CC BY
526. Zhang Нао, Се Zengxi. Rupture pattern of the Oct 23, 2011 Van-Merke, Eastern Turkey earthquake // Earthquake Sei. 2014. 27, N 3. 257-264.
27. Стефанов Ю.П., Дучков A.A., Яскевич C.B., Романов A.C. Анализ излучения упругих волн при росте трещины гидроразрыва // Триггерные эффекты в геосистемах: Мат-лы 3-го Всесоюз. семинара-совещания. Москва, 16-19 июня 2015. М.: ГЕОС, 2015. 92-97.
28. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1962.
29. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.
Поступила в редакцию 03.03.2018
УДК 531.01
О ДВИЖЕНИИ ШАЙБЫ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
А. В. Карапетян1
Рассматривается задача о движении шайбы на вращающейся вокруг вертикали горизонтальной плоскости с сухим трением. Предполагается, что в каждой точке основания шайбы имеет место локальный закон сухого трения Кулона. Результирующая сила и момент трения вычисляются в рамках динамически совместной модели контактных напряжений. Рассмотренная задача обобщает задачи о движении шайбы по неподвижной плоскости и диска (шайбы нулевой высоты) по вращающейся плоскости. Найдены инвариантные множества задачи и исследованы их свойства. В случае достаточно малого коэффициента трения Кулона построено общее решение уравнений движения шайбы в виде ряда по степеням этого коэффициента.
Ключевые слова: сухое трение, шайба, вращающаяся плоскость, инвариантные множества.
We consider the motion of a puck on a horizontal plane rotating around a vertical axis with dry friction. We assume that, locally at each point of the puck's base, the Coulomb dry friction force acts. The resultant force and frictional torque are calculated according to the dynamically-consistent model of contact stresses. This problem generalizes the problem of motion of a puck on a fixed plane and the motion of a disk (a puck of zero height) on a rotating plane. Invariant sets of the problem are found and their properties are studied. In the case of a sufficiently small Coulomb friction coefficient, a general solution of the equations of motion of the puck is constructed as a power series with respect to this coefficient.
Key words: dry friction, puck, rotating plane, invariant sets.
1. Пусть горизонтальная плоскость Oxy вращается вокруг вертикали Oz с постоянной угловой скоростью О = Qez (Q = const). Однородная шайба (цилиндр радиуса a и высоты 2Ь) массы m
Oxy
ложенных к каждой точке основания шайбы, k > 0 — коэффициент трения.
Пусть r = xex + yey — радиус-вектор центра основания шайбы; u = Xex + yey — относительная скорость центра основания шайбы (скорость скольжения); ш = wez — относительная угловая скорость шайбы. Точка означает производную по времени во вращающейся системе координат. При этом u + [О, r] — абсолютная скорость центра масс шайбы, а (ш + Q)ez — ее абсолютная угловая скорость. Уравнения движения шайбы имеют вид
m{(u+[n,r])-+[n,(u + [n,r])]} = F, ^та2ш = М. (1)
1 Карапетян Александр Владиленович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: avkarapetyanQyandex.ru.
Karapetyan Aleksandr Vladilenovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.
Здесь Е — результирующая сила трения, приложенная к центру основания шайбы; М — вертикальная составляющая главного вектора моментов сил трения относительно центра масс шайбы.
