Динамика многих соударяющихся тел: приложение к механическому легированию Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.133.1: 531.663

ДИНАМИКА МНОГИХ СОУДАРЯЮЩИХСЯ ТЕЛ: ПРИЛОЖЕНИЕ К МЕХАНИЧЕСКОМУ ЛЕГИРОВАНИЮ

© 2008 г. И.Ю. Зубко, А.В. Пермяков, П.В. Трусов

Dynamics of many solid balls has been modeled. All types of contact collisions have been described as sequences of pair nonelastic impacts with friction. This method is applicable to simulation of any motion of a granular media. In the paper this method was used to simulation of milling balls dynamics in the mechanical alloying process of powder materials. Dependencies of kinematical and dynamical characteristics of balls motion on the process parameters were found in numerical experiments. A form of corresponding laws was obtained by use of dimensional analysis.

Процесс механического легирования представляет собой получение твердого раствора кристаллических материалов и их соединений в виде мелкодисперсного порошка за счет высокоэнергетического механического воздействия на частицы порошка исходных компонент в планетарной мельнице или ат-триторе [1]. Мельница является вращающимся вокруг своей оси барабаном с чашами, вращающимися одновременно и вокруг своих осей. Оси вращения барабана и чаш параллельны направлению силы тяжести. Чаши заполнены мелющими шарами, взаимодействующими друг с другом, с частицами порошка и стенками. Аттритор - заполненный шарами цилиндр с мешалкой, ось вращения которой совпадает с осью цилиндра. Процесс является существенно неравновесным и сопровождается диссипацией подводимой механической энергии на трех уровнях: макроскопическом - за счет сложного вихревого движения шаров и их контактного взаимодействия, мезоскопическом - за счет повторяющихся процессов сваривания и разрушения частиц порошка, попадающих между шарами, микроспическом - за счет процессов диффузии и изменения дефектной структуры в частицах порошка. Для ряда твердых растворов механическое легирование - единственный способ их получения. Основная проблема - определение параметров процесса (частот вращения, размеров устройств и шаров, температурного режима) для получения порошковых материалов с нужными свойствами. Экспериментальные методы установления этих параметров требуют существенных материальных и временных затрат. В связи с этим необходима многоуровневая математическая модель процесса, которая позволит прогнозировать свойства получаемого порошка.

В работе предложена модель, описывающая процесс на макроуровне, - движение шаров в чаше планетарной мельницы, которая позволяет оценить уровень энергии, диссипируемой на макроуровне (а также передаваемой на мезо- и микроскопический уровень), и определить средние характеристики воздействия на частицы порошка, попадающие между шарами, - входные данные для решения задачи на мезо-уровне. Взаимодействие элементов системы шары-порошок включает повторяющиеся удары и трение шаров при непрерывном контакте. Последнее представляет собой движение с неголономными связями и его описание для системы более чем двух тел представляет значительную сложность. Существуют подходы к описанию динамики систем твердых тел с множественными непрерывными и ударными взаимодействиями, обзор подходов в этой области приведен в [2]. Такие задачи решаются с помощью введения обобщенных координат и записи через них уравнений динамики системы. Появляющиеся и исчезающие контакты с трением, включая удары, представляются как связи, для которых формулируются критерии их включения (кинематические) и выключения (динамические). Эти критерии с необходимостью содержат геометрические характеристики взаимодействующих тел, по которым определяются точки контакта. Для сложных систем решение полученных уравнений не всегда возможно. В данной работе предлагается альтернативный способ, основанный на имитационном подходе. Сложности, связанные с определением появления и прекращения множественных контактов, снимаются представлением, что между телами остается некоторый зазор, и все контакты приближенно описываются с помощью ударов, при которых происходит мгновенный контакт тел; поэтому всегда можно выделить последовательность парных соударений. Строится точное решение для парного соударения с

трением произвольных шаров, которое затем используется в итерационной процедуре.

