CC BY
12Труды МАИ. 2023. № 129 Trudy MAI, 2023, no. 129
Научная статья
УДК 531.36; 531.381
DOI: 10.34759/Ы-2023-129-01
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ В ПОТОКЕ ЧАСТИЦ
Максим Магомедович Гаджиев1, Александр Сергеевич Кулешов2н
1,2Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия
1 maxuta-jr@yandex.ru
2 kuleshov@mech.math.msu.sux
Аннотация: Рассматривается задача о движении твердого тела с неподвижной точкой, помещенного в свободный молекулярный поток частиц. Считается, что поток частиц является достаточно разреженным, взаимодействие между частицами отсутствует. Определяются стационарные движения тела в потоке частиц, получены условия их устойчивости.
Ключевые слова: тело с неподвижной точкой, свободный молекулярный поток, стационарные движения, устойчивость
Для цитирования: Гаджиев М.М., Кулешов А.С. Об устойчивости стационарных движений тела с неподвижной точкой в потоке частиц // Труды МАИ. 2023. № 129. DOI: 10.34759/Ы-2023-129-01
Original article
STABILITY OF STEADY MOTIONS OF A BODY WITH A FIXED POINT IN A FLOW OF PARTICLES
Maxim M. Gadzhiev1, Alexander S. Kuleshov2H
1,2 Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia
1 maxuta-jr@yandex.ru
2 kuleshov@mech.math.msu.su:
Abstract: The problem of motion of a rigid body with a fixed point in a free molecular flow of particles is considered. Suppose the flow consists of identical non - interacting particles, moving with constant velocity along a fixed direction in a fixed absolute space. Suppose the particles interact absolutely inelastically with the rigid body, i.e. after collision the velocity of a particle with respect to the rigid body is zero. Suppose the surface of the rigid body is strictly convex. Then, under assumption, that the flow velocity considerably exceeds the product of the characteristic value of the angular velocity of the rigid body and the characteristic distance from the rigid body to a fixed point, the explicit expression for the moment, acting on the rigid body with a fixed point from the flow of particles are obtained. It is shown, that equations of motion of the rigid body with a fixed point in a free molecular flow of particles are similar in many aspects to the classical system of equations of motion of a heavy rigid body with a fixed point. The corresponding equations of motion of the rigid body with a fixed point in a free molecular flow of particles have partial solutions for which the rigid body performs permanent rotations with constant angular velocity around the streamlines of the flow. Necessary conditions of
stability of these permanent rotations are obtained by analyzing the linearized system. When the rigid body is dynamically symmetric, the necessary and sufficient stability conditions of the corresponding steady motions are obtained by analyzing the effective potential of the system.
Keywords: Rigid Body with a fixed point, Free molecular flow of particles, Steady motions, Stability
For citation: Gadzhiev M.M., Kuleshov A.S. Stability of steady motions of a body with a fixed point in a flow of particles. Trudy MAI, 2023. no. 129. DOI: 10.34759/trd-2023-129-01
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении твердого тела, помещенного в поток частиц, вокруг неподвижной точки. Будем предполагать, что поток частиц представляет собой свободный молекулярный поток постоянной плотности р, частицы которого движутся поступательно с постоянной скоростью v0 в направлении, неизменном в неподвижном абсолютном пространстве. Тепловым движением частиц в потоке пренебрегаем. Следуя подходу, предложенному в работах В.В. Белецкого [1, 2] (см. также [3-10]), будем считать, что частицы взаимодействуют с поверхностью твердого тела абсолютно неупруго, то есть после столкновения частицы с телом скорость частицы по отношению к твердому телу равна нулю. Пусть тело ограничено гладкой замкнутой выпуклой поверхностью. Тогда, если произведение характерного значения угловой скорости тела и характерного расстояния от тела до неподвижной точки существенно меньше
величины скорости у0 набегающего на тело потока, то уравнения движения тела можно представить в виде [1-10]:
^ + [ю х ^^-рО2 ^ (У)[ У х с (У)], У + [ю х У ] = 0. (1)
-►
-►
-►
-►
Рис. 1. Твердое тело с неподвижной точкой в потоке частиц.