В рамках динамически согласованной модели контактных напряжений [1], обеспечивающей без-
ЕМ
Е = —кт [{¡\х - ¡2у)ех + (Ду + ¡2х)ву] , М = —ктаю/3,
где
1
9
¡1 = ~ J
о
1
1 1 12
1+ 4к/Ь/юД~1у J2sdsJ ,14вг йв
оо
1
1
¡2 = 4кЛ,9"шД J J1 вй^ J2s йв, о о
п
2п
1 1 о3 Ас I А ъ2ъ2„, 1
■13в3 йв + 4к2Ь2иД 1 J1 вйв J2sds J5s3 йв
о
■]1 = У (и — юв 8ш а)2 V 3 йа > 0, о
2п
,13 = J(и ^п а — юв)2V-3 йа > 0, о
2п
= У (юв — и 8ш а) 8т с^-1 йа,
2 „2\1/2
V = (и2 — 2июв вш а + ю2в2) 1 1
2п
J2 = сое2 с^ -1 йа,
о
2п
= J {и — юв 8ш а) в1п аv-1 йа
и = (ж2 + у2)1/2 , ю = аш, Ь = Ь/а,
Д = п2 + 16к2Ь2ю у J2sds J 4вйв, оо
причем 4кЬ < 1 (иначе безотрывное движение невозможно). Очевидно, что Jl-5 зависят от и, ю и в, т.е. ¡1-3 зависят от и (от х и у) и ю.
В проекциях на оси вращающейся системы координат Охуг уравнения (1) принимают вид
х — 20у — 02х = —к{/1х — ¡2у), у + 20х — 02у = —к^х + Ду), ю = —2кДю.
(2)
Замечание. При 0 = 0 уравнения (2) переходят в уравнения движения шайбы по неподвижной плоскости (см. [1, 2]), а при 0 = 0, Ь = 0 — в уравнения движения диска на вращающейся плоскости
(см. [3]).
2. Уравнения движения шайбы (2) допускают инвариантное множество
ю = 0
(3)
(относительная угловая скорость шайбы равна нулю). На этом множестве динамика шайбы совпадает с динамикой точки, детально исследованной в [4]. В частности, если в начальный момент времени Ь = 0 шайба неподвижна относительно вращающейся плоскости, а ее центр находится внутри круга радиуса К = к9/02 с центром на оси вращения, то шайба вечно будет неподвижной относительно этой плоскости:
г(Ь) = го, и(Ь) = 0, ю(Ь) = 0 при г(0) = Го < К, и(0) = ю(0) =0 (г = (х2 + у2)1/2) .
Заметим, что инвариантное множество (3) — аттрактор системы (2), поскольку
(ю2) = —4кДю2 < 0 Ую = 0.
1
1
Пусть ю(0) = юо = 0. Без уменьшения общности будем считать, что юо > 0 (случай юо < 0 рассматривается аналогично). При этом ю(Ь) ^ 0 УЬ ^ 0, так как (3) — инвариантное множество. Уравнения (2) допускают также инвариантное множество
х = у = 0, х = у = 0 (г = 0, и = 0). (4)
На этом множестве третье уравнение системы (3) принимает вид (см. выражение ¡3 при и = 0, ю > 0) ю = —4/3 к9. Таким образом, на множестве (4) имеем
ъи(1)=ъи0-^кд1 (*е[0,Т]) и ъи(1) = 0 (I > Т), Т =
Рассмотрим функцию V = и2 — 02г2 = х2 + у2 — О2 (х2 + у2). Очевидно, существует область О фазового пространства системы (2), которая примыкает к инвариантному множеству (4) и в которой V < 0. Кроме того, производим по времени от функции V в силу системы (2) имеет вид V = —2к/\и2 < 0 У и = 0, приче м V = 0, если и только если и = 0 (х = у = 0), т.е. (см. первые два уравнения системы (2)) если и только если фазовая точка принадлежит множеству (4). Следовательно, инвариантное множество (4) — репеллер системы (2). Таким образом, существует е > 0, такое, что при любом 5 > 0 и любых го, ио и юо, удовлетворяющих условиям
ио + 02г2 <5, ио — 02г2 < 0, юо = 0, (5)
найдется момент времени Ь > 0, такой, что и2(Ь) + 02г2(Ь) = е. Заметим, что условиям (5) удовлетворяют значения ио = 0, 0 < Гд < 5/02. То есть при пулевом начальном значении скорости скольжения шайбы и сколь угодно малых ненулевых значениях ее угловой скорости шайба может скользить, если в начальный момент времени ее центр не лежит на оси вращения плоскости, как бы ни было мало начальное расстояние между центром масс шайбы и осью вращения плоскости.
