CC BY
10
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 517.927
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА, МОДЕЛИРУЮЩЕГО ОСОБЕННОСТИ ПРИТОКА НЕФТИ К СКВАЖИНЕ В ТРЕЩИННОМ ДЕФОРМИРУЕМОМ ПЛАСТЕ
© 2006 г. А.М. Гачаев
Completeness matters of adjunct and eigenfunction systems of fractional differentiation operator and operator of second order with fractional derivatives in subordinated members are considered.
Изучаются определенные особенности притока жидкости в проницаемых средах по данным гидродинамических исследований скважин [1].
При разработке нефтяных залежей используются различные зависимости дебита от перепада давления [2]. В общем случае эти зависимости не являются линейными. Например, в призабойной зоне нарушается линейный закон [1]. Отклонение рассматриваемых зависимостей от линейной объясняется деформацией коллектора, инерционными силами сопротивления, изменением свойств пласта и жидкости, а также действующей толщины пласта.
Существует функциональная зависимость, учитывающая инерцио-нальные составляющие сопротивления движению жидкости -Чр =
UV
= — f (в, и). Здесь Чр - градиент давления; ц - динамическая жидкость;
к
и - скорость фильтрации; к - проницаемость среды; в - скалярная величина, зависящая от модуля вектора скоростей; ffi, и) - безразмерная функция, полученная согласно ^-теореме анализа размерности [1]. Если предположить, что функция fe, и) разлагается в ряд Тейлора, и ограничиться
V7 М И-Р
двумя первыми членами разложения, получим Чр =--и--ии.
к к
Справедливость полученной двучленной зависимости допускается при описании процесса фильтрации жидкости в трещинном коллекторе [1, 2].
С ростом градиента давления изменяется фильтрационная способность коллектора. Это может быть связано с изменением действующей толщины пласта, которая для каждой конкретного коллектора при различных градиентах давления |Чр| (до критического значения |Чр|кр) различна. При достижении \Чр\кр действующая толщина пласта достигает максимального значения и остается неизменной при дальнейшем увеличении градиента давления (рисунок) [2].
1УрЦ = 1 |ур|
Зависимость действующей толщины пласта от градиента давления
Последующее изменение |Ур| может привести к изменению некоторых фильтрационных каналов и к уменьшению действующей толщины пласта. Подобные явления часто отмечаются на практике, в частности, на нефтяных залежах Белоруссии и Ставрополья [2, 3].
При величине |Ур| ниже критической ассиметрической фильтрации уравнение неразрывности в полярных координатах имеет вид [3]
d [r | Vp | + 4ßk / M\Vp | -1)] = 0. dr
(1)
Интегрируя (1), получим г | Ур + \рк / ¿и| Ур | -1) = С1. Постоянную интегрирования С1 находим из условия |Ур| < |Ур|кр
б = 2п(гИи) \г=гс, (2)
где гс - радиус скважины; И - толщина пласта.
При градиенте давления меньше критического толщина пласта не будет оставаться постоянной. В промысловой практике действующая толщина пласта аппроксимируется степенной зависимостью вида
H = h
Vp
VpK
0 <а< 1,
(3)
где к - толщина пласта при |Ур| < |Ур|кр; а - эмпирический коэффициент, характеризующий изменение действующей толщины пласта от градиента давления (рисунок).
Подставляя в (2) значение скорости фильтрации из
д/1 + \р\Ур | к / и -1
и = -
2ß
учетом
зависимости
(3),
уравнения получим
nh
Q = -
f Л
Vp
V Vp /
ß\Vp\
-q.
C =
Qß I ^Рк
nrh\Vp\a
После некоторых преобразований из (4) следует
dp 2a+1 = a dp а + b
dr dr
(4)
(5)
где a =-
м\УРкр Ia Q
кр
2п hkr
b =
aßQ | Vp
кр
2nhr
Уравнение (5) применяется в промысловой практике [2]. Там же [2] находится частное решение, дающее искомое уравнение индикаторной линии при постоянном давлении на контуре питания рк кругового пласта радиусом гк и при постоянном забойном давлении рзаб на скважине радиусом гс, вскрывшей этот пласт.
Оно имеет вид
Р(Гс) = Рзаб, Р(Гк) = Рк. (6)
Подставляя в (5) различные значения а, интегрируя при граничных условиях (6), в [2] получают индикаторные линии, в разной степени учитывающие изменение действующей толщины пласта от градиента давления.
