CC BY
30
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 512
О ФАКТОРИЗАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ В АЛГЕБРАХ ПИМЕНОВА Д.Б. ЕФИМОВ
Отдел математики, Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар defimov@dm.komisc.ru
Рассмотрена операция деления в алгебре Пименова. Получены необходимые и достаточные условия простоты элементов в алгебрах Пименова с числом образующих меньше, чем 5. Приведены примеры факторизации элементов в этих алгебрах.
Ключевые слова: алгебра Пименова, факторизация, простые элементы
D.B. EFIMOV. ON FACTORIZATION OF ELEMENTS IN PIMENOV ALGEBRAS
We consider the operation of division in Pimenov algebra. We obtain necessary and sufficient conditions for prime elements in Pimenov algebras with a number of generators less than 5. We adduce examples of the factorization of elements in these algebras.
Key words: Pimenov algebra, factorization, prime elements
Введение
Коммутативная ассоциативная алгебра с единицей, порожденная конечным числом нильпотент-ных индекса 2 образующих, или алгебра Пименова, возникает во многих вопросах математики и теоретической физики. Сам РИ. Пименов применял ее для единого описания всех 3" геометрий Кэли-Клей-на размерности п (геометрий пространств с постоянной кривизной) [1], [2]. В последнее время ее использование связано в основном с методом алгебраических контракций [3-6]. Алгебра Пименова с одной образующей совпадает с множеством дуальных чисел, которые были введены УК. Клиффордом во второй половине XIX в. Эти гиперкомплексные числа находят широкое применение в различных областях математики, механики и теоретической физики [7-10]. В данной работе наше внимание будет сосредоточено на алгебрах Пименова, порожденных более, чем одной образующей.
Дадим строгое определение. Пусть К обозначает произвольное поле нулевой характеристики, например, поле вещественных или комплексных чисел. Определение 1. Алгеброй Пименова с п образующими над К называется ассоциативная алгебра, порожденная над К единицей и элементами 1к, к = 1,...,п, связанными определяющими соотношениями
4 =0, 1к II = , к, I = 1,...,п. (1)
Будем обозначать ее через Рп(1).
Из определения следует, что алгебра Рп(С) коммутативна, обладает единицей, и каждый ее элемент однозначно представляется в следующем
стандартном виде:
п
р = ро + ^ ^ Рк!...кьк ...к, (2)
¿=1 к1<***<к£
где р0,рк1...кь е К. По аналогии с комплексными числами элемент р0 будем называть действительной частью элемента р и обозначать через Иер, а элемент р - р0 мнимой частью элемента р и обозначать через 1тр. Алгебру Пименова с п образующими можно рассматривать [3] как подалгебру четной части алгебры Грассманна с 2п образующими. Напомним, что образующие последней, в отличие от образующих алгебры Пименова, являются антикоммутирующими [11].
Для целостных колец, т.е. коммутативных ассоциативных колец без делителей нуля, одним из важных вопросов является вопрос о факторизации элементов или, другими словами, разложении их в произведение простых множителей. Простым элементом называется необратимый ненулевой элемент, который не может быть представлен в виде произведения необратимых элементов. Так, в кольце целых чисел простыми элементами являются простые числа, в кольце многочленов от одной переменной — это неприводимые многочлены. Для этих колец известно, что каждый ненулевой необратимый элемент единственным образом с точностью до перестановки множителей и умножения на обратимые элементы представляется в виде произведения простых элементов.
Алгебра Рп(1) не является целостным кольцом, в ней есть делители нуля. Тем не менее, вопрос о факторизации ее элементов тоже не являет-
ся праздным и имеет определенное значение. Например, в некоторых работах по теоретичесой физике, использующих алгебру Пименова (см. [5], [6]), возникают выражения вида 1к/1к. Несмотря на то, что деление на образующие в алгебре Пименова не определено (о чем более подробно будет сказано в следующем разделе), такие выражения, что вполне естественно, полагаются равными единице. С математической точки зрения — это частный случай более широкого вопроса о решении уравнения ах = Ь относительно х, где а и Ь — необратимые элементы алгебры Пименова. Данное уравнение имеет решение только в том случае, если Ь можно разложить на множители, одним из которых будет а.
В первом разделе мы рассматриваем обратимые элементы и операцию деления в алгебре Пименова. Во втором разделе изучаем непосредственно факторизацию элементов.
