ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ ТВЁРДОГО ТЕЛА С ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ, ПОЛНОСТЬЮ НАПОЛНЕННОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. 2023. № 128 Trudy MAI, 2023, no. 128

Научная статья УДК 531.38

DOI: 10.34759/trd-2023-128-06

ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ ТВЁРДОГО ТЕЛА С ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ, ПОЛНОСТЬЮ НАПОЛНЕННОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Александр НиколаевичТемнов1, Ян Наинг У2

1,2Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

Москва, Россия

1antt45@mail.ru

2yno64528@gmail.com

Аннотация. В данной работе получены и исследованы уравнения сферического движения твёрдого тела с вращающейся неоднородной несжимаемой жидкостью, заполняющей полностью эллипсоидальную полость. Рассмотрена устойчивость вращения твёрдого тела с неоднородной жидкостью, обладающей линейным распределением плотности. Полученные уравнения движения позволяют исследовать устойчивость стационарных движений рассматриваемой системы с целью оценки влияние расслоения жидкости на динамику тела.

Ключевые слова: неоднородная жидкость, твёрдое тело, эллипсоидальная полость, однородное вихревое движение, устойчивость

Для цитирования: Темнов А.Н., Ян Наинг У. Вращение вокруг неподвижной точки твёрдого тела с эллипсоидальной полостью, полностью наполненной неоднородной жидкостью // Труды МАИ. 2023. № 128. DOI: 10.34759/trd-2023-128-06

Original article

ROTATION AROUND A FIXED POINT OF A SOLID BODY WITH AN ELLIPSOIDAL CAVITY COMPLETELY FILLED WITH AN INHOMOGENEOUS FLUID

Alexander N. Temnov1, Yan Naing Oo2

1,2Bauman Moscow State Technical University,

Moscow, Russia

1antt45@mail.ru

2yno64528@gmail.com

Abstract. In this paper, the equations of spherical motion of a solid body with a rotating inhomogeneous incompressible fluid filling a completely ellipsoidal cavity are obtained and investigated. The stability of rotation of a solid with an inhomogeneous fluid having a linear density distribution is considered. The purpose of this article is to study the effect of an inhomogeneous fluid on the stability of rotation of a solid with a fluid around the axis of dynamic symmetry. In the formulation of the problem, a solid body with an ellipsoidal cavity rotates at an angular velocity around a fixed point that coincides with the geometric center of the cavity, and an inhomogeneous ideal fluid completely filling this cavity performs a homogeneous vortex motion in it with the angular velocity of the fluid. To derive

the equation of motion of the system under consideration, we use the Euler-Lagrange equations, which, under the action of potential forces. To solve the problem of the stability of the system's motion, we use the second Lyapunov method, and construct the Lyapunov function using the Chetaev method. Sufficient conditions for the stability of the rotation of a solid body with a fluid around the vertical axis of dynamic symmetry are derived. The condition is obtained in the form of inequalities of the roots of quadratic forms corresponding to the perturbed motion of a body with a fluid. The obtained equations of motion make it possible to study the stability of stationary motions of the system in question in order to assess the effect of fluid stratification on the dynamics of the body. Keywords: inhomogeneous liquid, solid body, ellipsoidal cavity, uniform vortex motion, stability

For citation: Temnov A.N., Yan Naing Oo. Rotation around a fixed point of a solid body with an ellipsoidal cavity completely filled with an inhomogeneous fluid. Trudy MAI, 2023, no. 128. DOI: 10.34759/trd-2023-128-06

Введение

Задачи о движении твёрдых тел с полостями, заполненными однородной идеальной или вязкой жидкостью, являются достаточно изученными. Однако развитие современной техники и потребности практики в настоящее время ставят перед исследователями ряд новых вопросов динамики твёрдых тел, имеющих полости с жидкостью. Одной из таких проблем, требующей изучения, является задача о движении твёрдых тел с полостями, заполненными неоднородной жидкостью.

Движение твёрдого тела, имеющего полость, полностью заполненную жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, исследовали многие ученые: Уильям Томсон (лорд Кельвин), Гораций Лэмб, Н.Е. Жуковский [1], Ф.А. Слудский [2], СС Хаф [3], А. Пуанкаре [4]. Интерес к этой проблеме не пропал и в настоящее время, о чем свидетельствуют работы [5-8]. Особенностью, объединяющей эти исследования, является предположение об однородности жидкости, заполняющей полость твёрдого тела.

В статьях [9-11] рассматривались движения твёрдого тела с эллипсоидальной и цилиндрической полостями, заполняющей с жидкостью, и представлены области неустойчивости этих рассматриваемых случаев.

В работах [12-16] показано, что подобное движение неоднородной жидкости описывается уравнениями, формально совпадающими с уравнениями движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки.

Целью данной статьи является исследование влияние неоднородной жидкости на устойчивость вращения твердого тела с жидкостью вокруг оси динамической симметрии.

Постановка задачи

Пусть твёрдое тело с эллипсоидальной полостью вращается с угловой скоростью оХш^ш^еОз) вокруг неподвижной точки О, а неоднородная идеальная жидкость, полностью заполняющая эту полость, совершает в ней однородное вихревое движение с угловой скоростью Г2(£(рис. 1).