В (2) соотношение (3) заменено на Я = hD{
= \ ^Лр) , где \Ркр/ Ркр
Б*, - дробная производная Римана-Лиувилля порядка а е [0, 1] [4]. Тогда (5) заменится на уравнение
aj( D0»2 Vp = al + аз rD^p,
(7)
где a1 =
4ßk M
QßVp;
кр
QßVp,
кр
2nh r
nh r
dp 3 = Qm | vpKV | dp Q 2Mß\VpKV
dr 2nhkr dr 4n2 kh2r
При а = 1 из (7) получим
Это уравнение получено в [2] при простейшей аппроксимации зависи-
мости Н = Н(| Vp |) линейной функцией Н = h
Vp
VpK
при |Vp| < |Vp|k
При а = 0 из (7) получаем dp
dr
MQ
MßQ
2nhkr 4n2 kh2r2
Интегрируя (8) с учетом краевых условий (6), будем иметь
| Vp |=M ln
2nkh
MßQ
2
4n2 kh2
1 1
(8)
rk;
a
a
2
3
В (9) вследствие допущенного «упрощения» не учитывается деформация коллектора; действующая толщина не зависит от градиента давления H = h = const. В общем случае решение уравнения (7) можно искать в виде степенного ряда.
Найдем решение уравнения (7) при а = 1/2. В этом случае (7) можно записать в виде
а^/2p)Vp = a2 + «зr^/2p . (10)
Решение уравнения (10) будем представлять рядом
p(r) =2 antn/2. (11)
Тогда
Din pir)=ЛЖ-й0г- ^ +...,
Г(1/2) 0 Г(1) 1 Г(3/2) 2
Vp = I a1t ~1/2 + a2t0 + 3 a3t1/2 +..., (12)
[D1/2p(r)]2 = Г-Ж-a0t->'2 + ima1t0 + ^/2 +.. .T .
Щ1/2) 0 Г(1) 1 Г(3/2) 2 )
Г(1) -1/2 , Г(3/2) . , Г(2) л/2 '2
a0t "" + —--a1r +-a21 +... | =
Г (1/2) Г(1) Г(3/2)
Г(1) T2 ,-1 + 2 Г(3/2)Г(1) t-1/21 +
-a0 I t + 2-a0 a1t > +
Г(1/ 2) 0) Г(1)Г(1/2) 0 1 I
[Гг(3/2) T2 о Г(1) Г(2) I
+ —-- a, I + 2—a0—a2 > +....
Н Г(1) 1) Г(1/ 2) 0 Г(3/2) 2|
Vp( D1/2 p)2 = ^ a1t-1/2 + a210 + 3 a3t1/2 +... Г(1) „ T2 .-1 - Г(3/2)Г(1) _ ,-1/2
П *• ~ Z, (Ar) Ui I
Г(1/2) 0) Г(1)Г(1/2) 0 1
a I2 + 2- Г(1)Г(2)
Г(1) ) Г (1/2) Г(3/2)
= 1 a f^L a0l2t-3/2 +.... 2 1 |Г(1/2) 0
Подставляя (12) в (11), приходим к выводу, что а2 имеет достаточно малое значение.
Итак, решение уравнения (7) можно эффективно искать в виде ряда (11), когда а близко к единице или нулю.
n=0
Величина а является конкретным значением для исследуемой скважины и определяется путем обработки зависимости, полученной в результате промысловых исследований, действующей толщины пласта от градиента давления.
Литература
1. Баренблатт Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М., 1972.
2. ШаймуратовР.В. Гидродинамика нефтяного трещинного пласта. М., 1980.
3. Алероев Т.С. // Докл. РАН. 1995. Т. 341. № 1. С. 9-11.
4. НахушевА.М. Дробное исчисление и его применение. М., 2003.
Чеченский государственный университет 27 сентября 2006 г.
УДК 539.3
ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ МЕЖФАЗНОЙ ГРАНИЦЫ В ЗАДАЧАХ РАВНОВЕСИЯ ДВУХФАЗНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ
© 2006 г. В.А. Еремеев, С.М. Кузьменко
The deformation of two-phase elastic bodies undergoing phase transitions is investigated taking into account the structure of phase interface region. Within framework of the theory of elastic mixtures the model of the phase interface is proposed. The phase interface is modeled as a layer consisting of a linear mixture of both phases. As an example, the deformation of two-phase elastic ball is investigated.
Механика тел, испытывающих фазовые и структурные превращения, представляет значительный интерес для различных отраслей техники, материаловедения, электроники. Характерной особенностью краевых задач, описывающих деформации двухфазных тел, является наличие заранее неизвестной поверхности - межфазной границы, на которой ставятся дополнительные условия, позволяющие определить границу раздела фаз [18]. Учет свойств границы раздела фаз может оказывать существенное влияние на решение этих краевых задач. Стандартным приемом учета свойств межфазной поверхности является введение поверхностного натяжения [1, 5, 6]. Вместе с тем в ряде случаев экспериментальные наблюдения показывают, что граница раздела фаз может иметь сложную природу, например, представлять собой сильно искривленную или изломанную поверхность, или даже переходный слой конечной толщины [9].
В данной работе предложена математическая модель межфазной границы, в рамках которой фазовая граница представляет собой слой, состоящий из смеси обеих фаз. На основе вариационного метода рассмотрено равновесие тела, состоящего из двух фаз, разделенных переходным слоем, расположение и толщина которого предполагаются заранее неиз-
