О физическом смысле числа Рейнольдса и других критериев гидродинамического подобия Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62-82(075.8)

О физическом смысле числа Рейнольдса и других критериев гидродинамического подобия

© К. А. Макаров МГТУ имени Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Предлагается физическая интерпретация числа Рейнольдса как отношение потока импульса жидкости, заключенной в объеме единичной длины вдоль по потоку, к силе вязкого трения на единице длины вдоль по потоку. При такой интерпретации также снимается противоречие между «энергетической» и «силовой» трактовками физического смысла числа Рейнольдса. Приводится обоснование логической корректности такой интерпретации. Рассмотрен физический смысл других параметров гидродинамического подобия.

Ключевые слова: гидродинамическое подобие, число Рейнольдса, число Фруда, число Ньютона, число Эйлера.

Рассматриваемая проблема связана с понятиями, давно и хорошо всем известными и широко используемыми в научной и прикладной деятельности. Но именно это обстоятельство делает ее особенно актуальной.

В наше время наряду с накоплением информации об окружающем мире в массе действует тенденция утраты способности понимать эту информацию. Люди привыкают использовать термины ситуационно, не задумываясь над их смыслом. К сожалению, эта тенденция действует и в области науки. По выражению А.А. Зиновьева, научные истины входят в массовое сознание в форме стереотипов и заблуждений [1].

Использование понятий без понимания их физического смысла чревато логическими ошибками и получением абсурдных результатов как научных, так и прикладных. Единственной защитой от этого является соблюдение требований научного мышления, главное из которых — корректное обращение с терминологией в соответствии с правилами логики.

У А.А. Зиновьева сформулированы требования к определению терминов (понятий), используемых в науке: однозначность, логическая непротиворечивость, полнота, удобство использования [2].

Если рассмотреть с этой точки зрения такую широко используемую величину, как число Рейнольдса, то можно заметить, что в фундаментальных трудах по гидродинамике [3-5] оно вводится просто как безразмерный комплекс, получающийся при обезразмеривании системы уравнений Навье — Стокса. Его величина позволяет судить о степени влияния некоторых членов уравнения на характер решения.

При этом физическому смыслу данной величины внимания не уделяется, поскольку, для математического вида решения это большого значения не имеет. Однако вопрос о физическом смысле выходит на первый план там, где встает задача об интерпретации результатов: в прикладных задачах и при построении новых теоретических представлений о тех или иных физических явлениях.

В публикациях по технической гидравлике, имеющих в большей степени прикладную направленность [6], как правило, дается физическая интерпретация числа Рейнольдса как величины, пропорциональной отношению сил инерции, к силам вязкого трения, действующим в потоке. Такое определение не является корректным, что проявляется при рассмотрении стационарных течений в каналах постоянного сечения, для описания которых число Рейнольдса широко используется (исторически оно и было введено для таких каналов).

Для анализа ситуации обратимся к смыслу принятого в механике понятия «сила». Он вводится как характеристика причины, способной вызвать изменение количества движения (импульса) физического тела, и численно равен скорости изменения импульса; в других терминах, удобных для описания течения непрерывной среды, — как изменение потока импульса на рассматриваемом интервале траектории движения непрерывной среды.

В соответствии с первым законом Ньютона, в инерциальных системах отсчета причиной такого изменения может быть только другое физическое тело, а численное значение характеризует степень его воздействия на рассматриваемое тело. Сила инерции вводится (и имеет смысл) только в неинерциальных системах отсчета. Ее принципиальная особенность в том, что она описывает изменение импульса тела (в неинерциальных системах отсчета), не вызванное воздействием других физических тел, а являющееся исключительно следствием неинер-циальности системы отсчета, в которой работаем. Очевидно, в инерци-альной системе отсчета ее быть принципиально не может, или можно сказать, что она по определению равна нулю. При введении числа Рейнольдса обычно работаем в инерциальных системах отсчета, связанных со стенками канала, и используем скорость относительно стенок канала, неподвижного относительно Земли, а в подавляющем большинстве задач гидравлики Земля постулируется как инерциальная система отсчета. Тогда, в соответствии с объявленным физическим смыслом, число Рейнольдса должно быть равно нулю. Переход к системе отсчета, связанной с элементом текущей жидкости, не снимает это противоречие в случае стационарного течения в канале с постоянным сечением. В этом случае скорость потока постоянна, а любая система отсчета, движущаяся без ускорения относительно инерциальной (Земли), тоже является инерциальной.

Известна также «энергетическая» интерпретация числа Рейнольдса как величины, пропорциональной отношению кинетической энергии объема, протекающего через рассматриваемое сечение, к работе сил вязкого трения над ним в процессе протекания. При такой интерпретации парадокса в случае стационарного течения в канале постоянного сечения не возникает. Кинетическая энергия отлична от нуля, работа сил вязкого трения — тоже. Можно было бы ограничиться чисто «энергетической» интерпретацией, но поскольку в классической механике «силовой» подход Ньютона и «энергетический» Лейбница тождественны и логически выводятся один из другого, то «силовая» интерпретация должна существовать и не приводить к парадоксам. Потребность в корректной «силовой» интерпретации диктуется тем, что число Рейнольдса используется в качестве критерия динамического подобия, характеризующего отношение сил в потоке.

