CC BY
7
В силу вышеизложенного (Р(Б)и+, Икф) =0, поэтому (Р(Б)и+, ф) = 0, т. е. и+ является решением системы (1) в .
Предположим решение и+ в тело А^ , так чтобы при 1>0 оно совпадало с и, а при К0
QU
равнялось нулю. Рассмотрим замкнутый диск r-е-—' лежащий в подпространстве t=-a. Он
s
принадлежит нижней половине тела A? . Поэтому решение u+ равно нулю в окрестности
Ga s-ia
— . ъ + G a,
диска r-е— В силу теоремы решение u равна нулю также в окрестности тела r-е-— s s
основанием которого является диск G— а. Так как решение u совпадает с u+ при t>0, то оно
r-е--
s
G—
по доказанному равно нулю в пересечении полупространства t>0 и тела r_s-—' Так как числа
s
е>0 и a>0 произвольны, то и равно нулю в объединении пересечений полупространства t>0 со всеми замкнутыми телами As а.
r-е--
s
Объединение этих множеств равно пересечению полупространства t>0 с телом А5(г). Теорема доказана.
Выводы: Получены условия для единственности решения нехарактеристической задачи Коши в классах обобщенных функций конечного и бесконечного подрядов.
Список литературы / References
1. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М. «Мир», 1965.
2. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М. «Наука», 1967. 488 с.
О ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ Бердимуратов А.М. Email: Berdimuratov641@scientifictext.ru
Бердимуратов Амангельди Мухтарович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет им Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: находятся достаточные условия для того, чтобы всякое обобщенное решение уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, определенное в некоторые окрестности объединения трех соседних граней % |J % U К параллелепипеда
можно было продолжить в некоторую окрестность параллелепипеда К в пространстве ультрараспределений. Получено три экспоненциальных представления, которые сходятся абсолютно на трех заданных выпуклых компактах. Эту задачу можно рассматривать как некоторый аналог задачи Дарбу-Гурса-Бодо в пространстве ультрараспределений. Ключевые слова: параллелепипед, подпространство, компакт, множество, характеристическая матрица, алгебраическое многообразие.
ON A SUFFICIENT CONDITION FOR THE CONTINUATION OF GENERALIZED SOLUTIONS Berdimuratov A.M.
Berdimuratov Amangeldy Mukhtarovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF INFORMATION TECHNOLOGIES AND PROGRAMMING CHAIR, KYRGYZ NATIONAL UNIVERSITY NAMED AFTER ZH. BALASAGYN, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN
Abstract: there are sufficient conditions For any generalized solution of thepartial differential equation with constant coefficients defined in a neighborhood of the Union of three neighboring faces of a parallelepiped to be continued in a neighborhood of a parallelepiped in the space of ultrapredelements. Three exponential representations are obtained which converge absolutely on three given convex compacts. This problem can be considered as some analogue of the Darboux-Goursat-Bodo problem in the space of ultradistributions.
Keywords: parallelepiped, subspace, compact, set, characteristic matrix, algebraic variety.
УДК 51:517.9
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
diJu(Ç) ~
P(D)u = Х
a,
= 0, Çe Rn
В уравнении (1) а. £ С, ] = (д,...]п) - вектор с целыми неотрицательными компонентами, причем = ^ + ... + _/и, i = л/_ 1,а^ =(?г) - некоторая
фиксированная система координат в К";
Через Р(г) обозначим характеристический многочлен для оператора Р(р), определяемого уравнением (1)
В этой статье находятся достаточные условия для того, чтобы всякое обобщенное решение
3
уравнение (1) определенное в некоторой окрестности объединения трех соседних граней у К
к=1
можно было продолжить в некоторую окрестность параллелепипеда К, в специальном пространстве ультрараспределений. Обозначим через
N характеристическое множество оператора р(Р), то есть множество N = \г £ с"; та"§р(х)< 5}, где р(г) - характеристическая
матрица оператора р(Р), а через N' - конус в СП , образованный комплексными прямыми,
отвечающими несобственным точкам алгебраического многообразия N . Под символом Д3 мы будем понимать прямую сумму экземпляров этого пространства, а элементы Др интерпретировать
как столбцы высоты 5, образованные функциями из Д3. Под нормой вектора
3 = (3,$2,...,3 £ [\Т мы будем понимать наибольшую из норм его компонент 3. £ [•], i = 1,5 .
