О динамике диска на наклонной плоскости с трением Текст научной статьи по специальности «Физика»

2468

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2468-2469

УДК 531.36

О ДИНАМИКЕ ДИСКА НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ С ТРЕНИЕМ © 2011 г. А.М. Русинова

Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова

[email protected]

Поступила в редакцию 24.08.2011

Рассматривается задача о движении однородного круглого диска ненулевой толщины по наклонной плоскости с трением в рамках динамически совместной модели, предложенной А.П. Ивановым. Доказано, что характер движения существенно зависит от отношения коэффициента трения к тангенсу угла наклона плоскости. Если это отношение больше единицы, то диск останавливается за конечное время. Если это отношение меньше единицы или равно единице, то движение диска продолжается бесконечное время. В этом случае описаны предельные движения диска.

Ключевые слова: трение, наклонная плоскость, диск, качественный анализ динамики.

Рассмотрим задачу о движении однородного диска с массой m, радиусом a и толщиной 2h по неподвижной наклонной плоскости с трением. Пусть u — скорость центра C основания диска, а ю — угловая скорость диска. Применяя основные теоремы механики, выпишем уравнения движения диска на наклонной плоскости:

тй = mg + N + F,

1 2 -& — —

—та ю = М+Мы.

12

Здесь £ — ускорение свободного падения, N — нормальная реакция наклонной плоскости, F — результирующая сила трения, действующая на диск, а М и Мы — моменты сил трения и реакции соответственно, вычисленные относительно центра масс диска. Так как диск совершает плоскопараллельное движение, то скорость точки С и параллельна наклонной плоскости, а угловая скорость Ю перпендикулярна этой плоскости.

Введем правый ортонормированный репер Сёу е2 ё3 такой, что орт е направлен вдоль скорости й = и (и > 0) точки С диска, орт ё2 ортогонален скорости и и, как и е[, лежит в наклонной плоскости, а орт е з направлен вдоль нормали к плоскости движения. Тогда Ю = ю ё .

Положение произвольной точки А основания диска определяется углом в е [0;2п] и расстоянием г = СА. Силы F и N , а также моменты М и Мы рассчитываются по следующим формулам:

N = e 3 Ц n( A)dc, F = Ц-kn(A)

v (A)

M=Л

£

r(A) x -kn(A)

v(A)

v(A) MN = U n( A)[r (A) x e3] dc.

£

Здесь X — основание диска, n(A) — плотность нормального давления в точке A, k > 0 — коэффициент трения скольжения, v (A) — скорость точки A.

Для определения n(A) воспользуемся динамически совместной моделью контактных напряжений, описанной в [1]. Будем считать, что n(A) = =Х 0+X1r cos Р + ^ 2 r sin в , где коэффициенты А,0. Х1, Х2 определяются в каждый момент времени из соотношений

(N + F + mg, e3) = 0, (M+Mn ,ei) = 0,

i = 1, 2.

В дальнейшем ограничимся изучением динамики диска, используя, как в [2, 3], не точные выражения для компонент сил и моментов, а их Паде-аппроксимации. При использовании разложений Паде первого порядка задача сводится к задаче, рассмотренной в [4]. Для выяснения специфики неравномерного распределения давления рассмотрим, как в [5], Паде-аппроксимации второго порядка.

Выпишем уравнения движения диска:

2

и + uQ

и = cos у - к—---------------------------,

и2 + иО + (16k2h 2 + 9)Q2 /9

V (A)

-Kkh •

= - sin у-uQ

и2 + uQ + (16k2h 2 + 9)Q2 /12

£

£

Q 2к Q2 +uQ

2 3 о2 + uQ + 8и2/[3(1 - 4k2~2)]'

Здесь Q = аю, h = h / а, к = kctga, а — угол наклона плоскости движения диска, у — угол между линией наибольшего ската наклонной плоскости и вектором e .

Аналитическое и численное исследования этих уравнений движения показывают, что:

Утверждение 1. Если к > 1, то движение диска прекращается за конечное время tK.

Утверждение 2. Если к < 1, то движение диска продолжается бесконечно долго, причем скорость и центра диска неограниченно возрастает с течением времени, а угол у — 0.

Утверждение 3. Если к = 1, то движение диска продолжается бесконечно долго, причем

lim u(t) = и* > 0, lim Q(t) = 0, lim y(t) = 0.

t ——-+^ t ——-+^ t ——-+^

В частном случае h = 0 для компонент сил и моментов рассматривались аппроксимации Паде первого порядка и уравнения (у = cosy):

и 2 О О

и = Y - к------, uy = 1 - Y , — =-к----------.

и + Q 4 8u + 3Q

Для данного случая все приведенные утверждения были доказаны аналитически и, кроме

того, было показано, что при к > 1 скольжение и верчение диска прекращаются за одно и то же ко -нечное время tK, причем

lim y(t) = 1,

t ^K

а при к < 1 было показано, что

lim O(t) = 0.

t

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №O9-O8-OO925, 1O-O1-OO292).

Список литературы

1. Иванов A.H Динамически совместная модель контактных напряжений при плоском движении твердого тела // ПMM. 2009. Т. 7З. Вып. 2. С.189-20З.

2. Журавлев В.Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения // Изв. РЛН. MIT. 200З. №4. С. S1-SS.

3. Журавлев В.Ф, Киреенков A.A. О разложениях Паде в задаче о двумерном кулоновом трении // Изв. РAН. MIT. 2005. №2. С. З-14.

4. Карапетян АВ., Русинова A.M. О динамике диска на наклонной плоскости с трением // Изв. РAН. MIT. 2011 (принято к печати).

5. Русинова A.M. О динамике диска на наклонной плоскости с трением в динамически совместной модели трения // ПMM (принято к печати).

ON THE DYNAMICS OF A DISK ON AN INCLINED PLANE WITH FRICTION

A.M. Rusinova

The problem of motion of a homogeneous circular disk on an inclined plane with friction is discussed. Dynamically consistent model of friction suggested by A.P. Ivanov is used. It is proved that the motion of the disk depends essentially on the ratio of the coefficient of friction to the slope ratio of the plane. If this ratio is more than one, the disk stops at a finite moment. If the ratio is less than or equal to one, the disk moves infinitely. In this case the limiting motions are investigated.

Keywords: friction, inclined plane, disk, qualitative analysis of dynamics.