Динамика шара Чаплыгина с полостью, заполненной жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 1. С. 103-111. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru

УДК: 531.7

М8С 2010: 70Е18, 76В47

Динамика шара Чаплыгина с полостью, заполненной жидкостью

А. В. Борисов, И. С. Мамаев

В работе рассмотрена задача о качении по абсолютно шероховатой плоскости шара с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной жидкостью, которая совершает однородное вихревое движение. Указан случай существования инвариантной меры и показано, что при условии осевой симметрии имеется частный случай интегрируемости.

Ключевые слова: вихревое движение, неголономная связь, шар Чаплыгина, инвариантная мера, интегрируемость, твердое тело, идеальная жидкость

Содержание

Введение ................................

1. Уравнения движения ...................

2. Первые интегралы и инвариантная мера .

3. Интегрируемый случай осевой симметрии

Получено 25 ноября 2011 года После доработки 18 января 2012 года

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «УдГУ» в рамках гранта Правительства РФ для государственной поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях ВПО (дог. №11.034.31.0039) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», мероприятие 1.1. «Научнообразовательный центр «Регулярная и хаотическая динамика» (ГК №02.740.11.0195). Работа поддержана грантом РФФИ 11-01-91056-НЦНИ_а.

Борисов Алексей Владимирович borisov@rcd.ru Мамаев Иван Сергеевич mamaev@rcd.ru

Институт компьютерных исследований Удмуртский государственный университет 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1

104

105

107

108

Введение

Задача о движении твердого тела с полостями, заполненными жидкостью, совершающей потенциальное движение в случае неодносвязных полостей и однородное вихревое движение в случае полостей эллипсоидальной формы, впервые была разобрана Н. Е. Жуковским [6]. В различных постановках эта проблема получила дальнейшее развитие в работах А. Пуанкаре [14], В.А.Стеклова [17, 18], В. Вольтерра [21] и др. С обзором этих классических исследований можно ознакомиться по работе [3] и недавно вышедшему сборнику [11] (см. также книгу [9], содержащую подробную библиографию по динамике тел, имеющих полости с жидким наполнением). Теоретические исследования по этой проблематике были обусловлены необходимостью обосновать явление прецессионных движений небесных тел, в частности, Земли, в предположении, что тело состоит из твердой оболочки-мантии, заключающей в себе жидкое ядро. Из современных работ укажем [16], где рассматривается модельная задача для исследования либраций Меркурия.

Отметим также, что исследование динамики тела с неодносвязными полостями, заполненными идеальной жидкостью, явилось одной из причин введения понятия циклических переменных и создания процедуры редукции Рауса-Кельвина. Кроме того, задача о движении тела с эллипсоидальной полостью привела А. Пуанкаре к получению новой формы уравнений в квазискоростях [15] (уравнения Пуанкаре на группе Ли).

Другой круг вопросов, также связанных с обозначенной задачей, относится к динамике волчка и восходит к Уильяму Томсону (лорду Кельвину), увлекавшемуся конструированием и экспериментами с различными моделями волчков с присущими им динамическими эффектами [19, 20] (наиболее известен обнаруженный им необычный эффект подъема волчка, получившего название «волчка Томсона»).1 Различные эксперименты с волчками подробно описаны в книге Дж. Перри [13]. Так, всем известно, что если вареное яйцо привести каким-либо способом в быстрое вращение, то оно поднимется вдоль более длинной оси; однако если закрутить так сырое яйцо, оно никогда не обнаруживает ни малейшего стремления к подъему и вращению вдоль длинной оси. Этот наглядный пример естественно подводит к вопросу о поведении на плоскости тела, имеющего заполненную жидкостью полость. Из последних работ в этом направлении отметим [7, 8, 10, 12], в которых исследуется задача о качении по плоскости тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. В указанных работах исследуется устойчивость различных стационарных движений системы. Кроме того, в работе [12] рассмотрена динамика шара Чаплыгина с жидким заполнением в случае наличия в точке контакта силы трения, не создающей момента, и показано, что сохраняется величина момента относительно точки контакта и интеграл площадей, в то время как энергия не возрастает. В работе [7] также показано, что в случае сферической оболочки и осесимметричной полости сохраняется интеграл Джеллетта для произвольного закона трения между оболочкой и плоскостью, при отсутствии момента трения.