Теорема. Пусть N с и V £ с"; г, = 0}, тогда существует число
И < 1, зависящее
к=1
лишь от оператора р , такое, что для любого /, удовлетворяющего условию / > 1 при
3
И < 0 и 1 < з <1 при И > 0 и любого В > 0 и для любой окрестности Ь компакта У Кк 3 < И к=1
существует окрестность Ь параллелепипеда К такая, что всякую обобщенную функцию
и £ и3
являющуюся решением (1)на Ь, можно продолжить функцией $£ ир,
являющуюся решением (1)на Ь, причем, если и £ (ДРЬВ) , то 3£(дРзВ') и
И|3,В' и ц3,в , ,
| < С|и|| , где константы В и С не зависят от и . Число И , участвующее в формулировке теоремы, зависит лишь от оператора р .
Докажем ряд лемм, необходимых для доказательства сформулированной теоремы. Введем множества
N1 =\г £ N; > 14 14 > |}, N2 = {г £ N; > |г2|, > ¡г2} N ={г £ N > \гъ|, \г2\ > \гъ}
Тогда множество N = У N
к=1
Доказательство теоремы. Пусть Р и Р' ^ Р компакты в К" , И < 1 - число, а 5
удовлетворяет условию
5 > 1 при И < 0 и 1 <5< 1 при И > 0 . По
И
определению
произвольный функционал и £ иесть линейный непрерывный функционал на счетно-
нормированном пространстве Д5,, следовательно, этот функционал непрерывен по норме
Н5' В + £ О А А
при некотором В > 0 и £ > 0 .
Пусть произвольная обобщенная функция и £ и5 при некотором целом С является решением уравнение (1) в классе и5 С тогда, в силу вышеизложенного, обобщенная
У п,
функция и принадлежит пространству
Д
5,в
3
.и Пк
при некотором положительном В
.Применяя теорему В.П. Паламодова [1], (гл. VI, §4, т.1, сл.2) к функционалу и и к каждому из выпуклых компактов п. по отдельности мы получим три представления
(итф)= £ |йя(2,Дф'^,Уф£ ДРяВ • = 1,2,3
,.Я,1 _1 Я причем, векторные меры ¡1 =
1 =Л -.¡Я)
таковы, что
£!
Я=0ыя
ехр
р{ ¿Р
IВ1 У
Л
5
У 1 (у< с
Я1 < с'1и5С • = 1,2,3
где В не зависит от и и С .
Здесь NЯ, (я = 0, е) - некоторые алгебраические многообразия, такие что У NЯ = N , а
Л'1 - комплексные меры сосредоточенные V/ = 1, е^ на NЯ и
Введем функционалы
Известно что
И=£Л
/=1
Я1 = ИГ1;2 - ИзХзд, Я2 = +КхГ-я] = КГ - КхГ-
Я' £
(^2 ) ,
1 = 1,2,3,
где
Д = Д + с шах (а; а2; а ) причем
vIMlPD <- II \\ß'B IN у < wp 3
, II1 Nim ,я, In,
s=1 3 ' I и я
У k =1
Покажем, что на функциях пространства spD+2!л имеет место равенство
(я1 Пя2 )
X1'2 = 4 — А2. Действительно, функционалы h0xl'2 равны нулю на функциях указанного пространства, учитывая это, будем иметь:
4 —¿2=КХ?~ hX1+KxY — =h + h X — h3 X)=
= h + h2 + h )x~12 = (h + hl + h2 + h )x~12 =x~12.
Аналогично показывается, что на функциях пространства Sß
2 1
(я2 Пя3 )'
имеет место
равенство %s' = As — 4 , а на функциях пространства Sß
—3,1 л3 л1
Xs = Л — Л ■
Введем обобщенные функции ——> = ^ — "у I 0 I а .
1 № 1 J
D + 2s
, 2 У—4 имеет место равенство
(я3 l>1)
Очевидно, что
м' 4ßD)
p см. Бердимуратов в [2].
Учитывая определения функционалов X и то, что Xt s = —X t покажем, что на
функциях пространства Sß
D + 2s
(я1 Пя2 У
ул' м = м
1 — 2 /..1 ,.2\ ^ ( 0 I / п1 п2\ 1,2
Действительно:
м1 — м2 = (м' — м2)—I -0-1 & — 4)=xU2—I
0
0 —1,2
x 1 oz "—'1 1
s =1 У ozj
\
\°zs у
x s
K0z, у
^Xs.t
^ 0 V
X 1 X
s=1 \0zs у s=1 t=1
0
v0^ у
h,Xs,t = 0
—i — л сР,Р + 2е
Аналогично показывается, что [ = [ на пространстве ^ у_4
Для любого Щ £ Б3-3 где р = р + с шах {а; а2; а3 } построим функционал по правилу:
(J—,щ) = (J—l, ИlЧ/)+{f^2, {[3, ИъЧЩ)-■
Покажем, что [ £ {Б3- ) р 1) У Щ £ Б3р имеем
12Ц||м
'=1
P,D2
JMI;
P,d2 и иß'b
У—4 < C1JM
•j я, 11 "i 3
3' ' IU я,
k=1
||P'D3
2) Для любого Щ £ Б 3 -4 имеем
([, р'щ)=^ (Л, р'Ищ )= 0.
i=1
В силу того, что (Д3 5 ) с Бр_4, поэтому при любом Ф £ Д3а_5 , функция (—* £ Б33
х' к ' к К ' ка
n
n
n
n n
s=1
t=1
a-A
3>'"'
'=1
Учитывая, что для любого ф £ Д^С-5 построим функционал
(3,ф) = (л,ф*).