Здесь J = (А1, А2, А3) - тензор инерции тела относительно неподвижной точки О, записанный в системе координат Ох1 х2х3, оси которой направлены по главным осям инерции в точке О. Единичные базисные векторы соответствующей системы координат в дальнейшем будем обозначать е1, е2, е3. Вектор ю представляет собой вектор абсолютной угловой скорости тела, и в той же системе координат Ох1 х2х3 он записывается в виде ю = со1е1 + со2е2 + со3е3. Вектор у = у1е1 + у2е2 + у3е3 - это единичный вектор, направленный вдоль набегающего потока. Величина 5 (у) - это площадь фигуры 5О (см. Рис. 1), которая представляет
собой ортогональную проекцию тела на плоскость П, перпендикулярную набегающему потоку, то есть фигура 5О - это проекция тела на плоскость П вдоль
направления у. Вектор с(у) = с1е1 + с2е2 + с3е3 - это вектор, который соединяет неподвижную точку с любой точкой прямой Ь (у), параллельной у и проходящей через центроид фигуры Б0, то есть через точку, совпадающую с центром масс однородной пластинки, имеющей форму фигуры Б0 (см. Рис. 1).
2. Стационарные движения тела в потоке частиц. Уравнения (1), описывающие движение твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц, допускают частные решения вида
у = е, ю = с е, (2)
Частные решения (2) соответствуют перманентным вращениям тела с неподвижной точкой в потоке частиц, когда тело совершает вращение с постоянной угловой скоростью вокруг единичного вектора, задающего направление потока частиц. Здесь е = а1е1 + а2е2 + а3е3 - постоянный в связанной с телом системе координат Ох1 х2х3 единичный вектор, а с - постоянная скалярная величина (таким образом, имеем: е = 0, сс = 0). Подставляя частные решения (2) в систему уравнений
(1) и учитывая, что е - единичный вектор, получим, что единичный вектор е и постоянная с удовлетворяют системе алгебраических уравнений следующего вида
С [е х Зе] = -р Б (е )[е хс (е)], е2 = 1. (3)
Умножая векторное уравнение системы (3) скалярно на вектор Л, заключаем, что для существования перманентных вращений (2) вектор е необходимо должен удовлетворять двум скалярным алгебраическим уравнениям
(Je -[е х с (е )]) = О, е2 = 1. (4)
Первое уравнение системы (4) определяет в пространстве Я3 некоторую коническую поверхность, а совокупность первого и второго уравнения этой системы задает на сфере Пуассона 82 с Я3 соответствующие кривые кинематически возможных осей перманентных вращений. Динамически допустимыми среди этих осей будут те оси, для которых из первого векторного уравнения системы (3) следует, что со2 > О. Умножая обе части первого уравнения системы (3) скалярно на вектор [с (е )х е ], получим соотношение
со2 ([е х Je] - [с (е) х е ]) = рО2 5 (е )[е х с (е)]2 > О. (5)
Таким образом, динамически допустимые оси перманентных вращений должны удовлетворять неравенству
([ех Je] - [с(е)х е])> О, (6)
которое определяет некоторое подмножество множества (4). Для каждой кинематически и динамически допустимой оси перманентных вращений, удовлетворяющей соотношениям (4) и неравенству (6), абсолютная величина с угловой скорости вращения определяется из уравнения (5).
Предположим, что в системе координат Ох1 х2 х3 вектор с (у) имеет вид:
С(У) = ^3 (У)е2 = (О, О, С3 (у)). (7)
В частности, такой вектор с (у) получается при обтекании потоком частиц
осесимметричного тела (см. [8-1О]). Тогда система уравнений (1) в скалярной форме запишется следующим образом:
AA +( A3 - A2 )c2c3 =-Pv02Y2S ( Y) C3 ( Y), A2^y2 + ( A1 - A3 = Pvo Y1S ( Y ) С (Y ),
A3c3 + (A2 - A1) cc = 0, (8)
Заметим, что в рассматриваемом случае, когда вектор с(Y) имеет довольно
простой вид (7), уравнения (8) не обязательно обладают первым интегралом типа энергии. Для существования у системы уравнений (8) первого интеграла типа энергии достаточно, чтобы произведение S (Y) c3 ( y ) было функцией только у3.
Ниже мы рассмотрим такой случай, а пока будем рассматривать общий вид системы уравнений (8).