В данной работе мы рассматриваем задачу о качении по абсолютно шероховатой плоскости шаровой оболочки с эллипсоидальной полостью, содержащей идеальную жидкость. Мы показываем, что в случае, когда центр масс системы совпадает с геометрическим центром оболочки (то есть для шара Чаплыгина с жидким заполнением), уравнения движения допускают инвариантную меру; если, кроме того, распределение масс оболочки и полость осесимметричны относительно одной и той же оси, то имеется инвариантное подмногообразие, где уравнения движения интегрируются в квадратурах.

хСм. статью У. Томсона и предваряющий ее фрагмент из книги «Жизнь лорда Кельвина» в этом номере — Прим. ред.

1. Уравнения движения

Рассмотрим обобщение задачи С. А. Чаплыгина о качении динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости. Будем предполагать, что внутри шара имеется эллипсоидальная полость, заполненная идеальной жидкостью, совершающей движение с однородной завихренностью. Выберем подвижную систему координат Ох\Х2Х3, начало которой совпадает с центром масс системы, а оси направлены вдоль главных осей инерции (см. рис. 1). В этой системе координат уравнение полости представляется в форме

где N — реакция связи, Т — кинетическая энергия системы (вычисленная без учета связи), т — масса шара с жидкостью, д — ускорение поля тяжести.

Замечание. По известной зависимости £(£) траектории частиц жидкости в полости относительно ее центра можно получить, пользуясь соотношением (1.2). Действительно, выполним линейную замену переменных

х' = Б-1(х — хс),

которая преобразует эллипсоидальную полость в сферу. При этом в системе координат, связанной с оболочкой, соответствующие скорости определяются соотношением

(х — хс, В 2(х — хс)) ^ 1,

(1.1)

где Б2 — симметрическая матрица, собственные значения которой совпадают с квадратами главных полуосей полости Ъ\, ь22, Ъ1

Следуя А. Пуанкаре, представим в системе коор-

динат СХ1Х2Х3 распределение абсолютной скорости течения жидкости в полости в виде [5]

V(х, £) = V + ш х х + БНБ 1(х — хс), (1.2)

где V, ш — скорость центра масс и угловая скорость шара, Е — кососимметричная матрица.

Условие отсутствия проскальзывания в точке контакта Q записывается в форме

V + ш х г = 0, г = а — К7, (1.3)

где г — вектор из центра масс в точку контакта, а — вектор из центра масс в центр масс шара, 7 — орт вертикали.

Определим вектор £, соответствующий матри-

Рис. 1

це Е, компоненты которого в системе координат Ох\Х2Хз задаются соотношением

Уравнения движения этой системы представляются в форме [5]

(1.4)

V' = В *(■« — ш х х) = £ х х',

то есть вихревому течению жидкости в полости соответствует вращение некоторой (воображаемой) сферы (х', х') ^ 1 с угловой скоростью £(£).

Вычисляя кинетическую энергию системы, находим

Т = ^гпУ2 + + ^Тг (ВНВ“11(ВНВ“1)Т) - Тг (ВЕВ-1^), (1.5)

компоненты матриц П, J определяются соотношениями

- -X/ Jij j (X Хг)г ( X XC)jpdV _ ^

_ mc ST'

Ч] — ^i] — I — ’t'CjiV’*' — -bcjjpav — -jT- / y -

Cavity k

где интегрирование распространяется на всю полость с жидкостью плотности р, и Bij — элементы матрицы B, mc — масса жидкости в полости. Вследствие симметричности B,

т mc т-, о

имеем J = —В , откуда получим

5

Т = -2 (m V2 + (ш, Iu;)) - ^ Тт(В2В2) - ^ Тг(ВНВ2П) =

= 1(шУ2 + (а;, 1а;)) + (£,В'а;) + |(€,В"0, (1-6)

2mcdetB^ I mc (_

B' =-------------------В-1, B" = — ((TrB2)E - B2).

5 5

В случае, когда главные оси полости и главные оси инерции системы совпадают:

В' = diag 0тсМз, ^тсМз, jmcbib-^j, В" = diag {^~{b22 + bl), ^(b'l + bj), ^(bf + б|)^.

