О фрактальной структуре нефтегазовых месторождений Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ НЕФТЕГАЗОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ.

А.М.Гачаев

В последнее время при изучении неупорядоченных систем весьма эффективно используются фрактально - геометрические методы [1] , [2] ,основным для аппарата фрактальной математики является понятие дробной размерности, впервые введенное Хаусдорфом. На языке фрактальной математики в 1980 г. были сформулированы основные положения теории протекания. В частности, установлена фрактальная природа так называемых вязких пальцев в пористых средах, где сильно вязкая жидкость ( нефть ) вытесняется слабо вязкой жидкостью водой [ 1 ].

В работе [ 1] дается анализ фрактально - геометрических показателей в моделировании нефтегазносности и проводимости паровых коллекторов. Отмечено, что поведение нефтегазностнных коллекторов, представленных пористыми средами, в существенной мере определяется стохастическими факторами, включая хаотическое распределение зерен породы коллекторов по форме и размерам.

Электрическая проводимость пористых нефтегазосодержащих пластов, исследуемая при их электромагнитном каротаже, также имеет фрактальную структуру, характерную для перкуляционного кластера.

Фрактальные кластеры образуемые песчаными, имеют значении хаусдорфовой размерности Б, располагающиеся в интервале

Б=2,57+2,87.

В данной работе приток жидкости к скважине в трещиноватом деформируемом пласте, производится с помощью интегродифференциальных уравнений дробного порядка. В практике разработки нефтяных залежей существуют различные зависимости дебита от перепада давления. Отклонение рассматриваемых зависимостей от линейной объясняется причинами, основными из которых являются деформация коллектора и инерционные силы сопротивления, изменение свойства пласта и жидкости.

В области больших скоростей фильтрации ( при забойной зоне пласта) нарушается линейный закон.

Существуют функциональная зависимость, учитывающая инерционные составляющего сопротивления движению жидкости [1].

Ур = (/; ^ (1)

к

где Ур - градиент давления, л - динамическая вязкость жидкости, V - скорость фильтрации, V - модуль скорость фильтрации,- проницаемость среды, / - скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости, / (/; V) - безразмерная функция, полученная согласно ж - теореме анализа размерности.

Теорема послужила основным толчком в применении фрактального анализа в данной области, поэтому подробно приведем здесь эту исключительно важную теорему и автору кажется, что это теорема будет в дальнейшем играть центральную роль при моделировании различных процессов.

Теорема (ж - теорема анализа размерности) [ 9].

Если дано физически значимое выражение:

/ (Ч{, Чг; Чп ) = О,

где дг — это п различных физических переменных и они выражаются через к независимых физических величин, то это выражение может быть переписано в виде:

Движение жидкости в чисто трещиноватом коллекторе гораздо точнее ( чем закон Дарси ) описывается двучленной зависимостью (2).

По формуле (2) первое слагаемое учитывает потери давления от трения между жидкостью и трещиноватой средой, второе - инерционную составляющую сопротивления жидкости, связанную с сужением и расширением элементарных стружек потока в трещинах, поворотами струей и т.д.

Из формулы (2) следует число при малых скоростях фильтрации квадратом модуля V2 можно пренебречь и градиент давления Ур будет зависеть только от первого слагаемого ( вязости жидкости л, проницаемости трещин к и скорости фильтрации V ) т.е. движение будет безинерциональнным.

При больших скоростях фильтрации силы инерции будет преобладать над силами вязкости, поскольку в формуле (2) определяющим будет второе слагаемое. Может оказаться, что при достаточно больших скоростях фильтрации силы вязкости будут пренебрежимо малы по сравнению с силами инерции и следовательно, двучленная зависимость (2) будет зависеть в виде одночленного закона Краснопольского -Шеди, впервые установленное Краснопольским А.А. в 1912г.[ 4]

Формула (2) впервые был предложен Форхгеймером [4]. В этой работе показано, что (2) совпадает с первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора функции / (/; V).

С ростом градиента давления изменяется фильтрационная способность коллектора.

Это может быть связанно с изменением действующей толщины пласта, которая для каждого конкретного коллектора при различных градиентах давления |Ур| ( до

критического значения |Ур| ) различна. С ростом градиента давления до критического значения |Ур в процессе фильтрация вовлекаются все более мелкие поры.

где ж — эти безразмерные параметры, полученные из дг при помощи р = п — к выражений следующего вида:

где показатели степеней щ — эти рациональные числа.