Рис. 1. Расчётная схема Рассмотрим случай, когда центр масс твёрдого тела совпадает с неподвижной точкой, являющейся одновременно геометрическим центром эллипсоидальной

полости. Введем неподвижную систему координат Ох1 'х2'х3' и подвижную Оххх2х

связанную с твёрдым телом. Положение твёрдого тела относительно системы координат Ох1'х2 'х3 ' будет характеризоваться углами Эйлера у/,ф,3. Положение частиц жидкости в эллипсоидальной полости относительно системы координат, связанной с твёрдым телом - носителем, также охарактеризуем углами Эйлера ,ФХ Д. Предположим, что оси х1, х2, х3 совпадают с полуосями эллипсоидальной полости а, а, а и являются главными центральными осями инерции твёрдого тела с

диагональной матрицей инерции ©т, ©т = {а , В, С }. Однородным вихревым движением неоднородной жидкости назовем такое движение, при котором не только скорости частиц жидкости, но и плотность, являются линейными функциями

пространственных координат с коэффициентами, зависящими от времени: [17]

щ ^з —^зX, (1,2,3),

а

а

(1)

а

(2)

где щ - проекция относительной скорости жидкости на ось Ох, V - абсолютная скорость движения жидкости в переменных Эйлера;

р(х, /) - плотность неоднородной жидкости, р. ^) (/ = 1,2,3) - неизвестные функции времени.

Сферическое движение твёрдого тела с неоднородной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение

Для вывода уравнения движения рассматриваемой системы воспользуемся уравнениями Эйлера-Лагранжа [18], которые при действии потенциальных сил могут быть записаны в виде

где - трёхиндексные символы Больцмана; со3 - квазискорость, равная проекции угловой скорости твёрдого тела или жидкости на оси Охх, Ох2, Ох3; л 3 -квазикоордината, соответствующая со8 квазискорости. Квазикоордината л 3 вводится при помощи обозначения [18]

р( х, ?) = р0 + р х + Р х2 + р х3,

(3)

(4)

йг

= (0„

(5)

Кинетическую энергию Т системы определим по формуле

(6)

где = {Л, В, С} - сумма диагональных тензоров инерции твёрдого тела

©т = {а , В, С } и затвердевшей жидкости ©3= {лх, В, С }; © = {Г, О, Н} -диагональный тензор моментов инерции, учитывающий подвижность жидкости.

Проведя интегрирование по объёму, занимаемому жидкостью, получим выражение для кинетической энергии:

2т = л( + В(2 + С(2 + л Ц2 + ВЦ22 + СЦ2 +

+ 2Г(Ц + 2О(Ц + 2Н(Ц,

(7)

где Л = Л + А; В = В + В; С = С0 + С - моменты инерции твёрдого тела и

«затвердевшей» жидкости.

Здесь

2.2 2.2 2 . 2

а + а ^ а + а ^ а + а

А = т —-—; В = т —-—; С = т —-—;

1 5 1 5 1 5

~ 2

5 2 3

О = — там,; 5 1 3

Н = — таа

51

(8)

4

т = —жа1а2а3р0 - масса неоднородной жидкости.

Для вычисления трёхиндексных символов введем обозначения:

( = (, (2 = (2 , (4 = Ц, (( = Ц,

(3 = (3,

(6 =Цз

Тогда дифференциалы и вариации квазикоординат можно выразить

соотношениями:

= sin 3 sin p d^ + cos pd3; 8nx = sin3 sinp 8iy + cos p83;

dn2 = sin3 cos pdy - sin pd3; 8ж2 = sin3 cos p 8^ - sin p83;

dft3= cos + dp; 8жъ = cos$8^ + 8p; dnA = -sin3 sinp d- cos p d3; 8ж4 = -sin3 sinp - cos p 83;

(9)

dn5=- sin 3 cos p d+ sin p d$x; 8ж5 = - sin 3 cos p 8щх + sin p 83x; dn6 =-cos3 d^ - dp; 8ж6 =-cos 38^ -8pv

Используя выражения (9), найдем символы Больцмана, для чего воспользуемся перестановочными соотношениями [18]:

n n

s

d{8ns) - 8{dns) = YZrL d*t tem . (10)

t=1 n=1

Выражения билинейных форм, стоящих слева в равенстве (10), в рассматриваемом случае приводятся к формуле

d(Sns) - S(dns) = dnt Snm - dnm Snt

и следовательно

& = у = i; у2з =-r'i = i; r2i = -r3n = i; ríe = у65 =1; Уб54=-у4б =1; г4б = -у64=1

Остальные yrts равны нулю.

Вычислим теперь потенциальную энергию П системы тело-жидкость. Так как центр масс твёрдого тела в рассматриваемом случае неподвижен, то потенциальная энергия системы будет слагаться только из потенциальной энергии жидкости:

П = mg (су + с2у2 + сзУз), (11)

где с - координаты центра масс неоднородной жидкости, определяемые по формуле

С1 = [рр^Шйт = -ра12 , (2 = 1,2,3), (12)

\ т 5Ро

^ - направляющие косинусы, определяющие ориентацию твёрдого тела в

пространстве относительно направления однородного поля массовых сил.

