О единстве основания проблемы логического всеведения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 164.3

Вестник СПбГУ. Сер. 6. 2012. Вып. 1

Ю. В. Нечитайлов

О ЕДИНСТВЕ ОСНОВАНИЯ ПРОБЛЕМЫ ЛОГИЧЕСКОГО ВСЕВЕДЕНИЯ

Эпистемическая логика, основанная на семантике возможных миров, является одной из логических систем, в совокупности именуемых иногда философской логикой, иногда — интенсиональной логикой, реже — модальной логикой. В большинстве случаев под модальной логикой понимается ее алетический фрагмент. Многообразие логических систем, составивших корпус философской логики, удалось получить благодаря тому, что отношения достижимости между возможными мирами могут быть наделены различными свойствами, а также благодаря осуществлению соответствующей интерпретации этих свойств. Как следствие, опираясь на абстрактное выражение необходимости, в этих системах удалость представить временные модальности (всегда будет, всегда было), деонтические модальности (запрещено, обязательно), динамическую модальность (при любом выполнении программы), доксастическую модальность (убеждение), эпистемические модальности (знание, неведение) и многие другие. Указанные модальности помимо получения особых свойств, относящихся к каждой из них в отдельности, в большинстве случаев унаследовали свойства минимальной нормальной модальной логики: нормальность и монотонность. В случае с модальностями эпистемической логики это привело к получившей широкую известность проблеме логического всеведения.

Не секрет, что алетические модальности выражались через временные еще в эпоху Аристотеля и Диодора, о чем, например, можно прочитать в историческом экскурсе О. Ю. Гончарко, представленном в этом же номере1. Однако именно благодаря семантике возможных миров удалось найти элегантное выражение широкого класса модальностей через абстрактное представление алетических. Поэтому, несмотря на выявление проблемы логического всеведения, эпистемическая логика продолжает развиваться как логическая система. К проблеме логического всеведения следует относиться как к инструменту, позволившему очертить границы применимости эпистемической логики, а не как к факту, который ставит под сомнение какую бы то ни было применимость и даже осмысленность данной системы.

С другой стороны, когда удается очертить границу формальной системы, возникают как предпосылки, так и стремление для выхода за пределы обнаруженных ограничений за счет модификации существующих принципов. Традиционно решения, требующие минимальной модификации, имеют приоритет. Вместе с тем ограничивающая применимость системы проблема логического всеведения проявляется в довольно внушительном перечне аксиом, теорем и производных правил вывода эпистемиче-ской логики. Такое многообразие не позволяет обойтись минимальной модификацией синтаксиса языка эпистемической логики для устранения рассматриваемой проблемы. Представлению многообразия синтаксических форм, с которыми традиционно соотносят эту проблему, посвящен первый раздел.

На данный момент существует множество способов устранения проблемы логического всеведения. Во втором разделе они сведены в четыре группы, согласно работе

© Ю. В. Нечитайлов, 2012

1 См. с. 21-26 настоящего издания.

Ж. Халперна и Р. Пуцелла [1]. Рассмотренные варианты демонстрируют неизбежность изменения семантики системы при попытке устранения синтаксического проявления проблемы логического всеведения.

Цель данной работы — выявить единое основание проблемы логического всеведения, которое могло бы стать основой для минимального перестроения системы, позволяющего добиться устранения этой проблемы. В третьем разделе как раз формируется представление о едином семантическом основании проблемы логического всеведения, и намечаются способы ее устранения.

1. Проявление логического всеведения

Для всех нормальных систем интенсиональных логик, включая эпистемическую, минимальная нормальная модальная логика К передает модальностям, основанным на алетических абстракциях необходимости и возможности, начальный набор свойств. В результате эпистемическая модальность «знает», являющаяся разновидностью але-тической абстракции «необходимость», наделяется свойствами, которые, с точки зрения эпистемических интерпретаций, являются скорее нежелательными. Негативную окраску они приобрели из-за того, что приводят к проблеме логического всеведения. Большинство из них регулярно упоминается в соответствующих работах по эпистеми-ческой логике.

