ = Ив ^ — Аv)(—£А4 + пА) ¿д,

Т

Р0

где £(£),п(£) — неотрицательные бесконечно дифференцируемые функции, которые в дальнейшем выбираются соответствующим образом. Интегрируя по частям, имеем

1 = / ^

О

1 2г

а ~ к\-к(г1 -

К|2

+ ( г] + + ) +

1

- Ие Л ( г] + + ) + (с + ки ~ аг)т]

М2

+ £ 1т Л 1т(-у* А + [(к* — а — 7к)п — кп*] Ие^ А — (с + ки — а*)£ Ие^а) > ^

ке2^К|2 ¿ж

*=т

е2^

*=0

У^ а^Ах;— Ие ЛН5

¿Ж

+ / ке^ КеМ ¿х

*=т

*=0 *=т

*=0

. (6)

1. Пусть имеют место неравенства к(ж, 0) > 0, к(ж,Т) < 0. Выберем число То так, что к(ж, Т) < —¿1 < 0, 4 С [То, Т], То < Т.

Будем считать, что £(£) = 1, 4 С [0,То], и < 0, £(Т) = 0. Положим г]{1) = — + 7. Тогда в силу условия леммы 2 имеем

а ~ + > ¿2 = тш{<5, ¿17, г/7}.

В силу краевых условий (2*) и теоремы вложения справедливо неравенство

ке2тТп Ке(г>*г>) ¿ж

< £1

Ы2 + Е К, |2

^ + М2 (7)

где £1 = С другой стороны, имеем оценку

к(ж, 0)п(0) Ие^А ¿ж

< У /г(ж, 0)|^|2 с^ж + ! к{х,0)г!2{0)\ю\2 ¿х. (8)

С учетом неравенств (7), (8) из соотношения (6) получаем

1>/ |к12 + ^тЕК-12 +

О ^ ^=1

(- Ие Л)7 - —е4^(1т Л)2 - щ ¿2

М2 ^

+ ^ !{-Ке\-112)\у\2 ¿X, (9)

где

^1=гщх{(2/д2)[\к1-а-1к\г1+\кт\ + \с + ки-а1\}2е4^ + е2^\с + ки-а1\г1} + Се1, Я

ц2 = 2т_ах(А:(ж,0)772(0)). о

1

1

2

2

Для вывода априорной оценки (5) из (9) остается воспользоваться неравенствами Пуанкаре — Фридрихса и Гельдера.

2. При 0) < 0, Т) > 0 возьмем число ¿о такое, что £(М) < -¿1 < 0, г е [0, ¿о], 0 <¿0 <Т.

Пусть функция £(£) удовлетворяет условиям

£(0) = 0, 6 > 0, £(г) = 1, г е [¿0,Т].

Положим щ = + 7. Снова используя неравенство Коши с е из (6), получим

/jjN2 + -7¿K-|2 +

Q 1 j=1

(- Re Л)7 - |e47t(Im A)2 - Mi ¿2

|v|2 dQ, (10)

где ¿2 = min{¿, ¿iy} и m2 = 0. Отсюда следует искомая априорная оценка леммы 2.

3. При k(x, 0) < 0, k(x,T) < 0 будем считать, что

k(x,t) <-¿i < 0, t G [0, to] U [To,T]. Функция £(t) такова, что

C(0)=0, Ct > 0, t G [0, to], C(t) = 1, t G [to,To], Ct < 0, t G [To,T], C(T)=0.

Положим í?t = + 7, 0 < t < to, v(t) = 7, t G [í0,T0], t?(í) = + 7,

To < t < T. Тогда в силу условий леммы 2 имеем

a - + > S2 = min{<5, ¿17, г/7}.

Из соотношения (6) в силу неравенства (7) получим неравенство (9) без граничного интеграла по Qo, M2 = 0. Из (9) вытекает оценка (5).

4. Пусть k(x, 0) > 0, k(x, T) > 0. В данном случае для получения априорной оценки леммы 2 достаточно рассмотреть функции £(t) = 1, n(t) = 0.

Тогда из (6) следует неравенство (10), в котором ¿2 = ¿, м2 = 0 и

e47T

Mi = "тгг"max Iе + ~ а*I2-

2о Q

Лемма 2 доказана.

Теорема 1. Пусть выполнены условия лемм 1, 2 и A G D(¿, Y,co)ПD*(¿2,7, Mi, M2) • Тогда для любой функции f G L2 (Q) существует и притом единственное сильное решение краевой задачи (1), (2) из D(A — AE).

