О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ В ПОТОКЕ ЧАСТИЦ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36

О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

В ПОТОКЕ ЧАСТИЦ

М. М. Гаджиев1, А. С. Кулешов2

Рассматривается задача о движении твердого тела с неподвижной точкой в свободном молекулярном потоке частиц. Показано, что уравнения движения тела обобщают классические уравнения Эйлера—Пуассона движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой и имеют вид классических уравнений Эйлера-Пуассона в случае, когда поверхность тела, обтекаемого потоком частиц, представляется сферой. Обсуждаются вопросы существования первых интегралов в рассматриваемой задаче.

Ключевые слова: твердое тело с неподвижной точкой, свободный молекулярный поток, первые интегралы.

The problem of motion of a rigid body with a fixed point in a free molecular flow of particles is considered. It is shown that the equations of motion of this body generalize the classical Euler-Poisson equations of motion of a heavy rigid body with a fixed point and they are represented in the form of the classical Euler-Poisson equations in the case when the surface of the body in a flow of particles is a sphere. The existence of first integrals in the considered system is discussed.

Key words: rigid body with a fixed point, free molecular flow of particles, first integrals.

1. Постановка задачи. Вычисление момента, действующего на тело с неподвижной

точкой. Рассмотрим задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в потоке частиц. Будем предполагать, что поток частиц представляет собой свободный молекулярный поток постоянной плотности р, частицы которого движутся поступательно с постоянной абсолютной скоростью vo-

-v = vo Y,

Где y — единичный вектор, направленный вдоль набегающего потока. Тепловым движением молекул в потоке пренебрегаем.

Будем рассматривать следующий механизм взаимодействия молекул набегающего потока с поверхностью тела. Частица, отдав при соударении практически всю свою энергию телу приходит в температурное равновесие с местом удара (несколько теперь нагретым). Когда нагревание пройдет, частица устремится в пространство с тепловой скоростью, равной тепловой скорости молекул поверхности тела. Так как эта тепловая скорость существенно меньше тепловой скорости наружних частиц, то такое взаимодействие упрощенно можно описать гипотезой абсолютно неупругого удара, когда частицы полностью теряют свою энергию при столкновении с телом (и не отражаются).

Получим выражения для силы и момента, действующего на тело с неподвижной точкой со стороны потока частиц. Воспользуемся подходом, приведенным в монографии В. В. Белецкого [1]. Обозначим через O неподвижную точку твердого тела. Распределение скоростей в твердом теле определяется формулой Эйлера:

uM = [ш х OM],

где M — произвольная точка твердого тела, а ш — абсолютная угловая скорость твердого тела. Если обозначить угол между векторами ш и OM через а, то

|uM| = |ш| |OM| sin а ^ |ш| |OM|.

1 Гаджиев Максим Магомедович— асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: maxuta-jrQyandex .ru.

2 Кулешов Александр Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kuleshovQmech.math.msu.su.

Gadzhiev Maxim Magomedovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.

Kuleshov Alexander Sergeevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.

Предположим, что величина скорости набегающего потока Уо существенно превосходит произведение характерного значения угловой скорости твердого тела и характерного расстояния от неподвижной точки до любой из точек твердого тела, т.е.

М | ом |

Уо

< 1.

(1)

Тогда будем считать, что в абсолютном пространстве скорости всех точек твердого тела равны нулю. Определим, каким будет воздействие потока на тело, если тело неподвижно, а поток имеет постоянную скорость. Перейдем в систему координат, движущуюся поступательно вместе с потоком. Будем в этой системе координат следить за неподвижной точкой О твердого тела (или за любой другой его точкой в силу предположения (1)). Абсолютная скорость Voбc точки О равна нулю, так как О — неподвижная точка твердого тела. Переносная скорость точк и О — это абсолютная скорость той точки подвижного пространства (т.е. пространства, поступательно движущегося вместе с вы-

О

равна

иор Ю

Относительная скорость ■иО™ точк и О сложения скоростей имеем

0 _ „абс _ „пер

= —V _ у07.

О

V?

