О дополняемости элементов решетки разрешимых регулярных транзитивных подгрупповых функторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О ДОПОЛНЯЕМОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕТКИ РАЗРЕШИМЫХ РЕГУЛЯРНЫХ ТРАНЗИТИВНЫХ ПОДГРУППОВЫХ ФУНКТОРОВ

С.Ф. Каморников, М.М. Сорокина

В работе изучаются свойства решетки Ке ^ (Э ) всех разрешимых регулярных транзитивных подгрупповых функторов. Доказывается, что данная решетка является решеткой с дополнениями. Строится пример, показывающий, что Ке ^ (Э) не является решеткой с единственными

дополнениями. Отмечается, что Ке ^ (Э ) не модулярна.

Ключевые слова: конечная разрешимая группа, регулярный транзитивный подгрупповой функтор, решетка, решетка с дополнениями, дополняемый элемент решетки.

В работе рассматриваются только конечные разрешимые группы и разрешимые подгрупповые функторы, т.е. функторы, определенные на классе Э всех разрешимых конечных групп. Используемые определения и обозначения теории конечных групп и подгрупповых функторов стандартны, их можно найти в [1,2]. Что касается терминологии теории решеток, то мы отсылаем читателей к книге [3].

Центральное место в работе занимает понятие разрешимого подгруппового функтора, которое введено А.Н. Скибой в монографии [4]. Отображение в, сопоставляющее каждой группе О е Э некоторую непустую систему в(О) ее подгрупп, называется разрешимым подгрупповым функтором, если для любого изоморфизма у группы О выполняется

равенство (в(О)У = в(оу).

Подгрупповой функтор в называется регулярным, если для любого эпиморфизма

-1

у: А ^ В имеют место включения (в(А)) в(В), (в(В))у С в(А) и, кроме того, О е в(О) для любой группы О . Регулярность подгруппового функтора в означает, что для любой нормальной подгруппы N группы О всегда выполняются следующие условия:

1) из Н е в(О) следует NN/ N е в(О / Щ;

2) из Н / N е в(О / К) следует Н е в(О).

Если же из К е в(Н) и Н е в(О) всегда следует К е в(О), то подгрупповой функтор в называется транзитивным.

Первоначально идея регулярного транзитивного подгруппового функтора проявилась в приложениях. Например, в теории формаций она связана с Р -субнормальными (Р. Картер, Т. Хоукс [5], Л.А. Шеметков [6]) и Р -достижимыми (О. Кегель [7]) подгруппами, естественно обобщающими понятие субнормальной подгруппы. Простая проверка (см. [1]) показывает, что для любой наследственной формации Р каждый Р -субнормальный и каждый Р -достижимый подгрупповой функтор является регулярным и транзитивным.

Как самостоятельные объекты исследования регулярные транзитивные подгрупповые функторы стали рассматриваться в связи с проблемой их классификации, поставленной А.Н. Скибой:

Можно ли классифицировать все регулярные транзитивные подгрупповые функторы ([4], вопрос 1.2.12)?

Как показывает практика, данная проблема является достаточно трудной и далекой от окончательного решения. В то же время некоторые направления ее исследования получили сегодня эффективное развитие. Одно из таких направлений связано с

исследованием свойств решетки всех регулярных транзитивных подгрупповых функторов.

Обозначим через Re gtr (S ) множество всех разрешимых регулярных транзитивных подгрупповых функторов и введем на этом множестве частичный порядок —, полагая, что отношение в1 —в2 имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы G справедливо включение 01 (G)< в2 (G), для любых 0Х, в2 £ Re gtr (S ) .

Для совокупности {в i £ I } из Regtr(S ) определим пересечение в = Пг-ев следующим образом: e(G) = Пг-ев (G) для любой разрешимой группы G . Простая проверка показывает, что в - регулярный транзитивный подгрупповой функтор. Этот функтор является

точной нижней гранью множества {вi i £ I } в Re gtr (S ). Таким образом, Re gtr (S ) -полная решетка, единицей которой является подгрупповой функтор 1 , выделяющий в каждой группе все ее подгруппы, а нулем - тривиальный подгрупповой функтор 0S , выделяющий в каждой группе G только саму группу G .

Пусть в - подгрупповой функтор. Подгруппу H группы G назовем:

1) в-субнормальной, если либо H = G, либо существует такая максимальная цепь H = H с H с...с H = G, что HM £0(Hi) для всех i = 1,2,..., n;

2) в -субабнормальной, если либо H = G, либо существует такая максимальная цепь H = M0 см1 с... смк = G, что M-i £ eMj) для всех j = 1,2,.,k.

