О движении шара, соударяющегося с шероховатой поверхностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 531.01

О ДВИЖЕНИИ ШАРА, СОУДАРЯЮЩЕГОСЯ С ШЕРОХОВАТОЙ

ПОВЕРХНОСТЬЮ

Т. Ф. Барбашова1, Л. С. Отраднова2

Рассматривается несколько задач о движении шара по инерции: между двумя параллельными плоскостями, внутри сферы и внутри кругового цилиндра. Считается, что при ударе происходит мгновенное наложение и снятие связи, состоящее в том, что касательная составляющая скорости контактирующей точки шара равна нулю, т.е. выполняется условие качения без проскальзывания. Показывается, что во всех случаях движение в пределе выходит на установившийся режим по скорости: угловая скорость шара стремится к постоянному значению, а скорость его центра становится периодической для плоскостей и условно-периодической для сферы и цилиндра. В некоторых случаях на установившийся режим выходят и координаты, определяющие положение и ориентацию шара.

Ключевые слова: движение шара по инерции, удары, качение без проскальзывания, неголономные связи.

Some problems of sphere's movement by inertia, such as the movement between two parallel planes, inside a sphere and inside a circular cylinder are considered. We assume that during the impact the condition of rolling without slipping is satisfied (a nonholonomic constraint): the tangent velocity of a contacting sphere's point is equal to zero. It is shown that in all cases the movement tends in a limit to a stable velocity mode: the angular sphere's velocity tends to a constant value and its center velocity becomes periodic for planes and conditionally periodic for the sphere and the cylinder. In some cases the coordinates specifying the sphere's position and orientation come to a stable mode.

Key words: sphere's movement by inertia, impacts, rolling without slipping, nonholonomic constraints.

1. Удар шара о шероховатую поверхность. Рассмотрение ведется в рамках модели удара с вязким трением, предложенной в [1]. Считается, что в момент удара нормальная составляющая импульса меняет свой знак, а касательная составляющая разбивается на два слагаемых. Первое, отвечающее качению без проскальзывания, сохраняется, что соответствует абсолютно упругому столкновению. Второе, нормальное к первому, обращается в нуль. Это соответствует абсолютно неупругому столкновению. Эквивалентное описание такой модели соударения состоит в мгновенном наложении и снятии связей, отвечающих качению тела без проскальзывания. В работе [2] рассматривалась подобная модель ударного взаимодействия, но предполагалось, что полная энергия системы сохраняется при ударе. Соударение твердых тел с сухим трением и другие модели в общем случае подробно исследовались в [3-5].

Рассмотрим однородный шар радиуса а, имеющий единичную массу т = 1 и главные центральные

2 2

моменты инерции .]. Из физических соображений .] ^ — а . Движение шара происходит по инерции и

3

ограничено некоторой неподвижной гладкой поверхностью. Пусть шар ударяется о поверхность в точке Р. Введем обозначения: 7 — единичная нормаль к поверхности в точке Р, направленная внутрь области, допустимой для движения шара; и — угловая скорость шара; Ус — скорость его центра С.

Считается, что при ударе шара о поверхность происходит мгновенное наложение и снятие связи, состоящее в том, что касательная к поверхности составляющая скорости точки Р шара равна нулю: Ур — 7 < 7, Ур > = 0 (условие качения без проскальзывания), или

У+ — [и+,а7]— 7<У+л>=0. (1)

Верхними индексами " —" и " +" обозначаем параметры движения шара сразу до и после удара, имея в виду Ь — 0 и Ь + 0 для удара в момент Ь.

1 Барбашова Татьяна Федоровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: barbash@keldysh.ru.

2 Отраднова Лина Сергеевна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: otradnova.lina@gmail.com.

18 ВМУ, математика, механика, № 5

Найдем, как связаны параметры движения шара до и после такого удара. Условие (1) допускает в момент удара любые виртуальные повороты шара вокруг точки Р. Считаем, что моменты трения качения и верчения при ударе отсутствуют. Поэтому при ударе сохраняется кинетический момент шара относительно этой точки:

(ф, ] + Зи)- = (ф, ] + Зи)+. (2)

Условие (1) допускает в момент удара любое виртуальное перемещение вдоль 7. Удар о поверхность считаем абсолютно упругим, т.е. нормальная к поверхности составляющая импульса шара при ударе меняет знак:

(7, Ус)- = -(7, Ус)+. (3)

Соотношения (1)—(3) позволяют определить параметры движения шара после удара по их значениям до удара. Перейдем к координатной форме записи. Введем неподвижную систему координат Охуг так, чтобы ось Ог была параллельна вектору 7 (но необязательно сонаправлена с ним). Тогда 7 = (0, 0,7^), 7^ = ±1, и = (их,иу, иг), Ус = (Х,у, г), и соотношения (1)—(3) примут следующий вид:

Х+ - атги+ = 0, у+ + атги+ = 0; (4)

г+ = -¿-; (5)

-«7^ У + Зи- = -07^ у+ + Зи+, 07^ Х- + Зи- = 07^ Х+ + Зи+, Подставив в (6) величины Х+ и у+, найденные из (4), получим

-«Ъ У- + Зи- = (а2 + З )и+, 07^ Х- + Зи- = (а2 + З )и+.