Легко убедиться, что если уравнения движения твердого тела в потоке частиц имеют вид (8), то частные решения (2), соответствующие перманентным вращениям, для этой системы записываются следующим образом:
Y = 0, Y2 = 0, у3 = у30 = ±1; co1 = 0, co2 = 0, co3 = c = const. (9)
Исследуем устойчивость перманентных вращений твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц. Существуют различные методы исследования устойчивости равновесий и стационарных движений голономных и неголономных механических систем [11-20]. Мы получим необходимые условия устойчивости перманентных вращений (9) путем анализа корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений возмущенного движения [15-17]. В возмущенном движении положим
Y3 =Y30 + Z , С3 =c + У ,
а для остальных переменных сохраним их прежние обозначения. Тогда уравнения возмущенного движения запишутся следующим образом:
(А3 - Аз) рО25Ос3О . (А1 - А3) руО25Ос3О
+ ^-^сс, + 2 2 32 к = П,, су7 + —-— юю, - 2 2 32 у, =П7,
1 А1 2 А1 2 12 А2 1 А2 1 2 (1О)
П су2 + Г3ос2 =Г1, у2 +&ух -^с =Г2, у = 7, 2 = 2. Здесь , Гг, (I = 1,2), 7 и 2 - функции, зависящие от со], у], (} = 1,2), у и
2 , разложения которых по степеням указанных переменных начинаются с членов не ниже второго порядка, причем все эти функции тождественно по у и 2
уничтожаются при со] = О, у] = О, (_/ = 1,2). Через 5О и с3О обозначены выражения
5О = 5(О, О, ^32 ) , С3О = с3 (О, О, ^32 ) .
Характеристическое уравнение, отвечающее линеаризованной системе, которая получается из системы (1О) отбрасыванием правых частей, имеет вид:
Я2 (кОЛ4 + к1Л2 + к2 ) = О, Ко = АА2 > О, К1 = (А2 + (А3 - А2)(А3 - А)) + Р^О (А + А2)5оС3о^32,
К2 = ((А3 - А2 )°2Г3О + р 5ОС3О )((А3 - А1 )°2Г3О + Р^5ОС3О ).
Это уравнение имеет два нулевых корня. Один из них обусловлен однопараметричностью семейства перманентных вращений (9) (свободный параметр - с), а другой - наличием геометрического интеграла у\ + у\ + у3° = 1. Следовательно, условия, при которых все корни уравнения
кОЯ4 + к1Я2 + к2 = О,
являются чисто мнимыми, представляют собой необходимые условия устойчивости перманентных вращений (9). Эти условия имеют вид
к1 > 0, к2 > 0, к2 - 4к0К2 > 0. (11)
Поскольку по условию должно быть к1 > 0, к2 > 0, следовательно, условия (11) могут быть приведены к системе двух условий
к2 > 0, к > 2у]к0к2 .
В явном виде соответствующие условия записываются следующим образом:
((4 - 4 )с +pvlБ0^30^30 )((4 - 4 )С +PVo2^30^30 )> 0, (12)
(4А2 + (4 - 4)(4 - 4)) с2 + pvo2 (д + Л) ^0^0 >
I- (13)
> 2УА1А2 ((4 - А2 + Р^2^30^30 )((А3 - А1 )С +Р^;02^30^30 ).
Если тело с неподвижной точкой, омываемое потоком частиц, является динамически симметричным, то есть А1 = А2, неравенства (12) и (13) упрощаются и принимают вид:
((4 - А1 )с2 + pVo2^>«0 )2 > 0, (14)
(А12 + (А3 - А1 )2)с2 + ^А1Б0С30Г30 > 2А1у/((А3 - А1 )с2 + PV02^30 )2. (15)
В этом случае, если
(4 - А1К + Pv02Б0С30Г30 * ^ 2А1 * A3, то очевидно, что неравенство (14) всегда выполняется. Неравенство (15) после возведения в квадрат обеих частей данного неравенства приводится к виду:
(2А1 - А3 )2 с2 ( А32с2 + 4Б0С30/30 ) >
Таким образом, неравенство (15) в этом случае равносильно неравенству
42с2 >-4 AlPVo2 Бел. (16)
Условие (16) является аналогом условия Маиевского - Четаева [15-17] в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц.
3. Стационарные движения динамически симметричного тела в потоке частиц.