3. Предположим, что коэффициент трения Кулона достаточно мал (0 < к < ко), и найдем закон движения шайбы методом малого параметра при произвольных начальных условиях, не лежащих па инвариантных множествах (3) и (4), т.е. при ио + 02Гд = 0, юо = 0 (как и ранее, без уменьшения общности будем считать, что юо > 0). Положим г = х + гу (г2 = —1) и перепишем систему (2) следующим образом:
г + 2г0г — 02г = —к/ + г/2)г, ю = —2кДю. (6)
Здесь ¡1-3 = ¡1_3(|г| ,ю). Решение системы (6) будем искать в виде
г = го(Ь)+ кг1(Ь) + к2г2(Ь) + ..., ю = юо(Ь) + кю^Ь) + к2^) + •••, (7)
полагая, что
г(0) = го(0)= го, г(0) = г"о(0) = го, ю(0) = юо(0) = юо > 0 (|го| + |0| |го| = 0), (8)
г](0) = 0, ¿з(0) = 0, ю3(0) = 0 и = 1, 2,...). (9)
Таким образом, пулевое приближение го(Ь), юо(Ь) решения (7) системы (6) удовлетворяет линейной однородной системе уравнений с постоянными коэффициентами
го + 2г0г"о (Ь) — О2 го(Ь) = 0, юо(Ь) = 0 (10)
и начальным условиям (7), а остальные приближения г](Ь) и ю](Ь) (и = 1, 2,...) — неоднородным системам
г] + 2г0г ](Ь) — (Ь) = — (¡и (Ь) + гД,-), = —2/3,3 (Ь) (11)
и пулевым начальным условиям (8). Здесь ¡1_3,] представляют собой коэффициепты при к3-1 в разложениях в ряды по степеням к функций Дг, ¡2г и ¡3ю соответственно, вычисленных для
]_1 ]_1 г = г(]_1)(Ь) = ^ гs{t)ks и ю = ю(]_1)(Ь) = ^ Ws{t)ks.
«=о s=0
Решение задачи Коши (10), (8) имеет вид
zo(t) = [zo + (Zo = ¿Ozo) t] e-iQt, wo(t) = wo, (12)
а решение задачи Коши (11), (9) — вид
t т t
z,(t) = —e-intJ dr | (/i,,(a) + i/2,,-(a)) da, Wj(t) = -2 J /з,,(т) dr. (13)
o o o
Таким образом, общее решение системы (6) может быть представлено рядами (7), первые члены которых задаются явными формулами (12), а остальные члены определяются квадратурами (13). Следует иметь в виду, что эти ряды определяют закон движения вращающейся шайбы (w(t) = 0). Если существует момент времени T > 0, такой, что w(T) = 0, то эти ряды определяют закон движения шайбы только на конечном интервале времени [0, T]; при t ^ T закон движения шайбы совпадает с законом движения точки. Очевидно, ряды (7) позволят построить ряды
r(t) = ro(t) + kri(t) + k2r2(t) + ..., u(t) = uo(t) + kui(t) + kV(t) + ...,
определяющие расстояние от центра масс шайбы до оси вращения плоскости и скорость скольжения шайбы соответственно:
f.s , /2 f.s Zo(t)~Zi(t) +Zo(t)z\(t) r0(t) = (Zo(t)Zo(t)) 7 , Vi(t) =--,
... z0(t)Mt) +zo(t)z2(t) + zi(t)zi(t) - r2(t) r2(t) = --""'
^ ^ (14)
Mt) = (zo(t)Mt))l/2 , Ui(i) = Z^)Zl{t) + Mt)m
U2(t) =
2uo(t)
zo(t)Mt) +Mt)Mt) + Zl(t)t[(t) - u\(t) 2u0(t)
4. Найдем закон движения шайбы с точностью до членов второго порядка малости включительно:
Z = Z(2) (t) = ¿o(t) + kzi(t) + k2Z2(t), w = w(2)(t) = wo(t) + fcwi(í) + fc2W2(í), полагая для простоты, что zo = ro, -¿o = 0 w0 > 0. Тогда (см. (12), (14)) будем иметь
zo(t) = ro(1 + ¿Qt)e-int, wo(t) = wo, ro(t) = ro (1 + Q2t2)1/2 , uo(t) = roQ2t.