11й

О _ „О + О ,

откуда находим, что точка О (а следовательно, в силу предположения (1) и все тело) движется относительно потока со скоростью и^111 = V = —г'о7-

Выделим на поверхности тела элементарную площадку йБ и вычислим элементарный импульс, получаемый площадкой йБ, движущейся поступательно относительно потока со скоростью V, за время йЬ (рис. 1). Считаем, что удар частиц о тело является абсолютно неупругим. Во время такого движения площадка "заметает" объем

йт _ („ ■ п) йБ йЬ,

Где п — единичный вектор нормали к площадке, причем („ ■ п) > 0. Внутри объема йт содержится масса йт _ рйт, где р — плотность Рис. 1

потока. Элементарный импульс, получаемый площадкой, и действующая на нее сила имеют вид

йО

(1С2 = —Vйт = —урйт = —pv (V • п) йБсИ, -Р1 = = —pv (V • п) йБ.

Рассмотрим выпуклое тело, охраниченное гладкой замкнутой поверхностью и движущееся поступательно со скоростью V _ —Уо7 относительно потока. Главный вектор сил взаимодействия тела с молекулами задается формулой

— J р„ („

п) йБ,

(2)

где через Б* обозначена часть поверхности тела, "омываемая" потоком молекул: на ее границе („ ■ п) _ 0, поскольку на границе направление потока является касательным к Б*, а во внутренних точках поверхности Б* внешняя нормаль п удовлетворяет неравенству („ ■ п) > 0. Границу этой поверхности обозначим дБ* (рис. 2). Рис. 2

Будем считать, что направление вектора скорости V не зависит от выбора элементарной площадки (Б, и, следовательно, интеграл в равенстве (2) может быть переписан в виде

Е _ —рv У (V ■ п) йБ. (3)

Вычислим теперь главный момент сил взаимодействия молекул с телом относительно непо-О

МО _ —^ У [г х V] (V ■ п) йБ _ р V х у г (V ■ п) йБ

где г — радиус-вектор точки поверхности тела относительно неподвижной точки О.

Для вычисления интегралов, входящих в формулы (3) и (4), введем новое тело Т, которое построим следующим образом. Перпендикулярно вектору V расположим плоскость П. Удобно поместить эту плоскость на некотором расстоянии от точки О позади (по отношению к вектору V) тела. Проекция тела на плоскость П вдоль вектора V (ортогональная проекция) является некоторой плоской фигурой $о- Введем еще цилиндрическую по верхность $1 с образую щей V и направляющей — границей Поверхность $1 с одной стороны ограничена этой направляющей, а с другой — линией пересечения с плоскостью П. Поверхность £ = и и $0 ограничивает тело Т, объем которого обозначим через т (рис. 2). Согласно теореме Гаусса-Остроградского справедливо соотношение

У (v ■ n) dS = J div v dT = 0,

£ Т

поскольку ё1у V = 0. Кроме того, справедливы соотношения

^ ' п)и = 0, ^ ' п)и = (7 ' 7) = (5)

Отсюда имеем

У (V ■ п) ^ = I (V ■ п) ^ + I (V ■ п) ^ + I (V ■ п) ^ = 0,

£ Я* Ях Яо

и, следовательно,

У (v ■ n) dS = — У (v ■ n) dS = v0 У dS = v0S,

Я* Яо Яо

где 5 — площадь фигуры 50. Таким образом,

¥ = -ртоБ = р^т • (6)

Введем систему координат Ожуг с началом в неподвижной точке О и осями, направленными вдоль главных осей инерции для точки О. Пусть в этой системе координат г = (ж, у, г), V = —(7ь 72, 7з)- По теореме Гаусса-Остроградского

У ж (V ■ п) ^ = У (XV ■ п) ^ = У ё1у (XV) ^т = —^071т £ £ Т

У у (V ■ п) ^ = —^о72Т, У г (V ■ п) ^ = —^о7зт.

и аналогично

Следовательно,

У r (v ■ n) dS = tv.

£

С другой стороны, с учетом формул (5) можно записать

У r (v ■ n) dS = У r (v ■ n) dS — v0 J r dS.

So

So r

точками фигуры So- Поэтому на So представим вектор r в виде

lv . , .

г = — -—г + г = ¿7 + г ,

| v |

где l — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость П из неподвижной точки. Для вектора r1 справедливо условие (v ■ r') = 0, так как век тор r1 лежит в плоскости П (рис. 2). Тогда

v0 У r dS = v0l^y dS + v0 У r'dS = —ISv + v0 J r'dS = —ISv + v0PO'•

So So So So

Интеграл

Ро = У г'^5 (7)

представляет собой первый момент фигуры 50 относительно точки О' — проекции неподвижной точки О на плоскость П. Итак,

тV = У г (V ■ п) + 15V — здРо.

