МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В НАПРЯЖЕННОЙ СРЕДЕ ПРИ ВНЕЗАПНОМ ВОЗНИКНОВЕНИИ РАЗРЫВА Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В НАПРЯЖЕННОЙ СРЕДЕ ПРИ ВНЕЗАПНОМ ВОЗНИКНОВЕНИИ РАЗРЫВА

А. С. Ким1, Ю.Р. Шпади2

Рассматривается задача о нестационарных процессах в предварительно напряженной среде при внезапном возникновении вязкоупругого разрыва в условиях продольного сдвига. Предполагается, что разрыв происходит вдоль полубесконечной полосы, совпадающей с плоскостью максимальных касательных напряжений. Задача решена аналитически в перемещениях методом Винера^Хопфа.

Ключевые слова: нестационарный процесс, аналитическое решение, взаимодействие берегов разрыва, поле перемещений.

A problem is examined about nonstationary processes in a preliminary stressed medium in the case of sudden appearance of viscoelastic break in the conditions of longitudinal shear. It is assumed that the break takes place along a semi-infinite strip coincident with the plane of maximum shear stresses. The problem is solved analytically in terms of displacements by the Wiener-Hopf method.

Key words: nonstationary process, analytical solution, interaction of fracture faces, displacement field.

Благодаря появившимся в настоящее время новым возможностям компьютерного моделирования, проведения численно-аналитических расчетов и визуализации становятся актуальными аналитические формулы, которые описывают нестационарные процессы в очаговых зонах землетрясений и применение которых для анализа геодинамических процессов в земной коре в периоды сейсмической активизации ранее представляло сложность [1, 2].

В настоящей работе приведено аналитическое решение задачи о нестационарных процессах в предварительно напряженной среде при внезапном возникновении полубесконечного разрыва с вязкоупругим контактом берегов. Полученное решение является обобщением известного аналитического решения динамической задачи для разрыва с вязким контактом берегов [3, 4] на случай вязкоупругого контакта берегов разрыва.

Теоретические исследования нестационарных процессов в напряженной среде, сопутствующих возникновению разрыва, проводились в работах [5-17]. Среди этих исследований можно выделить два рода задач, преимущественно решаемых авторами, — изучение 1) распространения разрывов и излучения при этом упругих волн и 2) скольжения берегов уже образовавшегося разрыва и нестационарных процессов, сопровождающих это движение. Представленное в статье исследование следует отнести ко второй группе задач.

Динамическая задача о разрыве в предварительно напряженной упругой среде решена лишь в предположении отсутствия взаимодействия его берегов [12-14], тогда как эксперименты [18-27] указывают на необходимость учета контактного взаимодействия.

В статье П.А. Мартынюка [12] рассмотрена задача о нагружении трещины разрыва напряжением, зависящим от пространственной координаты и времени в условиях антиплоской деформации. Для полубесконечного разрыва, когда на берегах заданы постоянные по величине напряжения, получена асимптотика касательных напряжений на конце разрыва. Этот случай соответствует задаче со свободными берегами, когда напряжения на бесконечности приведены к напряжениям на разрыве. Для конечного разрыва с заданными постоянными по величине напряжениями асимптотика на конце разрыва получена аналитически совместно с численным расчетом.

1 Ким Александр Сергеевич — доктор физ.-мат. наук, ДТОО Институт ионосферы "АО НЦКИТ", г. Алматы, РК, e-mail: kim.as@mail.ru.

Kim Alexandr Sergeevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Institute of Ionosphere "AO NTsKIT", Almaty, Kazakhstan.

2 Шпади Юрий Рейнгольдович — канд. физ.-мат. наук, ДТОО Институт ионосферы "АО НЦКИТ", г. Алматы, РК, e-mail: yu-shpadi®yandex.ru.

Shpadi Yury Reingol'dovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Institute of Ionosphere "AO NTsKIT", Almaty, Kazakhstan.