Исключая реакцию связи N с помощью первого из уравнений (1.4) и связи (1.3), получим следующую систему уравнений:

дт х Л дт (дт . л (дт л . .

—— = сх——, ——hmrx(o;xr) = ——Ь тгх(шхг) xu>+mr х (u; х r)+mqr Х7.

д£/ д£ \ди ) \ди )

(1.7)

Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, необходимо добавить соотношение

7 = 7 х и. (1.8)

Замечание. Покажем, как первое из уравнений системы (1.7) связано с уравнением Гельмгольца для завихренности жидкости ис. Используя соотношения (1.2) и представление (1.6), можно показать, что завихренность в подвижных осях задается уравнением

1 1 дТ

«* = 2 = “ + 2W(TVB3)E - В2)В« = (В'Г‘Щ-

Отсюда, используя определение B', находим

дТ 5

B_1tuc = к -7—, к =-----------= const. (1-9)

<9£’ 2mc det В V ;

Согласно уравнению Гельмгольца, в подвижных осях GX1X2X3 (см. [9]), вращающихся с угловой

скоростью и, имеем

ис + и х ис = (ис, V)v(x, t) = Пис + BHB-1uc.

Пользуясь соотношениями Па = и х a, На = £ х a, где a — произвольный вектор, получим

уравнения движения для ис в форме

(B-1^)' = £ х (B-1uJ.

Согласно (1.9), оно с точностью до множителя совпадает с первым уравнением в (1.7).

2. Первые интегралы и инвариантная мера

В общем случае система (1.7), (1.8) допускает очевидные три первых интеграла

геометрический ^0 = (7,7) = 1, величина /дТ дТ\

завихренности ~ 1 д£ ’ д£ ) ’

энергия Е = Т(£, ш) — тд(г, 7),

где Т(€,ш) = Т(у, ш) | у=гхш.

Если дополнительно положим а = 0, то система уравнений (1.7), (1.8) допускает инвариантную меру рб£ йш , где плотность задается уравнениями

Р(1) =

дТ

дХг дzj

где г = (£, ш) — шестимерный вектор.

Кроме того, как следует из (1.7), при а = 0 вектор момента системы относительно точки контакта

,, дТ дТ .

М = —— = —-----Ь пгг х (а; х г)

дш дш

остается постоянным в неподвижной системе координат (так как М = М х ш). Следовательно, у системы (1.7), (1.8) при а = 0 появляется еще пара дополнительных первых интегралов

квадрат момента ^2 = (М, М), интеграл площадей = (М, 7).

Аналогичные интегралы в случае, когда имеется безмоментное трение между оболочкой и плоскостью, указаны в работе [12].

Уравнения движения (1.7), (1.8) сходны по форме с уравнениями других известных

интегрируемых неголономных систем [4], для которых интегрируемость устанавливается

при помощи обобщенной теоремы Эйлера-Якоби [1], а соответствующие инвариантные многообразия — двумерные торы. Тем не менее, по-видимому, в данном случае механизм интегрируемости должен быть другим. Действительно, положим а = 0 и рассмотрим величину т в уравнениях (1.7) как независимый параметр, положив его равным нулю — т = 0; получим

КТ = £ х К, М = М х ш,

(2.1)

К = Б''£ + Б' ш, М = 1ш + Б'£.

Эти уравнения могут быть представлены в гамильтоновой форме с вырожденной скобкой Ли-Пуассона, соответствующей алгебре зо(4) = зо(3) ® во(3); известные интегрируемые случаи этой системы приведены в книге [5]. В интегрируемых случаях инвариантные многообразия системы (2.1) — двумерные торы; следовательно, для полной системы, содержащей также уравнение для 7

7 = 7 х ш,

интегральные многообразия представляют собой трехмерные торы.

Таким образом, естественно ожидать, что в исходной системе (1.7), (1.8) при т = 0 в случае сохранения инвариантной меры невырожденные интегральные многообразия также должны являться трехмерными торами. В частности, для интегрируемости системы при а = 0 не хватает одного дополнительного первого интеграла, подобная ситуация возникает в неголономных системах, рассматриваемых в работе [2].