Теперь рассмотрим случай динамически симметричного тела A1 = A2, ограниченного поверхностью вращения, ось симметрии которой совпадает с осью динамической симметрии. В этом случае (см. [8-10])
S (Y) = S (y ), ¿3 (y) = ¿3 y)
и система уравнений (8) допускает первые интегралы
A A гз
U0 = "Т(( + () + "2 ( - Pv0 JS( y )c3 (Гз )dy = k0 = const, (17)
2 2 0
U1 = A1 (o1y1 + (о2у2) + A3rn3y3 = k1 = const, (18)
U2 =(3 = k2 = const. (19)
В рассматриваемом случае система уравнений (8) допускает квадратичный по обобщенным скоростям первый интеграл типа энергии (17) и два линейных по обобщенным скоростям первых интеграла (18), (19). Следовательно, при изучении стационарных движений данной системы можно воспользоваться модифицированной теорией Рауса для голономных систем с известными первыми интегралами [16-20]. Согласно этой теории, критическим значениям одного из интегралов системы при фиксированных значениях постоянных других интегралов отвечают стационарные движения рассматриваемой системы, причем экстремальным значениям - устойчивые стационарные движения. Само
существование первых интегралов связано с наличием тех или иных симметрий в системе. В частности, существование линейных по скоростям интегралов связано с наличием непрерывных групп симметрий. Процедура применения теории Рауса для исследования механических систем, допускающих непрерывные группы симметрий, существенно упрощается и сводится, как известно [16-20], к анализу эффективного потенциала системы.
Для построения эффективного потенциала в данной задаче мы должны найти минимум выражения (17) по переменным с1, с2, с3 на фиксированных уровнях интегралов (18) и (19). Заметим, что данные интегралы будут зависимы на полюсах Р± (3 = У30) сферы Пуассона 82. Действительно, для полюсов Р± имеем:
и1 = А3су30 = к1, и2 = с = к2
и поэтому на полюсах
А3к2^30 = к1.
В соответствии с [16-20], если интегралы (18) и (19) независимы, то есть если к1 * А3к2у30, то эффективный потенциал может быть представлен следующим образом
(*)=(((%) ^Б(*)С(г,)</г3.
Если к1 = к1+ = А3к2 (случай полюса Р+, у3 = 1), тогда эффективный потенциал имеет вид
^ (у3) = 44(ЙН!Б)С>^)<** . (2»
Аналогично, если к1 = к1-=-А3к2 (случай полюса Р-, у3 =-1), тогда эффективный потенциал имеет вид
^ к (Гъ) = АА2(!1 + ":;) - Ру2215&)С3 (п)уъ .(21)
2 АЛ1 73) о
Функция (2О) не имеет особенностей в окрестности полюса Р+, у3 = 1 сферы Пуассона. Аналогично, функция (21) не имеет особенностей в окрестности полюса Р_, у3 =-1. Эти полюсы соответствуют перманентным вращениям (9) динамически симметричного тела в потоке частиц. Если у3 = 1, то соответствующие перманентные вращения будут устойчивы (неустойчивы) при выполнении условия [16-2О]
+Л
то есть когда выполняется неравенство
А?а2
<О (>О),
Гъ =1
х3 '
4 А
-руо25(О, 0,1) (О, О, 1)< О (> О)
Данное неравенство можно переписать в виде А32с2 >-4руО2А15 (О, О, 1) С3 (О, О, 1) (А32с2 <-4ру2А15 (О, О, 1) С3 (О, О, 1)). (22)
Легко видеть, что если С3 (О, О, 1) > О, то данное неравенство выполняется при
любом значении угловой скорости со. Иными словами, перманентные вращения (9) тела с неподвижной точкой в потоке частиц будут устойчивы при любом значении угловой скорости, если тело ориентировано «по потоку» частиц.
Если у3 =-1, то соответствующие перманентные вращения будут устойчивы (неустойчивы) при выполнении условия
W-к
dh
> 0 (< 0),
Y3 =-1
то есть когда выполняется неравенство
л2с2
х3 '
4 Ai
-pv¡S(0,0, -i)(0,0, -1)>0 (<0)
Данное неравенство можно переписать в виде A3V > 4pv02A1S (0, 0, -i) с3 (0, 0, -i) (A3V < 4pv02A1S (0, 0, -i) c3 (0, 0, -1)). (23)
Легко видеть, что можно записать условия (22) и (23) в виде одного неравенства (16). Таким образом, неравенство типа Маиевского - Четаева (16) служит необходимым и достаточным условием устойчивости перманентных вращений (9) геометрически и динамически симметричного тела в потоке частиц.