1. Операция деления в алгебре Р„(л)
Данный раздел начнем с определений. Определение 2. Длиной монома А1к1.. ,ькь назовем число ь образующих элементов алгебры Р„(л), из которых составлен моном. Будем считать, что все элементы вида А1, Л е К, А = 0 имеют нулевую длину. Определение 3. Степенью degр элемента р е Р„(л) назовем наименьшую из длин мономов, входящих в разложение (2) элемента р. Степень элемента с ненулевой вещественной частью считаем равной 0. Степень нулевого элемента положим равной +го. Элемент р е Рп(1) будем называть однородным степени ь, ь < п, если в его разложение входят только мономы длины ь.
Вполне очевидно, что для любой пары элементов а,Ь из алгебры Рп(1) справедливо неравенство
deg аЬ > deg а + deg Ь.
(3)
Элементр е Рп(1) называется обратимым, если найдется элемент р-1 е Рп(0 такой, что рр-1 = р-1р = 1. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Для того, чтобы элемент р е Рп (1) был обратим, необходимо и достаточно, чтобы его вещественная часть была ненулевой. Если р — обратим, то р-1 единственным образом определяется по следующей формуле:
-1 р =
1т р V Б« р )
(4)
где М — максимальная степень, при возведении в которую 1т р не равна нулю.
Доказательство. Подробное доказательство данной теоремы для алгебры Грассманна дано в [11]. Соответственно, оно справедливо и для алгебры Пименова, как подалгебры алгебры Грассманна. Заметим также, что в более раней работе [12] правая часть формулы (4) дана в виде бесконечного степенного ряда. □
По сравнению с [11], учитывая структуру алгебры Пименова, дадим здесь более точную оценку для М. Рассмотрим произвольный элементр е Рп(1). Пусть число мономов, входящих в 1тр, записанной в
стандартном виде, равно ц. Тогда максимальную степень, при возведении в которую 1тр не равна нулю, можно оценить следующим образом:
{ deg(Imр) (5)
М < тт ■
где [] обозначает целую часть числа. Пример 1. Если р = 2 +11 — 1213, то М = 2 и
1 Л 11 - 1213 . (11 — 1213
2 ^ 2 +1 2 1 1 1 1
2 — 411 + 41213 — 8111213
)*)
Из этого примера следует, что число мономов в элементе и его обратном могут не совпадать. Но нетрудно видеть, что для любого обратимого элемента р е Рп(1) степени мнимых частей р и р-1 совпадают:
(6)
deg(Im р) = deg(Im р 1).
Теперь выпишем в явном виде выражения некоторых коэффициентов при мономах в обратном элементе через коэффициенты при мономах в самом элементе. Пусть дан элемент а и мы ищем его обратный элемент Ь. Рассмотрим равенство:
(а0 + • • • + а1...п11 . . . 1п)(Ь0 + • • • + Ь1...п11 . . . 1п) = 1.
Два элемента алгебры Рп(1) равны тогда и только тогда, когда коэффициенты в их разложении (2) перед соответствующими мономами равны. Перемножая скобки в левой части вышеприведенного равенства и приравнивая коэффициенты при соответствующих мономах 1к1 ... 1кь, получаем систему из 2п линейных уравнений от 2п неизвестных. При перемножении элементов из Рп(1) их вещественные части перемножаются, те. Б«аЬ = Б«аБ^Ь. Если а0 не равен 0, то он обратим и из равенства а0Ь0 = 1 мы однозначно находим:
Ь0 = — .
а0
(7)
Далее, после перемножения скобок в левой части равенства при образующей 1к будет стоять коэффициент ск = а0Ьк + акЬ0. Из уравнения ск = 0 однозначно получаем:
Ьк = -
ак Ь0 а0
= _к = 1, 2,
(8)
На следующем шаге определяем коэффициенты Ьк1к2 с двухзначными нижними индексами. Нетрудно заметить, что каждый из них однозначно выражается в виде дроби, в знаменателе которой стоит а0, а в числителе выражение от уже известных коэффициентов:
Ьк1к2 = —
ак1 Ьк2 + ак2 Ьк1 + ак1к2 Ь0 а0
2ак1 ак2 а0ак1к2
(9)
Аналогично, с помощью уже вычисленных коэффициентов находим коэффициенты с тремя нижними
1
р
а
0
а
0
индексами:
Ь
к1к2кз
2а0(ак1 ак2к3 + ак2 ак1к3 + ак3 ак1 к2 )
6ак1 ак2 акз + а0ак1к2кз
(10)
и так далее.