Допуская возможность разложения функции / (Д у) в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим

(2)

При этом одновременно увеличивается проницаемостьтрещин, пористых блоков и общая мощность трещиновато - пористого пласта. Примерный график изменения действующей мощности в зависимости от градиента давления изображен на рис. 1

• ,МПа

При достижении |Ур| действующая толщина пласта достигает максимального значения и остается неизменной при дальнейшем увеличении градиента давления ( рис. 2)

Рис.2 Зависимость действующей толщины трещиноватого пласта от градиента

давлении.

Последующие изменения |ур могут привести к сужению некоторых фильтрационных каналов и к уменьшению действующей толщины пласта.

При расширении движения жидкости в деформируемом пласте будет считать, что толщина пласта изменяется плавно, колеблясь около среднего значения [4]. За срединную поверхность приведенного пластового давления примем горизонтальную плоскость, находящуюся на одинаковом расстоянии от кровли и подошвы. Выбирая в этой плоскости направление координатных осей Ox,Oy,Oz проинтегрировав уравнение неразрывности

й\уу = 0

по мощности пласта

н=н ),

получим

Н/2 л Н/2 л Н/2 л (3)

! -дХ (у* *+ ! -дУ у У*2 +! % ("■ )*.

-Н/2 дХ -Н/2 ду -Н/2 д2

Дифференцируя интеграл по параметру, преобразуем первое слагаемое уравнения (3)

Н/2 р. р. Н/2 . .

! дх(у*^2 = дХ !у**2-7х\н/2Н*+^*1 -н/2Н*.

-Н/2 дХ дХ -Н/2 2 2

При оси ассиметрической фильтрации течение жидкости на кровле и подошве практически отсутствует, следовательно последними двумя членами в полученном

равенстве можно пренебречь, т.е.

Н/2 п п Н/2

ду *=А [у

-Н/2 дХ дХ -Н/2

Применяя теорему о среднем к интервалу с учетом ух = у получим:

Н/2

-Н/2

-(у, №=-

-Л V X /

дх дх

Н/2

хср

! *2

-Н/2

дХ(у- Н)

(5)

Н/2 Л

Г -

-1,2 дУ

(уу У

д_

ду

Н/2

УсР

! *2

-Н/2

д_

ду

к,Н)

Аналогично преобразуем второй интеграл в уравнении (3) т.е.

(6)

Третий интеграл в (3) равен нулю. Докажем это следующим образом. Оценивая третий интеграл, имеем

Н/2 д

! ~^(у2 № = уг| -Н/2 - У^Н/2 = 0.

-Н /2 д2

н н

Так как у = у = у, = 0, то 2 = — и 2 =----.

2 2

2 2 2

С учетом приведенных преобразований из уравнения (3) получим усредненное уравнение неразрывности:

^[у, (ЧН(Ур|)]+|-[уур ННЫ)]= 0 (7)

Уравнение (7) описывает установившиеся течение жидкости в пласте с изменяющейся толщиной.

При выводе уравнения (7) операции индекс «ср.» правильность такой операции допустима. Далее, выразив у из (2), имеем

М=Л2

Из полученного выражения следует:

+ 4Р 'Чрк / /л-1

V = ■

2Р

(8)

Подставим в уравнение (7) значение скорости фильтрации (8) при |Ур| ниже

критического, т.е. при изменяющейся толщине пласта. В случае ассимитрической фильтрации в полярных координатах уравнение неразрывности запишем в виде [4].

й_

ёт

\Ур\(уі 1 + Ар\Ур\к / /и-1]

= 0.

Оттуда имеем

т| Ур| I]1 + 4^Ур|к / и-1] = сх.

Постоянную интегрирования с при условии |Ур| < Шр и учитывая, что W дебит скважины радиусом гс взрывший пласт толщиной Н находим

Q = 2лгН у\г = гс (9)

• МПа

Рис. 3 Зависимость действующей толщины пласта от градиента давления.

В промысловой практике принято считать

Н = hDa

С\ I л2

Vp| ^

|Vp|

V к

0 < а < 1,

(10)

где к - толщина пласта при |Vp| ,, а - эмпирический коэффициент,

характеризующий изменение действующей толщины пласта от градиента давления (рис.1). В [ 8] было предложено (10) заменить, учитывая, что фильтрация идет в одном направлении.

Н = hDc

Vp

V 'кр у

0 < а < 1.

