О фредгольмовой первой краевой задачи для уравнения смешанного типа четного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О ФРЕДГОЛЬМОВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ

ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ЧЕТНОГО ПОРЯДКА*)

И, Е, Егоров

В работах [1-3] исследованы обобщенная и фредгольмова разрешимость краевых задач для уравнения смешанного типа второго порядка. Известно, что первые важные результаты по спектральной теории уравнений смешанного типа второго порядка получены в работах Т. Ш. Кальменова, Е. И. Моисеева, С. М. Пономарева и других математиков [4-6].

В данной работе обобщаются результаты работы [7] на случай первой краевой задачи для уравнения смешанного типа четного порядка, которая впервые поставлена и исследована А. Н. Тереховым [8] для уравнения смешанного типа второго порядка.

Пусть Л — ограниченная область в М" с кусочно-гладкой границей

5, Бт = 5 х (О, Т), д = П х (О, Т), = П х {г} для 0 < г < Т.

В цилиндрической области д рассмотрим уравнение смешанного типа четного порядка

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР за 2012-2014 гг. (проект №4402).

(1)

где

Ми = (-1 )т ^ Ба( аа/3( х)Б13 и) + а0(х)и,

а\,\Р\= т

© 2013 Егоров И. Е.

П ди па д"и I I ^

1 1=1

в и ш — целые числа.

Для простоты будем считать, что коэффициенты уравнения (1) бесконечно дифференцируемы в^и выполнены условия

^ = аРа, ]г ааР> , е е мп, V > о.

\а\,\Р\= т

Положим

Р± = {(х,0) : (-1)3-1к2,(х,0) ^ О, х е П},

Р± = {(х,Т) : (-1)3-1к2,(х,Т) ^ О, х е П}.

Через п = (щ,..., п„) обозначим вектор внутренней нормали к

Первая краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Я такое, что

д1и

д'пг

= 0, г = 0, то — 1, (2)

Бт

В\и\г=а = 0, г = 0, в — 1, = О,

Г0

Щи и=т= о, 3 = 0^2, В^и^- = 0. (3)

Г гр

В анизотропном пространстве Соболева Жт'8(Я) введем скалярное произведение

(и, у)т,я = У [ ОаиБаь + Б? иБ?«] ¿Я, и,у е Ж2т'3(Я),

< \а\^т

причем ||и||т,8 = (и, ит,з и (и,^о,о = (и,у), = (и, и) для функций и, V из Ь2(Я).

Пусть Сь — класс функций из Я), удовлетворяющих кра-

евым условиям (2), (3), Жт'3(Я — замыкание Сь то норме || • ||т,3.

Пусть Сь* — класс функций у(х, из т'2з(удовлетворяющих краевым условиям (2) и

^^ = 0,3=0,3-2,

Dst-1v\-p- = 0, БГЧ4=т = 0, Багу\= 0.

Введем пространство ф) кж замыкание Сь* по норме

|| • Цт,^- Обозначим через Ж-т'-Я(Я) (Ж-т'-Я(Я)) пространство линейных непрерывных функционалов над гильбертовым пространством Я) (Жт'в(Я))) причем Ь2(Я) отождествляется с его сопряженным пространством.

Определение 1. Функция и(х, ¿) е Ж2т'Я(Я) называется обобщенным решением первой краевой задачи (1)-(3), если выполнено интегральное тождество

г(и,у) = ! |(-1 Ук2(-1)8-1 к- - вкьБ^БЯ

Я

Я 8-2

+ Б иБ V + ^2 иБау + ¿Я = (/, V) (4)

¿=1,7=0 |а||в| = т )

для любой функции V е Я), где (•, •) — двойственное соотноше-

ние между Ж2-т'-Я(Я) и Жт'Ч.Я), / е Ж2-т'-Я(Я). В силу теоремы Рисса имеем

а(и^) = (Ли, V), и е Ж2т'в(Я, V е Ж2т'в(Я,

Где Л — линейный ограниченный оператор из Жт'Я(Я) в Ш2 т' 8(Я)-При этом справедливо равенство

(Ли^) = (и,Л*ю), и е Жт'ЧЯ, V е Ж2т'Я(Я, (5)

а тождество (4) эквивалентно операторному уравнению Ли = /. Пусть С{Ь, т) — функция Грина оператора 1у = ( —1)Я-1 у2 Я-1 + ус краевыми условиями

у« = 0, г = М = ^(О) = 0.

