О двух краевых задачах для смешанных уравнений с перпендикулярными линиями изменения типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2001, Том 3, Выпуск 4

УДК 517.946

О ДВУХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СМЕШАННЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА

В. А. Елеев, В. Н. Лесев

В работе рассмотрены две модельные краевые задачи для уравнений парабологипербо-лического типа с нелокальными условиями на границе. Указаны условия, при которых эти задачи однозначно разрешимы в классе регулярных решений.

Рассмотрим уравнение

О

и,,

в По, в 1Ъ,

и.

- иъ

(1)

Сои,

*уу - \fsignyu

где Оо — область ограниченная отрезками АС, СО, !)() и О А прямых х = 1, у=1, х = 0, у = 0 соответственно; И, (¿ = 1,2) — характеристические треугольники, причем О1 — ограничен отрезком О А оси абсцисс и двумя характеристиками АЕ: х — у = 1, ЕО: .г | у = 0 уравнения (1), выходящими из точек А, О и пересекающимися в точке Е; И> — ограничен отрезком АС прямой х = 1 и двумя характеристиками АВ: х — у = 1, ВС: х + у = 2 уравнения (1), выходящими из точек А, С к пересекающимися в точке В (см. рис.). Совокупность областей Оо, Ох и вместе с открытыми отрезками О А и АС обозначим через О.

Задача 1. Найти регулярное решение и(х,у) уравнения (1) в областях ílj {'} = 0,1, 2) из класса С(%) П С^Оо и О А и АС) П Сг{Пг и О А) П Сг{П2 и АС), удовлетворяющее условиям

и\оо = (р\{у), 0 < у < 1,

1

(2) (3)

© 2001 Елеев В. А., Лесев В. Н.

а(х)А0х + Ъ(х)А1х +с(х)иу(х, 0) = d(x), (4)

а также условиям сопряжения

r-f (ж) = a\(x)Ti (ж) + 7i(ж), Pi (ж) = Pi(x)ui(x) + ¿i(x)r]f(ж) + cri(x), (5)

Ъ(У) = <*2(у)т£(у) + 72{у), V,7 (у) = t32{y)vt (у) + ^(у)г^(у) + <т2(у), (6)

где

X

Aax[f(x)} = /(ж) ~ J fW^Z^fch (|Ai|>/(® - а)(яг - i)) dt,

a

s\ / \ ^ • s\ / \ ^

+ 1 . x — 1

&o(x) = — — г —, ui(x) = —---г —-—;

uv s 2 2 2 2

r^(x) = lim^u(x,y), V\{x) = lim^ uy(x, y);

т2 (У) = У)> ^ (У) = их(ж, у);

Aj = const, со = с0(ж, у) < 0 ЗВДВННЫ6 коэффициенты; с0 е С(О0), а(ж), Ь(ж), с(ж), «¿(i), ^»(i), <£>2(|/) G С2[0,1];

¿(ж), сгДО G Сх[0,1];

а(ж) ф 0, а(ж) - Ь(ж) - 2е(ж) ф 0, ф 0 (г = 1, 2).

Справедлива следующая

Теорема 1. В области О не может существовать более одного решения задачи 1, если выполнены условия

(3\(ж)$1 (ж) < 0, А(1) ^ В{0), А'{х) < 0, В'{ж) < 0, «2(1)Дг(1) > 0, 132{у)Ш > 0, о!2{уШу) + МуШу) > 0, (7)

где

А(х) - а(ж)

В( ж)

а1(ж)/31(ж)[а(ж) — Ь( ж) — 2с(ж)] Ь(ж)

а1(ж)/31(ж)[а(ж) — Ь(ж) — 2с(ж)]

< Действительно, пусть и(х,у) — решение задачи 1. Тогда > решение задачи Коши и(ж,0) = т^ (ж), иу{ж,0) = у^ (ж) для уравнения (1) в области О1 задается формулой [1, с. 139]

х+у

п(х}у)=т^х + у)+2г^х-у) +1 I Л

х-у

х+у

^(ж-£)2 - у2

Удовлетворяя последнее равенство условию (4), с учетом [2, с. 37]

0ж Г "-2-+ ~Г Т1 (*}--

•1 1.1- <! -^и[в1(х)

[тг (х)]'+ (х) |Ах| [т-{гуММ^^и,

£ — ж

получаем первое функциональное соотношение между тх (ж) и г/х (ж) в виде

[а(ж)-Ь(ж)-2с(ж)]г/1"(ж) = а(ж)|Л1| / г" (<) ^

ж — t

(8)

— Ь(ж)|Лх| / т1-(^)^^1^-^1^ + [а(ж) + Ь(ж)]т1-'(ж)-2<ж).