Волны, вызванные мгновенным разрывом сплошности напряженной среды, изучались Л.М. Флитманом [13]. Разрыв характеризовался тем, что на его поверхности касательные напряжения мгновенно обращались в нуль. Решение, полученное для плоской задачи, было применено для исследования пространственной, когда разрыв происходит вдоль круга единичного радиуса. На фронте цилиндрической волны найдена асимптотика перемещений.

В работе [14] Х.А. Рахматулина, Б. Мардонова, О. Ибрагимова, М. Турдиева рассмотрена плоская двумерная задача о внезапном появлении в линейно-упругой среде полубееконечного разреза в ноле нормальных напряжений. Берега разреза свободны от напряжений. Получено аналитическое решение задачи для вторых производных от перемещений но времени.

1. Постановка краевой задачи. В упругом изотропном предварительно напряженном пространстве с равномерно распределенным касательным напряжением тух = д в момент Ь = 0 происходит мгновенный разрыв сплошности среды вдоль полуплоскости у = 0 ж < 0. Примем, что при Ь > 0 в плоскости разрыва внезапно возникают вязкоупругие контактные условия, когда напряжения на берегах разрыва линейно зависят от скорости и величины взаимной подвижки берегов разрыва (рисунок).

разрыва В условиях продольного сдвига вектор напряжений р =

(рх,ру,Рх), действующий при Ь > 0 в направлении оси г на верхний берег разреза у = 0 ж < 0 с нормалью п = (0, -1, 0), имеет ненулевую компоненту, которую зададим в виде линейной зависимости, когда на верхний берег действует тормозящее движению напряжение:

да

'Рх = -V -тг: ~ на, от

а = ш(ж, +0, Ь) — ш(ж, -0, Ь) = [ш(ж, у, Ь)]у=0,

где п — коэффициент вязкости; к — коэффициент упругости в контактных условиях па разрыве; а(х, Ь) — скачок перемещений на разрыве; ш(ж, у, Ь) — ненулевая г-компонента вектора перемещений; ж, у — декартовы координаты; Ь — время.

Компонента рх вектора напряжений связана с компонентами тензора напряжений по формуле рх = пх ■ тхх + пу ■ тух + пх ■ тхх, где пх = 0 пу = — 1, пх = 0. Следовательно, при Ь > 0 на разрыве у = 0, ж < 0 выполняется условие ту2 = г) || + на, задающее условие вязкоупругого контакта берегов.

Ненулевая компонента вектора перемещений удовлетворяет волновому уравнению

д2ш

0 х

Расположение; вязкоупругого

дтх

Р-

дЬ2 дж

Ненулевые компоненты тензора напряжений

+

дт

ух

ду

ди>

где р — плотность среды, ц — модуль сдвига. Начальные условия имеют вид

ди>

Тух = 1-1- )

у ду

тхх — 0,

'ух

ду д-ш

= д, и> = —, -— = 0 при у > 0 и у < 0, I ^ 0. ц дЬ

Условия на бесконечности имеют вид

тхх — 0, тух — д при г = у ж2 + у2 -то, —то < Ь < то.

Условия па линии у = 0.

При у = 0 ж < 0 на разрыве заданы мгновенно меняющиеся при Ь = 0 контактные условия:

туг = д, да

Ь < 01

ТУ-г = — + ка> ^ > 0

Ь = 0

,уг ■" сЯ а = 0,

> , у = 0, ж < 0.

При у = 0 х ^ 0 за пределами разрыва рассматриваемая среда сохраняет состояние сплошности и условие непрерывности перемещений:

а = 0 при х ^ 0, —то < £ < то.

Предположим, что энергия упругой деформации, вызываемой напряжениями тхх и тух, конечна

х = 0 у = 0

с конечностью энергии упругой деформации в окрестности вершины разрыва и непрерывностью перемещений при движении по лучу к вершине разрыва [28, 29]:

Г.-Т1

при у = 0, х — 0, х > 0, 0 <71 < 1,

а ~ |х|72 при у = 0, х — 0, х < 0, 0 <72 < 1.