Обозначим через Нт8(Я) пополнение Жт'Я(Я) но норме

У V2 + Щ (У г)Ба V ¿т I + I У С{г, тV ¿т

Я И =т \0 / \0

Лемма 1. Пусть коэффициент ао(х) > 0 достаточно большой, выполнено условие

(-1)8-1[2А;2в_1 - к2^} > <5 > 0, (х,г) е Я,

и имеет место

(-1 Г-кг»(х, 0) <0, (-1 )3-кг»(х,Т) >0. Тогда существует конставта С > 0 такая, что справедливо неравенство

для всех функций V е Жт'3(Я).

Доказательство. Для любой функции v е ж2т'3

(Я) положим

T

u(X,t) = JG(t,THX,T)*T.

Тогда нетрудно видеть, что функция u(x,t) принадлежит Wm'3(Q), lu = v и имеет место

DaDf U G L2(Q), И < m, /г = 0, 2s — 1; Df^u £ L2{Q).

Интегрируя по частям, получаем равенство

<u,A*v) = f

Q

1

-(-1)3-1(- ^sí)(D?3-1u)'

+ aae DauDe u + agu2

| a|, leí— m 2t—2

Dt3—u ^ x,^Dtfcu

k=0

u У^ вк(x,t)Dkku

k

1

]T aaPDaD3t-uDeD\-\

QT H>|e|=m

a>o(D3 1 u)" dx, (6)

где а]~,Рк — гладкие функции в <5. С другой стороны, на основании теорем вложения имеем

\\Diuf < е1М1т,2я-1 + Се\\и\\\ £ > 0, э = 0, 25-2.

Тогда в силу неравенств Гординга и Коши с малым параметром из (6) следует оценка

{и,л*^о) >смта3-1, С >о,

откуда с учетом очевидных неравенств

||и||т'8 < СЦиЦт'2я-1, 11V| ^^^ ^ < ОЦиЦт^я-г , О > О, получаем утверждение леммы 1.

Из леммы 1 непосредственно следует

/

Ж> т' Я(Я)- Тогда операторное уравнение Ли = / плотно разрешимо

Пусть Ь, т) — функция Грина оператора 1*у = ( —1 + у

с краевыми условиями

уМ = 0, г = 0^2, У(°-1)(Т) = 0. Обозначим через Нтя(Я) пополнение Ж^'^Я) п0 норме

1#„

/ (/С* &т)Баи<1т

Я I

0*(Ь, т)и <т

Лемма 2. Пусть коэффициент ао(х) > 0 достаточно большой, выполнено условие

(-1)*-1 [2*2,-1 + (1 - 4 > <5 > 0, (х,г) €= д,

и имеет место

( —1 Г-1кгя(х,0) >0, ( —1 )8-1кгя(х,Т) <0.

О>

О||и|^ < Я

для всех функций и е Ж^'^Я)-

Доказательство. Для любой функции и(х,Ь) из Я) поло-

т

при этом V € Я, = и и имеет место

н к = 0,25-1; в^у е ь2(я).

Аналогично доказательству леммы 1 получаем равенство

Г) V

+ аав+ + Щ?8-1V ^ аЦх^Щ

1а\'1Р1=т к=0

2я~2 1 1 Г г

•« 53 & (х, *)£>*Л ¿д + - j [ 53 а^В^В^В

к=1 ^ п„ Н'|в|=т

+ 1V)2 ¿х. (7)

Из равенства (7), выбирая ао(х) > 0 достаточно большим, имеем

{Au,v) > с, С>0. Отсюда нетрудно получить справедливость оценки леммы 2.

Из леммы 2 непосредственно получаем

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда краевая задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения из пространства Ж^'^Я)-

Далее рассмотрим А как оператор из Я) в Я) с об-

ластью определения В(А) = Ж^'^Я)- При этом В(А*) С Ж^'^Я), а равенство (5) и априорная оценка леммы 1 справедливы для функций V из В(А*).

Теорема 3. Пусть ао(х) выполнены условия

(-1у-1[2к2.^1 - к2в1] > <5 > 0, (х,*) €= Я;

Ь(х,г)= 0, г = 1, 2в — 2; (-1)а— к2я(х,0) <0, (-1 )а— к2я(х,Т) >0.

Тогда для первого положительного собственного значения оператора Л* имеет место оценка

6

Mi >

2cnT'

c0 >0.

Доказательство. Пусть для некоторой функции V е Б(Л* справедливо равенство

о = (и, Л*V — ^), и е Я, ц>о.