í — ж

(9)

Здесь ./„(«) — функция Бесселя первого рода порядка 5 действительного аргумента Проинтегрировав по области О0 тождество

д 1 д

и[ихх -иу + со(х,у)и] = —(иих) //;. -+ е0(ж,|/)и2 = О

и учитывая однородные граничные условия, будем иметь

о о

+ £ [и2 — Со (ж, у)м2] с1,хс1,у = 0. По

Переходя к пределу при у > 0+ в уравнении (1) в О0; получим

ж)]" - и?(х) + с0(ж, 0)тI (ж) = 0.

1

Выражая из (10) и^(х), а затем подставляя в интеграл / = / Т+ (х)и^ (х)йх

о

с учетом (2) и (3) заключаем, что

1 1

(10)

I = -

тл

' 1 / 2

(ж) (¿ж + / Со (ж, 0) (ж)] (¿ж ^ 0.

(11)

Но из (8), используя условия сопряжения (5) и интегральное представление функции Бесселя [3, с. 303]

1

Г + ^ Js(x) = — ^тр J(1 — z2)s~icos xzdx, ^Re

где Г(:) — гамма-функция, легко показать, что при выполнении условий теоремы 1 справедливо неравенство I ^ 0 и, следовательно, из (11) заключаем, что rf (ж) = 0. Таким образом, (х) = const, а так как rj~(0) = T-f(l) = 0, то rf (ж) = 0.

Остается показать, что второе слагаемое в (9) неположительно. Для этого воспользуемся условиями сопряжения и соотношением между т(у) и и^ (у) приносимым на АС из области О2 [4, с. 74]:

У

г2-(у) = 2(fi2 (|) - V2(0)- J 2(fi2 - ¥»2(0) (|Л2| Vyt-t2) dt

0 у (12)

J0[\X2\(y-t)]^(t) dt,

где /.«(-*) — модифицированная функция Бесселя. Из (12), в результате элементарных преобразований при выполнении условий (7), будем иметь

т.

■+(y)4(y)du^0. (13)

Таким образом, из (9), с учетом (13) следует, что их{ж, у) = 0 или и{ж, у) = /(у), но так как и(1,у) = 0, то /(у) = 0, а значит и(х,у) = 0 в О0. Отсюда, и из единственности решения задачи Коши для уравнения (1) в областях Ох и И-2 вытекает тривиальность решения однородной задачи 1, что и доказывает единственность решения этой задачи. >

Переходим к доказательству существования решения задачи 1. Начнем с рассмотрения системы уравнений (5), (10). Из этой системы в результате ряда преобразований получаем функциональное соотношение между т, (./•) и (ж), которое, с учетом ранее полученного соотношения (8), редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода:

rf(ж) + / K(x,t)r{(t)dt = Ф(ж), (14)

где

К (.г. £) = |Ах|/(ж)

/О*

•Г / С

У г-т] У т]-г

О О I

¿х(0 1 со(£, 0)

А (0/(0 /(О 2[а'х(0]2 -сц (*)<(*)

ГЧО

(О «1(0/(0

а (0 + Ь(0

Ф(ж) = /(ж)

ж

т1~ (0) /(0)

«КОДО ТГ (0)

/(о)

/_1(ж)

(ж - 0 - 2

Гх(0

- а(0 - Ь(0 -

2а'

1(0 ]

«1(0/(0]'

тГ (0) - тГ (0) I 2,ап\(°,)п, + а(0) + 6(0)

х=0

«1(0)/(0)

+ I (ж - О о

"«1(0 ( Г 71 (01

[ /(0 V 1 ах (0-1

«ДО

/(ж) = ах(ж)/{/Зх(ж)[а(ж) — Ь( ж) — 2с(ж)]}.

- 2ф)

Неизвестную постоянную тх (0) входящую в Ф(ж) определим следующим образом. Обращая (14) через резольвенту Д(ж,0 ядра К(ж, 0 находим

т1"(ж) = Ф(ж) - I Д(ж,0Ф(0^-о

(15)

Положив в (15) ж = 1, будем иметь

1

т-'(о) = /(о)(т1-(1) -1(1) + J ф(0й(1,0

о

где

Ф(ж) = Ф(ж) - Ж/(до) = /(!) " /

Таким образом, равенство (15) дает единственное решение задачи 1 в области Ох, при условии, что /¿1 Ф 0. После определения ж) и г^(ж), находим решение задачи в Ох как решение задачи Коши уравнения (1).