Поставленную задачу можно рассматривать как предельную для случая мгновенного разрыва вдоль полосы ширины и, когда время £ < и/Ь, где Ь — скорость поперечных волн. В силу нечетности функции ш(х, у, £) относительно у достаточно рассмотреть полупространство у > 0.

С помощью суперпозиции решения -ш0 соответствующей статической задачи и искомого решения да динамической задачи напряжения на бесконечности приведем к напряжениям на разрыве, а рассматриваемую задачу — к краевой, безразмерная форма которой следующая:

д2да д2да д2Ш' +

дх2 ду2

д£2

(1)

да

<9да

~дТ

Начальные условия принимают вид

0 при у > 0 и у < 0, £ ^ 0. (2)

При у = 0 х < 0 на разрыве получаются мгновенно меняющиеся при £ = 0 контактные условия:

= 0, £ < 0 + 2Кда — £, £ > 0

дда

2п

дда ду дда

да = 0,

у = 0, х < 0.

(3)

£ = 0

При у = 0 х ^ 0 за пределами разрыва

да = 0 при у = 0, х ^ 0, —то < £ < то. (4)

Размерные величины связаны с безразмерными параметрами следующими соотношениями:

и

О О ЧУ И'1 I—Г"

уи = уи +да, уи =—, г1 = ~ь~1 к =/лк, £ = —, 6 = V /х/р;

(х,у,да )= и(х,у,да), д = да = да (х,у,£), да = да(х,у,£), где ш0 — исходное поле перемещений; д — исходное сдвиговое напряжение; Ь — скорость поперечных

и

Задача решается в безразмерной форме, далее индексы > и л в безразмерных параметрах опущены.

2. Аналитическое решение краевой задачи методом Винера-Хопфа. Применив к волновому уравнению (1) преобразование Лапласа с параметром р по времени £ и двустороннее преобразование Фурье с параметром А по координате х, учитывая начальные условия (2), получим уравнение в изображениях

й2ш (А, у, р)

¿у2

— а2ш (А, у, р) = 0,

(5)

где

а = (Л2 + p2)1/2, Л = а + ir, т_ < т < т+, p = p1 + ip2, p1 > 0,

w

(х,у,р) = J w(x,y,t)e pt dt, w (\, y, p) =-J== j w (х,у,р)егХх dx.

Общее решение уравнения (5) при условии ограниченности ш(Л,у,р) в случае у — то можно записать следующим образом:

ш (Л, у, р) = С (Л, р) е-ау.

Граничные условия (3) и (4) в изображениях принимают вид

д

Туг (х,0,р) = 2щ) уи (х, 0, р) + 2к и]{х, 0, р)--, х < 0,

р

ш (ж, 0,р) = 0, ж ^ 0. Из (7) и (8) с учетом (6) получим функциональное уравнение Винера-Хопфа [28]:

г 1 д

т+ (Л, p) + K (Л, p) w_ (Л, p) = -

А л/27Г р'

(6)

(7)

(8)

(9)

где

г+(Л,р)= 1 - ^ 1

v^F.

Tyz (ж, 0, p) e dx, w_ (Л^)

К (Л,р) = 2пр + 2к + (Л2 + р2)1/2, Л = а + гт.

Уравнение (9) определено в полосе т- < т < т+ —то < а < то Функции т+ (Л,р) и ш-(Л,р) регулярны соответственно при т > т- и т < т+ где т+ = 0 т- = —Р1 < 0.