При произвольных значениях постоянных k1 и k2 первых интегралов (18) и (19) система уравнений (8) имеет также двухпараметрическое семейство решений
со1 = соу1, со2 = соу2, с3 = ccose + Q, у? + у2 = 1 - Y32 = sin2в, Y3 = cose, (24) где постоянные с и Q находятся из системы уравнений
A1csin2^ + A3 (ccose + Q) cose = k1, ccose + Q = k2, а угол в - из уравнения
dW
de
где обозначено
= 0, (25)
W(6) = W* Y= (k -SY)c,(3)dr,.
Решениям уравнения dW/d6 = 0 отвечают параллели
Po=(rí + Y22 = sin2 6, y, = cos6)
сферы Пуассона, а решениям (24) - регулярные прецессии динамически симметричного твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц: тело вращается с постоянной угловой скоростью Q вокруг оси динамической симметрии, которая, в свою очередь, вращается с постоянной угловой скоростью с вокруг единичного вектора у направления потока, "омывающего" тело. При этом угол
между осью динамической симметрии тела и вектором у равен 6 = arccos y3 .
Уравнение (25) в явном виде записывается следующим образом:
(k - A3k2cos6)(A3k2 -k cos6) „ , ч , ч .
^-—-¿Ц-^-2-1-+ fS (cos6)c3 (cos 6) sin 6 = 0.
A1sin36 v } 3V }
Условие устойчивости стационарных движений (24) (необходимое и достаточное с точностью до знака равенства), имеет вид
6 * о,
d62
при этом угол 6 должен удовлетворять уравнению (25). Очевидно, что для получения каких-то более определенных выводов об устойчивости стационарных движений (31), нам следует в явном виде определить поверхность, ограничивающую твердое тело с неподвижной точкой, помещенное в поток частиц.
Заключение. В данной работе была исследована устойчивость стационарных движений (перманентных вращений и регулярных прецессий) твердого тела с неподвижной точкой, находящегося в свободном молекулярном потоке частиц. Необходимые условия устойчивости перманентных вращений динамически несимметричного тела получены путем анализа корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений возмущенного движения. Путем анализа эффективного потенциала получены необходимые и достаточные условия устойчивости перманентных вращений и регулярных прецессий динамически симметричного твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц.
Список источников
1. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. -М.: Наука, 1965. - 416 с.
2. Белецкий В.В., Яншин А.М. Влияние аэродинамических сил на вращательное движение искусственных спутников. - Киев: Наукова думка, 1984. - 187 с.
3. Баранцев Р.Г., Цжень-юй У. Силы и моменты, действующие на тела вращения в свободномолекулярном потоке // Вестник Ленинградского университета. 1961. № 13. С. 79-92.
4. Баранцев Р.Г. Взаимодействие разреженного газа с обтекаемыми поверхностями. -М.: Наука, 1975. - 344 с.
5. Карымов А. А. Определение сил и моментов сил светового давления, действующих на тело при движении в космическом пространстве // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. № 5. С. 867-876.
6. Карымов А. А. Устойчивость вращательного движения геометрически симметричного искусственного спутника в поле сил светового давления // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. № 5. С. 923-930.
7. Буров А.А., Карапетян А.В. О движении твердого тела в потоке частиц // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. № 2. С. 77-81.
8. Гаджиев М.М., Кулешов А.С. О движении твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2022. № 3. С. 58-68.
9. Кулешов А.С., Гаджиев М.М. Задача о движении твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2022. Т. 9. № 3. С. 550-560.
10. Gadzhiev M.M., Kuleshov A.S. Nonintegrability of the Problem of the Motion of an Ellipsoidal Body with a Fixed Point in a Flow of Particles // Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2022, vol. 18, no. 4, pp. 629-637. DOI: https://doi.org/10.20537/nd221216
11. Бардин Б.С., Савин А.А. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника на круговой орбите // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=65212
12. Бардин Б.С., Чекина Е.А. Об устойчивости резонансного вращения динамически симметричного спутника в плоскости эллиптической орбиты // Труды МАИ. 2016. № 89. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=72568
13. Холостова О.В., Сафонов А.И. О бифуркациях положений равновесия гамильтоновой системы в случаях двойного комбинационного резонанса третьего
порядка // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=93292
14.Майоров А.Ю., Байков А.Е. Исследование устойчивости положения равновесия трёхзвенной стержневой системы, нагруженной следящей силой // Труды МАИ. 2015. № 80. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=56875
15. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. - М.: Наука, 1990. - 175 с.
16. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. - М.: Эдиториал URSS, 1998. - 168 с.