Так, неотъемлемым принципом минимальной нормальной модальной логики является правило Геделя:

Ь<р

ь Ка(р'

(1)

По аналогии с английским названием его можно было бы именовать правилом апо-диктичности (neccessitation). Согласно ему, из того, что формула р является теоремой рассматриваемого класса модальной логики, следует, что агент а ее знает. То есть предполагается, что он, обладая неограниченными ресурсами, знает все бесконечное множество теорем. Собственно этот принцип и приводит к тому, что можно назвать [абсолютным] логическим всеведением. Действительно, если иметь в виду теорему о дедукции, то согласно правилу аподиктичности агент будет знать не только все бесконечное множество теорем, но и все правильные схемы рассуждений, какими бы сложными они ни были.

Другой неотъемлемый принцип минимальной нормальной модальной логики связан с аксиомой К:

Ь ка(ср^ф) ->■ (Ка¥>-» Каф). (2)

Он выражает то, что знание замкнуто относительно следствий, т. е. если агент а знает об истинности некоторого набора формул р, а также о том, что из р следует ф, он должен знать и об истинности ф. Проблемным местом здесь является то, что не устанавливается ограничение на количество формул в дереве вывода (рассуждения) или на их сложность. В результате в случае предварительной нормализации агент становится способным мгновенно получать все следствия из начальных условий любого уровня сложности. Этот принцип приводит к тому, что можно было бы назвать проблемой неограниченной аналитичности.

К сожалению, рассматриваемая проблема логического всеведения не ограничивается минимальными нормальными логиками, а касается даже систем ненормальных (слабых) модальных логик. Так, принцип (3) выполняется даже в слабых системах модальных логик:

I- (р ф

Ь Кар Каф

(3)

Согласно этому принципу, если два высказывания равносильны друг другу, то агент, зная одно из них, должен знать и другое. В общем случае это, конечно, не имеет места: во-первых, о том, что нечто является равносильным, можно и не знать, несмотря на то что оно таковым является, во-вторых, можно не догадываться даже о самом наличии равносильной «альтернативы».

Характеристический принцип монотонных исчислений (4) также (по аналогии с (3)) представляет проблему логического всеведения:

I- р —> ф

b Кaip -»• Каф '

(4)

Характеристический принцип регулярных исчислений (5) приводит к выводу (по аналогии с (2)) о неограниченных дедуктивных способностях агента:

Точно к таким же выводам приводит и принцип (6), являющийся очередной вариацией на тему неограниченного применения одного из правил естественного вывода эпистемическим агентом:

\-ка<р ^ ка(<р V ф)_ (6)

Встречаются и другие варианты представления проблемы логического всеведения. Так, в одной из ранних работ по этой тематике, опубликованной Н. Решером и А. Вандер Натом [2], встречается ряд синтаксических вариаций на тему проявления логического всеведения. Интересной представляется попытка вынести знание агента за рамки эпистемической системы путем модификации ряда принципов. Например, принцип (4) можно модифицировать относительно неэпистемической системы Б следующим образом:

Ыр^ф, I- КаЧ>

К аФ

(7)

Получается, что если p и ф связаны в рамках логической системы S и агент знает p, он должен знать и ф. Откуда, опираясь на правило Modus Ponens и правило аподиктич-ности (1), получим его вариацию, не наделяющую агента знанием всей эпистемической логики (а не только пропозиционального фрагмента или минимальной нормальной системы K):

bs V

Ь Ка(р '

Но даже несмотря на это, агент все еще знает бесконечно много.

(8)

Во многих случаях можно не обращать внимания на эти нежелательные свойства, даруемые исчислением К и его слабыми фрагментами, смирившись с наличием логического всеведения в формальной системе. Основным плюсом будет то, что, оставшись в рамках языка нормальных модальных логик, мы перенесем в эпистемическую логику все результаты, полученные для этих систем. Основным минусом — то, что мы лишимся возможности использовать эпистемическую логику для описания эпистемических ситуаций, исключающих любые проявления принципов логического всеведения.

Вместе с тем есть несколько значимых в информатике классов задач, для которых наличие логического всеведения в формальной системе исключает возможность ее применения для решения этого класса задач. К ним можно отнести: задачи с ограничением на время вычислений, задачи с ограниченным пространством вычислений (включая любые ограничения, накладываемые на размер хранилищ информации) и задачи, связанные с ограниченностью алгоритмов вычислений.

Ввиду наличия столь существенных аргументов для каждой из сторон (одна из которых готова смириться с наличием логического всеведения, а другая — нет) вполне разумно развивать оба направления. В данной статье акцент сделан на исследовании возможности создания формального языка без логического всеведения.