Если в - подгрупповой функтор, то множество всех в-субнормальных подгрупп группы G будем обозначать sub0(G), а множество всех ее в -субабнормальных подгрупп -subabe (G).

Лемма 1. Если в - подгрупповой функтор, то:

1) функция sube : G ^ sube(G) является подгрупповым функтором;

2) функция subab е : G ^ subabe(G) является подгрупповым функтором.

Доказательство. Утверждение 1) доказывается непосредственной проверкой.

2) Пусть H £ subab e(G) и <р - изоморфизм группы G . Если H = G, то, очевидно,

Hv £ subab e(Gf). Пусть H = G. Тогда существует такая максимальная цепь H = H с H с. с Hn = G, что HM £ в(Hг) для всех i = 1,2,., n. Рассмотрим максимальную цепь

Hv = Hf с H* с. с Hnv = Gv.

Предположим, что Hk_f £ @(Hkдля некоторого k £ {l,2,...,n}. Тогда из того, что в - подгрупповой функтор, имеем

-1 -1 ч Hn = Hn9y £ (eHk9f = 0((HT) = в(Hk)

и, тем самым, приходим к противоречию. Таким образом, Hv £ subab e(Gv), а значит, ( subab ^(G))*« subab ^(g . Обратное включение доказывается аналогично. Лемма доказана.

Далее для подгруппового функтора в функтор sube : G ^ sub6 (G) будем обозначать sub, а функтор subab е : G ^ subabe(G) - subabе.

Лемма 2. Если в - регулярный подгрупповой функтор, то в -субабнормальный подгрупповой функтор subabе также является регулярным.

Доказательство. Пусть подгруппа H группы G является в-субабнормальной и H = G. Тогда существует такая максимальная цепь

H = Ho сH с.сHn = G, (1)

что Нм не принадлежит в(Н1) для всех I = 1,2,...,п.

Пусть N - нормальная подгруппа группы О. И пусть Нм и Нг - такие члены цепи (1), что Hi_lN = HiN. Покажем, что H¡_N - максимальная подгруппа в HjN. Допустим, что Hi_lN с Ь с HiN для некоторой подгруппы Ь группы О . Тогда, поскольку подгруппа максимальна в Нг, то из

! С Н{_! п ь — Н п Ь — Нг

следует, что либо Н1 П Ь = Нн1, либо Н1 П Ь = Н1. Пусть имеет место первое. Тогда, поскольку Ь = Ь ПHjN = (ЬПН{)N, то Ь = Н^. Противоречие. Значит, Н{ ПЬ = Н{, т.е. Н — Ь . Поэтому НN — Ь . Противоречие. Итак, цепь

Ж / N = Н^ / N — НN / N — . — HnN / N = О / N (2)

такова, что в нем для любого I е {1,...,п} имеет место одно из двух условий:

1) Н^м = НN / N;

2) Н^Ж - максимальная подгруппа в HjN / N.

Не нарушая общности рассуждений, мы можем считать, что все члены цепи (2) различны. Допустим, что Hj_1NN ев(HjN/N для некоторого I е{1,...,п}. Так как из максимальности подгруппы Нм в Нг справедливы равенства

Н1Л /Н1 пN = Нг ПН.^/Нг пN = Н1Л(Н1 пN)/Нг ПN, то Нг-1 / Н1 п N е в(Н1 / Н1 п N). Отсюда и из регулярности подгруппового функтора в следует, что ев(Н.). Полученное противоречие доказывает, что

Ж / N е эиЪаЪДО / N).

Пусть теперь Н / N е БиЪаЪДО / N и Н / N = О / N. Тогда существует такая максимальная цепь

Н/N = Н0/N сН/N с... сН/N = О/N, что Нм /N не принадлежит в(Н /N) для всех . = 1,2,.,к. Так как в - регулярный подгрупповой функтор, то Нч не принадлежит в(Н1) для всех . = 1,2,.,к. Следовательно, Н е эиЪаЪ в(О). Лемма доказана.

Если в - регулярный подгрупповой функтор, то непосредственной проверкой устанавливается справедливость следующих лемм, имеющих самостоятельное значение.

Лемма 3. Пусть в - регулярный подгрупповой функтор. Тогда в -субнормальный подгрупповой функтор БиЪ^ также является регулярным.

Лемма 4. Для любого подгруппового функтора в подгрупповые функторы БиЪ^ и БиЪаЪз являются транзитивными.