Учитывая, что £ ) р покажем, что
Для любого ф £ Д5ла-ъ имеем
1М=Р,ф) < и~1 гп- 1фи гл- < см г;
где В' =
V вВъ У
Отсюда вытекает, что & £ (дС ) и ||^|5С-5 < С14||и||5
Л Л и л,
к=1
где константы В' и с14 не зависят от функционала и .
Докажем, что функция ( является решением уравнение (1) в окрестности параллелепипеда Л . Так как £ )р
то для любого ф £ Д5С-5
л
имеем (р(р1,ф)=(&,р рфЦл,(р'(Дф) = (~,р'ф')=0.
Покажем, что V Щ £ Б 5р1 +2£ имеет место равенство
Л'
(~,ф) = (~ ,ф) 1 = 1,2,3
Г 3
Теперь покажем, что обобщенные функции и и & совпадают на компакте I У Ы
V к=1
Для любого ф £ Д5с-5 будем иметь:
' ' т Лс
(ф)=¡Ф )=(л Ф )=(Л Ф ^ Я: Ф ^=
= (л ,ф)■- £{Я1 = (Л',ф) == (иф).
:=1 V У
V Щ £ Д5з ,а-6 имеем ф = фх + ф2 + ф3 , где фг £ Д^ , 1 = 1,2,3 . У л,
Поэтому для любого Щ £ Д5 имеем
У лк
V к=1
3 /_ч 3
(и,ф ) = (и,
1=1 1=1
Теорема доказана.
(&,ф)=£ ((ф )=£ (и,ф )=(и,ф).
С
С
Выводы: Получено условие на несобственную часть характеристического множества для дифференциального оператора, обеспечивающее продолжаемость обобщенных решений задач Дарбу-Гурса-Бодо в пространстве ультрараспределений.
Список литературы / References
1. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М. «Наука», 1967. 488 с.
2. Бердимуратов А.М. Метод экспоненциального представления Паламодова и его приложение к некоторым аналогам классических задач в пространствах обобщенных функций. Бишкек, 2017. 86 с.
ОБ ОДНОЙ задаче для слабо гиперболического
ОПЕРАТОРА
Бердимуратов А.М. Email: Berdimuratov641@scientifictext.ru
Бердимуратов Амангельди Мухтарович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет им Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: в этой работе найдено условие на несобственную часть характеристического множества системы (1), обеспечивающее продолжение обобщенных решений бесконечного порядка с окрестности диска в окрестность n-мерного тела. Доказывается, что есть сходность решения в окрестности диска, а затем следует проверить, что соответствующие интегралы сходятся к обобщенной функции в окрестности п-мерного тело. Для этого найдено подходящее условие на геометрию характеристического многообразия N рассматриваемой системы дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Ключевые слова: диск, п-мерное тело, замкнутый конус, преобразование Фурье, подпространство, компакт, слабо гиперболичность, алгебраическая многообразия.
ON ONE PROBLEM FOR A WEAKLY HYPERBOLIC OPERATOR
Berdimuratov A.M.
Berdimuratov Amangeldy Mukhtarovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF INFORMATION TECHNOLOGIES AND PROGRAMMING CHAIR, KYRGYZ NATIONAL UNIVERSITY NAMED AFTER ZH. BALASAGYN, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN
Abstract: in this paper we find the condition but not the eigenvalue of the characteristic set of the system (1), which ensures the continuation of generalized solutions of infinite order from the disk neighborhood to the neighborhood of an n-dimensional body. We prove that the convergence of the solution in the neighborhood of the disk and then verify that the corresponding integrals converge to the generalized function in the neighborhood of the p-dimensional body. To do this, we find a suitable condition for the geometry of the characteristic variety N of the system ofpartial differential equations with constant coefficients.
Keywords: disk, n-dimensional body, closed cone, Fourier transform, subspace, compact, weakly hyperbolicity, algebraic variety.
УДК 51:517.9
Произвольный линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами в Rn мы будем записывать в виде: p(D) = £ pp', p; e C,
i ё'
где: D' = -, j = ( j,.....j ),
84'' 84'"
\j\ = , i = 4-1, а 4 = (4,.......4) - некоторые фиксированная
k=1
система координат в Rn.