Здесь Dа - оператор дробного интегродифференцирования порядка а в смысле Римана Лиувилля. Из (8) и (9) следует, что

р

Откуда

^1 + 4р^|к / л~ 1

тЛВа p

(11)

Очевидно, что

С =■

QрVp|| Vp|

Ма p

После несложных преобразований из (11) получим

[Dap]2 = а(г )Dap + Ъ(г)

(12)

где

(г ) =

а(г

2т~Нк

Ъ(г ) =

Лр

к

^йК''2

2лгкг

Уравнение (12) впервые предложено в работе [*]

В начале решим уравнение (12) с помощью степенных рядов специального вида. Представим (12) в виде

и2/3 p^2

V 2/3 у

= а

и2/3 pл

V 2/3 у

+ Ъ,

(13)

Здесь

= / Р(0)----+ . 1 ч І (т-О"1'3Р'(Оё, (14)

ёт гГ1 -2уз Г(1 -і)1

Решение уравнения 13 будем искать в виде ряда

Р(т) = Р(0) + С1т 1/3 + с2т 2/3 + С3т 3/3 + С4т 4/3 +... = У ^

п=0

Продифференцировав это уравнение, получаем

р (т) = ~т 2/3 + ~т 1/3 + с3т0 + ~т1/3 +... = у~т3 , (15)

п=1

~ ПСп

где ~п =—.

Очевидно, что

Iх 1 4 1 1

—^ |(т-']- 2/3 Р,(г У< = “^ І(т-' ]г1Р,(/ ё = 7 5 Р'.

г[3)0 3)0

Поэтому наше уравнение (13) запишем в виде

7(~(0>-2/3 +11/3 7 ]2 = а(~(0]т-2/3 +11/3 7 ]+ Ъ,

Где

7 = Р’(т] р(0]="7°\ .

г 13)

Последнее уравнение перепишем следующим образом

(р(0]]2 7т-4'3 + р(0]7т23I1137 + (/137] 7 = ар(0)т2/3 + а11/37 + Ъ. (16).

Если

го п 1 го п 7 го п 7

г = "У р т3 , то т~4/37 = "У р т3 3 = У р т 3

п ’ п п

п=1 п=1 п=1

Имеем 11/3 2 = 11/3

П -у ВД

"V с г3 = 2 с 11/3 Г 3 = 2 с—-г-

п п п / -1

п=1 у п=1 V У п=1 7_г| 1

( п_] 'А ВД

Г 3

Г п -1+1

п-1+1

33

п

Г\ - + — 1 +1 3 3 у

Г\

=2

п-2

п=1 п + 1

Вычислим

(11/3 2)

г\

г\

-1/3

+ -

г|

г(1)

■с2 г +

г(1)

г|

2/3

х

ВД

3

3

Г

с3г

X

г|

Г|

сг 1/3 +

г|

г (1)

Г|

Г \

'2 ) 1

-2/3 Г +

-с1^Т/Т С2

Г\

Г (1)

г 13 +

+

Г \

Г (1)

/13) с / V1) с Г[ 3 ] с

+ 2—с + 2—с —с

Г\

гЗ 1 г|3

г1/3 +.

И последнее вычислим 2(11/32) , тогда получим

’(1/3 2) =[с

2(1132) =|С,г 2/3 + с2г 1/3 + С^г0 + с4г1'3 + ...IX

Г \

Г \

г 2/3 + 2^с2Г| 1 |г 1/3 +

0

2

2

2

2

2

X

Уравнение (16) примет вид

(с(°))2 Vспг 3 + 2^°)

п-7

3

Г \

Г \

Г (1)

г \

с1с2 г_4/3 +

+

Г \

Г \

Г \

• + со

- + схсъ -

Г \

Г \

Г \

-3/3

г +...

+

с,

Г\

Г \

г 4/3 +

2с1 Г\ 3 1+ с2

-2/3

г +

+

+

6с с3

Г\

'А" У

К с,

V Ч 3 У у

+ с2 2с1с2 Г\ 1

-2 /3

г +.

= а

Г\

с(0)г 2/3 + ]Тс

Г\

п +1

+ Ъ.

у

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим:

ВД

п=1

С3С1

2

п-2

3

г

п=1

V

(~(n))2~ 02(Vp- ^ (~(0))Cl = (2^k -

Отсюда

~ 022 (vp 'P ^

c —-----------------.

1 ((р(0)2жк)2 k

Литература

1. Баренблатт Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. - М.: Наука, 1972 - 287с.

2. Шаймуратов Р.С. Гидродинамика нефтяного трещинного пласта. - М.: Недра, 1980 - 223с.

3. Hausdovff F., “ Math. Ann.” 1918, Bd 79, S. 157-179.

4. Krivonosov I.V. , Balakirev V.A. Development, research and expenation ofa multilayerchinks/ Nedra, Russia 1975.

5. Bulygin B.Y., Hydrdynamics of an oil eayer, Neclva, Pussia, 1974.

6. Podlubny I, Tractional differential equations, Academic press, New York 1999.

7. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. - М.: Наука. 1966. - 677 с.

8. Алероев Т.С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными. Докторская диссертация. М.: МГУ, 2000.

9. Buckingham, E. (1914). «On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations». Phys. Rev. 4: 345—376.