3. Интегрируемый случай осевой симметрии

Будем полагать, что выполнены следующие условия:

1. центр масс системы совпадает с геометрическим центром оболочки, то есть

а = 0;

2. оболочка и полость осесимметричны относиетльно одной и той же оси, а следовательно, в системе главных осей

I = diag(/l ,І1,І), В = diag(&l ,61,63);

3. квадрат момента системы относительно точки контакта равен нулю

м2 + М22 + М32 = 0.

Очевидно, что последнее соотношение влечет за собой равенство нулю каждой компоненты вектора момента по отдельности:

м1 = м2 = м3 = 0. (3.1)

Ограничим уравнения движения на инвариантное многообразие, определенное соотношениями (3.1). Для этого выразим завихренность £ и момент завихренности К по формулам

£ = -(В')_1(1ш + х (ш х 7)), Б = шЯ2, дТ

К = — = В'ш - В'^В'Г1 (1о> + £>7 х (о> х 7)) и подставим в уравнения

К = £ х К, 7 = 7 х ш. (3.2)

Полученная система уравнений допускает векторное поле симметрий

- д д д д

----^1------Ь72ТГ----71 т—• (3.3)

д^і д^2 д7і д^2

Выберем систему инвариантов (первых интегралов) этого векторного поля в форме 73, 7 Кз, Кп, К2, где

Кп = Зп (ш, 7),

2

72 ГС г с гСС гС (І1 - І3) - І3СІ - І3С)) О

к = ті - її) - ті - її) - 414 \ ;п 7/—^

+ 3 + О — І3

здесь /[ = -^(б2 + б|), |тсЬ\ — главные моменты инерции полости относительно ее

О о

центра.

Замечание. Функция ,1п(73) тождественно обращается в нуль лишь при условии

1з = Ц,

что возможно только в случае невесомой оболочки.

Уравнения движения в этих переменных приводятся к виду

(72)■ = (К2)■ =0, 73 = 71^2 - ^271,

• Б • Б

Аз = (71^2 — ^271 )—Кп, &п = (71^2 “ ^271)—Аз,

р = ВД^з + 27?- ВД7з ~ Щ)ЧЗз + Л)

- Ц) ’

где для краткости введено обозначение = / + Б.

Поделив последние два уравнения на 73, получим систему

<*Дз _ I* ту- ЛКп _ I)

^7з 7„(7з) ^73 ^(7з) 3‘

Константы интегрирования этих уравнений определяют пару линейных по угловой скорости первых интегралов исходной системы (3.2).

Замечание. Уравнения (3.4) допускают простой квадратичный первый интеграл вида

^ = БКП - Бк2.

Выражая интеграл энергии через функции 73, 73, К3, Кп, получим

£ = ^гпсЪ\Ъ1{Е - rn.gR) = ^(1 - 7|) 1

Ji( it (Ji - it) - it (it - it)) Yз2+

/M2it -Ф .2,, Ji (Wi - ® - mt - m) _ 2\ p'2,

+ -7---- 7з) +----------------71---^------------7з A3 +

V Jt - it v (Jt - itc)2

1 7 n/1 ~ 2^ DJl „2\ts2 , о^173-Лг(7з) 7,- 7,+ ^Ji - £)(1 - 73) - ^ _ 73 J A„ + 2 j3 _ jc А»Аз

Подставляя сюда общее решение уравнений (3.4) и выражая из получившегося выражения Y2, получим гироскопическую функцию рассматриваемой системы.

Замечание. В случае осевой симметрии уравнения движения общей системы (1.7), (1.8) также допускают поле симметрий, аналогичное (3.3), тем не менее уравнения (3.4) не обобщаются. Поэтому интегрируемость данной системы в общем случае остается открытой проблемой.

Список литературы

[1] Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С. Гамильтонизация неголономных систем в окрестности инвариантных многообразий // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, №4, с. 829-854.

[2] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. Качение однородного шара по динамически несимметричной сфере // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, №4, с. 869-889.

[3] Борисов А. В., Газизуллина Л.А., Мамаев И. С. О наследии В. А. Стеклова по классической механике // Нелинейная динамика, 2011, т. 7, №2, с. 389-403.

[4] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. Обобщение преобразования Чаплыгина и явное интегрирование шарового подвеса // Нелинейная динамика, 2011, т. 7, №2, с. 313-338.

[5] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 384 с.

[6] Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельной жидкостью: I, II, III // Собр. соч.: Т. 1 / Н. Е. Жуковский. М.: ГИТТЛ, 1949. С. 31152.