В данном равенстве положим

T

= j G$(t,T)v dr,

где G0(t, t) — функция Грина оператора lay = ( —1 )s 1 y2s 1 с краевыми условиями

=0, г = 0^2; у(-1)(0) = 0. Интегрируя по частям, с учетом условий теоремы имеем

- (—1 г1

о =

Q

-{2k2 — k2 st) V — M'uv

аав ВаВ1-1 иБв Б1-1 и + (^{Б1-1 и)2~\<х. (8) пт Н'|в|=т Справедлива оценка

к и| < ОаТ |М|2, О0 = тах |С0(Ь,т) Теперь из равенства (8) в силу условий теоремы 3 получим нера-

венство

(^-с0Т>)|М|2.

Отсюда следует, что уравнение Л*v — ^ = 0 имеет тривиальное решение при ц < т^т- Поэтому для цх справедливо неравенство ;:г

О гр 2С(/ '

Теорема 4. Ограниченное в Hm s (Q) множество компактно

в W

—m, — s

Q

Доказательство. Из ограниченности множества M в Hmt(Q) следует, что множество

{т

J G*(t,r)udr, u G M

ограничено в пространстве W"'2t—1 (Q). Пусть um — произвольная по-M

т

vm = J G*(t, r)um dr. о

Тогда в силу известных теорем вложения из {vm} можно извлечь фундаментальную в W2's 1 (Q) последовательность {v"m}, для которой {Dst —v"m(x, 0)} также фундаментальна в £2(0). Теперь утверждение теоремы следует из оценки

l|u" - u'fc||w2-m.-.(Q < C [И-v" - Dt-v'k || + ||v" - vkII

+ \\Dat-1 v"(x,0) - Dt-v'k(x,0))], C5>0.

Теорема 4 доказана.

Аналогично доказывается, что вложение Hm t (Q) в W—m'—t (Q) вполне непрерывно.

Лемма 3. Оператор А допускает замыкание А.

Доказательство. Пусть ш прпнадлежпт W2m's (Q) и uk ^ 0 в норме Hm,t(Q), Auk ^ w в пространстве W—m'—t(Q) при k ^ то Заметим, что uk ^ 0 в пространстве ^(Q). Для любой функции v G Cl* имеем

(Auk , v) = a(uk ,v) = (uk ,L*v) ^ 0

при k ^ то. Следовательно, (w, v) = 0, v G CL*. Из плотности CL* в W"' s (Q) получаем, что w = 0, т. е. оператор A допускает замыкание.

Пусть выполнены условия лемм 1 и 2. Тогда из равенства Д(А) = W2_m'_s((3) следует, что уравнение Аи = / везде разрешимо и (А)-1 — ограниченный оператор из W—m'—t (Q) в Hmt (Q)

Рассмотрим операторное уравнение

Ли — Хи = /, / е Ж-т'-8{Я). (9)

Теорема 5. Пусть выполнены условия ( —1 )8-1[2к28-1 — к2в4] > 6 > О, ( —1 )8-1[2кг8-1 + (1 —4з)к2ж] > 6 > О и имеет место

к2 8(х, 0) = 0, к2 8(х,Т) = 0, х еП.

Тогда уравнение (9) фредгольмово в пространстве Нт8(0.

Доказательство. Сначала найдется достаточно большое число Ао > 0 такое, что для Ь+ Ад выполняются все условия лемм 1 и 2. При этом оператор (Л + Ао)-1 ограничен. Теперь фредгольмовость уравнения (9) следует из того, что оно эквивалентно операторному уравнению

и=(Х+Хо)(А+Х0)-1и+(А+Х0)-1/ в пространстве Я) с вполне непрерывным оператором.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлов В. П. Об обобщенной задаче Трикоми // Тр. МИ АН. 1968. Т. 103. С. 142-161.

2. Каратопраклиев Г. Д. О некоторых краевых задачах для уравнения смешанного типа в многомерных областях // Докл. Волг. акад. наук. 1970. Т. 23, № 10. С.1183-1186.

3. Диденко В. П. Об обобщенной разрешимости задачи Трикоми // Укр. мат. журн. 1973. Т. 25, № 1. С. 14-19.

4. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

5. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990.

6. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. К спектральной теории уравнений смешанного типа. Ташкент: Миггйог >()"/.. 2010.

7. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости одной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 55-64.

8. Терехов А. Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск, 1979. С. 128-136.

г. Якутск

6 августа 2013 г.