По определению вопрос о делении в алгебре Рп(1) эквивалентен вопросу о решении уравнения
= Ь, а,Ь е Рп(1).
(11)
Утверждение 1. Если элемент а — обратим, то уравнение (11) имеет единственное решение х = а-1Ь. Если Ь — обратим, а — необратим, то (11) решений не имеет. Если а и Ь — необратимые, одновременно не равные нулю элементы, то решение может как существовать, так и не существовать. Решение может быть не единственным, причем решения либо все обратимы, либо все необратимы.
Доказательство. Пусть ас = Ь и ас1 = Ь, где а — обратим. Тогда отсюда следует, что с = с1 = а-1Ь.
Вещественная часть произведения двух элементов равна произведению их вещественных частей. Поэтому если а — необратим, то вещественная часть элемента ах будет нулевой и уравнение ах = Ь, где Ь — обратим, решений не имеет
Пусть а и Ь — необратимы. Если х — решение уравнения ах = Ь, то х + Л1112 ...п, А е К также является решением этого уравнения. Если х — обратим, то deg а = deg Ь. А если х — необратим, то deg Ь > deg а. Отсюда следует, что либо все решения уравнения ах = Ь обратимы, либо все они необратимы.
Уравнение 1кх = 1к + 1кц имеет решение х = 1 + ц. Уравнение 1кцх = 1к решений не имеет. Действительно, если бы решение существовало, то в силу (3) должно выполняться неравенство deg 1к > deg 1кЦ + deg х, что, очевидно, неверно. □
Разрешимость уравнения (11) в случае, когда а и Ь необратимы тесно связана с вопросом о разложении необратимых элементов алгебры Пименова на простые множители, который мы рассмотрим в следующем разделе.
2. Разложение на простые множители
Определение 4. По аналогии с целостными кольцами, простым элементом в алгебре Рп(1) назовем ненулевой необратимый элемент, который не может быть представлен в виде произведения необратимых элементов.
С помощью формулы (3) легко показать, что каждый ненулевой необратимый элемент алгебры Рп(1) раскладывается в произведение конечного числа простых элементов. О единственности разложения речи, разумеется, не идет. Например, (11 + 12) • 12 = 11 • 12 — есть два различных способа разложения на простые множители одного и того же элемента 1112.
Из формулы (3) следует, что простыми элементами в Рп(1) являются все элементы первой степени. Рассмотрим вопрос, есть ли в Рп(1) простые элементы, отличные от элементов первой степени. Теорема 2. В алгебрах Пименова Р2(1) и Р3(1) простыми элементами являются только элементы первой степени.
Доказательство. Если элемент в Р2(1) необратим и его степень отлична от 1, то он является мономом р = Л1112, который, очевидно, не прост
Если элемент из Р3(1) необратим и его степень больше 1, то он имеет следующий вид:
р = а1112 + в1113 + 11213 + 6111213, а, в, 1,6 е К. (12)
Рассмотрим сначала его однородную часть второй степени, т.е. элемент
f = а1112 + в1113 + 11213, а, в, 1 е К.
Очевидно, что, если / — разложим, то его можно представить в виде произведения однородных элементов первой степени:
/ = (а111 + а212 + а313)(Ь111 + Ь212 + Ь313). (13)
Один из коэффициентов, скажем а1, можно выбрать равным 1. Раскрывая в (13) скобки и приравнивая коэффициенты, получаем систему:
Ь2 + а2 Ь1 = а,
Ь3 + а3Ь1 = в, а2 Ь3 + а3 Ь2 = 1.
Принимая а3 = а и Ь1 = Ь за параметры и выражая через них остальные коэффициенты, получаем:
а2
7 — аа в — 2аЬ ’
Ь2
ав — Ь7 — аЬа в — 2аЬ ’
Ь3 = в — аЬ.
Таким образом, элемент / является разложимым. Из этого разложения легко получить и разложение элемента р, добавив, например, во второй сомножитель слагаемое б1213. Таким образом, любой элемент в Р3(1), степень которого больше 1, не является простым. □
Пример 2. Если в = 0, то полагая а = Ь = 0, получаем:
а1112 + в1113 + 11213 + 6111213 =
'У
= (11 + в12 )(а12 + в13 + б1213).