Отсюда имеем

У г (V ■ п) = (т — 1Б) V + -и0Р0',

и в соответствии с формулой (4)

Мо = рзд [V х Ро' ] = —р-^ х Ро'] . (8)

Теперь вычислим интеграл (7). В этом интеграле вектор г' — это вектор, проведенный из точки О' в различные точки фигуры 50. Пусть теперь фигура 50 представляет собой наклеенную на плоскость П бесконечно тонкую однородную пластинку плотностью р1 = const. Тогда

[ г'йБ = — [ ргг'йБ = О'С = Б • О'С. 7 Р1У Р1

Здесь 5 = 5 (7) — площадь фигуры а О'С — вектор, соединяющий точку О' — проекцию неподвижной точки О на плоскость П — с центром масс О пластинки, ограниченной фигурой £о-В общем случае

5 = 5 (7), О'С = с = с (7).

Введем также обозначение р-2 = /. В результате фор мула (8) примет окончательный вид

Мо = —/5 (7)[7 х с (7)]. (9)

Таким образом, мы получили выражение для момента, действующего на твердое тело с неподвижной точкой, находящееся в потоке частиц. Ясно, что этот момент зависит от направления потока, "омывающего" тело. Заметим, что при выводе этой формулы мы использовали предположение (1). Поэтому формулой (9) следует пользоваться лишь при изучении медленных вращательных движений тела с неподвижной точкой.

Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц имеют вид

Ли + [и х = —/5 (7) [7 х с (7)], 7 + [и х 7] = 0, (10)

где Л = diag (А1, А2, А3) — тензор инерции тела относительно неподвижной точки О.

2. Явное выражение для момента, действующего на тело, ограниченное поверх-

Мо

(9)

Мо (9)

движной точкой ограничено поверхностью сферы радиуса К, а неподвижной точкой является центр сферы. Тогда фигура 50 представляет собой круг, радиус которого равен радиусу К сферы. Площадь этого круга постоянна и равна

5 (7) = пК2 = сом^

Очевидно, что центр масс однородной пластины, имеющей форму фигуры 50, будет располагаться в центре круга. Значит, вектор с (7), соединяющий точку О' — проекцию неподвижной точки О на плоскость, перпендикулярную потоку, с центром масс пластины, имеющей форму фигуры 50,

Мо = 0

Мо

вольная точка О1 внутри сферы. Введем систему координат О^уг, оси которой направлены по

главным осям инерции тела для точки Оь Пусть ех еу, ех — единичные базисные векторы данной системы координат. Координаты центра сферы — точки О — в системе координат О^ух обозначим аь й2, «з, т.е.

О1О = Й1е1 + Й2е2 + азез.

Согласно известной формуле теоретической механики имеем

Мох = Мо — [ОО1 х ¥] = [О1О х ¥] = [О1О х /5 (7) 7] = /пЯ2 [О1О х 7].

Пусть Мох = М1ех + М2еу + Мзег в системе координат О1жуг. Тогда

М1 = /пЯ2 (а27з — аз72), М2 = /пЯ2 (аз71 — а17з), Мз = /пЯ2 («172 — «271). Уравнения (10) в скалярной форме записываются следующим образом:

А1 ш 1 + (Аз — А2) = /пЯ2 (а27з — аз72), А2Ш2 + (А1 — Аз) Ш1Шз = /пЯ2 (аз71 — а17з),

АзШз + (А2 — А1) Ш1Ш2 = /пЯ2 (а 172 — «271);

71 = Шз72 — Ш27з, 72 = Ш17з — Шз71, "7з = Ш271 — (10)

Пуассона, описывающих движения тяжел ого тверд ого тела вокруг неподвижной точки. Поэтому можно рассматривать систему уравнений (10) как возможное обобщение классических уравнений Эйлера Пуассона.