Значит,

+ -«7^ у- + Зи- + «ЬХ- + Зи- + _

3 + а2 ' ^ = зТа2 ' (7)

Х+ = 07^ и+, у+ = -07^ и+; (8)

г+ = -г-. (9)

2. Движение шара между двумя параллельными плоскостями. Пусть теперь шар движется по инерции между двумя шероховатыми плоскостями г = Ь и г = -Ь (Ь > 0). Считаем, что в начальный момент г = 0, т.е. шар движется, соударяясь с плоскостями. Изменение параметров движения шара при ударе определяется соотношениями (4)—(6). При ударе о нижнюю плоскость 7^ = 1, а при ударе о верхнюю 7^ = -1. Рассмотрим, как меняются параметры движения при последовательных ударах шара сначала о нижнюю плоскость, затем о верхнюю и т.д. После первого удара перед каждым к-м ударом о следующую плоскость параметры движения будут связаны соотношениями (4) для (к - 1)-го удара о предыдущую плоскость. Поскольку (Тг )к-1 = - (7г)к, то

(Х- + 07ги-)к = 0, (у- - 07ги-)к = 0.

С учетом этого соотношения (7), (8) примут вид

(Х+ = -АХ-)к, (и+ = Ли-) к,

(у+ = -Ау-)к, (и+ = Аи-)к,

Замечаем из (10), что |А| < 1, поэтому при к ^ ж имеем

Хк ^ 0, Ук ^ 0, (их)к ^ 0, (иу)к ^ 0.

Эти величины убывают по модулю монотонно и после каждого удара меняют знак.

В целом движение шара подобно качению без проскальзывания по плоскости. Угловая скорость направлена вдоль постоянного вектора (их,иу,иг,)+. Проекция центра шара на горизонтальную плоскость движется по некоторой неподвижной прямой направленной по вектору (Х,у)+.

З - 02 , .

Л = ТП?- (10)

Интервал времени между ударами постоянен, поскольку из (9) имеем |Zk| = |Zi|. Поэтому проекции точек удара стремятся к некоторой точке на L: (жд, yk) ^ (ж*,у*). В пределе движение выходит на периодический режим: шар попеременно ударяется о плоскости, его угловая скорость постоянна и вертикальна, центр шара движется по вертикальному отрезку, проходящему через точку (ж* , y*, 0).

3. Движение шара внутри сферы. Пусть шар движется внутри сферы радиуса R > a с центром в некоторой точке O. Изучим поведение параметров движения шара после второго, третьего и т.д. ударов. Пусть k-й удар шара приходится на точку сферы Pk, обозначим внутреннюю нормаль сферы в этой точке через Yk. Скорость VC центра шара при движении от (k — 1)-го удара до k-го удара коллинеарна вектору

Введем две системы координат P^xyz (i = k—1, k) с началом в точках Pj. Ось PjZ направим по Yi. Пусть точки Pj не являются диаметрально противоположными. Оси Pjy выберем ортогональными плоскости OPfc_iPfc, обе эти оси коллинеарны. Направим их так, чтобы тройка Yk_i, Yk, Pjy была правой.

Если же точки Pj (i = k — 1,k) диаметрально противоположны (Yk_i = —Yfc), то оси Рд_1Ж и Pk_iy развернем произвольным образом ортогонально Yfc_b Ось Pky выберем параллельной оси Pk_iy и с таким же направлением. При этом ось Pk ж будет направлена противоположно оси Pk_i ж.

В таких осях при движении от (k — 1)-го удара до k-го удара проекции угловой скорости шара и на оси Piy совпадают. Вектор Рк~\Рк направлен по биссектрисе угла между осями Р^ж, поэтому проекции вектора скорости VC центра шара на оси PjX совпадают, а проекции на оси Pjy равны нулю. Отсюда получаем

(ж+)k_i = (ж_)k ^ 0, (y+)k_i = (y_)k = 0, (u+)k_i = 0, (u+)k_i = (u_)k ^ 0,

и из (4) следует

(ж+)k_i — a(u+)k_i = 0, (ж_ )k — a(u_ )k = 0. При k-м ударе выполняются соотношения (7), (8), в которых Yz = 1. Из этих соотношений находим

(wi)fc = (w+)fc = (w")fc, (w+)fc = (w")fc,

(ж+)k = (ж_)k ^ 0, (y+)k = —a(u+)k.