2. Способы устранения логического всеведения в эпистемической логике

За последние сорок с лишним лет было предпринято множество попыток решения проблемы логического всеведения. Все они были сопряжены с серьезной модификацией не только языка модальной логики, но и семантики возможных миров. В подтверждение этого в данном разделе приводится обзор четырех классов решений, позволяющих устранить проблему логического всеведения. Этот обзор предваряется «нулевым» вариантом решения этой проблемы, связанным с ограничением использования эпи-стемических систем.

2.1. Ограниченное применение эпистемической логики

Как уже упоминалось, проблема логического всеведения позволяет очертить границу применимости классических эпистемических систем. Поэтому если соблюдать определенные предписания, эта проблема не должна себя проявить. Следует признаться, что этих предписаний не так уж и много.

Первое из них касается правила аподиктичности (1), которое можно «обойти», если ограничиться задачами, не опирающимися в своем задании или возможном решении на знание агентом сложных теорем.

Второе из них касается аксиом К (2), а также (5) и (6). Проблемы, вызванные этими аксиомами, можно решить, если ограничиться задачами, не опирающимися в своем задании или возможном решении на возможность применения агентом сравнительно длинных цепочек вывода.

Третье касается правил выводов (3) и (4). Проблемы, вызванные этими правилами, можно решить, если ограничиться задачами, в которых исходные посылки не выражают сложных принципов, вполне доступны для восприятия моделируемых агентов, а также если эти правила применяются довольно ограниченное число раз.

Перечисленные предписания позволяют устранить проблему логического всеведения, пользуясь возможностями второго метауровня языка, т. е. за рамками собственно

системы эпистемической логики. Далее в этом разделе пойдет речь о способах устранения проблемы логического всеведения в рамках системы эпистемической логики.

2.2. Непосредственное перечисление формул, которые агент знает

Первым рассмотрим способ, когда для множества формул Ск задается специальное отображение С, непосредственно перечисляющее для каждого возможного мира н> и агента а набор формул, которые агент знает в этом мире. Таким образом, к кортежу модели М£к добавляется еще один элемент С : Ш х А ^ 2^к, а семантика модальности «знает» переопределяется следующим образом:

ЭЯ-Ск,№ 1= ттт (р е С(гп,а). (9)

Заметим, что отображение С не ограничивается множеством атомарных формул. Кроме того, если мы хотим сохранить возможность рассуждать не только о фактах, но и о знании, то отображение С должно распространяться и на множество модальных формул. Наконец, если мы захотим выполнять рассуждения о публичном знании, то нам потребуется допустить для возможного мира н> и агента а задание бесконечного набора формул.

Перспективы перехода к динамической эпистемической логике при таком способе устранения логического всеведения весьма туманны, поскольку основания знания и неведения заданы неявно и лежат за рамками логической системы, будучи спрятанными в отображении С. Другими словами, нам придется задавать, в частности, влияние на знание такой логической операции, как публичное анонсирование. При том что основания знания агента лежат за рамками логической семантики, такое воздействие также придется выносить за ее рамки.

2.3. Непосредственное перечисление формул, о которых агент осведомлен

Второй способ устранения логического всеведения похож на первый тем, что используемое в нем отображение А, задающее осведомленность агента, по своим характеристикам сходно с отображением С, перечисляющим формулы, которые агент знает: оно также непосредственно перечисляет ряд формул в зависимости от возможного мира и агента. Однако в отличие от последнего это отображение задает набор формул, относительно которых агент осведомлен. Между этим набором формул и знанием агента в модели М£к уже нет взаимнооднозначной связи, которая имела место в предыдущем случае. Здесь агенту недостаточно быть осведомленным о каком-то факте, чтобы знать его. Вместе с тем осведомленность о каком-то факте необходима для того, чтобы агент имел возможность знать этот факт.

Интуитивно эту осведомленность следует понимать как способность брать в расчет, принимать во внимание или просто видеть нечто. Другими словами, к формулам, задающим осведомленность агента, относится то, что может занимать агента, или же то, вопросами относительно чего он мог бы задаваться. При этом знание следует понимать как способность оценить, имеет это нечто место или нет, т. е. как способность ответить на да/нет вопрос относительно тех фактов, событий или явлений, которые связаны с формулами, перечисляемыми отображением А.