Мо

форму эллипсоида, причем неподвижная точка совпадает с центром эллипсоида. Оси системы координат Ожух с началом в неподвижной точке О направим вдоль

О

динат Ожух уравнение эллипсоида имеет вид

П

-V

-2+У-2+~2=1. (П)

а12 а22 а2з

Рис. 3

Это означает, что главные оси инерции Ожух являются в данном случае и главными осями поверхности эллипсоида. Найдем границу (рис. 2, 3). Касательная плоскость к эллипсоиду в точке (ж, у, х) задается следующим уравнением относительно X, У, И

хХ уУ_ а1 а2 аз

Пусть точка с координатами (ж, у, х) принадлежит границе Тогда прямая

X = ж + У = у + -Уо72 Ь, И = г + -ио7зЬ

лежит в касательной плоскости к поверхности тела, т.е. для любого Ь выполняется равенство

х у X

~~2 {х + г>071^) + (у + г'о72^) + -о (г + г'07з^) = 1-

а12 а22 а2з

(11)

^ + ^ + (12) а1 а2 аз

Это уравнение вместе с уравнением эллипсоида (11) задает границу Как известно (см., например, [2|), любая плоскость, проходящая через центр эллипсоида, пересекает эллипсоид по эллипсу. Поэтому сечение поверхности (11) плоскостью (12) представляет собой эллипс. Найдем

п

эллипса суть экстремумы функции / = ж2 + у2 + X2 при условиях (11) и (12). Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа и рассмотрим функцию

г 2 , 2 , 2 , \ (ж2 , у2 . X2 \ /ж71 у72 Х7з

£ = ж + у + х + А ^т + ^т + ^т-1 + /х —5- Н--5- Н--5-

а21 а22 аз2 а21 а22 а2з

В точках ее экстремума выполняются равенства

д£_с1С_д£ дж ду дг

Запишем эти условия в явном виде:

2ж +

2Аж

Н--5- =0, ж = -

^71

2 (а2 + А)

+ + ^ = 0, г = -

а23 а23

Подставим найденные ж, У и г в уравнен не (12):

^7з

2 (а3 + А)"

^72

2 (а2 + А)

(13)

^ (А + 4) (Л + 4) + Ц (А + а?) (А + а^) + ^ (А + а\) (А + а^) = 0.

,24 , 72

7з

А

Й0А2 + Л1А + = о,

(14)

где

к - 4- 72 4- - п2п2п2 ^ 7' 4- 72 4- 7'

Ко — "о + "о + "о > — ага2а3 -т- + —т + —т а| а2 а2 \ а1 а4 а3

А

пня системы (13) на ж, у и г соответственно и сложим:

0 = 2ж2 + 2у2 + 2г2 + 2А (4+ 4 + 4^(^ + ^ + 4^ =2(Ж2 + у2 + ^ + Л).

а21 а22 а32 а21 а22 а23

Отсюда получаем, что в точках экстремума Л = —ж2 — у2 — г2. Площадь эллипса, являющегося сечением эллипсоида (11) плоскостью (12), равна 5*1 = тгх/А^Аг, где Л1 и Л2 — корни квадратного уравнения (14). По теореме Виета

к2

2„2„2 \а1

\ \ 2 2 2 2 Л1Л2 — г— — Я^Я^Оз

I а 12з

4 „4 "Г „4

а4

ко * " " ( 21 2£ 2£

| 2| 2|Л '

1 а2 а3,

и, следовательно,

= па1а2аз

\

7? , 7| , 7з

\--Т П--Т

а4 а4

а4

, 7г , 71 '

а12 а22 а23

Фигура 50 является проекцией эллипса (11) (12) на плоскость П, поэтому площадь этой фигуры равна

<7 М Я (Ж-7) л. (71 72 7з

Здесь N — вектор нормали к плоскостп (12) т.е. плоскости, в которой лежит граница д£*. Таким образом, заключаем, что

5 (7) = па1 а2а3

\

7? , 7г , 71 (7? , 7г , 71

'72 ,72 , 7з

4 + 4 + 4 /7? ,71 ,7з2

«т а9 о-ч Л / —Т Н--1 1--Ж

1 2 3 \/ а| а4 а3

а2 а2 а2

0

2

2

3

Согласно (6) компоненты главного вектора сил взаимодействия тела с молекулами потока в системе координат Ожух имеют вид

/ ^2 ^2 ^2 / '"У2 ^2 ^2 / '"у2 ^2

^ = /7га1а2а37ц/-^ + + -§,¥2 = ¡ка^азЪх Чг + + >^з = ¡тга1а2а3Ъ\Н> + + "Т-а1 а2 аз а1 а2 аз а1 а2 аз

Центр масс фигуры 5о находится в точке О' — проекции неподвижной точки О на плоскость П, перпендикулярную потоку. Поэтому с (7) = 0 и Мо = 0.