Доказательство. Из априорной оценки (5) следует, что Ж(А* - АЕ) = 0. Отсюда непосредственно имеем R(A — AE) = L2(Q). С другой стороны, в силу априорной оценки (4) имеем равенство R(A — AE) = R(A — AE). Стало быть, уравнение Au — Au = f везде разрешимо. Единственность искомого решения следует из леммы 1. Теорема 1 доказана.

Отметим, что сильное решение краевой задачи (1), (2) из D(A — AE), гарантированное теоремой 1, является обобщенным решением краевой задачи (1), (2) из пространства W21(Q).

Краевая задача, сопряженная к задаче (1), (2), имеет вид

L*v — Av = g(x,t), (x,t) G Q, (1*)

с краевыми условиями (2*).

Теорема 2. Пусть выполнены условия лемм 1, 2 и Л С ^(¿,7,со) П -0*(£2,7, МъМ2). Тогда для любой функции д С существует и притом единственное

сильное решение краевой задачи (1*), (2*) из Д(А* — ЛЕ).

Доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1. Заметим, что при более сильных ограничениях на коэффициенты уравнения (1) и на поверхность Б результаты теоремы теоремы 1 в вещественном случае получены В. Н. Враговым [8].

Следуя [2], введем энергетические классы

= Д(А — ЛЕ), Уъ1. ^) = Д(А* — ЛЕ) для операторов Аа = А — ЛЕ, Ад = А* — Ле .

Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда имеет место равенство (А-1)* = (АД)-1.

Доказательство. В силу теорем 1 и 2 справедливо равенство

(Ади, V) = (и, АДV), и С , V С У1.(Q).

В этом равенстве положим ^ = Ади, ф = АД«. На основании теорем 1 и 2 оно принимает вид

(*>, (АД)-1ф) = (А-1 ^ф) = (А-1)*ф), ^ф С ¿2^),

откуда (АД)-1ф = (А-1)*ф, ф С Е2^). Лемма 3 доказана.

Теорема 3. Пусть выполнены условия лемм 1, 2. Тогда имеют место следующие утверждения.

1. Тогда краевая задача (1), (2) однозначно разрешима в У1^) кроме не более чем счетного множества {Лк}, причем единственной предельной для {Лк} точкой может быть Л = то. Наряду с Лк в спектр краевой задачи (1), (2) входит Лк. При значениях Л = Лк из спектра задачи (1), (2) однородная краевая задача (1), (2) имеет нетривиальные решения в причем каждому Лк соответствует конечное число Пк линейно независимых решений.

2. Числа {Лк}, {Лк} являются собственными значениями сопряженной краевой задачи (1*), (2*), причем Лк имеет кратность Пк и соответствующие собственные функции Ук:1, ] = 1,Пк, принадлежат У^*. Для разрешимости краевой задачи (1), (2) при Л = Лк необходимо и достаточно выполнения условий ортогональности (/, V]íj) = 0, з = 1, Пк-

Доказательство. Краевая задача (1), (2) эквивалентна операторному уравнению

Ад0 и = Аи — Лои =(Л — Ло)и + /. (11)

При Ло С 7, со) П .О*(¿2,7, М1,М2) оператор Ад0 по теореме 1 имеет ограниченный обратный А-1, действующий из в Поэтому операторное уравнение (11) эквивалентно уравнению

и = (Л — Ло)А-1и + А-/. (12)

В силу вполне непрерывности вложения в заключаем, что А-1 —

вполне непрерывный оператор из в Е2^). Тем самым доказано утвер-

ждение 1 теоремы 3.

Заметим, что сопряженная краевая задача (1*), (2*) эквивалентна операторному уравнению

V = (А - Ао)(Ж + (Ж )-1 д.

(12*)

В силу леммы 3 однородное уравнение (12*) является сопряженным к однородному уравнению (12).

Для разрешимости уравнения (12) при А = Ак необходимо и достаточно выполнения условий ортогональности

Отсюда получаем

1

О =(/.(^л01)Ч) = (/.(^ГЧ)= > >

Ак — А0

/>к3 ).

Теорема 3 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988.

2. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990.

3. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

4. Салахитдинов М. С., Уринов А. Н. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: Изд-во ФАН, 1997.

5. Салахитдинов М. С., Уринов А. Н. К спектральной теории уравнений смешанного типа. Ташкент: Изд-во МUМTOZ 80% 2010.

6. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости одной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 55-64.

7. Егоров И. Е., Захарова Т. И. О фредгольмовости краевой задачи для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, № 1. С. 20-26.

8. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098-1105.

Статья поступила 5 марта 2014 г. Егоров Иван Егорович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, НИИ математики

ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891, Республика Саха (Якутия) ivanegorov51@mail.ги