Далее в области О0 рассмотрим задачу с краевыми условиями (2), и(х, 0+) = т^ (ж), и(1 — ,у) = Т2~(у), решение которой имеет вид [5, с. 64]:

1 у

и(х,у) = ио(х,у) - ! £ С0(£, 7?; ж, у)и(£, 7?) (¿7?, (16)

о о

где

ио(х,у)

т.

2+(77)6^(0,77; ж, у) ¿Г]

у 1

- I с3(77)Сс(1,77;ж,|/) йг]+ £ т^ (£)(?(£, 0; ж, у) о о

ж, у)

2 у/^у-г]) п£г

ОО .г

^ < охр

— — ^

(ж - £ + 2га): 4(у - г?)

ехр

(ж + £ + 2п): 4(у - г])

— функция Грина первой краевой задачи уравнения (1).

Затем, обращая интегральное уравнение Фредгольма второго рода (16) через резольвенту Н(£,г];х,у) ядра со(£, 77)(?(£, 77; ж, у), дифференцируя по ж и переходя в полученном выражении к пределу при ./• > I , будем иметь

у у

их\х=1 = 1*2 (у) = ! Р1х(л'А,у)(р1(л) Ф + У Р2х(г1;1,у)г^('п) ф +

о о

ехр ([4(?7 — у)]-1) 1 / (1 + 2п)2

/(1 2п)2\ 1

ч - V) у/п(у - V)

У ' 1 - / п2 \ 1

Ьехр -Т^Т + о ^ ехр

о

у/<У - •п) V (у-'П)) 2 у/(тг(у-Г1) \ {у-г,)

£.-№3) К«-

2 у/7Г(У~'П) 2^7

1__1 ^ / (1 + 2п)2\ 1

где

у 1

Fi(rj',x,y) = J J G^(О, 77; в, t)R(9, t; ж, у) d9dt,

Г] О

у 1

F2('i]; х, у) = — J J 77; в, t)R(6, t; ж, у) dQdt,

г] о

'dF±{x,y) i dF5(x,y)\

/ Ж=1

^'3^ 1 с)х ' с)х

у 1

/•:,(./•.//) = J J F5(e,t)R(e,t-,x,y) dBdt

о о 1

F5(x,y)= / G(£, 0; ж, d£.

Рассматривая полученное соотношение между r^iy) и и^ (у) совместно с (12) и условиями сопряжения (6), приходим к интегральному уравнению Воль-

терра второго рода относительно и^ (у)

у

+ J S{y,t)v2{t)dt = T{y),

о

где ядро S(y, Г) и правая часть Т(у) выражаются через известные функции. После определения /л; (у) и т.; (у) находим решение задачи в области il-> как решение задачи Коши и( 1, у) = (у), их( 1, у) = и^ (у) уравнения (1), а в О0 — как решение первой краевой задачи. Рассмотрим теперь уравнение

Q = Г ихх ~ Щ + f(x,y), вП0,

I - Uyy - Af sign ум, В Оi,

где /(ж, у) — заданная функция, А, = const (г = 1,2), a Q — та же область, что и в задаче 1. Сохраним и введенные ранее обозначения ж), uf(x), r^iy),

4 (У)- _

Задача 2. Найти регулярное в областях it, (г = 0, 2) решение уравнения (17), удовлетворяющее краевым условиям (3), условиям

I

аих(0, у) - bD*yu(0, у) = <pi(y), (18)

и\ОЕ = (р3(х), О^ж^-, (19)

и условиям соиряже^ (5), (6), где Л* - о™ дробно™ диффере.циро-

пан им в смысле Римана — Лиувилля [6, с. 28], причем а = а(у), Ъ = Ь(у) — заданные непрерывные коэффициенты такие, что

аЪ> 0; ¿¿(О, <пЦ) ЕС1 [0,1], &(*), ¥>1)2,з(*) £ С2[0,1],

ф 0(г = 1, 2), <р2(0) = ¥>3(0) = 72(0) = 0.

