О фредгольмовости краевой задачи для уравнения смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА*)

И, Е, Егоров, Т. И, Захарова

Наиболее полная библиография, посвященная обобщенной и фред-гольмовой разрешимости различных краевых задач для уравнений смешанного типа, имеется в [1-4]. В данной работе приводятся схемы доказательств теоремы о плотной разрешимости и теоремы о фредголь-мовости краевой задачи, которая впервые поставлена и исследована А. Н. Тереховым [5].

Пусть Л — ограниченная область в м" с кусочно гладкой границей Б , ^ = П х г для о < г < Т,Бг = Б х (0,Т), Q = П х (0,Т).

В цилиндрической области Q рассмотрим уравнение смешанного типа

с достаточно гладкими коэффициентами в Q. Предположим, что выполнены условия

п

о,з = > И£12 е м", V > о.

ь3=1

Следуя работам [1-3,5], введем множества Р± = {(х, 0) : к(х, 0) ^ 0, х е О}, Р± = {(х, Т) : к(х, Т) ^ 0, х е О}.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР за 2012-2014гг.(проект № 4402)

© 2013 Егоров И. Е., Захарова Т. И.

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Q такое, что

и\Бт = 0, и\г=о = О, щ = О, и \-р- = 0. (2)

Г0 Г т

Пусть Сь — класс гладких функций, удовлетворяющих условиям (2). Через Сь* обозначим класс гладких функций, удовлетворяющих сопряженным краевым условиям

«|йт = О,

5- = о, у1^т = О,

Уг\р+ =0.

Г т^

(2*

Введем следующие обозначения: (Шз1^)) — пополнение

класса Сь (Сь*) то норме У • Ц1 пространства Соболева Шз1^). Обозначим через Ш—1 (Ш—1 (Q)) пространство линейных непрерывных функционалов над гильбертовым пространством (Шз1^))- При

этом отождествляется с его сопряженным пространством.

Определение 1. Функция и(х,Ь) £ называется обобщен-

ным решением краевой задачи (1), (2), если выполнено интегральное тождество

-кщуг + (а - к2)и^ +

1,3=1

= (3)

для любой функции V £ Шз1^), где (•, •) — двойственное соотношение между Ш— и Щ^), / £ Ш— (Q).

Левая часть равенства (3) равна (Аи,ю), где А линейный ограниченный оператор из в Ш2-1 (Q). При этом имеет место равенство

(Аи^) = {u,A*v) Уи £ ШЦф, Vv £ ШЦд). (4)

Пусть Н* = Щ( А)

VII» = I' К2 -

— пополнение №) п° норме

п \

Е ^ + v2

в4 л^2

Е

в2Лт vxi ат)2

г2лт v ат

4

где неотрицательная функция ц{Ь) строится в ходе доказательства следующей леммы.

Лемма 1. Пусть коэффициент с(х) > 0 достаточно большой, выполнено условие

а--кг^5>0, (ж,г)е<2,

н имеет место одни из следующих случаев: к(х, 0) > 0, к(х, Т) < 0 или к(х,0) < 0, к{х,Т) > 0 или к(х,0) < 0, к{х,Т) < 0 или к(х,0) > 0, к{х,Т) > 0.

Тогда существует константа X > 0 такая, что имеет место неравенство

О|М|Я. < , О1 = О^Х) >0,

для всех функций V е

Для любой функции V е в равенстве (4) положим

г

и(х,Ь) = J еХтv{x,т) ¿т + n{t)v, о

где неотрицательные функции в каждом случае подбираются так, чтобы функция и(х, г) принадлежала Сначала выбираем X > 0

так, что а — + Ак ^ | в СЦ.

1. Пусть имеют место неравенства к(х,0) > 0, к(х,Т) < 0. Выберем числа Т0, Т так, что к(х, г) < -¿1 < 0, г е [Т0, Т},Т0<Т1 < Т.

Будем считать, что

ф) = о,г е[о,Т0]; щ >0; Ф) = 1,г е [ТЪТ],

ф) = и>о, г е[о,Т0}-, 6 <0; 6 < < о, * е [Ть П ет) > €(Т) = о.

Тогда получаем, что и(х, г) принадлежит Ш\

2. При к(х,0) < 0, к(х,Т) > 0 возьмем числа г0, Ь такие, что

к{х,ь) < -¿1 < о, г е [о,г0], о <ь <г0 < Т.

Положим

ф) = 0,1 £ [¿о, ту, ф) = 1,г £ [0, ¿1]; т = V.

Тогда снова функция и(х, ¿) принадлежит Ш^^).