17. Карапетян А.В. Устойчивость и бифуркация движений. - М.: Изд-во Московского университета, 2020. - 186 с.
18. Каленова В.И., Карапетян А.В., Морозов В.М., Салмина М.А. Неголономные механические системы и стабилизация движения // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. № 7. С. 117-158.
19. Karapetyan A.V. On construction of the effective potential in singular cases // Regular and Chaotic Dynamics, 2000, vol. 5, no. 2, pp. 219-224. DOI: 10.1070/rd2000v005n02ABEH000144
20. Karapetyan A.V., Kuleshov A.S. Steady Motions of Nonholonomic Systems // Regular and Chaotic Dynamics, 2002, vol. 7, no. 1, pp. 81-117. D0I:10.1070/RD2002v007n01ABEH000198
References
1. Beletskii V.V. Dvizhenie iskusstvennogo sputnika otnositel'no tsentra mass (Motion of an Artificial Satellite about Its Center of Mass), Moscow, Nauka, 1965, 416 p.
2. Beletskii V.V., Yanshin A.M. Vliyanie aerodinamicheskikh sil na vrashchatel'noe dvizhenie iskusstvennykh sputnikov (The Effect of Aerodynamic Forces on the Rotational Motion of Artificial Satellites), Kiev, Naukova dumka, 1984, 187 p.
3. Barantsev R.G., Tszhen'-yui U. Vestnik Leningradskogo universiteta, 1961, no. 13, pp. 79-92.
4. Barantsev R.G. Vzaimodeistvie razrezhennogo gaza s obtekaemymi poverkhnostyami (The Interaction of Rarefied Gases with Streamlined Surfaces), Moscow, Nauka, 1975, 344 p.
5. Karymov A.A. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1962, vol. 26, no. 5, pp. 867-876.
6. Karymov A.A. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1964, vol. 28, no. 5, pp. 923-930.
7. Burov A.A., Karapetyan A.V. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1993, vol. 57, no. 2, pp. 77-81.
8. Gadzhiev M.M., Kuleshov A.S. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika. 2022, no. 3, pp. 58-68.
9. Kuleshov A.S., Gadzhiev M.M. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika. Astronomiya. 2022, vol. 9, no. 3, pp. 550-560.
10. Gadzhiev M.M., Kuleshov A.S. Nonintegrability of the Problem of the Motion of an Ellipsoidal Body with a Fixed Point in a Flow of Particles, Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2022, vol. 18, no. 4, pp. 629-637. DOI: https://doi.org/10.20537/nd221216
11. Bardin B.S., Savin A.A. Trudy MAI, 2016, no. 85. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=65212
12. Bardin B.S., Chekina E.A. Trudy MAI, 2016, no. 89. URL:https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=72568
13. Kholostova O.V., Safonov A.I. Trudy MAI, 2018, no. 100. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=93292
14. Maiorov A.Yu., Baikov A.E. Trudy MAI, 2015, no. 80. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=56875
15. Chetaev N.G. Ustoichivost' dvizheniya (The Stability of Motion) Moscow, Nauka, 1990, 175 p.
16. Karapetyan A.V. Ustoichivost' statsionarnykh dvizhenii (The Stability of Steady Motions), Moscow, Editorial URSS, 1998, 168 p.
17. Karapetyan A.V. Ustoichivost' i bifurkatsiya dvizhenii (The Stability and Bifurcation of Motions), Moscow, Izd-vo Moskovskogo universiteta, 2020, 186 p.
18. Kalenova V.I., Karapetyan A.V., Morozov V.M., Salmina M.A. Fundamental'naya i prikladnaya matematika, 2005, vol. 11, no. 7, pp. 117-158.
19. Karapetyan A.V. On construction of the effective potential in singular cases, Regular and Chaotic Dynamics, 2000, vol. 5, no. 2, pp. 219-224. D0I:10.1070/rd2000v005n02ABEH000144
20. Karapetyan A.V., Kuleshov A.S. Steady Motions of Nonholonomic Systems, Regular and Chaotic Dynamics, 2002, vol. 7, no. 1, pp. 81-117. D0I:10.1070/RD2002v007n01ABEH000198
Статья поступила в редакцию 17.03.2023 Одобрена после рецензирования 23.03.2023 Принята к публикации 27.04.2023
The article was submitted on 17.03.2023; approved after reviewing on 23.03.2023; accepted for publication on 27.04.2023