Лемма 5. Пусть ве Яе ^ (Э ). Тогда и только тогда в-подгруппа Н группы О является в -субабнормальной в О, когда Н = О.

Доказательство. Предположим, что лемма не верна. Пусть О - группа наименьшего порядка, для которой лемма не выполняется, т.е. в О имеется собственная в -субабнормальная в -подгруппа Н .

Если N - минимальная нормальная подгруппа группы О, то ввиду регулярности подгруппового функтора в и на основании леммы 2 имеем, что HN/ N - в-субабнормальная в-подгруппа группы О / N. Так как |О / N1 < |О|, то для О / N лемма выполняется, а потому HN/ N = О / N и HN = О . Если N — Н, то Н = О и мы приходим к противоречию с выбором группы О .

Таким образом, N не содержится в Н. Так как группа О разрешима, а N - ее минимальная нормальная подгруппа, то Н - максимальная подгруппа группы О . Ввиду выбора группы О имеем, что Н £ в(О). А так как подгруппа Н является в -субабнормальной в О, то ввиду максимальности Н в О имеем, что Н £ в(О). Снова пришли к противоречию. Следовательно, Н = О . Лемма доказана.

Напомним, что элемент в решетки Яе ^ (Э ) называется дополняемым, если в

Яе (Э ) найдется элемент т такой, что в У т = 1 и в Ат = 0Э . Очевидно, сами элементы 0 и 1 являются дополняемыми.

Теорема 1. Решетка Яе ^ (Э) всех разрешимых регулярных транзитивных подгрупповых функторов является решеткой с дополнениями.

Доказательство. Пусть в - произвольный элемент решетки Яе ^(Э), а т = БиЪаЪ^. Ввиду лемм 2 и 4 подгрупповой функтор т является регулярным и транзитивным. Пусть а = в V т - точная верхняя грань множества {в, т } в решетке Яе (Э ). Тогда, в частности, в ^а, т ^а, а значит, в(О) С а(О) и т(О) С а(О) для любой группы О.

Пусть Н - произвольная подгруппа разрешимой группы О . Если Н = О, то Н £а(О). Пусть Н = О и

Н = Н0 сН с...сЩ = О

- произвольная максимальная цепь, соединяющая подгруппу Н с группой О. Очевидно, что для любого I = 1,2,., t либо Нм £ в(Нг), либо Нм £ в(Нг), а значит, либо Нг1 £в(Нг), либо Нь1 £т(Нг). Поэтому Нм £ (вУт)(Нг) для всех I = 1,2,.,t. Так как подгрупповой функтор а = в V т является транзитивным, то Н £ а(О). А так как подгруппа Н выбрана произвольным образом, то а(О) - множество всех подгрупп группы О . Таким образом, в V т = 1 - единица решетки Яе ^ (Э ).

Ввиду леммы 5 в -подгруппа Н разрешимой группы О является в-субабнормальной тогда и только тогда, когда Н = О . Поэтому для любой разрешимой группы О справедливо равенство в(О) Пт(О) = {О}, а значит, точная нижняя грань в Ат множества {в,т} в решетке Яе ^ (Э ) является нулем этой решетки.

Итак, в Ат = 03 , в V т = 1д , поэтому подгрупповой функтор в дополняем в решетке Яе ^ (Э ). Теорема доказана.

Напомним, что элементы а и Ь решетки Ь с дополнениями называются перспективными, если они имеют общее дополнение, т.е. а Ус = ЬУ с = 1 и а Ас = Ь Ас = 0 для некоторого элемента с £ Ь. Элемент с называется в этом случае осью перспективы.

Теорема 2. Для любого разрешимого регулярного транзитивного подгруппового функтора в элементы в и БиЪ^ решетки Яе ^(Э ) перспективны в Яе ^(Э ). При этом осью перспективы является подгрупповой функтор 8иЬаЪе.

Доказательство. Пусть в - произвольный элемент решетки Яе ^(Э), а т = БиЪаЪ^. Тогда из доказательства теоремы 1 следует, что т является дополнением в в решетке Яе ^ (Э ).

Пусть а = БиЪв . Ввиду лемм 3 и 4 а £ Яе (Э ) .

Пусть Н - произвольная подгруппа разрешимой группы О . Если Н = О , то Н £ (а V т)(О). Пусть Н = О и

H = H0 сH С.СHt = G - произвольная максимальная цепь, соединяющая подгруппу H с группой G то для любого i = 1,2,., t либо HiX £a(Hi), либо HiA £^Hi). Поэтому Hл £ (aV r)(Hj) для всех i = 1,2,.,t. Так как подгрупповой функтор aV г является транзитивным, то H £ (a V t)(G) . Следовательно, (a V t)(G) - множество всех подгрупп группы G . Таким образом, a V г = 1 - единица решетки Re gtr (S ).

