О движении мелкой частицы в плоском стационарном потоке с произвольным полем скоростей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XII

19 8 1

№ 3

УДК 533.6.071.08

О ДВИЖЕНИИ МЕЛКОЙ ЧАСТИЦЫ В ПЛОСКОМ СТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ

Ю. Е. Кузнецов, Ю. П. Чернов

Для случая движения мелкой сферической частицы в плоском стационарном вихревом потоке при условии малого различия между вектором скорости частицы и вектором скорости потока найдена зависимость угла между этими векторами и относительной разности модулей этих векторов от параметров потока: кривизны линии тока, продольного градиента давления и завихренности..

1. В связи с развитием лазерных методов измерения скорости газовых потоков усилился интерес к изучению движения в них мелких частиц [1, 2]. Из этих и других работ известно, что достаточно мелкие частицы движутся вместе с газом, и по их движению можно хорошо отслеживать движение газа. Однако в случае аэродинамических приложений, когда объемы движущего газа невелики, а продольные и поперечные ускорения могут быть значительными, возможны случаи, могда между движением газа и частиц имеется различие. В этих ситуациях для определения скорости газа по скорости движения частиц необходимо или проводить дополнительные измерения [1], или вносить поправки. В настоящей работе проводится количественный анализ отклонения скорости мелкой частицы от скорости газа при движении частицы по криволинейным траекториям при наличии продольного ускорения и завихренности потока. Целью работы является определение этих отклонений и их зависимости от различных факторов. Основное внимание будет уделено случаям, когда эти отклоне-' ния малы.

Будем рассматривать движение мелкой сферической частицы на малых интервалах времени, в пределах которых поле потока на пройденном частицей пути можно считать локально однородным. Это дает возможность для определения, силы, приложенной к частице, воспользоваться формулой Буссинеска:

ю

где И/—сила, действующая на частицу, а —радиус частицы, р — плотность потока, [л — динамическая вязкость, I — время, V (£), и (0 — абсолютные скорости частицы и газа соответственно, V (^) = = V (£) — и (г1)— скорость частицы относительно газа.

Первый член в формуле (1) представляет собой силу Стокса, т. е. силу, действующую на частицу при ее стационарном движении относительно жидкости; второй, третий и четвертый члены учитывают нестационарный характер движения частицы. Покажем, что в исследуемом случае этими членами можно пренебречь.

Прежде всего отметим, что четвертый член содержит корень из времени в знаменателе, и при достаточно большом времени движения его можно не учитывать. Условие малости второго члена по сравнению с первым имеет вид

^ «4 -~£г\Ъ (2)

(И '^'2 рй2

Это условие ограничивает ускорение частицы в относительном движении; Условие (2) ниже будем считать выполненным.

Для удобства дальнейшего анализа уравнение (1) без второго и четвертого членов в правой части перепишем в виде

Ш — — бира V (0) — 6яра

и> V— 1

1 “Л У*-у]

а(у. (3)

Второй член в подынтегральной функции можно не учитывать, если

а2 р

V'-

«1.

У*-у

Для выполнения этого неравенства переменную интегрирования достаточно менять в пределах

где 1 равно отношению величины членов под интегралом в формуле (3). При не слишком больших N интервал интегрирования в третьем члене формулы (1) оказывается достаточно малым, производную можно считать постоянной и вынести из-под знака интеграла, а интеграл взять. В результате получим

№ а2 р

«-2ІНП <4>

Отсюда условие малости третьего члена по сравнению с первым запишем в виде

' йУ 'сИ

При N—10 условие (4) является более жестким, чем условие (2). Поэтому ниже условие (4) будем считать условием применимости формулы Стокса для расчета силы сопротивления, действующей на частицу при ее движении в жидкости. Физически это означает, что для применимости формулы Стокса изменение скорости частицы в относительном движении за время установления вязкого обтекания частицы потоком, порядка ра2/^, должно быть достаточно малым по сравнению с величиной самой скорости.

Уравнение движения частицы при этом будет иметь вид

йю и — V

-Щ-=—— ’ (5)

где т ——характерное время (время релаксации), р* — плотность частицы.

2. Для количественного анализа слежения скорости частицы V за скоростью потока и введем переменные величины, описывающие это слежение: є (£) — угол между векторами и иг», 8(0 —

|гГ| — |и| „ "*■

— ——=—- — относительную разность модулей векторов и и V.