Наиболее существенный вклад при ударе шаров дает трение скольжения. Трение качения и верчения не учитываются. Коэффициент трения скольжения f принимается постоянным. При проскальзывании шаров в течение удара используется закон Амонтона-Кулона:

Рт = Г N, (1)

где N - модуль вектора нормальной реакции; в покое

< Г N . Наличие между шарами порошка меняет характер трения. До превышения касательными усилиями предела текучести массы порошка справедливо соотношение (1), где f - коэффициент трения между частицами порошка и шарами; касательное усилие за пределом текучести постоянно и определяется последним (закон Зибеля). Вместо конуса трения в этом случае получается фигура вращения (рис. 1), ограничивающая область возможных положений конца вектора реакции связи Г = ^ + У] в момент удара (нормальная составляющая V = N > 0. касательная составляющая X = Ер действует в направлении, противоположном касательной составляющей скорости). При механическом легировании шары испытывают сильные удары, при которых нормальная компонента реакции достаточно велика. В этих условиях порошок начинает играть роль смазки, а его частицы деформируются неупруго.

Все виды механического воздействий на ьй шар со стороны окружающих шаров и внешнего поля сил приводят к изменению его количества движения ^ и момента количества движения Ь:

условия для системы (2) на следующем «безударном» отрезке времени.

dQ.Ct)

= F1(ri,t)

dLi(t)

= Mi(ri,t), i = l,N, (2)

<й Л

где г - радиус-вектор центра масс 1-го шара;

^ (г ,"0 - главный вектор; М; (Г ,"0 - главный момент действующих на шар сил; N - количество шаров. Уравнения (2) справедливы при безударном движении. Удар состоит в сообщении телу в момент времени конечного импульса I = Ит I Рек за малый

т—>0 Л

»о

промежуток времени т, по истечении которого контакт тел прекращается. Координаты тел при этом не изменяются, но скачком меняется скорость:

долото, дь1а0)=к1а0), (3)

где I - суммарный импульс; К ("о) - суммарный момент импульсов в момент удара Ъо. Принимается, что каждый шар - однородный. Поэтому все удары - центральные, К ("о) содержит только моменты импульсов, передаваемых за счет трения между шарами.

В правую часть уравнений (3) не входят непрерывно изменяющиеся силы и моменты из правой части (2). Уравнения (2) описывают движение шаров в промежутках между ударами, а в момент удара по (3) определяются послеударные скорости - начальные

Рис. 1. Осевое сечение фигуры трения при ударе по заштрихованному телу; (р - угол трения (tgф = Г);

Тд - эффективный предел текучести частиц порошка;

5 - их характерный размер

Если известны внешние импульсы, то из (3) по известным доударным кинематическим характеристикам определяются все послеударные кинематические характеристики тел. При соударении мелющих шаров ударный импульс заранее неизвестен и для решения уравнений (3) требуются дополнительные соотношения. Для этого принимается связь нормальных составляющих скоростей тел до и после удара, по ним и первому уравнению (3) находится нормальная составляющая неизвестного ударного импульса, по ней же и закону трения (1) - его касательная составляющая, по

(3) - касательные составляющие скорости тел после удара.

Векторная запись соотношений при ударе

Пусть V - скорость поступательного движения центра масс тела после удара, а V - до удара. Для связи характеристик до и после удара используется соотношение Ньютона:

(у2-у1)-п = -е(У2-У1)-п> (4)

где 0 < е < 1 - коэффициент восстановления; п - единичная нормаль к шарам в точке касания при ударе (п -г2)/(Я1+Я2), Я - радиусы шаров). При е = 1 удар является абсолютно упругим, при е = 0 происходит слипание тел. В общем случае е = е(У2-У15п). Так, в [3] в предположении, что область контакта испытывает упруго-вязкие или упруго-пластические деформации, получена зависимость коэффициента е(У2-У1;п) от соответствующих материальных констант. Часто используют предположение о герцевском контакте и распространяют тот же закон зависимости силы и перемещения при статической нагрузке на случай удара. В

[4] эта зависимость уточняется и принимается в виде

е = 1-(1-е0) Уп/У0 1/5, где постоянные е0 и У0 определяются экспериментально, Уп - |(У2 V, ) • п|. Для больших скоростей получено е « е0. Для соударяющихся (без порошка) стальных шаров с^ « 0,93, Г «0,123. В процессе механического легирования свойства порошка изменяются, будут меняться и ко-

эффициенты восстановления и трения. Для описания их зависимости от времени ведения процесса необходимы модели на меньшем масштабном уровне. В данном исследовании эти коэффициенты принимаются постоянными.

Для касательных составляющих векторов скорости в [4] принимаются соотношения, содержащие касательный коэффициент восстановления и £ Послеударные кинематические характеристики при ударе двух шаров с учетом трения могут быть определены точно без привлечения новых соотношений методами теоретической механики с использованием (1), (3) и (4), [5, 6].