ап

Производные - определим по формуле [11]

ап ^ 7 ап

к—, (13)

где коэффициенты есть элементы матрицы Ь такой, что

Ьа = аЬ = Е (14)

Е - единичная матрица; а - невырожденная матрица коэффициентов а ^ форм

(9).

Используя равенства (11) и (13), придем к следующим выражениям для правой части уравнений (4):

дП , ч дП , а а3.

-Т— = т8(Г2С3 ~Г3С2); = тё(Г2С3 — -Г3С2—)';

Л олл а3 а2

-1П" = (Г3С1 -^1С3); = тё(73С1 — -71С3 —X (15)

дл2 дл5 а а3

ап , ч ап , а а9,

- — = ^(ПС2 - Г2С1 ); - Т— = (ПС2 — - Г2С1 ¿л3 ол6 а2 ах

Подставив значения кинетической энергии (7), (15) в уравнение Эйлера-

Лагранжа и принимая во внимание значение уТи и соотношение (15), получим

уравнения движения вокруг неподвижной точки твёрдого тела с неоднородной

жидкостью, совершающей однородное вихревое движение:

— (M" + M1 ) + œ x yivi -h ivi ) - mgyy x cj; (16) dt

— {M +Myi") + (M +Myi")xÛ = mg[fxi J; (17) dt

которым следует присоединить уравнения, определяющие положение центра масс жидкости в полости и положение твёрдого тела в пространстве:

— = [£2хс|; (18)

dt

^- = [уха>\, (19)

dt

где с = ^ , Г г = Ъ a > (i = 1,2,3)5

a

В уравнениях (16), (17) приняты обозначения: М^ = fcT • ¿) - сумма кинетических моментов твёрдого тела = t) • а)) и

«затвердевшей» жидкости (Мз ж = ©3 ^ • , M1 = © • £2 - гиростатический момент жидкости,

М" — © "" • 12 - кинетический момент жидкости при движении с угловой скоростью затвердевшей жидкости ©3 ж = Д ; © ^ = ^ ; ©3 ж = Q ;

M = fc) • ш - кинетический момент жидкости при движении с угловой скоростью твёрдого тела ©^ = F ; ©*2 = G ; ©¡3 = H ;

Отметим, что уравнение (16) одинаково с уравнением движения вокруг неподвижной точки твёрдого тела с кинетическим моментом М\ к которому присоединено вращающееся носимое твёрдое тело с кинетическим моментом М1 .

Однако вращение присоединенного твёрдого тела происходит так, что центр масс носимого тела меняет своё положение относительно несущего, а моменты инерции носимого тела остаются постоянными.

Следовательно, рассматриваемая механическая система, вследствие переменности положения центра масс носимого тела в системе координат, связанной с несущим телом, не является гиростатом и представляет собой более общую механическую систему.

Пусть твёрдое тело удерживается неподвижным. Тогда уравнение одной жидкости описывается уравнениями

^ -МУ1У хИ = м£1ух

+ МУ1У xíl = mgyy хс у

Л

(Хс г _ — = £ 2 х с,

йг

которые после замены ш на —ш совпадают с уравнениями Эйлера-Пуассона движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки [14, 15]. Следовательно, можно утверждать, что во всех интегрируемых случаях движения тяжелого твёрдого тела могут быть записаны решения задачи (20) о движении неоднородной жидкости в эллипсоидальной полости.

В проекциях на подвижные оси Охх, Ох2, Ох3 уравнения (16), (17) запишутся в

виде

—(Л( + ГЦ) + (((С - В) + Н(Ц - О(Ц = mg(у2с3 - уъс2), йг

—(В( + ОЦ) + (((Л - С) + - Н(Ц = mg(у3с - ус3), (21)

—г

—(С( + НЦ) + (((В - Л) + ОшЦ2 - = mg(ус2 - у2с).

—г

— (Л1Ц1 + Г(1) + Ц2Ц (В1 - С1 ) + О(2Ц3 - Н(3Ц2 = ^(Г2 с3 - Г2 С3 X

—г

—(ВЦ + О() + ЦЦ (С - А) + Н(Ц - = mg(у3 с - у1 с), (22)

йг

— (С1Ц3 + Н(3 ) + Ц1Ц2 (Л1 - В1 ) + Г(1Ц2 - О(2Ц1 = ^(У1 С2 - У2 С1 )-—г

Уравнения (18), (19) запишутся в виде

1 —С1 с. с2 1 dс2 с, с. 1 dсз с2 С1

= - Ц - - = - Ц - - «1 , -"Т" = - «1 - - «2, (23)

а —г а а а —г а а а —г а а^

—у —у9 —у

—1 = У2(3 У3(2 , —2 = У3(1 - У1(3 , —3 = У(2 У2(1 - (24)

—г —г —г

Об устойчивости вращения твёрдого тела с неоднородной жидкостью

Уравнения движения твёрдого тела с неоднородной жидкостью допускают ряд первых интегралов. Помножим уравнения (21) на (,со2,со3 соответственно и сложим, в результате с учетом уравнения (24) получим

