Семантика первопорядковой динамической логики знания Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Семантика первопорядковой динамической логики знания1

Е. Е. Ледников

abstract. In the paper the semantics for DKpr-logic (first order dynamic logic of knowledge) are proposed. In such semantics some intuitive properties of possible worlds semantics are used.

Ключевые слова: семантика, модальность, интерпретация, модель, знание, убежденность, доказательство, вера, мнение, сомнение, опровержение.

В работах [1, 2] была сформулирована в аксиоматической форме и в виде аналитических таблиц первопорядковая динамическая логика знания (далее будем ее обозначать как DKpr-логику). Сформулирована она в первопорядковом языке PL содержащем счетное множество индивидных pi предикатных переменных и исходные логические символы V, D, =, У, 3, =, Ky, Cy, Gy, Ty, By, Dy, Ry}. Напомним, что модальные операторы языка PLd, характеризующие ментальные состояния субъекта р в процессе познавательной деятельности, означают, соответственно, «субъект р знает, что... », «субъект р убежден в том, что... », «субъект р доказывает, что... », «субъект р верит, что... », «субъект р полагает, что... », «субъект р сомневается в том, что... », «субъект р опровергает, что... ». Все формулы вида KyA, CyA, GyA, TyA, ByA, DyA, RyA или их отрицания, где A — формула классической первопорядковой логики, являются формулами DKpr-логики. Также формулами DKpr-логики являются все формулы вида (Ух)В и (3х)В и их отрицания, B ВИДЕ1 VyA, причем A — формула классической первопорядковой логики, Vy — один из модальных операторов DKpr-логики. Также форм улами DKpr-логики являются

'Исследование поддержано РГНФ, проект .У® 07-()3-()0335а.

все формулы вида К^Ч^А , поскольку субъекту <р должно быть позволено осознавать все свои ментальные состояния.

Естественно возникает вопрос, какой может быть семантика подобной модальной логики. Воспользуемся хоропто известной идеей семантики возможных миров. Нам потребуются для каждого модального оператора наборы возможных миров с отношением достижимости па них. Что должны представлять собой подобные миры? Возьмем, например, оператор личностного знания К^. В этом случае возможные миры — это, говоря словами Я. Хиптикки, «эпистемические альтернативы» знаниям субъекта <р в «действительном» мире [3]. Но знания выражаются в высказываниях. Значит, все миры должны содержать наборы высказываний — от простых, т. е. пропозициональных переменных, до сложных, образованных с помощью логических связок и кванторов. Думается, что такую степень логической образованности для субъекта <р мы вправе допустить. В противном случае, какой вообще смысл гворить о логике рассуждений, основанной па его знаниях? Далее, Зс1Пс1С ЗНЭ.НИИ субъекта конечен, хотя, с известной долей идеализации, можно допустить, что он может быть сколь угодно большим. Эти

запасы знании

базируются па описаниях состояния [4], представляющих собой множества атомарных высказываний или их отрицаний. Но, в отличие от Р. Карпапа, исследовавшего алетические модальности и поэтому говорившего только о полных описаниях состояния, мы будем допускать в качестве эпистемически возможных миров и неполные описания состояния, т. е. такие, в которых отсутствуют как некоторые атомарные высказывания, так и их отрицания, а, значит, отсутствуют и сложные высказывания, которые можно было бы построить из отсутствующих атомарных. Данное допущение выглядит вполне уместным, поскольку реальный носитель знаний никогда не обладает полными, исчерпывающими знаниями. По-видимому, подобные эпистемические альтернативы должны удовлетворять условию непротиворечивости, т. е. пи одно атомарное высказывание не должно входить пи в один эпистемически возможный мир наряду со своим отрицанием.

Все сказанное относится и к другим наборам альтернатив, за исключением условия непротиворечивости. Например, в описа-

тшя состояния, лежащие в основе доксатических альтернатив, вполне могут входить некоторые атомарные высказывания одновременно с Pix отррщатшем. В самом деле, вполне мыслима, например, ситуация, когда субъект мнения полагает, что предсказывать судьбу невозможно, и nppi этом в сложных жизненных обстоятельствах он без колебаний обращается к гадалкам. Но подобная непоследовательность может быть характерной и для других умственных состояний субъекта <р. Скажем, субъекту позволительно верить во взаимоисключающие, несовместимые вещи — разве не с этим феноменом мы сталкиваемся в случае религиозной веры некоторых ученых?

Перейдем теперь к построению семантики 0Крг-лотжкш. Моделью М будет (U, И, Wk, Wc, Wg, Wf, Wb, Wd, Wr, Rk, Rv, Val), где U — предметная область индивидов a,b,c,d ... — универсум рассуждения, И — выделенный («реальный») мир, Wk, Wc, Wg,

Wf, Wb, Wd, Wr — множества миров (альтернатив) соответству-

Rk

стижимости на Wk (на эиистемических альтернативах), Rv — отношение достижимости па альтернативах остальных видов Val

жениям языка PLd — функция означивания. От ношение Rk обладает свойствами рефлексивности и транзитивности, па отношение R^ не наложено никаких ограничений.