М

Так как при идеальном слежении е = 0 и 2 = 0, то всюду ниже будем считать величины е и 8 малыми по сравнению с единицей. Приведем вывод дифференциальных уравнений, описывающих зависимость е и 8 от времени. Запишем уравнения установившегося движения несжимаемой невязкой жидкости в криволинейных ортогональных координатах ^2), когда координата ^ направлена вдоль линии тока, q2 — перпендикулярна к линии тока ([4], стр. 409). Для двумерного случая с учетом того, что проекция скорости на координатную линию д.г всегда равна нулю, получаем

д I и2 \_ _1_ др д 1п Ь.х _’ 1 др ™

Г^їГ’ ~ Т~

где р — давление.

Уравнение неразрывности и выражение для завихренности О в принятых переменных имеют вид [4]

д 1п (Ао и) _ п т

дЧ1 и’

2 = (8)

где Иу и /г2 — коэффициенты Ламэ.

Перейдем в правой части (6) от дифференцирования по координатам ^ и qi к дифференцированию по длинам дуг 51 и й2 этих

координатных линий. Из определения Ламэ

йві

следует, ЧТО

-4Г=А*15Г* /=1>2-

Для кривизны линии тока и кривизны &2 нормали к линии тока имеем следующие выражения через коэффициенты Ламэ ([3], стр. 247):

^ = й2=--і_І1НА. (10)

1 Й2 ^2 ’ Й! д?! 4 '

С использованием (7) — (10) уравнения движения (6) принимают вид

т£. <и>

Л.-4Й-; г->.2

12

Далее из (7) и (8) с использованием (10) и (11) получаем выражения для производных от скорости газа но длинам дуг координатных кривых

1 др

ди

ди

ри дєг ’ -г— = ик1 — 2 =--------------------------М-

05 2 Щ ^2

■2.

(12)

Дифференциал угла поворота вектора и на траектории частицы по определению равен

^(1) — с1$^ ^2 ^2'

С учетом того, что для малых е на траектории частицы <£я2 —

== 8^! И ЧТО

= и (^! — &2 5)

Рис. 1

Имеем следующие соотношения для:

дифференциала угла поворота скорости частицы V (рис. 1)

с?а =--^(И;

V М ’

дифференциала угла между векторами и и V

4- ^г+»(*і-м

<И\

(13)

величины скорости газа на траектории частицы (по определе-

нию)

ди.

ди

Ли = Й52 = [«2 ^2 + (И/^і — 2) М£] Лі-,

вектора V (см. рис. 1)

4\у\ = — =}-<и.

1 аі

(14)

(15)

Здесь и — проекции ускорения (5) на координатную

сетку <7г (см. рис. 1).

г-.

Производная

<и

Л IV — и сіі

1 Лу

V М

1 Ли и йі

йу

1

Ли

Лі

и СІІ

или с учетом (14) и (15)

<и

(16)

Из треугольника скоростей (см. рис. 1) с учетом малости $ и 8 получаем

dvi

dt

dv s dt

(17)

Подставляя эти соотношения в (13) и (16) и пренебрегая в правых частях уравнений членами м^е и и£3г по сравнению с остальными, получаем систему уравнений для определения г (/) и 8(/):

^-=-(е-е0),

= — (8 — 80) — (е —е0) 9т,

(18)

где

т

(19)

г0 — — ukt х, 80 = — и&2 ^

Если е0 и 80 не зависят от времени, то система (18) имеет простое решение

6 (0 = so + (®н — е„) ехр (-*);

8 (7) = 80 -f [(8Н — 8о) — (вн — г0) Qtj] ехр {—!), где ен и 8Н —значения е и 8 при £ = 0.

Из (19) видно, что параметрами задачи являются безразмерные комбинации

ukj -с =-----— = -4^- т 4- £к,

1 pH OS 2 OS 2

, т др ди

UtZ<) X ' -ч — т»•

ри dsj 0SX

2х = т |rot и |.

Типичные зависимости е (^) и 8 (t) для» различных начальных значений £н и 8Н и различных параметров задачи показаны на рис. 2.