При этом (см. (13) при j = 1)
t т t
z1(t) = -roe-iüt J (a) da, w1 (t) = -2wo J ^1(r) dr,
o o o
t т t
r1(t) = -ro(1 + ü2t2)-1/2 J dr J <^(a) da, u1(t) = -ro J <Mr) dr,
o o o
1 2n
ípi(t) = — ü2t JsdsJ (v,o(t) — wos sin a)2 Vq3 da, oo
1 2n
tpi(t) = — j s3 ds j (wqs — v,o(t) sin a)2 Vq3 da,
i. / „з / /„.,.„ -3.
п
o o
v0 = (u0(t) — 2u0(t)w0s sin a — w^2
Таким образом,
z(1) (t) = roe-int
t т
(1 + iüt) - k j dt j (a) da 0 0
(1)(t) = wo I 1 - 2k J^i(a) da I ,
1/2
r(1)(t) = ro (1 + Q2t2)
t т
1 - k (1 + S2t2) 1 J dr J <p1(a)d<r
00
(15)
u
(1) (t) =
r0
t
Q2t - k J <p1(r) dr 0
Следовательно (см. (13) при j = 2),
t т t
Z2(t) = -e-int У dr J Ma)eina da, w2(t) = -2 J Ф2(r) dr, 0 0 0
Mt) = - [<Pi(t)h(t) + (pi2(i) + ¿^2i(í))¿b(í)] , П
Ф2 (t) = - [фх (t)wi(t) + Ф22 (t)Wo],
П
1 2n
^12(t) = ds (u0(t) - w0s sin a) \2v0 (u1(t) - w1(t)s sin a) - 3v10 (u0(t) - w0s sin a)] v0 5 da,
./ J (16N
0 0
Г 1 2п
4g — wo s d 3 1s
п
00
1 2п
(16)
\2 ,,-3
s3 ds п cos2 av0 1 da
Ф22 (t) = У sdsj (u0 (t) sin a — w0 s sin a) [2v0((ui(í) sin a — w1(t)s)) — o o
— 3v10 (u0(t) sin a — w0s)] V-5 da, v10(t, s, a) = u0(t)u1 (t) — (u1 (t)w0 + u0(t)w1 (t)) s sin a — w0w1(t)s2.
5. Таким образом, в первом приближении по параметру k закон движения шайбы не зависит от ее высоты (см. (15)) и совпадает с законом движения диска [3]. Во втором приближении высота шайбы оказывает влияние только на движение центра масс шайбы и не оказывает влияния на ее угловую скорость (см. (16)). Следовательно, вращение шайбы прекращается, как и в случае диска [3], за конечное время, после чего шайба движется как материальная точка.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 16-01-00338).
1
2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов А.П. Динамически совместная модель контактных напряжений при плоском движении твердого тела // Прикл. матем. и механ. 2009. 73, вып. 2. 189-203.
2. Сальникова Т.В., Трещев Д.В., Галлямов С.Р. Движение свободной шайбы по шероховатой горизонтальной плоскости // Нелинейная динамика. 2012. 8, № 1. 83-100.
3. Карапетян A.B. О движении диска по вращающейся горизонтальной плоскости с сухим трением // Прикл. матем. и механ. 2016. 80, вып. 5. 535-540.
4. Грудев А.И., Ишлинский А.Ю., Черноусько Ф.Л. О движении точки по вращающейся шероховатой плоскости // Прикл. матем. и механ. 1989. 53, вып. 3. 372-381.
Поступила в редакцию 17.03.2018