Для каждой пары множеств миров Wk, Wv существует множество S такое, что {S} = {p,q,r,... A\,... Am} = {Wik} ^ {Wik} П ... {Wk} (где j — число элементов в Wk), иричем {S} С {W^7} для произвольного возможного мира W^7. Другими сло-S

трш, которая является подмножеством множества высказываний произвольной альтернативы W^.

Охарактеризуем теперь с помощью определений функцию озтта-Val

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Val(xi) = a £ U, т. е. любой предметной переменной Xi эта функция сопоставляет некоторый индивид a

U

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Val(Pn) = V(Pn) = {{ax,a2,... an), {bx,b2, ... bn),... }, т. е. любой n-местной предикатной переменной Pn

функция Val сопоставляет объем V, состоящий из множеств упорядоченных п-ок индивидов из U.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Val(A) = Я ил и Val(A) =Л. Другими словами, любой формуле A языка PL¿ функция Val сопоставляет семантический объект «истина» или семантический объект «ложь». Эту же мысль можно выразить как M, Wi = A или M, Wi ¥ A — как выполнимость (соответственно, невыполни-A Wi M

Val

ли M). Отношение выполни мости = определяется следующим образом:

для элементарного высказывания p или его отрицания ~ p: M, Wi = p p), если p(~ p) G Wi;

2) для отрицания произвольного пеэлемептарпого высказы-

A

ванпя, которые принадлежат к Wi : M, Wi |=~ A, если, M, Wi ¥ A M, Wi A, если M, Wi = A;

для конъюнкции Ai &A2 : M, Wi = A1&A2, тел и M, Wi |= Ai и M, Wi = A2; M, Wi ¥ A1&A2, если M, Wi ¥ Ai или M,Wi ¥ A2;

для дизъюнкции Ai VA2: M, Wi = Ai VA2, тел и M, Wi = Ai или M, Wi = A2; M, Wi ¥ Ai V A2, если M, Wi ¥ Ai и M, Wi ¥ A2

для импликации Ai D A?. M, Wi = Ai D A2, тел и M, Wi ¥ Ai или M, Wi = A2; M, Wi ¥ Ai D A2, если M, Wi = Ai и M,Wi ¥ A2;

для высказывания о знании K^A: M, Wk = K^A, если M,Wjk = A в каждом Wf таком, что Wk Rk Wjf, иначе M, Wk ¥ KA

7) для высказывания о любом ином ментальном состоянии субъекта ф: M, Wj |= VvA, если M, Wj = Ab каждом Wj таком, что WjRvWJ, иначе M, Wj,¥ V^A]

8) для элементарной формулы исчисления предикатов Pn(xi...xn). M,Wi = Pn(x1..,xn), если (Val(xi),... Val(xn)) £ V(Pn), в противном случае M, Wi ¥ Pn(x1... xn);

для формулы с квантором общности (Vx)A(x)\ M,Wi |= (Vx)A(x), если для каждой функции Val', отличающейся

Val x

A(x), M,Wi,Val' = A(x). В противном случае, M,Wi ¥ (Vx)A(x);

для формулы с квантором существования (3x)A(x) : M, Wi = (Vx)A(x), если существует хотя бы ОДНЕ1 функция Val' Val

значения для x в A(x), такая, что M,Wi,Val' = A(x). В противном случае, M,Wi ¥ (3x)A(x).

Высказывание A общезначп мо ( = A), тел и M, H = A во всех M

Теперь следует остановиться па особенностях кваптификации в модальных контекстах, или, как раньше было принято говорить, па de re модальностях. Как избежать известных модальных парадоксов, связанных с подставимостью тождественного, V-введением и 3-удалением? Ранее нами указывалось [5], что значениями кватттифицируемых переменных в эпистемических контекстах должны быть «известные» индивиды, а в доксати-ческих контекстах (контекстах мнения) — так сказать, «полагаемые» индивиды. Обобщая данную идею, нам следует сделать вывод, что при построении DKpr-логики потребуются также индивиды, в существовали которых субъект <р убежден, существование которых он доказал или подтвердил эмпирическими исследованиями, в существование которых он верит, в существовании которых он сомневается и существование которых он опровергает. Весь спектр подобных индивидов можно задать в языке PLd посредством соответствующих индивидных дескрипций. Их можно считать, в духе идей Б. Рассела, «неполными» символами. Но вводиться в язык они должны контекстуальными определениями, отличающимися от расселовских- С учетом специфики возникающих в DKpr-логике модальных контекстов, каждый объект кваптификации должен удовлетворять условию,

так сказать, «модального» существования и единственности — он должен существовать в единственном экземпляре не только в выделенном «реальном мире», по и в соответствующих наборах возможных миров.