Рассмотрим, откуда взялась «силовая» интерпретация, приводящая к парадоксальным результатам. По определению А.А. Зиновьева, в основе любого парадокса лежит логическая ошибка, и разрешить парадокс — значит показать ее [2].

В учебниках по машиностроительной гидравлике [6] используется утверждение, что в потоке вязкой несжимаемой жидкости силы инерции пропорциональны произведению динамического давления 2

■р2- на характерную площадь £. Для обоснования этого утверждения записывается закон сохранения количества движения (второй закон Ньютона) для элемента жидкости с характерным размером 8/:

8Г = кр(8/)3 — = кр(8/)3 —— = кр(8/)3 V—, (1)

Ж ds & ds

где к — безразмерный коэффициент формы; — элементарный путь частицы.

Далее проводится обезразмеривание с использованием характерного размера потока / и характерной величины средней скорости (у) :

V /У V VV

2 ( \ V

V V у

р(V)2/2. (2)

Таким образом,

8Г ~ р(у)2 /2, (3)

где коэффициент пропорциональности зависит только от кинематических параметров и, следовательно, у подобных потоков одинаков.

А так как /2 ~ £ и 8Г ~ Г, то

Р ~ р( у)2 5.

(4)

Для корректного использования приведенного вывода следовало бы оговорить, что бР в инерциальной системе отсчета, связанной со стенками канала, имеет смысл «суммы всех сил» и может быть интерпретировано как «сила инерции», если рассматривать элемент жидкости в системе отсчета, связанной с ним самим. Тогда сумма всех сил, вызванных воздействием физических тел, будет уравновешиваться этой силой инерции. Однако в случае постоянной скорости, при обоих этих подходах, и сила инерции, и сумма всех сил, вызванных воздействием физических тел, будут равны нулю, что лишает сделанные выводы смысла. Нуль пропорционален любому числу, если коэффициент пропорциональности тоже нуль, а здесь таковой

Откуда же взялась сила инерции? Для выяснения этого можно рассмотреть известную задачу о набегании потока жидкости на нормальную твердую безграничную стенку. В этом случае секундный импульс

будет равен силе воздействия потока на стенку. Соответственно, по третьему закону Ньютона, это будет сила воздействия стенки на поток, изменяющая его импульс. В этом случае в системе отсчета, связанной с элементом потока, она будет уравновешена силой инерции, возникающей в данной системе отсчета.

Таким образом, число Рейнольдса следует строго определять как «величину, пропорциональную отношению сил инерции действующих на элемент объема потока, которые возникнут в неинерциальной системе отсчета, связанной с этим элементом объема, если скорость этого объема проекции на первоначальное ее направление изменится до нуля в единицу времени к силам вязкого трения». Без сделанных здесь многочисленных оговорок физическая интерпретация утрачивает логическую строгость, что приводит к парадоксу, рассмотренному выше.

Такая громоздкая интерпретация физического смысла неудобна в использовании, очевидно поэтому, в книгах, имеющих прикладную направленность, эти необходимые оговорки опускают. Кроме того, такая интерпретация неудобна и для теоретических построений.

В качестве более удобного и в то же время корректного определения можно предложить следующее: число Рейнольдса — величина,

присутствует в явном виде: ё

Р = р()у = ру2 5

(5)

пропорциональная отношению потока импульса жидкости через выбранное сечение, заключенной в объеме единичной длины вдоль по потоку, к силе вязкого трения, действующей на этот объем.

Действительно, если за время Лt, необходимое для протекания через сечение диаметром ё объема единичной длины, через это сечение будет переноситься поток импульса

п 2 яё2

Р = рУ2 —, (6)

сила вязкого трения, действующая на этот объем, —

РТ = . (7)

Если принять ньютоновский реологический закон на границе рассматриваемого объема

ду

т = |—

дп

(8)

0

где п — направление, нормальное к боковой поверхности объема, то

vЛtкd. (9)

^ ду дп

Таким образом,

Р руё 1 1

1 4 ду Лt

дп 0

(10)

где

Лt — коэффициент, имеющий только кинематический

0

ду дп

смысл (угол наклона эпюры скоростей к нормали).

Предлагаемая интерпретация снимает рассмотренный выше парадокс: в стационарном течении через постоянное сечение поток импульса отличен от нуля. Кроме того, она обеспечивает внутренне смысловое единство «силового» и «энергетического» подхода. Так же, как и кинетическая энергия течения, поток импульса никак себя внешне не проявляет и измерен быть не может. Внешне проявляется и может быть измерено только изменение кинетической энергии, как и потока импульса (через совершенную работу, или силу).