—(Л( + В(2 + С(2) + 2Г( + 2О( + 2Н( = —г —г —г —г

(25)

= -2 mg

г —У — У2 —Уъ^

С I с + с3 у —г —г —г у

Помножим уравнения (22) на Ц,Ц,Ц и сложим, учитывая равенство (23), придем к выражению

—(AЦ2 + BЦ2 + CЦ2) + 2FQ — + 2GQ2 щ + 2HЦ

dt dt dt dt

^ /7/i ^

-2 mg

dcr dc2 dc3

dt У2 dt ui j

dt 2 dt 3 dt

Суммируя равенства (25) и (26), получим интеграл энергии

Лщ2 + В®2 + C®3 + 2F®1Q1 + 2Gщ2Q2 + 2НщЦ +

+ 2mg (сУ + C2 У2 + СзГз) = V1-

Умножим далее уравнения (21) на у, у2, у3 соответственно и сложим их.

Принимая во внимание уравнение (24), получим интеграл площадей у (Лщ + F Ц ) + у2 (Вщ + GQ2) + у3 (Сщ + H Ц) = V2.

Уравнения (23), (24) допускают, очевидно, геометрические интегралы для твёрдого тела и жидкости соответственно:

У12 +У22 +Уз2 = V3.

2 2 2 2 2 2 2 22_т/

a С\ + с I с '4.

Предварительно умножив уравнения (22) на CL, CL, ^ поочередно и сложив

аъ

результаты, придем к интегралу площадей для жидкости

(Л Ц + Fщ ) С + (В Ц + ) С + (C Ц + Нщ ) Сз = V .

a

Исследуем устойчивости движения твёрдого тела с неоднородной жидкостью, совершающей однородное движение по отношению к изменению переменных:

Ц,щ,у, с (1 = 1,2,3),

где

2 , 2

* а2 + а3 * а О! = (дх + —-— Ц, О* = тг + —

2^2 а

2 2 2 2 а + а ^ а + а 3 Ц, О* = ^ -О

2а а

2ата2

'3

(27)

Используя (27), преобразуем уравнения (16), (22) и (23) к виду

_ с1ш (2) аИ

©*-+ ©(2)-

С С

+ со х ^у* • со ко • ) — mg{y х с),

(28)

2 СО* + 4 (а32 - а2)а2а2а

5 2 3

2 2 2 2 "2"3

сь 5 (а + а )(а + а )

4

. 2

I а^

3 О* О* +

(

2 2 2 2 V а^ аъ а^ аъ J

= я

« —-/С2 1

V а3

а

3 J

(29)

^^ = 2с3 (р* )__2^2_

а с а + а3 Оу + а2

2 (О3 -^>3), (1,2,3),

(30)

где ©* = ©г + ©3, ©3 = {Аэ, Вэ, Сэ } - тензор инерции эквивалентного тела с

компонентами

©31 = А3 = т ( 2 2 3 2^ ; (А3 ,В3 ,С3 ; 1,2,3), 5 ^2 + а^

©(2) = { а2 , В, С2} - тензор, равный разности между тензором инерции

«затвердевшей» жидкости и эквивалентного тела и определенный компонентами

л 22 4 а^

©(? = а = А - А =7т 7 "3 2 ; (А,В,С; 1,2,3).

5 а^ + а^

Здесь и далее А = А + А, В = В0 + Вэ, С = С0 + Сэ

Преобразованные уравнения также допускают первые интегралы. Интеграл

энергии

+ В^22 + Сюъ 2 + А2 О*2 + В2 О*2 + С2 О*2 + 2тя (с ух + с2 /2 + с /з) = ^

и интеграл площадей для твердого тела с жидкостью

Лщу + Вщу + Сщу + Л2 ЦУ + В Цу + С Цс = V •

Интеграл площадей для жидкости при использовании переменных Ц^Ц^Ц имеет вид:

а 2 а/ Цс+а 2 ас2+а/ а/ Цс3=V •

Уравнения движения системы (28) - (30), (24) допускают следующее частное решение:

т =т = П т =т ■ О* = О* = О О* = О

(31)

2 2гл* , 2 2гл* , 2 2.

<с1=щ = 0, со3=щ; Ц* = Ц* = 0, Ц* = Ц

с1 = с2 = 0, С3 = V У =72 = 0, Уз = 1

которому соответствует равномерное вращение твёрдого тела вокруг оси, параллельной вектору £ и установившемуся движению с угловой скоростью О0 неоднородной жидкости, плотность которой в установившемся вращении изменяется по закону:

Р = Р0 + Рэ Х3 ,

Движение системы, описываемое частным решением (31), примем за невозмущённое движение твёрдого тела и жидкости в его полости, и исследуем устойчивость вращательных движений твёрдого тела и жидкости. Отметим, что твёрдое тело с жидкостью является системой, обладающей бесконечным числом степеней свободы. Переменные с.(/ = 1,2,3) однако позволяют описать движение системы тело-жидкость конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае под устойчивостью движения системы, как и при исследовании устойчивости движения одной жидкости, следует понимать не

устойчивость по отношению ко всем переменным, характеризующим движение, а устойчивость по отношению к части переменных [19].