1-ец (1 + е)|и V, п = -—-у-п + --—У2-п, •

относительной

1 + |Ll 1 + J1

1 + е __ ц-е.. v, п = --у п + £-У2 п,

(5)

1 + ц 1 + ц

где ц = т2/т1 - отношение масс шаров; п - внешняя нормаль для одного из шаров. Из (5) следуют и частные соотношения для удара одинаковых шаров (ц. = 1), для удара шара о неподвижное препятствие

(стенка аттритора) (V, = V, = 0, или п^ —> со), а также для удара шара о движущееся препятствие, скорость которого не изменяется у1 = у Ф 0. что соответствует

m,

• со или ц^О в (5).

Нормальная составляющая неизвестного ударного импульса I • п, действующего на второй шар, определяется по формуле

In:

(l + e)mjm2

(У-У)-П.

(6)

т =-

определяются в момент удара.

л/У2 -(V; -п)2 При ударе шара о любое другое тело вектор т остается неизменным в течение всего удара (не изменяется направление касательной составляющей скорости, меняется только ее величина), т.е. в последнем соотношении может стоять и текущая скорость шара V • Для произвольного тела направление т в течение удара может меняться. В момент соприкосновения шаров абсолютная величина вектора ударного импульса нулевая, затем она начинает расти и к концу удара достигает максимального значения. Нормальная составляющая импульса в конце удара определяется соотношением (6). Касательная компонента ударного импульса равна по величине либо £ 1-п согласно (1), если в течение всего удара продолжалось скольжение одного шара по другому, либо меньшей величине, если при ударе проскальзывание прекратилось. Эта меньшая величина определяется по моменту прекращения относительного проскальзывания шаров из соотношения (3) и условия равенства нулю текущей

скорости 7,

Ур1 Ур2 + '

точек контакта шаров 0, где

т,

УР; = V; + х - скорость точки контакта ¡-го шара; й; - вектор угловой скорости вращения шара; - вектор, соединяющий центр масс шара и точку

контакта. Если относительное скольжение при ударе прекратилось, то из условия, что вектор неизвестного ударного импульса не выходит за поверхность трения, следует, что касательная компонента далее не изменяется, и конец вектора движется по вертикальному отрезку до пересечения с горизонтальной прямой, соответствующей известной нормальной компоненте импульса. Касательная компонента искомого ударного импульса находится из последнего условия. Примем т т

обозначение Т = —^

т,

Ilh.. Тогда т,

-f(I-n)T, если f|i-n|<^v;el-T-2.y;el

(7)

-У!, • Тт-', если f |1 • n| >-л/У1,-Тт-2-Уе

На первый шар действует ударный импульс -I. При ударе о неподвижное препятствие I ■ п = -(1 + е) т2 у • п, о движущееся - I • п = -(1 + е)т2 (у - у) • п.

Касательная составляющая скорости ¡-го шара и единичный вектор касательной У,т = у - (У • п)п,

Ут

где У,*, = УР1 • Т|Т| -УР2 -т2т2, единичный вектор т

определяет направление вектора Угхе1, первая строчка соответствует проскальзыванию шаров в течение всего удара, вторая - прекращению относительного скольжения.

В плоском случае, когда векторы угловых скоростей шаров ортогональны плоскости, содержащей их центры, а векторы скорости центров масс принадлежат этой плоскости, касательные векторы т, лежат на

одной прямой, = (УР1 - Ур2) ■ тт . Тогда при ударе произвольных шаров касательная компонента неизвестного ударного импульса согласно (7) равна , 2 111(1112

f(I-n)T, если f I-n <-

Г

7 m1 + m.

-|VP2 VP1

_Ур1), если fli.nl -УР1|,

^ 7т1+т2 7т1+т2

где единичный вектор х направлен вдоль УР1 - Ур2. Значения УР1 - Ур2 для вертикального участка прямой нулевого скольжения и аналогичного участка, соответствующего закону Зибеля, сравниваются. В качестве касательной компоненты неизвестного ударного импульса берется наименьшее.

После определения неизвестного ударного импульса по второму уравнению в (3) определяются послеударные угловые скорости вращения шаров.

