Об одном условии для единственности продолжения обобщенных решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОБ ОДНОМ УСЛОВИИ ДЛЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ Бердимуратов А.М. Email: Berdimuratov641@scientifictext.ru

Бердимуратов Амангельди Мухтарович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет им Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в этой работе найдено условие на множества корней главной части характеристического многочлена, обеспечивающее единственность продолжения обобщенных решений дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентам с окрестности трех

соседних характеристических граней параллелепипеда в R" в некоторую его окрестность в пространстве ультра распределений. Доказано, что всякие обобщенные решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сходящиеся в окрестности трех соседних граней параллелепипеда будет сходиться в окрестность всего параллелепипеда. Ключевые слова: параллелепипед, подпространство, компакт, множество, характеристическая матрица, алгебраическая многообразия

ONE CONDITION FOR UNIQUENESS OF GENERALIZED SOLUTIONS

CONTINUE Berdimuratov A.M.

Berdimuratov Amangeldy Mukhtarovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF INFORMATION TECHNOLOGIES AND PROGRAMMING CHAIR, KYRGYZ NATIONAL UNIVERSITY NAMED AFTER ZH. BALASAGYN, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: in this paper we find a condition on the set of roots of the main part of the characteristic polynomial that ensures the uniqueness of the continuation of generalized solutions of differential equations with constant coefficients from the neighborhood of three neighboring characteristic faces of a parallelepiped in some of its neighborhoods in the space of ultra distributions. It is proved that any generalized solution of a homogeneous differential equation with constant coefficients converging in the neighborhood of three neighboring faces of a parallelepiped will converge to the neighborhood of the whole parallelepiped.

Keywords: parallelepiped, subspace, compact, set, characteristic matrix, algebraic variety.

УДК 51:517.9

Пусть Ж - параллелепипед в Rn, n - граней которого лежат в координатных подпространствах

£ = 0, i = 1,2,3,..., n

Обозначим через Ж , его (n — l) - мерную грань, лежащую в подпространстве

£ = 0, i = 1,2,3

Через Д р обозначаем пространства бесконечно дифференцируемых функции, принадлежащих классу Жеврея порядка Р > 1, с носителями, принадлежащими компакту

F ^ Rn . Через Uр - обозначим пространство линейных функционалов на Др .

Запишем однородное дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентами

d pu£)

P(D)u = X

j<m

a

л.-л л

= 0. Rn (1)

В уравнении (1) а. е c, j =(j,... jn) - вектор с целыми неотрицательными компонентами, причем |j| = j + ... + jn, i = -J— 1, a Z = (z 1 ) - некоторая

jn

фиксированная система координат в Л"

Через Р(г) обозначим характеристический многочлен для оператора Р(о), определяемого уравнением (1).

Через Р (г) обозначим главную часть многочлена Р(г). Рассмотрим вспомогательные пространство.

Для любого ¡3 > 1, О > 0 и любого т > 0 через $, обозначим пространство бесконечно дифференцируемых функции у/ в С", для которых

( 1 Л

\D¥(x, y)< CJP (y)exp — D|z 3

при любом j, j < m .

p

Здесь Jp (y) = sup exp (y, Z), y = ImZ.

ZeP

_ П V^D

Рассмотрим пространство Sf I I Sm.p , здесь пересечение берется по всем

m>0 D>0

D > 0 и целым положительном m ;

Через (Sр) обозначим пространство линейных функционалов на S3 . Через (sр)

обозначим множество функционалов f е (s3) для которых, (f, p' w) = 0 при любом

We SP.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть N' ^ U iz е C"; zk = 0 }, тогда для любого / > 1 и для любой

к=1

3

окрестности L компакта U Жк существует окрестность L' компакта Ж такая, что всякая k=1

обобщенная функция U е up, являющаяся решением уравнения (1) на L' и равна нулю на L , будет равна нулю на L' .

Доказательство. Для любого целого ( обозначаем через Жа, Ж(, Ж(, Ж(

соответственно замкнутые 2( - окрестности параллелепипеда Ж и его граней Жх ,Ж2 , Ж3 .

Пусть U произвольное решение уравнения (1) принадлежащее пространству Uпри

некотором целом (, u| = 0.

3

U Жк к=1

I

Введем функционал [I = ^^О)[Я , тогда в силу теоремы Паламодова 2.3.2

Л=0

(см.[1], VI §4, теор. 2) (и,р) = ([,р*) для любого ( е . Покажем что функционал [i е ) р .

Так как 5Я(7, А), Я = 0, £ матричные дифференциальные операторы положительными коэффициентами, то обозначая наивысший порядок производной в 5Я(7,А), Я = 0,£ через Щ для любой функции Щ £ р'°+е , мы получим оценку:

о, в

е

р,В+е

\\аЯ(7,А< Я = 0,£.

щ , в

В силу этой оценки v Щ £ $имеем

\(/\) < Е^,АУ,\) = ^А\) <

Я=0

р,О+е

< х и |нъ< смеъсж:::. < с

Я=0 £

\\Р,С+е иР.Бп \\Р,П+е

< С3и а \\Щ\\ а_1

1Щ, ,ла 1 311 \\ла \\т 1Щ, ,ла

Я=0

Отсюда вытекает, что

\Р,Э+е и «р.З

Щ па_1 < С3Г„а

Э+е

Из работы Паламодова [1] (гл. IV, §4, П.1) вытекает, что для любой функции Щ £ Брр и при любом Я = 0, £ выполняется равенство

а % а )р'щ\^ = 0 (2)

где А - вектор с компонентами -,...,-, а Р - матрица транспонированная с Р .