Первым примером алгебры Пименова, в которой есть нетривиальные простые элементы, является алгебра Р4(1).
Лемма 1. В Р4(1) среди однородных элементов второй степени простыми являются только элементы следующих двух видов:
1) а1а1ь + в1а1с + 11ъ1а, а, в, 1 = 0;
2) а1а1ь + в1а1с + 11ь1а + б1с1а, ав1б < 0,
где все индексы а, Ь, с, й различны и принимают значения от 1 до 4.
Доказательство. Однородный элемент 2-й степени в Р4(1) имеет следующий общий вид:
р = а1112 + в1113 + 11114 + 61213 + Р1214 + Я1314. (14)
4
а
о
4
а
о
Очевидно, что если р разложим, то его можно представить в виде произведения однородных элементов 1-й степени:
Р =
(£ (Е V,).
(15)
Раскрывая в данном равенстве ^обки и приравнивая коэффициенты, получаем систему:
' аф2 + а2Ь\ = а афз + а3Ьі = в а\Ь4 + афі = 7 а2Ьз + аз Ь2 = 6 а2Ь4 + аф2 = р, азЬ4 + а4Ьз = а.
(16)
Однородные элементы 2-й степени, состоящие из двух мономов, можно разбить на два класса. Первый класс — это элементы, оба монома которых содержат одну и туже образующую. Такие элементы, очевидно, разложимы.
Второй класс — это элементы, в которых одна и та же образующая присутствует ровно в одном мономе, те. элементы вида:
р = аіЦ2 + аізЦ.
Очевидно, что если такой элемент представим в виде (15), то один из коэффициентов, скажем а1, можно принять равным 1. Тогда, принимая коэффициенты аз = а и Ь1 = Ь за параметры, для данного элемента р находим из системы (16):
а2 =26’ а4
—а—, Ь2 = Ь3 = -аЬ, Ь4 = —.
— 2аЬ 2 2а
Таким образом, элемент р = аііі2 + аізі4 является разложимым. Заметим, что из его разложения можно получить нетривиальное разложения и для отдельного монома, занулив один из коэффициентов а или
—.
Однородные элементы 2-й степени, состоящие из трех мономов, можно разбить на три класса. Первый класс — это элементы, все мономы которых содержат одну и туже образующую. Такие элементы, очевидно, разложимы.
Второй класс — это элементы, в которых одна и та же образующая присутствует ровно в двух мономах, те. элементы вида:
р = аіі 12 + вЧ 13 + 3І2І3.
В силу теоремы 2, они тоже разложимы.
Третий класс — это элементы, в мономы которых две образующие входят по два раза и две по одному, т.е элементы вида
р = аіЦ2 + вчіз + рІ2І4. (17)
В предположении, что аз = 1, система (16) примет
для них вид:
' аф2 + а2Ьі = а, аіЬз + Ьі = в’ аіЬ4 + а4Ьі = О, а2 Ьз + Ь2 = 0’
а2Ь4 + а4Ь2 = Р’
Ь4 + а4Ьз = 0.
Из 2, 4 и 6-го уравнений находим:
Ьі = в - аіЬз, Ь2 = -а2Ьз, Ь4 = -а4Ьз.
(18)
(19)
Подставляя эти выражения в 5-е уравнение, получаем —2а2а4Ь3 = р. Так как р = 0, то отсюда следует, что а4 = 0. Подставляя (19) в 3-е уравнение, получаем а4(в — 2а1Ь3) = 0. Так как а4 = 0, то в — 2а1Ь3 = 0. Подставляя (19) в 1-е уравнение, получаем а2 (в — 2а1Ь3) = а. Отсюда следует, что а = 0. Пришли к противоречию. Следовательно, система (18) не совместна и элемент (17) является простым.
Рассмотрим теперь однородные элементы второй степени, состоящие из четырех и более мономов. Заметим, что если в таких элементах какая-нибудь из образующих входит ровно в три монома, то эти элементы не являются простыми. Например, если в представлении (14) коэффициенты а, в и 7 при мономах, в которые входит 11, не равны нулю, то справедливо равенство
, ^6 — ар + а в 16 + ар — ав
р = (11 + ---„Г 12+ „------ 13 +
+
2в1 —у6 + ар + ав 2ав
2а7
14)(а.12 + віз + 714).