Такая постановка задачи является наиболее правомерной в прикладных задачах, изучающих главным образом вопрос об устойчивости движения твёрдого тела. Это обстоятельство позволяет рассматривать задачу об устойчивости системы «тело-жидкость» как задачу об устойчивости системы с конечным числом переменных. Для решения вопроса об устойчивости движения системы воспользуемся вторым методом Ляпунова, распространенным на подобные системы в работе [19].

Уравнения возмущённого движения получим из уравнений (28) - (30), (24), положив в возмущенном движении

С = С0 + У^ Ц =Ц0 + У2 , Уэ = 1 + Уз, с3 = ^ + У4 • (32)

и сохраняя прежние обозначения для других переменных. Уравнения возмущённого движения обладают следующими первыми интегралами в общем случае:

VI = Лщ2 + В®22 + с (Ух2 + 2щ Ух) + ЛЦ12 + В2Ц2 + С2 (У22 + 2Ц У0) +

+ 2т% (СУ + С2 У2 + ^ Уз + У4 + Уз У4 ),

V = ЛСУ1 + ВС2 У2 + С (У1 + У1 Уз + С0 Уз) + АУ1Ц1 + В2 У2 Ц +

+ С2( У2 + У2 Уз +Ц0 Уз),

Уз = У12+У22+2 + Уз2,

V=а2 а 2 с2 + а2 а2 с2 + а2 а 2( У42+2 ^у4),

У5 = а2 аз Ц*с1 + а1 а2 Ц2С2 + а1 а2 (У2У4 + У2Z0 + Ц0У*\

Для построения функции Ляпунова воспользуемся методом Четаева [20]. Составим связку первых интегралов

1

V = VI - 2^2 + Ту, - 2T2V5 + V + - ZVз2,

_ (( -Ю0 )С2°0 тЯ _ т Оо тё

где Т = у о ___= т

Т1 2 2 2 22 т2 2 2 ' ^^ ^^ а^

т2 = (°0 Т^2, » = (С^о + С2О, К - тя^о.

^0 а1 а2

После небольших преобразований функцию V приведем к виду:

V = А^2 - 2ш0А^у - 2ш0А2О*/ + 2 + А2О*2 - 2Т2а22а32О*с + + Та2 а2 С2 + 2тяс у +

+В^22 - 2^оВад - 2^оВ2О2/2 + + В2О22 - 2Т2а-2а32О2С2 + + Тхах 2 а32 с2 2 + 2тяе2 у2 +

+ Су-2 - 2&оСУ-У3 - 2^оС2У2У3 + МУ32 + С2У22 - 2Т2а12а22У2У4 + + Т1а12 а22 У42 + 2тёУ3 У4 + ^ + •••

Многоточие означает незаписанные члены выше 2-го порядка малости, а коэффициент х остается пока произвольным. Функцию V можно рассматривать как сумму трех квадратичных форм, каждая из которых зависит от четырех переменны x

V = V <>,,/,, О*, С,) + V <>2,Г2, О*, С) + V'"(у,, у2, У3, у4).

Согласно критерию Сильвестра для положительной знакоопределенности первых двух форм необходимо и достаточно выполнение условий:

А*А = (С - А*)®02 + С2Оо0о - тя^ > о,

л*/ = лзА (Ц - Оо№О4С2 - (Ц - щ)2С22 а - АmgZо

ах [ а

- А2 \ (Ц -Щ)С2щ0 а^Г - тё2о\ >

А л * А аз (СЛ „ \СЛ Л п (ГЛ „ \2п 2 а3

Л*5 = (С - В*)щ2 + СЦщ - > 0,

2 ( 2 /о _ Е> ^ /о „\2П2 аз

Л*В = Лзв (Ц - щ)ЦВС - (Ц - щ)2С22 ^г - В2mgZо (

(34)

I ^2

- В2 ^ (Ц0 -Щ0)С2Щ0 а^ - ^0 Г > 0-

Для положительной определенности последней квадратичной формы достаточно выбрать постоянную х, равной

X = Щ0С2 (Ц0 - щ0 ) - тё20 • Согласно теореме Ляпунова об устойчивости, неравенства (33), (34) будут достаточными условиями устойчивости невозмущённого движения (32), по

отношению к переменным Щ, Ц , С, У . Практически интересными являются случаи, когда Ц очень мало и случай Ц = щ, когда жидкость и тело, благодаря наличию вязкости, вращаются как одно твёрдое тело. Рассмотрим сначала случай Ц = щ .

Пусть = 0. Тогда неравенства (33), (34) принимают вид условий

С * - А* > 0, С* - В* > 0,

которые совпадают с достаточными условиями устойчивости невозмущённого движения по инерции твёрдого тела с однородной жидкостью, вращающегося вокруг

неподвижной точки, совпадающей с центром масс системы, обладающей суммарными моментами инерции

а*=а + А+А, В* =В0 + В + В, С*=С0+С + С .