Переход в систему отсчета, связанную с вращающейся чашей

Движение шаров естественно описывать в неинерци-альной системе отсчета, связанной с движущейся чашей планетарной мельницы. Пусть Ш1 и ш2 - постоянные угловые скорости вращения барабана и чаши; 8 - расстояние между осями вращения чаши и барабана (рис. 2); Ф - инерциальная система отсчета; Ф1 - не-инерциальная система отсчета, вращающаяся вместе с

I

барабаном; Ф2 - с чашей относительно барабана. То- дельны, получим уравнение ю = {юх,ю ,о\] враща-

гда ускорение a центра масс шара в Ф2 связывается с

2

ускорением a этой точки в инерциальной системе Ф соотношением

а = О-Оа + О- (Q- 02)-8 + 2[ОаОТ+^]- v+

2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2

+ [О- (П- ii2) ■ О1 + (ii- ii2) + 20 il О] X, (8)

2 1 1 2 2 2 2 1 2 2

где O и O - ортогональные тензоры поворотов осей 1 2

Ф относительно Ф1 и Ф1 относительно Ф2 соответственно; ii = 00T - тензоры спинов; х= {х,у, z} и i i i 2

v = {x,y,z} - радиус-вектор и скорость точки в сис-

2

теме Ф2 (ось O2z направлена против направления силы тяжести; O2x и O2y образуют с ней правую ортогональную тройку); S - определенный в Ф1 вектор, соединяющий О1 с O2.

x-2(c0j + со2)у-(со1 + <d2)2x = Sco2 cos(o>2t),

(9)

у + 2(0); + ю2 )х - (cOj + ю2) у = -ScO; sin(co2t),

z = -g.

Система (9) имеет аналитическое решение. По этому решению определяется время до соударения каждого шара со стенкой чаши и время до контакта рассматриваемого шара с другими шарами.

Из связи скоростей вращения шара в Ф и Ф2 следует:

со = От От tb-(0 il 0T + il) (ш-0) +

12 2 2 1 2 2 2 2

+ 0 il 0-0 0-0

2 11 2 12

(10)

где ю - скорость вращения шара относительно сис-

2

темы Ф2; 0 - аксиальный вектор тензора спина О .

1 1

При вращении систем Ф! и Ф2 с постоянными угловыми скоростями получим 0 = 0. Учитывая, что между ударами шар движется свободно (М ¡= 0 в (2)),

2

а векторы угловых скоростей барабана и чаш парал-

тельного движения произвольного шара относительно системы Ф2:

(П)

ш = (0 П От+П) to.

<вх© = (ю1+ю2)юу(1), юу(0 = -((»! +ю2)оох(0, ю2(0=0.

Эта система имеет аналитическое решение, используемое в расчетах. В промежутках между ударами шары движутся с постоянными угловыми скоростями. В момент удара за счет момента касательной составляющей ударного импульса угловые скорости вращения шаров изменяются мгновенно.

При моделировании между шарами оставляется зазор, и все виды взаимодействия сводятся к ударам. В качестве текущего шага по времени на каждой итерации выбирается наименьший из интервалов: 1) наименьшее время до удара 1-го шара о стенку; 2) наименьшее время до соударения пар шаров.

Такая постановка, в частности, позволяет исследовать макроскопические процессы и оценить эффективность двух используемых в экспериментах мельниц [1]. При численном моделировании брались реальные значения параметров процесса для двух различных мельниц (таблица).

Параметры исследуемых мельниц

Рис. 2. Вращение оси 02 чаши вокруг оси барабана О!

Шары испытывают воздействия со стороны других шаров только при ударах, т.е. в промежутках между

ударами сила К ;= 0 . Используя (2), (8) и учитывая,

2

что векторы угловых скоростей барабана и чаш параллельны, получим уравнения движения центра масс произвольного шара в системе Ф2:

Мельница S, L, R, ®ь ®2, H,

см см см мин-1 мин-1 см

I 12,5 4,25 0,4 340 1020 10

II 20 8 0,5 700 1570 10

Примечание, в - радиус вращения оси чаши; Ь - радиус чаши; Я - радиус шаров; СО1 - частота вращения барабана; га2 - частота вращения чаши; Н - высота чаши.