М О1

дем систему координат О1ж1ж2жз, оси которой направлены вдоль главных осей инерции тела для точки Оь Компоненты век тора 7 в системе координат О1 ж1ж2жз по-прежнему будем обо значать 71, 72, 7^. Координаты точки О в системе координат О1ж1ж2жз обозначим следующим образом:

О1О = Л-1 еж + ^2еу + Л-зе^ •

Согласно известной формуле теоретической механики имеем

Мо! = Мо — [ОО1 х ¥] = [О1О х ¥] = [О1О х /5 (7) 7] = /5 (7) [О1О х 7].

Пусть Мо1 = М1е х + М2еу + Мзе^ в системе координат О1ж1ж2жз, тогда

I ^2 ^2 / ^2

М1 = /тга^аз а ^ + -§ + -§ (/г27з - Л-з7г), М2 = /тга^аз + -§ + -| (>371 - Лч7з) а1 а2 аз а1 а2 аз

М3 = ¡тта1а2а3 \ Ц + Ц + Ц (Ьъ - И2ъ) ■

а1 а2 аз

Таким образом, в случае обтекания потоком частиц твердого тела с неподвижной точкой, ограниченного поверхностью эллипсоида, главные оси которого совпадают с главными осями инерции тела для неподвижной точки, уравнения движения тела (10) в скалярной форме записываются следующим образом:

I ^2 ^2 '"у2

А1Ш1 + (А3 - А2) ш2ш3 = /7га1а2а3 * / -4 + -§ + -§ (Л.27з - Л-з7г),

Vа2 а2 «з

[3 /у2 71

А2ш2 + (А: - А3) ш^з = /7га1а2а3 Л -4 + -§ + -| (Л.3Т1 ~ ^17з),

V «2 «2 «з

£5 12 77

А3ш3 + (А2 - А1) = /7га1а2а3 Л + -4 + -§ (/1172 - /¿271);

V «2 «2 «з

71 = Шз72 — Ш27з, 72 = Ш17з — Шз71, 7з = Ш271 — Ш172-

Мо

частиц твердого тела с неподвижной точкой, ограниченного осесимметричпой поверхностью.

3. Обтекание тела, ограниченного осесимметричной поверхностью. Пусть поверхность тела, обтекаемого потоком частиц, является поверхностью вращения. Получим выражение для мо-Мо

работ [3, 4]. Пусть тело с неподвижной точкой ограничено поверхностью вращения, уравнение которой в главных осях инерции с началом в неподвижной точке имеет вид

¥ (ж, у, х) = ж2 + у2 — / (х) = 0. (15)

Таким образом, ось Ох является осью симметрии данной поверхности вращения. Находим частные производные:

дР _2х сШ _ сШ _ й/ дх ' ду ' дг йг'

Введем обозначение

Тогда вектор нормали к поверхности примет вид

(

= Х У 2 йг \Gizy О (г)' О (г) )'

Граница области, омываемой потоком частиц, определяется уравнением поверхности (15), а также уравнением (п ■ 7) = 0, или в явном виде

1 #

ЪХ + ЪУ = 2 (16)

Введем теперь новую систему координат. Ранее мы рассматривали систему главных осей инерции, которые совпадали с главными осями поверхности. Единичные базисные векторы этой системы мы обозначали ех еу, ег. Новые базисные векторы е^ е^ ез связаны со старыми базисными векторами ех, еу, е^ формулами

72 71 ,

е1 = Г^Г-^ ех--1 9 9 ву, е2 = 7 = 71 еж + 72еу + 7зег,

V 712 + 72 V 72 + 72

_ 717з _ 727з

ез — I—о-о

X + 7г \/7? + 7г

еу + \111 + Т2е*-

е1 е2 ез е1 ез

собой два взаимно ортогональных единичных вектора в плоскости П, перпендикулярной потоку. Пусть г = жех + уеу + 2ег — радиус-вектор некоторой точки поверхности относительно старой системы координат. В новых осях тот же вектор имеет вид г = Ж1е1 + у1е2 + 21 ез. Тогда координаты ж, у, г и Ж1, У1, 21 будут связаны между собой соотношениями

£172 71

ж = —, ^ +

\/71 +72 л/т? + 72

У =--Д171 + , ,?2 (2/1 Л/ 7? + 7г - ^17з ) , 2 = 2/17з + V 7? + 7г-

V 72 + 72 V 72 + 72 V ¥ / ¥

Подставляя эти соотношения в уравнение (15) поверхности и в уравнение (16) границы, получим, что уравнение поверхности в новых координатах записывается следующим образом:

2 ж1

+ (у!\/71+72 - *17з) = / (2/173 + 21^/71+72) • (17)

Уравнение границы принимает вид

7? + 7г (2/1^7?+722 - *17з) = ^ £ 7з- (18)

Исключив из уравнений (17) (18) координату у1, получим уравнение связи между Ж1 и 21, т.е. уравнение проекции границы на плоскость, перпендикулярную потоку. Эта проекция ограничивает область, площадь которой входит в выражение для момента сил, действующих на тело с неподвижной точкой. Выясним некоторые свойства этой площади. Из общего вида уравнений (17), (18)

1. Величина этой площади зависит только от параметров самой поверхности и переменной 73 — угла между осью симметрии тела и направлением потока.

2. Кривая, ограничивающая проекцию, симметрична относительно оси 21, т.е. центр тяжести проекции обязательно лежит на оси 21.

Итак, площадь проекции можно считать функцией переменной 7з, т.е. в данном случае 5 (7) = 5 (7з)- Учитывая, что центр тяжести проекции лежит па оси Х1, запишем радиус-вектор с (7) следующим образом:

с (7) = с (7з) ез.

ез

7з . 1

ез =--, ,, 7 +

у/Ц + 7г VH + 71

Следовательно,

/ \ , ч Y3C (73) . С (73) с (7) = с (7з) е3 =--=== 7 +

у/1\ + 71 у/71 + 71 и выражение для момента сил (9) может быть переписано в форме

М0 = -/5(7з)^=[7хе2].

V1 — 7з

Таким образом, можно считать, что в случае обтекания потоком частиц осесимметричного тела мы имеем

с ы „

с (y) =

и ег — единичный вектор оси геометрической симметрии тела. Если главные оси инерции тела не совпадают с главными осями поверхности, то в главных осях инерции единичный вектор оси геометрической симметрии поверхности имеет компоненты ег = а = (а1, а^, аз) и всюду вместо 7з следует писать (а ■ 7). Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. В случае обтекания потоком частиц твердого тела с неподвижной точкой, ограниченного осесимметричной поверхностью, единичный вектор оси геометрической симметрии которой равен

е^ = а = (а1, а2, аз), для площади в (7) фигуры, во и вектора с (7) справедливы, следующие формулы:

5 = 5((а-7)), с(7)= ^-^а = Х((а.7))а.

4. Потенциальность момента. Существование интеграла типа энергии. Простейшие случаи интегрируемости. Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц имеют вид (10) и обладают интегральным инвариантом плотности единица, а также первыми интегралами

Ji = J ■ 7), J2 = (7 ' 7) = 1.

Уравнения (10) обратимы, т.е. выдерживают замену переменных и времени (w, 7, t) ^ (—w, 7, —t). Однако в общем случае эти уравнения не являются системой уравнений Гамильтона с какой-либо пуассоновой структурой. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Если для, любых i, j, i = j выполнены, соотношения

dS dcj . . dS dc7- . . , .

c-i о--Ь тг^ (7) = Cj ---h —^ 5 (7), 19

dYj dYj dYi dYi

mo уравнения движения гамильтоновы с пуассоновой структурой, определяемой алгеброй E (3) и допускают, дополнительный первый интеграл типа интеграла энергии.

Доказательство. Пусть

5 (7) с (7) = щ (20)

для некоторой функции и (7). Тогда если функция и достаточно гладкая, то для выполнения соотношений (20) необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия (19). При этом уравнения движения могут быть представлены в виде

¿ = {¿,Н} , 7 = |7,Н} ,

{¿г, } = ¿к, ,7? } = 7к> {7г>7? } = 0> где функция Гамильтона

Н = ±{Г1Ь-Ь)-/и( 7) (21)

определяет = Н — дополнительный первый интеграл уравнений (10), аналог интеграла энергии.

Очевидно, что, когда тело с неподвижной точкой ограничено поверхностью сферы, площадь £ (7) фигуры £о является постоянной и соотношения (19) выполняются. Как уже говорилось, в этом случае уравнения движения тела совпадают с уравнениями движения твердого тела в однородном силовом поле.