При решении функционального уравнения Винера-Хопфа (9) основным шагом является факторизация ядра К (Л,р), которая заключается в данном случае в представлении

К (Л,р) = К+ (Л,р) К- (Л,р),

где искомые функции К+(Л,р) и К-(Л,р) регулярны и отличны от нуля соответственно при т > ти т < т+ В результате проведенной факторизации функции К (Л,р) получено

V2ñ

w(x, 0,p)e dx

K+ (Л,p) = [p (1 + 2n) + к ] eg+(A'p), K_ (Л,p) = eg-

(A,P)

A A

(Л,p) = J G+ (Л^) dЛ, g_ (Л,p) = J G_ (Л,p) dЛ,

где

G+ (Л^) = - (np + к) G_ (Л,p) = - (np + к)

/+ (A) - /+ (¿x) + /+(A)-/+Hx)

Л - ix

Л + ix

/_ (A) - /_ (¿x) + /- (A) - /_ Hx)

Л - ix

Л + ix

/+ (A) = 7г_1(А2 + p2)-^ arceos ( — ), /_ (A) = тг"1^2 + p2)~з arceos (- —

ip ip

X = X i'P) = Vp2 — 4r]2p2 — 8 г]кр — 4/í2.

Здесь выбрана ветвь функции арккосинус, для которой arccosO = п/2.

Функции /+(Л) и /_(Л) регулярны при т > -pi и т < pi соответственно.

Функции K+^,p) и K_^,p), как следует из их построения, регулярны и отличны от нуля т > - p i т < pi

Для решения функционального уравнения (9) перепишем его в виде

т+ (Л,р) К~1 (Х,р) + К_ (Х,р) ги. (Л,р) = К~1 (Х,р).

А V 2п р

Чтобы факторизовать правую часть уравнения (10), введем функции

к+ (А,р) =

А

К-1 (А,р) —

1

р (1 + 2п) + к

, к- (А,р) =

1

1

А р(1 + 2п) + к'

(10)

(11)

А

г д

I (А) =

л/2ттР

т > т_;

—К- (А,р) ш- (А,р) —

гд

(12)

\/27ГР

к- (А,р), т<т+.

Учитывая связь асимптотики функции и асимптотики ее изображения, для функции I(А) получим следующую оценку: I(А) — 0 при А —^ то. Тогда по теореме Лиувилля функция I(А), регулярная на всей плоскости А = а + гт, тождественно равна нулю: I (А) = 0, и из формулы (12) получим решение функционального уравнения (10):

ю_ (Л,р) = —

1

д

1

1 .Р-я-(А,Р)

лДк Р р(1 + 2г])+к А Из (13) с учетом (6) найдем решение краевой задачи в изображениях:

ш (А, у, р) = Ш1 (А, у, р) — Ш2 (А, у, р),

^1(Х,у,р) = —

(13)

ш(А,у,р) = —

\/27г к р X

^ . Ч. . 1 . 1 . е-9-(Х,р)-ау

у/5* к р + те Л

Решение задачи в оригинале имеет вид

ш (г, 0, £) = ш1 (г, 0, £) — ш2 (г, 0, £).

(14)

(15)

(16)

Обращением формулы (14), используя метод Каньяра приведения двойного интеграла к контурному интегралу [1, 28, 29], получим в оригинале

ъ

'ш1(г,е,г) = 1 [

к

1 я (г - г)

_7Г л/т2 — Г2

т — г эт в)Н (в — — ^

йт.

(17)

Оригинал изображения ш (А, у,р) найдем из (15) методом приведения двойного интеграла к контурному интегралу в виде

ъ

102 {г,в,г)= J е~^{*~т)и)22 (Г,в,т)г1т,

(18)

где

( а \ д 1 Н (т — г)

^22 М,т) =----

к п уг2 — г2

11е Со е"й(Со)} + ^ • й(г - г вт 0)Я - •

(19)

Формула (16) с учетом соотношений (17)—(19) представляет собой аналитическое решение задачи (1)-(4) о нестационарных процессах в предварительно напряженной среде при внезапном возникновении полубесконечного разрыва с вязкоупругим контактом берегов.