Результаты численных экспериментов

В численных экспериментах оценивались удельная (отнесенная ко всей массе шаров) кинетическая энергия шаров е относительно чаши и энергия, затрачиваемая при ударе (сообщаемая частицам порошка через коэффициент восстановления и коэффициент трения). При плотнейшей упаковке в трехмерном случае шары в среднем незначительно перемещаются вдоль вертикальной оси, и все характеристики мало отличаются для пространственного и плоского случаев. Отличие возникало при неплотном заполнении чаши мельницы, при этом в трехмерном случае кинетическая энергия шаров относительно чаши становилась значительно больше, чем в плоском случае (рис. 3). В частности, для дву- и трехмерного случаев сравнивались удельная кинетическая энергия системы шаров, расположенных в начальный момент времени в одном слое. В трехмерном случае все шары выходили из этой плоскости и начинали двигаться в пространстве чаши, располагаясь вблизи стенки чаши. В момент разлета шаров из одной плоскости происходит скачок энергии (рис. 3б), вызванный тем, что под действием сил инерции шары у стенки чаши достигают более высоких скоростей и у них появляются дополнительные степени свободы. Во всех опытах во второй мельнице уровень удельной кинетической энергии оказывался выше (рис. 3).

е, Дж/кг

е, Дж/кг

б

Рис. 3. Удельная кинетическая энергия шаров: а - плоский случай, плотная упаковка слоя; б - пространственный случай, плотная упаковка одного слоя. Нижние линии -первая мельница, верхние - вторая

Расчеты показали, что при любом количестве шаров и начальных условиях - положениях и скоростях шаров, - движение шаров выходит на установившийся режим, характеристики которого (например, средний уровень и дисперсия измеряемой величины) не зависят от начальных условий. Зависимости эти строились следующим образом: с постоянным заданным шагом Л1 (не обязательно совпадающим с интервалом времени между ударами) определялись текущие скорости всех шаров, находилась удельная кинетическая энергия. На протяжении того же шага суммировались все модули ударных импульсов и находилось их среднее значение за время Л! Согласно расчетам, шары во второй мельнице взаимодействуют более интенсивно (рис. 4).

При работе мельницы сначала происходят множественные соударения шаров, кинетическая энергия резко возрастает, затем вследствие диссипации кинетической энергии скорости шаров уменьшаются, масса шаров начинает двигаться относительно чаши почти как целое, шары совершают колебания относительно соседних, происходят частые и несильные удары. Часть шаров находится в непрерывном контакте (описывается приближенно последовательностью ударов при предельно малом интервале времени между ударами), проворачиваясь один относительно другого. Во время разгона шаров происходит наиболее интенсивная «закачка» механической энергии в систему, но этот промежуток мал. Механическое легирование в основном происходит при меньшей интенсивности воздействий в установившемся режиме,

1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2

t, С

t, С

0,5

1,5

2,0

t, С

0,5 1 и 1,5 2,0

t, С

Рис. 4. Изменение осредненных модулей составляющих 1П и 1т ударного импульса со временем: а - первая мельница, б - вторая. Нижние линии - касательная составляющая, верхние - нормальная

при этом достигается постоянная средняя величина и дисперсия кинетической энергии системы, т.е. при постоянном уровне подводимой механической энергии (постоянные частоты вращения) должен достигаться и постоянный уровень теряемой при ударах энергии, определяемой коэффициентами трения и восстановления. Потерянная энергия для всей массы шаров находится аналогично осредненному ударному импульсу. Для определения значения скорости диссипации удельной кинетической энергии ^ к концу некоторого шага по времени Л1 определяется суммарная потерянная энергия на этом шаге и относится к Л1 и массе всех шаров.

Во второй мельнице достигается больший уровень среднего значения скорости диссипации удельной кинетической энергии (рис. 5). Поскольку потери энергии происходят вследствие трения между шарами и неупругих соударений, что моделирует наличие порошка, то во второй мельнице воздействия на частицы порошка должны быть более интенсивными (одновременно должен быть заметнее и разогрев смеси). Поэтому с энергетической точки зрения вторая мельница является более эффективной для ведения процесса.

При моделировании процессов в мельницах исследовано влияние скоростей вращения чаши к (при фиксированном отношении частот вращения барабана и чаши) на установившийся уровень удельной кинетической энергии системы шаров, к - квадратичная функция частоты вращения чаши (рис. 6).