0

Аналогичным образом можно интерпретировать и другие числа гидродинамического подобия: число Ньютона

Г-

Ке = — (11)

р( V)2 £

как отношение какого-либо вида сил к потоку импульса; число Эйлера

Ей — (12)

р< V) ^

как отношение сил давления к потоку импульса; число Фруда

(V) 2

Бг = ^----(13)

ГЬ

как отношение потока импульса к массовым силам (как правило — гравитационным).

Такая физическая интерпретация хорошо согласуется с тем, для чего используются числа подобия: оценка влияния соответствующих членов в системе уравнений Навье — Стокса, что физически означает степень влияния соответствующих сил (как источников изменения потока импульса) на «запасенную» величину потока импульса по отношению к этой величине.

Строгим логическим обоснованием предлагаемой интерпретации является следующее. Если записано какое-либо уравнение (численное выражение), описывающее физическую ситуацию (т. е. имеющее физический смысл), то при проведении над ним преобразований в соответствии с правилами логики смысл уравнения (численного выражения) должен сохраняться на каждом шаге таких преобразований [2]. Именно с этой целью правила логических преобразований и были придуманы. Правила математических преобразований являются частным случаем логических.

Косвенным проявлением этого закона в физике является сохранение размерности. Нарушение размерности соотношений — явный признак логической ошибки. Соблюдение размерности — необходимое условие логической корректности, но не достаточное, так как величины, имеющие разный физический смысл, могут иметь одинаковую размерность (например, масса как мера гравитации, масса как мера инертности, энергия и работа). Необходимым и достаточным условием будет именно сохранение физического смысла выражений, а сохранение размерности отсюда следует логически.

Рассмотрим с этой точки зрения систему уравнений Навье — Стокса:

8И

дг

8И

ду

дт

8И —

д г

_ди _ди

и--Ь V--

дх ду

_дУ _ду

Уи--Ь V--

дх дУ

и--Ь V--

дх ду

— ди 1 - др

-— = — Ех - Ей--

д! Бг дх

-ду 1 -

-м>-

= — Е - Ей

д! Бг

др ду

_дw 1 - др

- —— = — Р2 - Ей--

д! Бг д!

Яе Яе Яе

д 2и д 2и д2и Л

дх 2 о ду2 д! 2

д 2у д 2у д2у )

дх 2 ду2 д.! 2 )

д 2— д 2 — Ь о д 2 Ь . о

дх2 ду2 д!

. (14)

Она представляет собой закон сохранения количества движения для сплошной среды. Другими словами: в левой части изменение потока импульса, переносимого элементарным объемом, а в правой — разного рода силы, воздействующие на этот объем. При обезразме-ривании для удобства работы переходим к безразмерным численным величинам. Но, поскольку физический смысл должен сохраняться, то, с точки зрения логики, безразмерные числа подобия, появившиеся в качестве параметров в этих уравнениях, должны нести физическую смысловую нагрузку. Если проанализировать их физический смысл,

можно заключить, что множитель -1 в правой части перед безраз-

Яе

мерной величиной, описывающей действие сил вязкого трения, в знаменателе должен иметь величину, по физическому смыслу пропорциональную потоку импульса, а в числителе — пропорциональную силам вязкого трения, поскольку в левой части — именно поток импульса остается без коэффициента. Иначе говоря, на характерную величину потока импульса мы делим все члены уравнения при обез-размеривании. Таким образом, число Рейнольдса должно иметь физический смысл, сформулированный в настоящей работе. Аналогично обосновывается физический смысл других чисел подобия.

Предлагаемая интерпретация и ее обоснование имеют как познавательную ценность, так, возможно, и практическую, поскольку дают наглядные, непротиворечивые представления. Особое внимание этому вопросу следует уделять в технических вузах, основной задачей которых является научить студентов мыслить на научном уровне.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Зиновьев А.А. Логический интеллект. Москва, Изд-во Моск. гуманит. ун-та, 2005, 284 с.

[2] Зиновьев А.А. Очерки комплексной логики. Москва, Эдиториал УРСС, 2000, 560 с.

[3] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. 2. Москва, Физматгиз, 1963, 728 с.

[4] Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. Москва, Мир, 1964, 655 с.

[5] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Москва, Наука, 1970, 904 с.

[6] Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б., Байбаков О.В., Кирилловский Ю.Л. Гидравлика, гидравлические машины и гидравлические приводы. Москва, Машиностроение, 1970, 504 с.

Статья поступила в редакцию 05.02.2014

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Макаров К. А. О физическом смысле числа Рейнольдса и других критериев гидродинамического подобия. Инженерный журнал: наука и инновации, 2014, вып. 1. URL: http://engjournal.ru/catalog/eng/teormech/1185.html

Макаров Константин Анатольевич — канд. техн. наук, доцент кафедры «Гидромеханика, гидромашины и пневмогадроавтоматика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. е-mail: kmakarov@list.ru