Если ^ о, то для динамически симметричного относительно оси Ох твёрдого тела (А =В0) с эллипсоидальной полостью вращения (а =а2) неравенства (33), (34) принимают вид:

(С* - Л*)а02 - mgZо > о,

А2тя2о \I(А* - С*Н2 + тя2о °3 ~а | > о. (35)

а, { аъ \

При ^ > о неравенства (35) являются не совместными, и достаточные условия устойчивости решения в этом случае указаны быть не могут. При ^ < о невозмущённое движение системы будет устойчиво, если выполняются неравенства:

(Со - Л>о2 + (С, - Л>о2 + mgZо > о,

2 _ 2

(А, - Оо2 + (А, - С,Н2 + тя2о а а < о,

а3

Откуда следует, что для динамически симметричного твёрдого тела с шаровой полостью достаточным условием устойчивости невозмущённого движения (32) будет являться неравенство с0 > а совпадающее с одним из условий устойчивости переменных вращений одного твёрдого тела.

Рассмотрим теперь случай, когда О0 достаточно мало, О0 « о. Это имеет место в начальные моменты времени раскрутки, когда основная масса неоднородной

жидкости либо покоится, либо совершает движение, близкое к потенциальному. Выражения (33), (34) в этом случае имеют вид:

(С - Л>02 - mgZo > 0, (36)

а2 ( а2 ^

(С - А* )^02 - mgz0 ] —Г Ш02С22 —Г + А2mgZ0

-¡п п

-

+

V -1 У

+ А2

22

2^< —3

С2 "^Г + тё20 V —1

(37)

< 0.

При ^ > 0 неравенства (36), (37) несовместны, и условия знакоопределенности функции V, а следовательно, и достаточные условия устойчивости, указаны быть не могут. При ^ < 0 из неравенства (37) следует неравенство

А^2 + mgZo < 0, (38)

которое, совместно с неравенством (36) и будут достаточными условиями невозмущённого движения. Для твёрдого тела, представляющего собой тонкую оболочку, моментами инерции которой можно пренебречь по сравнению с жидкостью, достаточным условием устойчивости в рассматриваемом случае при ^ < 0 может служить одно неравенство (38). Отметим, что из неравенства (38) следует физически правильный результат: незакрученная жидкость может быть устойчивой только при ^ < 0 т. е. когда плотность жидкости в невозмущённом состоянии увеличивается в направлении однородного силового поля.

Полученные достаточные условия устойчивости движения могут и не охватывать всей области устойчивости системы. Соответствие достаточных условий, получаемых при помощи 2-го метода Ляпунова, необходимым и достаточным

условиям во многом зависит от удачного построения функции Ляпунова. В связи с этим укажем иные достаточные условия устойчивости системы, когда ось Ох3 является осью симметрии полости и осью динамической симметрии твёрдого тела. В этом случае уравнения возмущённого движения системы «тело -жидкость» допускают ещё один первый интеграл

К = Уг-

Составим связку интегралов: V ( = 1 + 6)

Ф 2

V = V + 2Л^ - 2—2 V - (т&0 + СщЛ + С2П0Л)¥3 -

а

- ФV4 - 2С(ш0 + АГ6 + С(С- А) V62 +х^2 + Z2V52

а а

с 2

V = Аю2 + 2ЛАщу - [луух2 + В®22 + 2ЛАю2у2 - [луу22 +--у2 + 2СЛуху3 - ^у32 +

2 , , . 2 А

2 „2

+ А2П*2 + 2ЛА2О1У1 - С2П0М2 - Ф1 азг ^ + 2mgClУl - 2Ф2 % +

а а

+ В2&2 + 2ЛА&У - С2^Лу2 - Ф1аз2<22 + 2mgC2У2 - 2Ф2^П;<2 + (39)

а а

+ С2У22 + 2ЛС2У2Уз - С2°0ЛУ32 - Ф1У42 + 2^3У4 - 2Ф2УзУ4 + + ^2а18(У22 ^ + 2 У2У4О0 ^ + $02У42) + ^ У42 + •••

В выражении (39) введены обозначения:

, mg С2(П02 -П0Л) , С2(П0 +Л) „ .

Ф1 = ^5--24 0 ^ 0 У, ф2 = -¿, [= mgZo + С^Л-

20 Z0 Z0

Л,X - некоторые постоянные.

Функцию V будем рассматривать как сумму трех квадратичных форм относительно двух переменных и трех квадратичных форм относительно трех переменных.

V = К(>1,у) + V (2)(®2,п) + V (3)(л, Уз) +

+ V (4)(П;,Г1, о,) + V (5)(П2,Г2, с2) + V (6)( У2, Уз, У4).