[7] Карапетян А. В., Проконина О. В. Об устойчивости равномерных вращений волчка с полостью, заполненной жидкостью, на плоскости с трением // ПММ, 2000, т. 64, № 1, с. 85-91.

[8] Маркеев А. П. Об устойчивости вращения волчка с полостью, наполненной жидкостью // МТТ, 1985, №3, с. 19-26.

[9] Моисеев Н.Н., Румянцев В. В. Динамика твердого тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 440 с.

[10] Руденко Т. В. Об устойчивости стационарных движений гиростата с жидкостью в полости // ПММ, 2002, т. 66, №2, с. 183-191.

[11] Стеклов В. А. Работы по механике 1902-1909 гг.: Переводы с французского. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский инст. компьютерн. исслед., 2011. 492 с.

[12] Liu Y. Z. The stability of a fluid-filled top rotating on a horizontal plane // Arch. Appl. Mech., 1992, vol. 62, pp. 487-494.

[13] Perry J. Spinning top and gyroscopic motions. New York: Dover, 1957. 102 pp. [Перри Дж. Вращающийся волчок. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 112 с.]

[14] Poincare H. Sur la precession des corps deformables // Bull. Astron., 1910, vol. 27, pp. 321-356; см. также: Пуанкаре А. Последние работы. Ижевск: РХД, 2001. С. 74-111.

[15] Poincare H. Sur le forme nouvelle des equations de la mecanique // C. R. Acad. Sci. Paris, 1901, vol. 132, pp. 369-371; см. также: Пуанкаре А. Последние работы. Ижевск: РХД, 2001. С. 72-73.

[16] Rambaux N., Van Hoolst T., Dehant V., Bois E. Inertial core-mantle coupling and libration of Mercury // Astron. Astrophys., 2007, vol. 468, no. 2, pp. 711-719.

[17] Stekloff V. A. Sur la theorie des tourbillons // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (2), 1908, vol. 10, pp. 271-334 [Стеклов В. А. О теории вихрей // Работы по механике 1902-1909 гг: Переводы с французского / В. А. Стеклов. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский инст. компьютерн. исслед., 2011. С. 83-151].

[18] Stekloff V. A. Sur le movement d’un corps solide ayant une cavite de forme ellipsoidale remplie par un liquide incompressible et sur les variations des latitudes // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (3),

1909, vol. 1, pp. 145-256 [Стеклов В. А. О движении твердого тела, имеющего полость эллипсоидальной формы, заполненную несжимаемой жидкостью, и об изменении широт // Работы по механике 1902-1909 гг: Переводы с французского / В. А. Стеклов. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский инст. компьютерн. исслед., 2011. С. 283-408].

[19] Thompson S.Ph. The life of William Thomson, Baron Kelvin of Largs: Vol. 2. London: McMillan,

1910. Chap. 18: Gyrostatics and wave motion, pp. 736-752 [Томпсон С. Ф. Гиростаты и волновое движение (глава 18 книги «Жизнь лорда Кельвина») // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 1, с. 149-153].

[20] Thomson W. On the precessional motion of a liquid // Nature, 1877, vol. 15, pp. 297-298 [Томсон У. О прецессионном движении жидкости // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 1, с. 155-159].

[21] Volterra V. Sur la theorie des variations des latitedes // Acta. Math., 1899, vol. 22, pp. 201-358.

The dynamics of the Chaplygin ball with a fluid-filled cavity

Alexey V. Borisov1, Ivan S. Mamaev2

1,2Institute of Computer Science,

Udmurt State University

Universitetskaya 1, Izhevsk, 426034 Russia

1borisov@rcd.ru,2mamaev@rcd.ru

We consider the problem of rolling of a ball with an ellipsoidal cavity filled with an ideal fluid, which executes a uniform vortex motion, on an absolutely rough plane. We point out the case of existence of an invariant measure and show that there is a particular case of integrability under conditions of axial symmetry.

MSC 2010: 70E18, 76B47

Keywords: vortex motion, non-holonomic constraint, Chaplygin ball, invariant measure. integrability. rigid body. ideal fluid

Received November 25, 2011, accepted January 18, 2012

Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, vol. 8, no. 1, pp. 103-111 (Russian)