&1 д!п

В силу (2) VЩ £ БрА+е имеем (/,р'\) = Х/,аЯ(2, А)Р'(2\) = 0

Я=0

Следовательно, /Л £ (р^*^ р , отсюда следует, что /Л £ (З^'О^^ . По условию теоремы V р £ ДРа_1, 1 = 1,2,3 .

(и, ()=(/,(* ) = 0, где ф* £ (Д~Ра_1) 1 = 1,2,3 .

Известно, что функционал /Л обращается в нуль на целых функциях пространства

$ р„_,, I = 1,2,3.

Применяя аналог первой теоремы Мальгранжа (см.Ахмедов [1]) к функционалу /Л мы получим:

п ( 5 ^ *, где / £($рРа_з )р, к = 1,2,3.

1=1

V 1

Обозначим у = /_ / где I Ф 1, 1, 1 = 1,2,3 .

п ( 5 ^

так как X"1 - у1,1 = 0 на функциях пространства

х 57 А"

1=1 V °7з

( л $р

$ р

3

п „к

к=1

X;1 £

3 Ла_3

п I

V V к=1 ) )

то, применяя к функционалам у^ аналог второй теоремы

п

п

и

а_3

Р

Мальгранжа (см.Ахмедов,Бердимуратов [2]), мы получим, что существуют функционалы

( \

е

3 ла—4

п шк i

v v к= ) )

такие, что =

V5г)

Хзл причем =

В дальнейшем мы будем использовать функции К, К, К, К

Обозначим НX ( через хХ 1 = 0,1,2,3 .

В силу леммы 2 в [3] для любого у/ е Л а_4 имеем

ПП *

(Кх^ ,у)=Х, Ку)=0

Поэтому на функциях пространства

3

п *

к=1

Х,г = (К + Н + К + К = + Х + Х\г + Х,г,

X е($3а-4 ), 1 * и и = 1,2,3

Введем функционалы [~к = [к +

Очевидно, , е

^Т4 )п,

к "к

г=1

1 = 1,2,3

Ч5гг )

Х$,г ,

1 * и, 1, и = 1,2,3.

Покажем, что на функциях этого пространства $

3

п *

к=1

а-4 , [ = [~2 .

Учитывая, что на функциях этого пространства Х°г = 0 , будем иметь

(

~=~-~2

Г 5 ^ "

X ^ Х2,г + X

г=1 V г ) г=1

5

Ч^ )

Х э,г

= х? + Х

г=1

^ V

Ч5гг )

2 _ 1,2 1,2 _ /л

=ХХ ХХ 0

Аналогично показывается, что = [~[ , где 1 * и, 1,и = 1,2,3 , на пространстве

3 ^

I п *

Ч к=1 )

Так как Х^,г = —Хг, *, то

[ = Х

и=1

Ч5^ )

[к=х I5

з

л 1 5г

~ к к = 1,2,3.

з )

Покажем, что для любого ( е Д^а—5, ([, ( ) = 0 . Для этого для любого у е $3а—4 построим функционал

г=1

р

а—4

*

а—4

*

(Иj (И J, hkv\

k=1

Покажем, что /Р, = /Р, , где k = 1,2,3 на функции пространства Sp

3

п nt

k=1

Так как на функциях этого пространства И = И1, где i Ф j, i, j = 1,2,3

h иИ = о, то

Е О**' ^уЬ (Е |=' (Ао+иг+к+ь у)=

к=\ V к=1 )

где к = 1,2,3 .

Откуда следует, что для любого у £ Б ^ Л„-4 имеем представление

(ь

f V

n ^ n

и=Е ^ И=Е

j=1 Voz] у j=1

V J У

И,

Так как пространство „-4 плотно в пространстве Б ^а_4 и так как ~ £ , то

к=1

в силу линейности и непрерывности функционалов получим представление:

и = !

j=1

v j у

И на функциях пространства S ^

То в силу леммы 3в [3], если р £ Д^«-5, то р £ , в силу этого vp g Д^«-5, будем иметь

(и,р) = (и,р* ) =

Z

j=1

А

V j У

~ j

Иj (

j=1

р а И ^ р

Sz

= о.

j У

Теорема доказана.

Выводы: Получено условие на множества корней главной части характеристического многочлена, обеспечивающее единственность продолжения обобщенных решений дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентами с окрестности трех соседних

характеристических граней параллелепипеда в Rn в некоторую его окрестность в классе обобщенных функции бесконечного порядка.

Список литературы / References

1. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М. «Наука», 1967. 488 с.

2. Ахмедов Ш.А. Аналог теоремы Мальгранжа // Изв. АН Тадж. ССР отд. Физ.-матем. и геол.-хим. Наук, № 2 (88), 1983. С. 15-20.

3. Ахмедов Ш.А., Бердимуратов А.М. Аналог второй теоремы Мальгранжа // Изв. АН Тадж. ССР отд. Физ.-матем. и геол.-хим. наук. № 2 (96), 1985. С. 3-9.

а-4

*

*

а-4

У