Пусть H £ (a Л r)(G). Так как функтор a = sube является транзитивным, то

H £ 0(G) . Таким образом, H - 0 -подгруппа разрешимой группы G , которая является 0 -субабнормальной в G . Ввиду леммы 5 H = G . Поэтому для любой разрешимой группы G справедливо равенство

(a Л r)(G) = a(G) П r(G) = {G }, а значит, точная нижняя грань a Л г множества {a, г} в решетке Re gtr (S ) является нулем этой решетки.

Итак, a Л г = 0S , a V г = 1s , поэтому подгрупповой функтор a дополняем в решетке Re gtr (S). При этом, как и для функтора 0, функтор subabe является дополнением элемента sube решетки Re gtr (S ). Следовательно, элементы 0 и sube решетки Re gtr (S ) перспективны в Re gtr (S ), а subabe - ось перспективы. Теорема доказана.

Следующий пример показывает, что Re g (S ) не является решеткой с единственными дополнениями.

Пример. Следуя А.Манну [8], подгруппу H группы G будем называть X -нормальной, если либо H = G, либо для любого эпиморфизма (р группы G такого, что

H<p = g( , в Gp найдется собственная нормальная подгруппа, содержащая Hр. Пусть 0 -отображение, которое ставит в соответствие каждой группе G множество всех ее X -нормальных подгрупп. Как отмечено в [8], 0 является регулярным транзитивным подгрупповым функтором. Этот функтор мы будем называть X -нормальным.

Отметим, что максимальная подгруппа разрешимой группы G является X -нормальной в G тогда и только тогда, когда она субнормальна в G . Это означает, что если 0 - X -нормальный подгрупповой функтор, то sn(G) = sube(G). Простые примеры

показывают, что функторы 0 и sube различны (например, в знакопеременной группе

любая силовская 3-подгруппа X -нормальна, но не субнормальна). По теореме 2 подгрупповые функторы 0 и sn перспективны в решетке Re gtr (S ) и subabe - ось

перспективы. Так как 0 = sub, то подгрупповой функтор subabe имеет в Re gir (S ) два

дополнения 0 и sub = sn.

Следствие. Решетка Re gtr (S ) не является модулярной.

Доказательство. Если 0 - X -нормальный подгрупповой функтор, то подрешетка

{0S, sn, 0, subabe, 1s } решетки Re gtr(S ) является пентагоном. Поэтому (см., например, [3, стр. 209]) решетка Re gtr (S ) не является модулярной.

Замечание. В [2, теорема 4.1.10] доказано, что решетка Re gm (S ) всех регулярных m -функторов является булевой. В отличие от нее решетка Re gtr(S ) таковой не является:

будучи решеткой с дополнениями, ввиду приведенного следствия она не является дистрибутивной.

This paper investigates the properties of the lattice Re gir (S ) of all solvable regular transitive subgroup functors. We prove that this lattice is a lattice with complements. We construct an example showing that Regfr(S ) is not a lattice with unique complements. It is noted that it is not modular.

Key words: a finite solvable group, a regular transitive subgroup functor, a lattice, a lattice with complements, a complemented element of the lattice.

Список литературы

1. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin - New-York: Walter de Gruyter,

1992.

2. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Мн.: Беларуская навука, 2003.

3. Артамонов В.А., Салий В.Н., Скорняков Л.А., Шеврин Л.Н., Шульгейфер Е.Г. Общая алгебра. Т. 2. М.: Наука, 1991.

4. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997.

5. Carter R., Hawkes T. The F -normalizers of a finite soluble group // J. Algebra. 1967. Vol. 5, № 2. P. 175-202.

6. Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп // Мат. сб. 1974. Т. 94, № 4. С. 628648.

7. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die den Subnormalteilerverband echt enthalten // Arch. Math. 1978. Bd. 30, № 3. S. 225-228.

8. Mann A. On subgroups of finite soluble groups, III / Israel J. Math. 1973. Vol. 16, № 4. P. 446-451.

Об авторах

Каморников С.Ф. - доктор физико-математических наук, профессор кафедры общенаучных и гуманитарных наук Международного университета «МИТСО» (Гомельский филиал), sfkamornikov@mail.ru

Сорокина М.М. - кандидат физико-математических наук доцент кафедры алгебры и геометрии Брянского государственного университет имени академика И.Г. Петровского, mmsorokina@yandex. ru