Кроме того,

аг{1)[31 (1) > 0, а'^/З^х) + ах{х)^х{х) < 0, /31(х)61(х) < 0. (20)

Под регулярным решением уравнения (17) будем понимать функцию и(х, у) из класса С(Щ П С^Оо и О А и АС) П Сг(иг и О А) П (02 АС), а при ./• = 0 и у С (0. 11 удовлетворяющую условию Гельдера с показателем К > 1/2.

Докажем вначале единственность решения задачи 2. Пусть и(х, у) — решение однородной задачи 2. Тогда справедливо равенство

1 1 [и2(х, 1) — и2(х, 0)] с1х+ и(0, у)их(0, у) ¿у

2

о

1

(21)

- I т2 (УМ (У) % + I их(1х(1у = 0.

О По

Так как рассматривается однородная задача, то (18) можно записать в

виде

I

аих(0,у) = ЬВ^уи(0,у).

С учетом последнего равенства и принципа экстремума для операторов дробного дифференцирования [7, с. 308], легко убедиться в справедливости неравенства

1

и(0,у)их(0,у) йу ^ 0. о

Теперь покажем, что и(х, 0) = 0. Для этого в (17) перейдем к пределу при у —>• 0+, получим

[т+(х)]"-и+(х) = 0,

откуда, с учетом однородных граничных условий (3), (19) заключаем, что

1\ = I Т+ (ж)г/+(ж)с?ж = I Т1~(х) [т-^(ж)]" (¿ж = — I т+ (ж) (1х ^ 0. (22)

Используя соотношение между тг (ж) и Рг (ж) можно показать справедливость неравенства

1г ^ 0. (23)

Действительно, удовлетворяя решение задачи Коши м(ж, 0) = т, (ж), иу(ж,0) = 1>1 (ж) для уравнения (17) в области Ох условию (19), будем иметь

д

Т1 (ж) + / Ф^о

(24)

Применяя к (24) формулы взаимного обращения интегральных уравнений Вольтерра [8, с. 1138]:

д

м(ж) - I м(г)—10 у/\х(х - г) <и = ж (ж),

ж д

N(x)+ I ^(Оу-^о л/Щх^) & = М(ж),

получим

тГ(2/) = ( ^ ) + I »1^)10 (|А1|^-£2) М

о

х

-2^3 ¿^о (^^-ж*) м

Далее, используя равенство

с

о _

/о (|А,|у^ -е) --Л» (|А,|\/.г2-ж/

А

будем иметь

тх (ж) = - +2 /

ж

о

А д

2 дг

Л

| Лх | ж2 — хЛ

А+! [ХгЦх

о

Подставляя последнее равенство в интеграл 1

т,

' (х)р1 (ж) ¿1(ж)

а1(ж)/31(ж) /?1(ж)

(ж) 01(ж)

(1/Х«,

А (ж)

(1х.

а также, учитывая однородность условий, получим

1 ж 1

Л= /

У 01 (ж)/?1 (ж о о

Используя интегральное представление функции Бесселя ./() А{ (./• /)| будем иметь

1/1 (ж) ¿ж [р^{1)М\хг\{х-1)]м- Г

'Т1 (ж)

_ а х(ж)

/+

2тг У УГ^\а1(1)А(1) -1

г/х (¿)сов(|Лх |А

(£)ви1(| АхА

^а\{х)[3\{х)

(1х

(¿)сов(|Лх |А

1 [ вд ' тг{х)"

] У 13г(х) а\{х)

(1х.

Отсюда, принимая во внимание (20), убеждаемся в справедливости неравенства (23) и, с учетом (22) и (5) заключаем, что ж) = и(ж, 0±) = 0.

Далее, замечая, что в области 02 уравнения (1) и (17) совпадают, на основе полученного ранее неравенства (13) убеждаемся в том, что третье слагаемое в (21) неположительно.

Таким образом, доказана следующая

Теорема 2. В области О не может существовать более одного решения задачи 2, если выполнены условия (7) и (20).

Рассмотрим теперь вопрос существования решения задачи 2. Первое функциональное соотношение между т^ (х) и (х) имеет вид (24). Переходя к пределу при у > 0+ в (17) и используя условия сопряжения, получим второе функциональное соотношение между т^ (ж) и (ж)

(ж) = (Зг (ж)

п(ж) - 71 (ж) а\(х)

¡(х,0)\+51(х)Т1{х) ,\1{Х) +а1(х). (25) аЦж)

Разрешая систему уравнений (24), (25) относительно т, (ж) приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода

тг (ж) + j Кг(х^)тг (Ь)<И = Фх(х) о

(26)

где

л,

К (г* - [^¡МЛ

2[а'1Ц))2 - аг^а'Щ)

- 2

/ЗД

о

с*1 (*)/(*, 0) -аг{1)

71

71(0^(0 01(0(71^)

Л /

Заметим, что правая часть равенства (26) зависит от т, (0). Для нахождения этого числа обратим интегральное уравнение (26). Получим

т1"(ж) = Фх(ж) - J (27)

о

где (ж. /) — резольвента ядра К\ (ж. Г).