Из соотношений (19) видно, что если в произвольном течении за" время параметры задачи можно считать постоянными

--0,02

г0=0Д;^0,02

Ш

то величины е и 8 асимптотически стремятся к значениям е0 и 80. Отсюда следует, что е0 и 80 являются хорошими оценками величин е и 8, когда за время Д^>^ параметры задачи меняются достаточно мало вдоль траектории частицы. Это условие может быть записано следующим образом:

|Д (икх)\ С ики |Д (и&2)) <С икг, |Д2| < 2 при М > т, (20)

где

Д = Д£

а (до2 <р

+ ■> си?,-'*' •••

(ДО"

<1п

М 2 йр | | п\

Покажем, что условие (4) ограниченности ускорения частицы в относительном движении выполняется. С помощью треугольника скоростей (см. рис. 1) и соотношений (17) получим выражение для модуля относительной скорости частицы

\Щ^\ъ — и\=яУ*^Ф.' ? (21)

После подстановки (21) в (4) и учета того, что

СIV

<и

•Ь.

йе

чг

условие (4) примет вид

р*

р

' (22) 10) условие (22),

Поэтому при не слишком больших N(N а следовательно, и условие (4) выполняются.

3. Ниже будут даны примеры получения оценок для в и 8.

В качестве первого примера рассмотрим течение в окрестности точек А и В (рис. 3) при обтекании цилиндра равномерным

на бесконечности потоком.

В окрестности точки А компоненты скоростей в прямоугольных декартовых координатах, изображенных на рис. 3,

2“оо 2Ноо

«*■=.—«- х> «* = -«“ У-

Функцию тока и потенциал запишем в виде

2 о я 2

Ху = С1, у2 — Х* = С2.

Кривизны линии тока и линии равного потенциала определяются соотношениями

9 л

.2 1

Параметры задачи в данном случае зависят от координат точки, в которой рассматривается слежение, и равны

*2

uk{ * = 2ci

uk2 х = С2-

Л4 + Cj 1

я 2 а:2 +

Ограничиваясь рассмотрением точек, лежащих на биссектрисе угла между векторами и п, имеем следующие оценки для этого угла и относительной разности модулей скорости газа и частицы:

2и„т

е0 = — ukj т

Условие применимости оценок (19) в данном случае определяется неравенством

1 /

2 ■*4 + 4 /

(му «

ж2

(1

(It

( 2л:2 + )

2-*3 + с2

ИЛИ

с 1 при kt^z.

Пусть ожидаемая оценка г и 8 порядка 0,01 и точность, с которой эта оценка должна быть сделана, порядка 0,001. Тогда

из (19) следует, что для указанной точности достаточно иметь Д£~т. Условие применимости оценок (20) окончательно запишем

в виде - Т - <0,1.

Отсюда, например, при «<*,= 100 м/с, т = 10~6 с получаем для

радиуса цилиндра 1 мм.

Величина скорости газа в окрестности точки В (см. рис. 3)

и = 2иоо8т0, кривизна линии тока й1 = 1/а.

Условие применимости оценок (19) запишем в виде

и

ос

а

Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получаем

« 0,3.

м-

Отсюда, например, при 100 м/с, х=10-6с для выполне-

ния условия применимости оценок нужно наложить ограничение на радиус цилиндра: а >0,3 мм.

Оценки для е0 и 80

2гг_

50 = 2 и,

оо «-2

Т = 0.

В качестве второго примера рассмотрим (в полярных координатах) движение в свободном вихре («<р = т/г, и,. = 0), подробно

исследованное в [1]. Оценка (18) дает в = &0 = — =----.

Условие (20) применимости оценок запишем следующим обра-

' - — « 1 г сН ^

зом:

Учитывая, что ~ = юг и = е, где V, и г»9 — радиальная и окружная составляющие скорости частицы соответственно, получим

Подставляем в это равенство вместо £ ее оценку. Примем, как и раньше, — як1. Тогда радиальная координата частицы должна удовлетворять условию

Видно, что оценка для е с учетом ограничения ее применимости совпадает с асимптотическим^ решением, изложенным в [1].

В заключение отметим, что приведенные выше формулы для оценки угла е между векторами скорости газа и скорости частицы и относительной разности 8 модулей этих векторов 8 могут быть использованы как для анализа границ применимости лазерного допплеровского способа измерения скорости газового потока, так и для введения поправок в результаты таких измерений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г родзовский Г. Л. О движении мелких частиц в газовом потоке. .Ученые записки ЦАГИ", т. V, № 2, 1974.

2. Бусройд (Воойгоуё). Течение газа со взвешенными частицами. М., „Мир“, 1975.

3. М а к-К о н н е л А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.,Физматгиз, 1963.

4. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М., Изд. АН СССР, 1961.

Рукопись поступила 6/1 1978 г.

2—.Ученые записки ЦАГИ“ № 3.