Первые три квадратичные формы относительно двух переменных

представляют собой функцию Ляпунова для твёрдого тела с затвердевшей

жидкостью. Эта функция будет определенно положительна при выполнении

неравенства

/ (Я) = АЛ2 + С®0Я + mgz0 < 0,

которое при равенстве нулю имеет действительные корни при ^ > 0

(40)

Я 2 А '

если выполняется условие

С2ш2 - 4Amgz0 > 0,

совпадающее с условием Маевского; четвертая и пятая квадратичные формы относительно трёх переменных будут определенно положительны при выполнении неравенств, получающихся согласно критерию Сильвестра

А 2(Я) = -ЯА2(ЯА2 + С200) > 0, (41)

2

/ 2 _ 2 \2 д3 (Л) = л'2 О0а2 (аз 2 " а / - я2

5 а3 + а

4 2 2 /1 2 2 2 4 а^ а 4 а^ а3

аз 2 + Т ^о 2~ 2

25 а + а 5 а + а

1

1

л

о03а32 (а2 - а/)+_ Оя2оа3

5

я2^о2 > о,

+

Неравенство (41) для отрицательных Л выполняется при условии

С

л > л=—а,

Л

Выражение (42) можно записать также в виде

Дз(Л) = 2ЛОоаз2 Ц-^Т2/1(Л) + /2(Л) > 0, 5 а + а

(43)

где

/1 (Л) = (Л + Оо)(Л +

С

—С^ ао),

Л С2

2

/2 (Л) = - Щл2 Л + ЛС2 Оо % + mgZо). т ах

(44)

Последняя, шестая квадратичная форма всегда может быть сведена к определенно -положительной форме при помощи выбора неопределенных параметров Х\ и Хт., и следовательно, условия знакоопределенности этой формы могут быть проигнорированы.

Для обеспечения положительной знакоопределённости функции Ляпунова выясним условия совместности неравенств (40) - (42) в некоторых конкретных случаях. Условия совместности неравенств обеспечат наличие функции V, удовлетворяющей всем требованиям теоремы [19] об устойчивости по части

переменных, и следовательно, будут достаточным условиями устойчивости решения.

Заметим, что поведение функции (Л) зависит только от геометрии полости, а функции /2 (Л) - от знака z0 и размеров полости. Пусть ^ > 0 и а > а, и со0 -конечные величины. Функции /0 (Л), /х (Л), /2 (Л) для этого случая представлены на рис. 2.

Рис. 2. Графики квадратичных форм для случая ^ > 0 и а > а • Для выполнения положительной знакоопределённости функции /2 (Л) в рассматриваемом случае достаточно потребовать выполнение условия

С22П02 ^ - 44> 0.

"2 "0 4 а

(45)

Так как Л >$о, и А3 (-^0) < 0, /2 (-О0) < 0, то при а > а из рис.2 следует, что неравенства (40), (41), (42) будут совместны, если значение X будет выбрано из

интервала Л <Л<Л4,

4

где Л,Л4 - корни уравнения /2(Л) = 0.

Последнее неравенство будет особенно, если

Л4 < Л2, Л5 <Л3,

или должны быть выполнены условия

-с п +

С2п0 2 +

а

12 V

С2 О02 а\ - 4а2mgz0 г—:—--

а ^ -сщ+^1 с щ - 4mgz0а

А2

2 А

<

—I

с п —

С2п0 2 Л

а1 у

2 а

С22 п02 а32 - 4 АmgZo -

а1 А2 С2

О

_А2_О2 - 4_С_О 2

(А2 - С2) А2 - С2

2 А

(47)

Таким образом, при выполнении неравенств (45) - (47) в рассматриваемом случае невозмущённое движение будет устойчиво по отношению к величинам

Щ,Ц,У 0 =1,2,3) •

Отметим интересный момент неравенства (47) можно рассматривать как условия, при которых кривые (Л) и /2 (Л) имеют своими нулями корни,

расположенные левее оси ординат. Необходимым условием для этого может служить неравенство

щО0 > 0,

(48)

означающее, что жидкость и твёрдое тело в установившемся движении должны

вращаться в одну сторону.

Заключение

В данной статье получены и проанализированы уравнения сферического движения твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость, полностью наполненной неоднородной идеальной жидкостью. Выведены достаточные условия устойчивости вращения твердого тела с жидкостью вокруг вертикальной оси динамической симметрии. Полученное условие имеет вид неравенств корней квадратичных форм, отвечающих возмущенному движению тела с жидкостью.

Список источников

1. Жуковский Н.Е. О движения твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. - 137 с.

2. Th. Sloudsky. De la rotation de la terre supposee fluide a son interieur // Bulletin de la Societe Imperiale des naturalistes de Moscou, 1895, vol. IX, pp. 285-318.

3. Hough S.S. The oscillations of a rotating ellipsoidal shell containing fluid // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. A, 1895, vol. 186, part 1, pp. 469-506.

4. Poincare H. Sur la precession des corps deformables // Bulletin astronomique, 1910, vol. 27, pp. 321-356.

5. Суденков С.Н. Канонические уравнения движения твёрдого тела с вихревым заполнением. - Донецк: Институт прикладной математики и механики АН УССР, 1977. С. 67-71.

6. Савченко А.Я., Игнатов А.Л. Исследование устойчивости равномерных вращений симметричного волчка с жидким заполнением // Прикладная математика и механика. 1974. Т. 10. № 8. С. 107-111.

7. Игнатьев А.О. К достаточным условиям устойчивости осесимметричного волчка с жидким заполнением // Механика твердого тела. 1977. № 9. С. 82-86.

8. Позднякович Е.В. Равномерные вращения твёрдого тела с жидким заполнителем // Механика твердого тела. 1978. № 10. С. 49-54.