Таким образом, в этом случае к кортежу модели М£к добавляется еще один элемент А : Ш х А ^ 2^к , а семантика модальности «знает» переопределяется следующим образом:

2.4. Алгоритмическое задание знания

Если в предыдущих способах устранения логического всеведения использовались эксплицитные формы определения ряда формул, известных агенту через непосредственное перечисление, то при алгоритмическом задании ряд формул, известных агенту, определяется имплицитно. Подходящую аналогию можно найти в формальной лингвистике. Отображения С и А можно сравнить с грамматиками, генерирующими множества слов, принадлежащих соответствующему языку. Тогда алгоритмическое задание можно сравнить с тем, как автомат распознает, принадлежит ли слово, данное на входе, соответствующему языку.

Агент знает р, если его алгоритм получения знания возвращает «Да» на запрос о р. Выделяется класс корректных алгоритмов получения знания. Последние при ответе «Да» гарантируют, что во всех достижимых мирах р истинна. При ответе «Нет» они гарантируют, что существует возможный мир, в котором р ложно, и агент не знает р. При ответе «Неизвестно» ничего не гарантировано.

2.5. Невозможные возможные миры

Данное решение, впервые предложенное основателем современной эпистемиче-ской логики Яакко Хинтиккой [3], основано на добавлении к достижимым мирам множества Ш' невозможных возможных миров, в которых логические тавтологии могут оказываться ложными. Очевидно, что такие миры не будут удовлетворять привычным законам логики. Ситуацию в них призвано сгладить отдельно задаваемое отображение С:

Для любого ги' € Ш9Н,ск,«/ 1= р ттт <р е С(ги', а). (11)

То есть формула истинна в невозможном возможном мире, если и только если это задано соответствующим отображением. Для возможных миров данной системы задается семантика, полностью повторяющая традиционный вариант для эпистемической логики. Как следствие, если отношение достижимости ведет из некоторого мира в том числе и в невозможный, то в исходном мире агент будет знать формулу р, только если эта формула учитывается отображением С, помимо того, что она истинна / учитывается во всех остальных достижимых мирах.

3. Выявление единого основания проблемы логического всеведения

В большинстве современных статей, посвященных проблематике логического всеведения, серьезное внимание уделяется примерам, связанным с постепенным приростом знаний в стиле игр с несовершенной (imperfect) информацией. К ним относятся, в частности, карточные игры, а именно те, где каждый из участников может иметь представление о всех возможных раскладах у соперников, но фактически не знает, какой именно из них имеет место. Ключевым моментом является то, что игра полностью задана. Можно сказать, что имеется полная определенность относительно всех неопре-

деленностей. Проблема логического всеведения рассматривается при этом с точки зрения наделения участников идеальными неограниченными вычислительными способностями.

В своем исследовании проблемы логического всеведения мы обратимся к другому примеру, который в корне отличается от приведенного. Рассмотрим задачу, известную как «загадка Эйнштейна».

Пример 3.1. На одной улице подряд стоят пять домов, каждый своего цвета. В каждом живет человек, все пять — разных национальностей. Каждый человек предпочитает уникальную марку сигарет, напиток и домашнее животное. Кроме того:

1. Норвежец живет в первом доме.

2. Англичанин живет в красном доме.

3. Зеленый дом находится слева от белого, рядом с ним.

4. Датчанин пьет чай.

5. Тот, кто курит Marlboro, живет рядом с тем, кто выращивает кошек.

6. Тот, кто живет в желтом доме, курит Dunhill.

7. Немец курит Rothmans.

8. Тот, кто живет в центре, пьет молоко.

9. Сосед того, кто курит Marlboro, пьет воду.

10. Тот, кто курит Pall Mall, выращивает птиц.

11. Швед выращивает собак.

12. Норвежец живет рядом с синим домом.

13. Тот, кто выращивает лошадей, живет в синем доме.

14. Тот, кто курит Winfield, пьет пиво.

15. В зеленом доме пьют кофе. Вопрос:

Кто разводит рыбок?

Очевидно, что агент должен обладать незаурядными вычислительными способностями, чтобы мы могли утверждать, что для него знание условий этой задачи равносильно знанию ответа. Данная задача прекрасно иллюстрирует проблематичность принятия принципа (3). Обратим внимание, что до сих пор мы обращали внимание на проблематичность представления подобных задач только с точки зрения синтаксиса. Однако не меньшие трудности возникают и в семантике. Для того чтобы это продемонстрировать, достаточно будет определить семантику минимального нормального фрагмента эпистемической логики.