Положив в (27) ж = 1, в результате элементарных преобразований получим

тГ (0)

ы

тГ( 1)-#1(1) + j Кг^фг^А о

где

Фх(ж) = ФХ(ж)-тГ (0)

А(0 )Т(х) «1(0)

Ы

ш «1(0)

Т(1)~ I /

о I

Таким образом, равенство (27) дает решение задачи 2 в области Ох, при условии, что Я\(1, Ф 1- Как известно [9, с. 1290], общее решение уравнения (17) в области О0, удовлетворяющее условию и(ж, 0+) = т^(ж), имеет вид:

и(х, у) = — (у — 1) з ехр ( —

х

Чу - 0

их(0,0 -

ж

м(0,0

20?

{у — 1) 2 ехр ( —

(ж - I)2

Чу-*)

«®(М) -

ж — 1

м(1, £)

1 [ 1 / (ж , , , , , / — ехр ( - ) ^+(0 (И

} л/У

о

4у

1 у ; # [/(£,*)(У-*Г* ехр !<**•

о о

В силу того, что [10, с. 1291] у

Нш -—/ (у — £)_2 м(о, £) ехр I —

х—4л/7Г

ч 1 А = -и(0, у),

1-х ? _з ( (х — I)2 \ 1

Л1?- г 1м(1,ехр г 45Р7);Л =

о

переходя к пределу в (28) при х > 0+ и при ./• > I соответственно, будем иметь

и(0,у)

У У

0 о у

о

у

Чу-*)

<и

их( М)

у

(у-*) 2их(0,г)М + I -^ехр I ) К.) ^ \ АУ,

о о

2(у-*)

г2

и( 1, £)

(И

у

и(1,у) = -^= I (у-г)-^ех о

у

их(0,0 -

у

(у — £) 2мж(1,0 (И Н—-= I —= ехр 71" ,/ Л/71" У V '7Г

о о

и(0,0 2(2/ — 0

(1 - О2

ей

т+(0 (Ы

У У

о о

Отсюда, с учетом (12), (18), условий сопряжения (5), (6), получаем интегральное уравнение Вольтерра первого рода

и+фН1(у^)<И = Н2(у).

(29)

Здесь, ядро И1 (у. Г) и правая часть П->(у) выражаются через известные функции. В силу того, что II1 (у. у) Ф 0, уравнение (29) легко сводиться к интегральному уравнению Вольтерра второго рода [10, с. 149]. После определения

i'2 (у) и Tt(y) находим решение задачи 2 в областях как решение задач Коши, а в О0 — как решение первой краевой задачи.

Литература

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1977.

2. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи для одного класса уравнений смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Неклассические задачи математической физики.—Ташкент: ФАН, 1985.—С. 25-47.

3. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики.—М.: Наука, 1978.

4. Абдуллаев А. С. О некоторых краевых задачах для смешанного парабологиперболи-ческого уравнения с двумя параллельными линиями изменения типа // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей.—Ташкент: ФАН, 1987.—С. 71-82.

5. Елеев В. А., Лесев В. Н. Нелокальная краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с перпендикулярными линиями изменения типа // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой межвузовской конференции.— Самара, 2000,—С. 62-64.

6. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии: Учебное пособие для университетов.— М.: Высшая школа, 1995.

7. Нахушев А. М. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // Докл. АН СССР, 1977,—Т. 234, № 2,—С. 308-311.

8. Сабитов К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения,—1992,—Т. 28, № 7,—С. 1138-1145.

9. Шхаиуков М. X., Керефов А. А., Березовский А. А. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в граничных условиях и разностные методы их численной реализации // Укр. мат. журн.—1993.—Т. 45, № 9.—С. 1289-1298.

10. Смирнов В. И. Курс высшей математики.—М.: Наука, 1974.—Т. 4, Ч. 1.

г. Нальчик

Статья поступила 22 декабря 2001 г.