3. Заключение. Получено аналитическое решение динамической задачи для напряженной

упругой среды при внезапном возникновении полубесконечного разрыва с вязкоупругим контактом

берегов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ким А. С. Механика нестационарных процессов в очаговых зонах земной коры. Алматы: Гылым ордасы, 2017.

2. Ким А.С., Шпади Ю.Р., Стихарпый А.П., Литвинов Ю.Р. Математическое моделирование нестационарных процессов в очаговой зоне при внезапном возникновении разрыва // Вестн. НЯЦ РК. 2016. 2. 74-82.

3. Ким, А.С. О волнах сдвига в очаговой зоне при внезапном возникновении разрыва // Изв. научно-техн. о-ва "КАХАК". 2015. № 2. 4-31.

4. Kim A. Non-stationary processes in nidal zone at sudden appearance of break // Book Papers 24th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech. (ICTAM). 21-26 August 2016. Montreal, Canada, 2016. 2263-2264.

5. Костров В.В. Механика очага тектонического землетрясения. М.: Наука, 1975.

6. Broberg К.В. The propagation of a brittle crack // Arkiv Fysik. 1960. 18, N 2. 159-192.

7. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин // Разрушение. М.: Мир, 1975. Т. 2. 521-615.

8. Sih G.S. Stress distribution near internal crack tips for longitudinal shear problems // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1965. N 1. 51-58.

9. Молчанов A.E., Никитин Л.В. Динамика трещины после потери устойчивости // Изв. АН СССР Механ. твердого тела. 1972. № 2. 60-68.

10. Burridge R., Willis I.R. The self-similar problem of the expanding elliptical crack in an anisotropic solid // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1969. 66. 443-468.

11. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде // Прикл. матем. и механ. 1967. 31, № 3. 476-488.

12. Мартынюк П.А. О динамическом нагружении полуплоскости с трещиной в условиях антиплоской деформации // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1975. Вып. 22. 216-230.

13. Флитман Л.М. Волны, вызванные мгновенным разрывом сплошности упругой среды // Прикл. матем. и механ. 1963. 27, № 4. 618-628.

14. Рахматулин Х.А., Мардонов В., Ибрагимов 0., Турдиев М. Об одной механической модели землетрясения // Изв. АН УзССР Сер. техн. наук. 1976. № 5. 53-56.

15. Richards P.G. Dynamic motions near an earthquake fault: a three-dimensional solution // Bull. Seismol. Soc. Amer. 1976. 66, N 1. 1-32.

16. Dragoni M., Santini S. A two-asperity fault model with wave radiation // Phys. Earth and Planet. Inter. 2015. 248. 83-89.

17. Немирович-Данченко M.M. Разрушение сдвигом и отрывом в некоторых задачах геодинамики // Современная геодинамика Центральной Азии и опасные природные процессы: результаты исследований на количественной основе: Мат-лы Всерос. сов. и молодежной школы. Иркутск, 23-29 сент. 2012. Иркутск: ИЗК СО РАН, 2012. Т. 2. 50-52.

18. Васильев Ю.Ф. Моделирование сейсмического шва // Изв. АН СССР Физ. Земли. 1968. № 3. 11-18.

19. Wu F.T., Thomson К.С., Kuenzler Н. Stick-slip propagation velocity and seismic source mechanism // Bull. Seismol. Soc. Amer. 1972. 62, N 6. 1621-1628.

20. Шамина О.Г., Павлов А.А., Стрижков С.А. Моделирование сдвиговой подвижки по готовому разлому с трением // Исследования по физике землетрясений. М.: Наука, 1976. 55-67.

21. Chang K.W., Segall P.J. Injection-induced seismicity on basement faults including poroelastic stressing // J. Geophys. Res. B. 2016. 121, N 4. 2708-2726.

22. Кочарян P.P., Новиков В.А., Остапчук А.А. Реализация различных типов скольжения по разломам и излучение сейсмических волн // 10-я Междунар. школа-семинар "Физические основы прогнозирования разрушений горных пород". Апатиты, 13-17 июня, 2016: Тез. докл. Апатиты: Кольский научный центр РАН, 2016. 23.