3. При к(х,0) < 0, к(х,Т) < 0 будем считать, что

к(х,Т) < -^<0, t £[0и [Т0,Т]. В качестве рассмотрим функцию £(£) из п. 1 и положим

= 1, t £ [ои [тьт]; = £ [¿0,т0].

Отсюда получаем, что и(х,Ь) £ Ш^^).

4. Пусть к(х,0) ^0, к(х,Т) ^ 0 .В данном случае для построения и(х,£) из ШЦ^ достаточно рассмотреть функции £ =1 и ц = 0.

Теперь после некоторых преобразований [4], выбирая ^ > 0, можно получить неравенство

(u,A*v) > СЫщ, С2 = С2(А)>0. Из последнего неравенства в силу

1|и||1 < СЫщ, С3>0,

следует оценка леммы 1.

Из леммы 1 непосредственно вытекает

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1 и / £ Ш—1 Тогда уравнение

Ач = ]

плотно разрешимо (Е(А) = Ш—1 (Q))•

Пусть Н = Н(А) — пополнение (Q) по норме

Ф)

и

2 . V' 2 I 2 1 , ~4 Л2 2

12 + У их. и + е и

е—Лтит. ат \+\ е—Лтиат

где функция построена в доказательстве леммы 1.

с х >

полнено условие

п имеет место один из следующих случаев: к(х, 0) > 0, к(х, Т) < 0 или к(х,0) < 0, к{х,Т) > 0 или к(х,0) < О, к(х,Т) < 0 или к(х,0) > О, к{х,Т) > О.

Тогда существует константа X > 0 такая, что имеет место неравенство

для всех функций и е Ш^

Для любой функции и е Ш^ в равенстве (4) положим

где неотрицательная функция ф(г) строится в каждом случае так, чтобы функция ^х, г) принадлежала Шз1^).

1. При к(х, 0) > 0, к(х, Т) < 0 в качестве функции ф(-Ь) берем функцию ф(г) = ^ > 0, г е [0, Т]. Тогда функция V принадлежит Шз1^). к х, < к х, Т >

Снова имеем V е ШЦ^.

к х, < к х, Т < . честве функции ф(г) рассмотрим из п. 2. Отсюда получаем, что ^х, г) принадлежит Ш^^).

4. При к(х,0) > 0, к(х,Т) > 0 функция ф(~Ь) = 1 и функция будет из ($).

На основании условий леммы 2 найдется число X > 0 такое, что

О||и||Я1 < ЦАиЦъ-, О4 = С\(Х) >0,

т

ф(г) = р>0,г е [г0,Т}; ф' (г) >0; ф'(г) > ф0 > о, t е [0,ь}; ф(ь) > ф(о) = о.

Утверждение леммы 2 вытекает из априорной оценки

(Аи,у) > С5МН, С5 = С5(Х)>0. Отсюда непосредственно следует

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда краевая задача (1), (2) может иметь не более одного обобщенного решения из

Рассмотрим А как оператор из Н в (Я) с областью определения В(А) = Ш^Я). При этом В(А*) С Ш^Я), равенство (4) и априорная оценка леммы 1 справедливы для функций V из Б (А*).

Теорема 3. Пусть выполнены условия

с(х) > 0, х € О; а - ^ > 3 > 0, (ж,г) € <?.

Тогда для первого положительного собственного значения оператора А*

26

71 > •

Доказательство теоремы 3 проводится аналогично доказательству теоремы 3 из [4]. Так же устанавливается

Теорема 4. Ограниченное в Н множество компактно в (Я). Через А обозначим замыкание оператора А в Н\. Рассмотрим операторное уравнение

(А - = / е Ш-(Я). (5)

Справедлива следующая

Теорема 5. Пусть выполнены условия

13 _

а - -Ь > 6 > 0, а - -кг > д > 0, (ж,£) € <?,

н имеет место один из следующих случаев: к(х, 0) к(х, Т) < 0 или к(х,0) < 0, к{х,Т) > 0 или к(х,0) < 0, к(х,Т) < 0 или к(х,0) > 0, к(ж,Т) > 0, ж € П.

Тогда существует константа X > 0 такая, что уравнение (5) фред-гольмово в пространстве Н(Х).

Замечание. Отметим, что при выполнении условий теоремы 5 и к(х,0)^0, к(х,Т)^0, I е ь2(Я)

в § 2.2 работы [3] изучена фредгольмова разрешимость краевой задачи

(1), (2) в энергетическом классе VI С Ш^^) С И\.

ЛИТЕРАТУРА

1. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Диф-ференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098-1105.

2. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. у-та, 1988.

3. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990.

4. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости одной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 55-64.

5. Терехов А. Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск, 1979. С. 128-136.

г. Якутск

17 января 2013 г.