9. Ай Мин Вин, Темнов А.Н. Вращение твёрдого тела с эллипсоидальной полостью, целиком наполненной стратифицированной жидкостью // Труды МАИ. 2015. № 79. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=55633

10. Пожалостин А.А., Гончаров Д.А. О параметрических осесимметричных колебаниях жидкости в цилиндрическом сосуде // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=84412

11. Пак Сонги, Григорьев В.Г. Устойчивость тонкостенных осесимметричных соосных конструкций, содержащих жидкость, при многофакторных нагрузках // Труды МАИ. 2021. № 119. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=159785. DOI: 34759/trd-2021-119-08

12. Должанский Ф.В. О гидродинамической интерпретации уравнений движения тяжелого волчка // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1977. № 2. С. 201-203.

13. Темнов А.Н. Однородное вихревое движение неоднородной жидкости // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. 1979. № 293. С. 50-57.

14. Темнов А.Н., Ян Наинг У. Механический аналог движений неоднородной жидкости // Инженерный журнал: наука и инновации. 2022. № 7. DOI: 10.18698/23086033-2022-7-2192

15. Темнов А.Н. Устойчивость стационарных вращений неоднородной жидкости в эллипсоидальной полости // Известия вузов. Машиностроение. 1979. № 7. С. 149-151.

16. Ян Наинг У. Движение твердого тела с жидкостью, совершающей однородное вихревое движение // III межвузовская конференция аспирантов, соискателей и молодых ученых «Наука, технологии и бизнес» (Москва, 27-28 апреля 2021): сборник трудов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2021. С. 209-222.

17. Мельхиор П. Земные приливы. - М.: Мир, 1968. - 482 с.

18. Лурье А.И. Аналитическая механика. - М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.

19. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. - М.: Наука, 1965. - 439 с.

20. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1976. -320 с.

References

1. Zhukovskii N.E. O dvizheniya tverdogo tela, imeyushchego polosti, napolnennye odnorodnoi kapel'noi zhidkost'yu (Dynamics of a rigid body with cavities partially filled with liquid), Moscow, Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2017, 137 p.

2. Th. Sloudsky. De la rotation de la terre supposee fluide a son interieur, Bulletin de la Societe Imperiale des naturalistes de Moscou, 1895, vol. IX, pp. 285-318.

3. Hough S.S. The oscillations of a rota ting ellipsoidal shell containing fluid, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A, 1895, vol. 186, part 1, pp. 469-506.

4. Poincare H. Sur la precession des corps deformables, Bulletin astronomique, 1910, vol. 27, pp. 321-356.

5. Sudenkov S.N. Kanonicheskie uravneniya dvizheniya tverdogo tela s vikhrevym zapolneniem (Canonical equations of motion of a rigid body with vortex filling), Donetsk, Institut prikladnoi matematiki i mekhaniki AN USSR, 1977, pp. 67-71.

6. Savchenko A.Ya., Ignatov A.L. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1974, vol. 10, no. 8, pp. 107-111.

7. Ignat'ev A.O. Mekhanika tverdogo tela, 1977, no. 9, pp. 82-86.

8. Pozdnyakovich E.V. Mekhanika tverdogo tela, 1978, no. 10, pp. 49-54.

9. Ai Min Vin, Temnov A.N. Trudy MAI, 2015, no. 79. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=55633

10. Pozhalostin A.A., Goncharov D.A. Trudy MAI, 2017, no. 95. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=84412

11. Pak Songi, Grigor'ev V.G. Trudy MAI, 2021, no. 119. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=159785. DOI: 34759/trd-2021-119-08

12. Dolzhanskii F.V. Izvestiya AN SSSR. Fizika atmosfery i okeana, 1977, no. 2, pp. 201203.

13. Temnov A.N. TrudyMVTUim. N.E. Baumana, 1979, vol. 293, pp. 50-57.

14. Temnov A.N., Yan Naing Oo. Inzhenernyi zhurnal: nauka i innovatsii, 2022, no. 7, DOI: 10.18698/2308-6033-2022-7-2192

15. Temnov A.N. Izvestiya vuzov. Mashinostroenie, 1979, no. 7, pp. 149-151.

16. Yan Naing Oo. III mezhvuzovskaya konferentsiya aspirantov, soiskatelei i molodykh uchenykh «Nauka, tekhnologii i biznes»: sbornik trudov, Moscow, Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2021, pp. 209-222.

17. Mel'khior P. Zemnyeprilivy (Earth Tides), Moscow, Mir, 1968, 482 p.

18. Lur'e A.I. Analiticheskaya mekhanika (Analytical mechanics), Moscow, Fizmatgiz, 1961, 824 p.

19. Moiseev N.N., Rumyantsev V.V. Dinamika tela spolostyami, soderzhashchimi zhidkost' (Dynamics of a body with cavities containing liquid Moscow), Nauka, 1965, 439 p.

20. Merkin D.R. Vvedenie v teoriyu ustoichivosti dvizheniya (Introduction to the theory of motion stability), Moscow, Nauka, 1976, 320 p.

Статья поступила в редакцию 16.12.2022 Одобрена после рецензирования 27.12.2022 Принята к публикации 27.02.2023

The article was submitted on 16.12.2022; approved after reviewing on 27.12.2022; accepted for publication on 27.02.2023