А именно каждый известный субъекту <р индивид должен характеризоваться индивидной дескрипцией вида:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Ек\(1х)А =% (Зу)[К^(А(у) &(Уг)(А(г) = . г = у))], контекстуально элиминируемой с помощью определения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. [(1х)А]В(1х)А =% (Зу)[К^(А(у)&(Уг) (А(г) = . г = у)) & В (у)]. Индивид, в существовании которого субъект <р убежден, будет характеризоваться индивидной дескрипцией вида:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Ес\(сх)А =% (Зу)[С^(А(у) &(Уг)(А(г) = . г = у))], контекстуально элиминируемой с помощью определения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. [(1х)А]В(1х)А =% (Зу)[С^(А(у)&(Уг) (А(г) = . г = у))& В(у)].

Данная схема контекстуальных определений и элиминации справедлива для контекстов любых динамических модальностей:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. ЕV!(1х)А =% (Зу)[У^(А(у) &(Уг)(А(г) =

.г = у))],

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. [(1х)А]В(х)А =% (Зу)[У^(А(у)&(Уг) (А(г) = . г = у))& В (у))].

Во всех приведенных определениях выражение [(1х)А]В(1х)А

В

ном из аргументных мест индивидную дескрипцию [(1х)А\, причем область действия этой дескрипции максимальна. Выражения Ек\(1х)А,Ес\(1х)Аъ Ev\(1х)А — соответственно утверждения об известном субъекту <р существовании и единственности объекта (сх)А, о существовании и единственности объекта (сх)А, в котором субъект <р убежден, о существовании и единственности объекта (сх)А, на который направлено одно из остальных ментальных состояний субъекта <р.

Исходя из сказанного, правила для кванторов в модальных контекстах ОКрг-логики уместно, в отличие от классической логики предикатов, переформулировать следующим образом:

(У-удадение). Если Ь (Зу)[Уу(А(у) & (Уг)(А(г) = . г = у))], то Ь (Уш)В1 (ш) Э (ьх)А. Здесь — тот из личностных модальных операторов ОКрг-логики, в области действия которого находится индивидная дескрипция (ьх) А в формуле При этом модализированная формула В2 отличается от модали-зированной формулы В1 только вхождением индивидной дескрипции (ьх)А на место свободного вхождения индивидной переменной ш.

(3-введение). Ь В2(ьх)А Э (Зш)В1(ш). Опять модализированная формула В2 отличается от модализироваппой формулы В1 только вхождением индивидной дескрипции (ьх)А на место свободного вхождения индивидной переменной ш. Следует обратить внимание па то обстоятельство, что контекстуальные определения формулы В2(ьх)А (определения 5, 7, 9) предполагают ее истинность только при соответствующем модальном существовании и единственности дескрипции (ьх)А. Поэтому дополнительная посылка такого рода была бы излишней.

Еще одна проблема квантификации в ОКрг-логике связана с нарушением в модальных контекстах правила подставимости тождественного (хорошо известный парадокс «Утренней Звезды» и «Вечерней Звезды» связан как раз с этим нарушением). Чтобы подобного парадокса не возникало, достаточно принять

следующие два правила:

=

бодпого вхождения индивидной переменной). Если Ь (Зу)[Уу(А(у)&(Уг)(А(г) = .г = у))], то Ь (х)А = ш Э . В1(ш) = В2(ьх)А. Модализированная формула В2 отличается от модализированной формулы В1 только вхождением индивидной дескрипции (ьх)А па место свободного

вхождения индивидной переменной ш;

=

другой). Если Ь (Зг\)\Чу(А1 (21) & (Уу1)(А1(у1) = .у1 = 2!))], Ь (Зг2)[Ъу(А2Ы&(Уу2)(А2(у2) = . у2 = ¿2))], ™ Ь (ьх1)А1 = (ьх2)А2 Э . В1(ьх1)А1 = В2(ьх2)А2. Модали-

зированная формула B2 отличается от модализированной формулы Bi только вхождением индивидной дескрипции (1x2)A2 на место вхождения индивидной дескрипции (iXi)Ai.

Может показаться, что построение DKpr-логики ведет к существенному усложнению синтаксических правил языка. Однако приведенные правила детерминируются предложепой семантикой, тте оставляющей нам свободы в Pix формулировках.

Литература

[1] Ледников Е.Е. Об одном варианте динамической логики знания // Логические исследования. Вып. 11. М., 2007. С. 218-223.

[2] Ледников Е.Е. ТТабросок первопорядковой кванторной динамической логики знания // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы X Общероссийской научной конференции 26-28 июня 2008 г. Санкт-Петербург, 2008. С. 287- 289.

[3] Хинтикка Я. Семантика пропозициональных установок // Логико-эпистемологические исследования. М., 1980. С. 68-101.

[1] Карнап Р. Значение и необходимость. М., 2000. С. 38-39.

[5] Ледников Е.Е. Некоторые особенности первопорядковой кванторной логики знания и мнения // Логические исследования. Вып. 12. М., 2005. С. 207-210.