Аналогичные формулы справедливы в случае, когда отличны от нуля коэффициенты при мономах, в которые входят образующие 12, 13, 14. Под эту категорию автоматически попадают однородные элементы 2-й степени, содержащие 5 и 6 мономов.
Рассмотрим теперь однородные элементы 2-й степени, состоящие из четырех мономов, такие, что каждая из образующих входит ровно в два монома:
р = аіі 12 + віі із + РІ2І4 + аізі4.
(20)
В предположении, что аі шется для них в виде:
1, система (16) перепи-
Ь2 + а2Ьі = а, Ьз + азЬі = в,
Ь4 + а4Ьі = 0,
а2Ьз + азЬ2 = 0, а2Ь4 + а4Ь2 = р, азЬ4 + а4Ьз = а.
(21)
Принимая коэффициенты а3 = а и Ь1 = Ь за параметры, из системы (21) находим, что в — 2аЬ = 0 и
а2 =
в — 2аЬ
а4 =
в — 2аЬ
Ьз = в — аЬ, Ь4 =
Ь2 =
—Ьа в — 2аЬ'
а(в — аЬ) в — 2аЬ ''
а
аа
а
Подставляя найденные значения в пятое уравнение системы (21), получаем уравнение
ава
р.
(22)
(в — 2аЬ)2
Отсюда видно, что для совместности системы (21) необходимо, чтобы величины ава и р имели одинаковые знаки, что равносильно неравенству
авра > 0.
(23)
Если условие (23) не выполняется, то система (21) не совместна и элемент (20) является простым. Если же условие (23) выполняется, то тогда > 0 и из (22) получаем еще одно условие на параметры а и Ь:
в — 2аЬ = ±.
4
ава р.
(24)
Подбирая а и Ь, удовлетворяющие (24), получаем разложение элемента (20) на нетривиальные простые множители. Тем самым лемма полностью доказана. □
Рассмотрим в Р4(1) произвольный элемент ви-
да:
: а111 + а212 + а313 + а414, а* е К,
(25)
у которого среди коэффициентов а* есть три ненулевые.
Лемма 2. Для любого однородного элемента третьей степени
т = а111213 + в111214 + 7111314 + 6121314,
а, в, 7,6 е К, найдется однородный элемент второй степени
V = Ь11112 + Ь21113 + Ь31114 + Ь41213 + Ьъ1214 + Ьб1314,
Ь; е К, такой, что
(26)
Доказательство. Предположим для определенности, что а1а2а3 = 0. Приравнивая коэффициенты в равенстве (26), получаем систему:
а1Ь4 + а2Ь2 + а3Ь1 = а, а1Ь5 + а2Ь3 + а4Ь1 = в, афб + а3Ь3 + а4Ь2 = 7,
а2Ь6 + а3Ь5 + а4Ь4 = 6.
(27)
Матрица данной системы относительно переменных Ь1,... ,Ь6 имеет вид:
А -
а3 а2 0 а1 0 0
а4 0 а2 0 а1 0
0 а4 а3 0 0 а1
0 0 0 а4 а3 а2
(28)
Ее ранг равен 4, так как определитель матрицы, составленной из первого, третьего, пятого и шестого столбцов матрицы А, не равен 0:
а3
000
а4 а2 а1 0
0 а3 0 а1
— —2а1а2а3.
0 0 а3 а2
Таким образом, система (27) совместна.
Аналогично можно доказать данное предложение в случае, если не равны нулю другие три коэффициента а*. □
Рассмотрим теперь общий случай.
Теорема 3. В Р4 (1) простыми являются только следующие элементы:
1) элементы первой степени;
2) элементы, которые после приведения к стандартному виду можно представить как р = д + г, где г — элемент степени больше 2, а д — элемент одного из следующих видов:
(а) а1а1ь + в1а 1с + 11ь1а, а, в, 7 = 0;
(б) а1а1ь + в1а 1с + 71ь1а + 61с1а, ав,у6 < 0,
где все индексы а, Ь, с, й различны и принимают значения от 1 до 4.
Доказательство. Из определения степени и свойства (3) следует, что все элементы первой степени являются простыми. Пустьр е Р4(1) — произвольный элемент, степень которого больше 1. Его однозначно можно представить в следующем виде:
р = д + г + 611121314,
где д — однородный элемент второй степени, а Г — однородный элемент третьей степени. Очевидно, что для того, чтобы р был разложимым элементом, необходимо, чтобы д был разложимым элементом или нулевым. Отсюда и из леммы 1 следует, что указанные в пункте 2) теоремы элементы являются простыми.