Вектор и постоянен на участке движения между ударами, поэтому u+_i = . Так как J/(J + a2) < 1, то |u+_i| = |и_| ^ |и+1, т.е. последовательность |и+| монотонно не возрастает и поэтому сходится к некоторому числу: |и+1 ^ g ^ 0 при k ^ то. Отсюда вытекает, что (и_^ 0, и, значит, (и+ ^ 0, (y+)k ^ 0. Следовательно, плоскость OPk_iPk сходится к некоторой неподвижной плоскости (за исключением случаев, когда движение центра шара останавливается или переходит в движение по диаметру сферы).

Оси Pk_iy и Pky параллельны, и система Pkжyz повернута относительно системы P^^yz вокруг оси Pky на некий угол ak. Поскольку (и+)k_i = 0, то (и_)k = (и+)k_i cos ak, откуда |(u+)k| = |(и_)k| ^ |(и+ )k_i|. Значит, последовательность |(и+ )k| монотонно не возрастает и, следовательно, сходится к некоторому пределу: —gz ^ 0. Но тогда и —ду = уф—,Используя (11), окончательно получаем

(u+)k ^ 0, (u+)k ^ gy, |(и+ )k| ^ gz. (12)

Поскольку модуль угловой скорости убывает и сходится, то, согласно закону сохранения энергии (5), монотонно возрастает и сходится модуль скорости центра шара: |(VC) + | ^ f ^ 0. Используя (8) и (12), а также то, что (¿+)k ^ 0, получаем

(х+)к fx = ад у, {у+)к -»■ 0, {z+)k fz = Vf2 ~ fx-

Рассмотрим случай f = 0, т.е. fx = fz = gy = 0. Это значит, что в пределе движение центра шара останавливается, угловая скорость шара стремится к постоянному значению и он вращается вокруг оси, направленной от центра шара к центру сферы.

Пусть теперь f = 0. Из геометрических соображений (¿+)k/|(VC) + | = sin ak+i/2, 0 ^ ak ^ п. Переходя к пределу, получаем

• fz

(хк^> а , sm- = j.

Если fz = 0, то а* =0, fx = 0, gy = 0. Предельное движение представляет собой качение шара по внутренности сферы без проскальзывания. Заметим, что в предельном движении угловая скорость ортогональна вектору 7. Однако может оказаться, что gz = 0.

Если 0 < fz < f, то 0 < а* < п. Поскольку | cos ад| < 1, то, переходя к пределу в равенстве |(w_ )fc| = |(w+)fc_i|| cos ад|, получаем |(w+ | ^ 0. Предельное движение шара аналогично движению точки математического бильярда в круге. Центр шара движется в плоскости по хордам окружности одинаковой длины. Шар периодически ударяется о сферу, вращаясь с постоянной угловой скоростью, ортогональной плоскости, в которой движется центр шара.

Если fz = f, то а* = п, fx = 0, gy = 0. В предельном движении центр шара перемещается по диаметру сферы. Шар периодически ударяется о диаметрально противоположные точки сферы. Угловая скорость направлена вдоль диаметра и постоянна.

Отметим, что все предельные движения шара возможны при задании подходящих начальных условий. Однако открытым остается вопрос о том, какие из них являются действительно предельными, т.е. можно ли подобрать такие начальные условия, чтобы движение шара, которое вначале не совпадало с данным предельным движением, сошлось к нему.

4. Движение шара внутри цилиндра. Пусть шар движется внутри кругового цилиндра радиуса R > a. Изучим поведение параметров движения шара после второго, третьего и т.д. ударов.

Пусть k-й удар шара приходится на точку цилиндра Рд, обозначим внутреннюю нормаль цилиндра в этой точке через 7д. Введем систему координат Pfcxyz с началом в точке Рд. Ось Рдz направим по 7^. Ось Рдy направим по оси симметрии цилиндра Oz. Ось Рдx проведем по касательной к направляющей окружности цилиндра, проходящей через точку Рд.

Скорость VC центра шара при движении от (k — 1)-го удара до k-го удара коллинеарна вектору Рс—Рс. Из симметрии цилиндра и постоянства оси Рдy находим

(x)+_i = x_, (y)+_i = y_, (z)+_i = — z_, H )+_i = H)_.