1пт,Н/с

1

а

1пт,Н/с

dc, Дж/кг-c 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

t, c

0,5

1

а

1,5

2,0

dc, Дж/кг-c

t, c

0,5

1,5

2,0

б

Рис. 5. Скорость диссипации удельной энергии: а - первая мельница, плотное заполнение; б - вторая мельница: плотное заполнение одного слоя. Нижние линии - плоский случай; верхние - пространственный

к, Дж/кг

-1500 -1000

-500

500 1000

1500

юь c

Рис. 6. Зависимость установившегося значения к в 1-й мельнице от частоты вращения чаши и ее квадратичная аппроксимация

Анализ размерностей

Важной макроскопической характеристикой процесса является скорость диссипации подводимой механической энергии Эс в установившемся режиме. Эта величина должна зависеть от частот вращения 0)| и ок линейных размеров 8 и /, массы т и радиуса Я шаров, от свойств порошка, описываемых интегрально коэффициентами f и е: Бс = Вс(ю1,ю2Д/Д,е,даД).

С помощью анализа размерностей получена зависимость

Вс =|со1|3/2Тс Я// 3 , (12)

последний аргумент которой показывает, насколько

заполнено шарами пространство чаши мельницы, ю2/со^//Де^ К/1 3 >0.

Оказалось, что зависимость Эс от величины со | имеет 3-ю степень. И действительно, полученные в численных экспериментах точки (рис. 7) очень точно ложатся на кубичную параболу (12).

Расчеты при изменении отношения частот вращения показали, что эта зависимость имеет два локальных максимума (рис. 8а). Глобальный максимум находится вблизи точки со2/со1 =-2,5, для второй мельницы - ближе к максимуму. При нахождении точек этой зависимости вне рассмотренной области изменения со2 /со1 быстро растает погрешность вычислений -шары стремятся двигаться общей массой, при этом должен происходить непрерывный контакт шаров, при моделировании которого шаг по времени приближается к нулю. Рост величины со2/со1 соответствует уменьшению 0) , при этом скорость диссипации также уменьшается (рис. 7).

Dc, Дж/кг-c 1,75 1,50 12,5 1,00 l 0,75 0,50 0,25

Юь c

-1500 -1000 -500

500 1000 1500

Рис. 7. Зависимость скорости диссипации энергии Ос в установившемся режиме от частоты Ю1 для 2-й мельницы и ее кубичная аппроксимация

При увеличении коэффициента трения f существует такое его значение, после которого Ч'с практически перестает изменяться (рис. 8б). Для гладких стальных шаров f=0,123, в процессе же механического легирования поверхности шаров становятся шероховатыми, вследствие этого и наличия порошка коэффициент трения возрастает. Поэтому ¡>0,123 и стационарное значение скорости диссипации энергии ес не будет зависеть от коэффициента трения. Зависимость Ч'с от расстояния между осями вращения барабана и оси чаши 8/1 получилась линейной при Б// > 5 , а при Б// < 5 значение Ч'с равно нулю.

Выводы

Предложен приближенный метод прямого моделирования движения сыпучих сред, когда все виды взаимодействия частиц описываются как последовательности парных неупругих соударений с трением.

1

• •

\ 0,0008 :

* 0,0006 ;

0,0004 ;

0,0002 ;

а

Рис. 8. Среднее значение скорости диссипации энергии при изменении: а - отношения частот вращения С02/С01 , б - коэффициента трения f

Пермский государственный технический университет

В качестве приложения метода выбран неравновесный процесс механического легирования порошковых материалов, сопровождаемый диссипацией подводимой механической энергии на различных масштабных уровнях. Описано макроскопическое поведение системы - движение мелющих шаров в планетарной мельнице, - первая часть разрабатываемой многоуровневой математической модели процесса.

Работа выполнена при финансовой поддержке из средств гранта РФФИ, проект №06-08-00375-а, гранта PE-009-0 и программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE) Американского фонда гражданских исследований и развития (АФГИР).

Литература

1. Анциферов В.Н. Проблемы порошкового материаловедения. Ч. 1. Екатеринбург, 2000.

2. Пфайффер Ф, Глоккер К. // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 5. С. 805-816.

3. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л., 1990.

4. МаН Р. вг а1. // Physica. 2002. D 162. P. 188-207.

5. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.;Л., 1946.

6. Леви-Чивита Т., Амальди У.Курс теоретической механики. Т. 2. Ч. 2. М., 1951.

17 апреля 2007 г.