Покажем, что все остальные необратимые элементы в Р4(1) являются разложимыми. Пусть д = 0 и д = Ьв — его разложение на простые однородные множители 1-й степени. Анализируя леммы 1 и 2, нетрудно видеть, что один из множителей ь или в всегда можно выбрать в виде (25). Пусть это будет ь. Тогда в силу леммы 2, найдется однородный элемент второй степени г такой, что ьг = г. Предположим теперь, что в ь в качестве одного из слагаемых входит элемент а11. Тогда нетрудно видеть, что представление
(29)
является одним из разложений элемента р на простые множители 1-й степени. Аналогично, если в ь в качестве слагаемых входят другие образующие. Если д = 0, то, опять же, в силу леммы 2, элемент р можно представить в виде (29) только без слагаемого в во втором множителе. □
Вернемся еще раз к решению уравнения (11) в случае, когда а и Ь — необратимые элементы. Если deg а = deg Ь, то данное уравнение имеет решение только в случае, если а и Ь отличаются на обратимый множитель, например, а = 11, Ь = 11 +1112 = а(1 +12). Eсли же deg Ь > deg а, то данное уравнение имеет решение только в случае, когда Ь — не простой, и одним из его сомножителей при факторизации является а. Например, если а — элемент первой степени, а Ь — один из элементов второй степени, указанных в теореме 3, то (11) решения не имеет
и
Заключение
В данной работе мы рассмотрели простые элементы в алгебрах Пименова с числом образующих не более четырех. Что касается алгебр Пименова с большим числом образующих, то нетрудно видеть, что если элемент й прост в алгебре Рт(1), то он также будет простым и в любой алгебре Рп(1), где п > т. Отсюда, с учетом теоремы 3, следует, что в алгебрах Рп(1), п > 4 есть простые элементы степени 2. Интересно было бы рассмотреть общий случай и выяснить, каковы другие возможные степени простых элементов алгебр Пименова.
Полученные результаты могут быть полезны при разработке алгоритмов разложения элементов алгебры Пименова на простые множители.
Автор выражает благодарность Н.А. Громову за обсуждение материала и полезные замечания.
Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект № 12-П-1-1013.
Литература
1. Пименов Р.И. Аксиоматическое исследование пространственно-временных структур // Тр. Ш-го Всесоюзн. матем. съезда. Т.4. М., 1959. С. 78-79.
2. Пименов Р.И. Единая аксиоматика пространств с максимальной группой движений // Литовский матем. сборник. 1965. Т.5. № 3. С. 457-476.
3. Громов НА. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый под-
ход. Сыктывкар, 1990. 220 с.
4. Gromov NA, Kostyakov I.V., Kuratov V.V. Quantum orthogonal Cayley-Klein groups in Cartesian basis // Int.J.Mod.Phys.A. 1997. Vol.12. № 1. P. 33-41. (q-alg/9610011).
5. Громов НА. Возможные контракции группы SU(2) x U(1) // Известия Коми НЦ УрО РАН. 2010. Вып. 1. С. 5-10.
6. Gromov NA. Possible quantum kinematics. II. Nonminimal case // J. Math. Phys. 2010. V. 51. № 8. 3. 083515-1-12; arXiv:1001.3978v1.
7. Диментберг Ф.М. Винтовое исчисление и его приложения в механике. М.: Наука, 1965. 200 с.
8. Дуплий СА. Нильпотентная механика и суперсимметрия // Проблемы ядерной физики и космических лучей. Вып. 30. Харьков: Выща школа, 1988. C. 41-48.
9. Кисилъ В.В. Индуцированные представления группы SL2 (R) и гиперкомплексные числа // Известия Коми НЦ УрО РАН. 2011. Вып. 1(5). С. 4-10.
10. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения классической унитарной группы над кольцом дуальных чисел // Изв. вузов. Математика. 1995.№ 6. C. 74-81.
11. Browne J. Grassmann Algebra. Quantica Publishing, Melbourne, Australia, 2009.
12. DeWitt B. Supermanifolds. Cambridge University Press, 1992.
Статья поступила в редакцию 01.10.2012.