Соотношения (7), (8) дают

(, , A+ _ + ++ _п(.,\ +

УШУ)к - -ГТ^2-' хк-1 - а\шу)к-1

\шх)к - -j + a2-' Ук-1 - -Чшх)к_г

Отсюда получаем

+ a2{ux)i_l + J{ux)k + , \-|- / \-

Мк =-j-^2-' Юл = Mfc' Ml =

Таким образом, для всех ударов после первого будем иметь

(Wy)+ = (Wy)_ = const = gi, X+ = X_ = const = g2-

Поскольку все параметры движения шара ограничены, существуют предельные точки; выберем любую. Для предельных значений сохраняем обозначения, но не пишем номер удара: ()+ ^ ()+, ()_ ^ ()_; тогда

, a2w+ + Jw,_ + _ + _

< =-J-^2-' иу=иу=иУ>

или

+ _ _ _ + _ _ _ + _ _ _

Wx — Wx — Wx, Wy — Wy — Wy, wz — wz — wz. Рассмотрим, какие предельные точки возможны.

1. Пусть g2 = 0. Тогда вектор w остается неизменным при вращении вокруг оси Oy и, следовательно, параллелен ей: w = (0, gi, 0). Значит, y+ = y_ = 0.

Из соотношения (z)+_i = —z_ = (z)+ — 1 получаем

z

= —z = g3 = z+ V+ = (g2, 0,g3), VC = ^ 0, —g3)-

Таким образом, если $2 = 0, то существует всего одна предельная точка и, значит, параметры скорости движения сходятся при к ^ то к предельному режиму движения. Такое движение аналогично движению

и

точки математического бильярда в круге. Это может быть качение шара по направляющей окружности цилиндра (если дз = 0) или движение центра шара в плоскости по хордам этой окружности одинаковой длины. Шар периодически ударяется о цилиндр, вращаясь с постоянной угловой скоростью, параллельной оси цилиндра.

2. Пусть д2 = 0. Это означает, что движение центра шара происходит все время в вертикальной плоскости, и мы имеем случай, совпадающий с движением шара между двумя параллельными плоскостями.

Авторы весьма признательны А.В. Карапетяну за полезные обсуждения данной работы. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00406, 12-01-00441 и 12-0800591).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов В.В. Об ударе с трением // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1989. 6. 54-60.

2. Березинская С.Н., Кугушев Е.И., Сорокина О.В. О движении механических систем с односторонними связями // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 3. 18-24.

3. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 1. М.: Наука, 1983.

4. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992.

5. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997.

Поступила в редакцию 11.01.2012

УДК 539.3

ПАРАМЕТРЫ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

В. В. Показеев1, С. И. Кийко2

Устанавливаются правила пересчета параметров, характеризующих колебания пластины в модельном эксперименте, на значения параметров в натурном процессе (или другом эксперименте). Материал пластины ортотропный, вязкоупругий. Модель флаттера основана либо на поршневой теории, либо на линеаризованной теории потенциального сверхзвукового обтекания.

Ключевые слова: сверхзвуковой флаттер, параметры подобия, моделирование.

The conversion rules of the parameters characterizing the plate vibrations in a model experiment to the parameter values in a natural process (or in another experiment) are formulated. The plate material is orthotropic and viscoelastic. The flutter model is based on the piston theory or on the linearized theory of potential supersonic flow.

Key words: supersonic flutter, similarity parameters, modeling.

Среди большого числа публикаций по панельному флаттеру пластин всего лишь около десятка работ содержат результаты экспериментальных исследований. Это связано с большими техническими трудностями. Практически во всех работах ставилась цель — сравнить результаты экспериментально наблюдаемых критических параметров (как правило, критического числа Маха) с предсказаниями теории (в основном поршневой). Исключение составляют работы [1, 2], в которых преследовалась цель — экспериментально обнаружить одномодовый флаттер в области малых сверхзвуковых скоростей. Отметим два обстоятельства: все эксперименты проведены с прямоугольными упругими пластинами, вектор скорости потока параллелен одной из сторон. Результаты различных экспериментов достаточно сложно сравнивать между собой, поскольку не выявлены параметры, по которым это можно было бы сделать.

1 Показеев Валерий Викторович — канд. физ.-мат. наук, проф., зав. каф. высшей математики МГТУ "МАМИ", e-mail: vm@mami.ru.

2 Кийко Светлана Игоревна — асп. каф. высшей математики МГТУ "МАМИ", e-mail: elast5539@vfil.ru.