Определение 3.2. Модель языка Mlk

Для множества агентов A и множества атомарных высказываний P модель языка базовой эпистемической логики Mlk является моделью Крипке и определяется кортежем (W, (Ra}aeA, V), в котором

1. W является непустым множеством возможных миров (иногда называемых множеством состояний или областью определения модели).

2. Ка С W х W является отношением достижимости, связывающим пары миров относительно агента a. Для любой пары миров w1, w2 б W наличие такого отношения достижимости от мира w1 к миру w2 обозначается как (w1, w2) б Ra или

w1 Raw2.

3. V: Р ^ 2Ш является функцией означивания, которая для каждого атомарного высказывания р £ Р задает множество миров V(p) С Ш, в которых такое высказывание истинно.

То, что высказывание р истинно в мире т модели М, принято обозначать М, т Ир. Функция означивания модели Крипке присваивает значение истинности только атомарным высказываниям. Всем остальным высказываниям эпистемической логики значения присваиваются согласно следующим индуктивным правилам.

Определение 3.3. Означивание эпистемических формул

Как следует из этого определения, пропозициональные тавтологии являются истинными, а пропозициональные противоречия — ложными во всех возможных мирах вне зависимости от способа задания модели. Кроме того, из определения 3.3 видно, что значение истинности остальных немодальных высказываний определяется одной лишь функцией означивания V. Принцип композициональности, на котором основывается механизм задания значений высказываний в семантике возможных миров, подразумевает, что в каждом возможном мире определены значения всех атомарных высказываний, а на их основе мгновенно вычислимы значения всех правильно построенных формул любой сложности. Поэтому с точки зрения семантики формулировка задачи Эйнштейна, т. е. приписывание значений истинности соответствующим высказываниям, автоматически ограничит множество возможных миров до одного единственного мира, в котором уже будет задано, что рыбок разводит немец. К этому приводит композициональность семантики, и, очевидно, именно она порождает неограниченную аналитичность, частным случаем которой является логическое всеведение.

На основании вышеизложенного возможным решением проблемы логического всеведения мог бы стать переход к семантике, организованной наподобие неполных (incomplete) игр, в которых описание или правила могут доопределяться уже по ходу. То есть в таких играх может быть неизвестно то, что неизвестно, а значит, структура соответствующей эпистемической логики должна быть неевклидова. Кроме того, в этой семантике должно быть снято обязательство задания функции означивания для атомарных формул, но зато вместо этого добавлено разрешение задания этой функции для произвольных формул. К принципам переписывания должны быть добавлены те, что основаны на удалении знаков. Наконец, правила переписывания не должны применяться неограниченно. Указанные основания должны позволить создать эпистеми-ческую логику, лишенную проблемы логического всеведения, а также позволяющую задействовать класс неполных игр, которые распространены с практической точки зрения, но слабо изучены с формальной.

Таким образом, получено, что принцип композициональности семантики является единым основанием проблемы логического всеведения. Намеченное решение, свя-

w ^ Р 9Яск, w И —up ШСк, w И ¡р Л ф mCK,w^Kap

ттт1 w б V(p)

ттт не верно, что 9Лхк, w \= tp ттт , w И и ЙЯ£к, w И ф

ттт для любого V

ттт

(12)

(13)

(14)

(15)

если (w,v) е 1„, то Шск,у И р>

занное с пересмотром парадигмы композициональности, должно позволить перейти, с точки зрения теоретико-игровой семантики, от полных к неполным играм. Несмотря на то что такое решение кардинально изменит кажущийся незыблемым базовый принцип композициональности семантики возможных миров, оно перспективно с практической точки зрения, поскольку большинство моделей, описывающих реальные ситуации, также не являются полными.

Литература

1. Halpern J. Y., Pucella R. Dealing with logical omniscience // Proceedings of the 11th conference on Theoretical aspects of rationality and knowledge. TARK '07. New York: ACM, 2007. P. 169-176. URL: http://doi.acm.org/10.1145/1324249.1324273 (дата обращения: 10.09.2011).

2. Rescher N., Nat A. On Alternatives in Epistemic Logic // Journal of Philosophical Logic. 1973. Vol. 2, N 1. P. 119-135.

3. Hintikka J. Impossible Possible Worlds Vindicated // Journal of Philosophical Logic. 1975. Vol. 4, N 3. P. 475-484.

Статья поступила в редакцию 15 сентября 2011 г.