23. Вобряков А.П. Моделирование триггерных эффектов в разломных зонах горных пород // Физ.-техн. пробл. разраб. полезн. ископ. 2013. № 6. 35-44.

24. Перельмутер М.Н. Трещины с взаимодействием берегов на границе соединения материалов. Модели и методы расчета //11-й Всерос. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Казань, 20-24 авг. 2015. Казань: Казан, федер. ун-т, 2015. 220.

25. Сарайкин В.А., Шер Е.Н. Распространение волн в двумерной блочной среде с вязкоупругими прослойками (теория и эксперимент) // Прикл. механ. и техн. физ. 2015. 56, № 4. 170-181.

26. Zhang Нао, Се Zengxi. Rupture pattern of the Oct 23, 2011 Van-Merke, Eastern Turkey earthquake // Earthquake Sei. 2014. 27, N 3. 257-264.

27. Стефанов Ю.П., Дучков A.A., Яскевич C.B., Романов A.C. Анализ излучения упругих волн при росте трещины гидроразрыва // Триггерные эффекты в геосистемах: Мат-лы 3-го Всесоюз. семинара-совещания. Москва, 16-19 июня 2015. М.: ГЕОС, 2015. 92-97.

28. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1962.

29. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.

Поступила в редакцию 03.03.2018

УДК 531.01

О ДВИЖЕНИИ ШАЙБЫ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

А. В. Карапетян1

Рассматривается задача о движении шайбы на вращающейся вокруг вертикали горизонтальной плоскости с сухим трением. Предполагается, что в каждой точке основания шайбы имеет место локальный закон сухого трения Кулона. Результирующая сила и момент трения вычисляются в рамках динамически совместной модели контактных напряжений. Рассмотренная задача обобщает задачи о движении шайбы по неподвижной плоскости и диска (шайбы нулевой высоты) по вращающейся плоскости. Найдены инвариантные множества задачи и исследованы их свойства. В случае достаточно малого коэффициента трения Кулона построено общее решение уравнений движения шайбы в виде ряда по степеням этого коэффициента.

Ключевые слова: сухое трение, шайба, вращающаяся плоскость, инвариантные множества.

We consider the motion of a puck on a horizontal plane rotating around a vertical axis with dry friction. We assume that, locally at each point of the puck's base, the Coulomb dry friction force acts. The resultant force and frictional torque are calculated according to the dynamically-consistent model of contact stresses. This problem generalizes the problem of motion of a puck on a fixed plane and the motion of a disk (a puck of zero height) on a rotating plane. Invariant sets of the problem are found and their properties are studied. In the case of a sufficiently small Coulomb friction coefficient, a general solution of the equations of motion of the puck is constructed as a power series with respect to this coefficient.

Key words: dry friction, puck, rotating plane, invariant sets.

1. Пусть горизонтальная плоскость Oxy вращается вокруг вертикали Oz с постоянной угловой скоростью О = Qez (Q = const). Однородная шайба (цилиндр радиуса a и высоты 26) массы m совершает безотрывное движение по плоскости Oxy под действием сил сухого трения Кулона, приложенных к каждой точке основания шайбы, k > 0 — коэффициент трения.

Пусть r = xex + yey — радиус-вектор центра основания шайбы; u = xex + yey — относительная скорость центра основания шайбы (скорость скольжения); ш = wez — относительная угловая скорость шайбы. Точка означает производную по времени во вращающейся системе координат. При этом u + [О, r] — абсолютная скорость центра масс шайбы, а (w + Q)ez — ее абсолютная угловая скорость. Уравнения движения шайбы имеют вид

m{(u+[0,r])-+[0,(u + [0,r])]} = F, i та2ш = М. (1)

1 Карапетян Александр Владиленович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: avkarapetyanQyandex.ru.

Karapetyan Aleksandr Vladilenovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.