Однако соотношения (19) выполняются далеко не всегда. Рассмотрим, например, случай, когда тело ограничено поверхностью эллипсоида (см. п. 2), а вектор, соединяющий неподвижную точку О1 и центр эллипсоида О, имеет в ид Ох О = Лех = (Л, 0, 0) В этом случае выражение £ (7) с (7) запишется следующим образом:

/ ^ 2 ^ 2 ^ 2 5" (7)0(7) = 7гЛ,а1а2а3 д/^-Ч—|ч—|еж.

V °2 °2 а3

Соотношения (19) выполняются, если только а2 = аз, т.е. эллипсоид, ограничивающий твердое тело, является эллипсоидом вращения, а неподвижная точка лежит на оси геометрической симметрии эллипсоида.

В случае движения тела, ограниченного осесимметричной поверхностью, когда ось симметрии определяется вектором а = (а1, 02, аз) и содержит неподвижную точку, справедлива теорема 1. Тогда, как нам известно, выполняются условия

- (а ■ 7)2

Очевидно, что в этом случае потенциал и (7) может быть представлен в виде

(«•7)

Таким образом, при обтекании потоком частиц тела, ограниченного осесимметричной поверхностью, уравнения движения (10) всегда допускают первый интеграл вида (21).

Укажем некоторые случаи, когда уравнения движения твердого тела в потоке частиц (10) обладают дополнительным интегралом.

Случай Эйлера-Пуансо. Пусть поверхность тела центрально-симметрична и центр симметрии совпадает с точкой подвеса. Тогда уравнения (10) допускают интеграл J3 = (Ju ■ Ju). В этом случае задача вполне интегрируема и совпадает с задачей Эйлера-Пуансо.

Случай осевой симметрии. Пусть тело динамически симметрично, т.е. выполнено, например, условие Ai = A2. Пусть также поверхность тела центрально-симметрична, центр симметрии лежит на оси Ожз- Тогда уравнения движения допускают пер вый интеграл J3 = W3 = const. Этот случай аналогичен случаю Лагранжа.

Аналоги случая Гесса. 1. Пусть поверхность тела центрально-симметрична, центр симметрии и моменты инерции таковы, что справедливы условия

Тогда уравнения движения допускают частный интеграл

Л = /К- ± = (22)

2. Пусть поверхность тела осесимметрична, ось симметрии определяется вектором а = (а1, а2, аз) и содержит неподвижную точку. Тогда если моменты инерции и компоненты вектора а удовлетворяют условиям

а1<А2<Л3> = а2 = 0,

то уравнения движения допускают частный интеграл (22).

Таким образом, в рассматриваемой механической системе удается обнаружить достаточно интересные динамические свойства.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 20-01-00637).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965.

2. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968.

3. Баранцев Р.Г., Цзжень-юй У. Силы и моменты, действующие на тела вращения в свободномолекулярном потоке // Вести. Ленингр. ун-та. 1961. 13. 79-92.

4. Карымов A.A. Определение сил и моментов сил светового давления, действующих на тело при движении в космическом пространстве // Прикл. матем. и механ. 1962. 26. 867-876.

Поступила в редакцию 13.12.2021

УДК 531.36

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОСОБЫХ РЕЖИМОВ ПЛАНИРОВАНИЯ ОПЕРЕННОГО ТЕЛА

Ю.М. Окунев1, О. Г. Привалова2, В. А. Самсонов3

Рассматривается один из вариантов спуска тяжелого оперенного тела в сопротивляющейся среде. Показывается, что возможны такие режимы планирования тела, при которых лопасти располагаются в горизонтальной плоскости. Установлено, что некоторые из таких режимов асимптотически устойчивы. Строятся траектории планирования с различными начальными условиями по скоростям.

Ключевые слова: форма лопасти, режим планирования, устойчивость, траектория.

One kind of a descent of a heavy finned body in resisting medium is considered. It is shown that the gliding mode is possible for which blades are located in a horizontal plane. The

1 Окунев Юрий Михайлович — канд. физ.-мат. наук, зав. лаб. НИИ механики МГУ, e-mail: okunevQimec.msu.su.

2 Привалова Ольга Георгиевна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: privalovaQimec.msu.ru.

3 Самсонов Виталий Александрович — доктор физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. НИИ механики МГУ; проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: samsonQimec.msu.ru.

Okunev Yury Mikhailovich Candidate of Physical and Mathematical Scienses, Head of Laboratory of the Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University.

Privalova Olga Georgievna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University.

Samsonov Vitaly Alexandrovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Principal Researcher, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University; Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.