CC BY
25
УДК 512.54.01
А.И. Будкин
О доминионах конечных подгрупп* A.I. Budkin
On Dominions of Finite Subgroups
Доминион подгруппы Н группы А в квазимногообразии М — это множество всех элементов а € А, образы которых равны для
Н
из А в каждую труппу из М. Найдено условие, при выполнении которого доминион конечной подгруппы совпадает с этой подгруппой.
Ключевые слова: квазимногообразие, доминион, амальгама, свободное произведение с объединенной подгруппой.
Введение. Понятие доминиона было введено в [1] для изучения эпиморфизмов. СоН
сальпой алгебры А в полной категории М (А € М), обозначаемым (Н), называется мно-
жество всех элементов а € А таких, что а^ = а^ для любых двух морфизмов р,ф : А ^ М €М, Н
ние : А ^ В (А, В € М.) является эпиморфизмом в М тогда и только тогда, когда (1от;^(А^) = В. Этот факт послужил началом исследования доминионов. Далее, понятие доминиона изучалось в различных классах алгебр [2-4] (см. также библиографию: [5]). В частности, была установлена тесная связь между доминионами и амальгамами. За подробностями мы отсылаем читателя к обзорной статье [2]. Целесообразность изучения доминионов в квазимногообразиях обосновывается в [5] тем, что, согласно [6], только квазимногообразия среди аксиоматизируемых классов обладают полной теорией определяющих соотношений, позволяющей определить свободное произведение с объединенной подалгеброй. Отметим, что доминионы подробно рассмотрены в квазимногообразиях абелевых [3, 7, 8] и метабелевых групп [9], а решетки доминионов введены и изучались в [5,
10, 11].
Пусть М - произвольное квазимногообразие
А
М и ее подгруппы Н доминион с1от^ (Н) под-Н А М
<1от^ (Н) = {а € А \УМ €МУ/,д:А ^ М, если / \н= д \н, то а1 = ад}.
The dominion of a subgroup H of a group A in a quasivariety M is the set of all elements a G A with equal images under all pairs of homo-AM
H
when the dominion of a finite subgroup coincides with this subgroup.
Key words: quasivariety, dominion, amalgam, free product with an amalgamated subgroup.
Здесь, как обычно, через f,g : A ^ M обозначены гомоморфизмы группы A в группу M, через f \н - ограничение f на H.
С основными понятиями теории квазимногообразий можно познакомиться в [12-14], а теории групп - в [15, 16].
2. Предварительные замечания. Напомним некоторые понятия и обозначения.
Запись A < B означает, что A является подгруппой группы B.
Через rp(S) обозначим группу, порожденную множеством S, через (а) — циклическую груп-
a
Как обычно, qM — это квазимногообразие, M
AB зывать любой гомоморфизм p : A ^ B, являющийся изоморфизмом A на Av. Если существу-A B A
B
Подмножество H группы G называется ча-
H
ная операция о такая, что для любых элементов a,b,c G H имеем: ab = с тогда и только тогда, когда а о b = с.
H
G вложима в группу C, если существует взаимно однозначное отображение p частичной под-H
пу L группы C такое, что для любых элементов
a,b G H выполнено следующее:
1) а о b определено в H, тогда и только тогда, когда a* о b* определено в L;
2) (a о b)* = a* о W.
*Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (мероприятие 1).
Под амальгамой понимают индексированное семейство {Аг | г € I} групп, пересекающихся по общей подгруппе И. В этой статье рассматривается амальгама только двух групп А и В с И
рез [А, В; И].
Для амальгамы [А, В; И] естественно возни-
А
ВИ
дем обозначать через А *н В.
Пусть О = А *н В. Тогда [17] всякий элемент из О имеет следующий канонический вид: если д € О, т0 либо д € И, либо д = Ъ ... Ът для некоторого т > 1, где каждый элемент Ъг лежит в
Июг \ И ДЛЯ НвКОТОрОГО V* И VI Ф Vг+l.
Напомним определение квадрата группы с
О
ет представление:
О = гр({х* | г € I} II {г¿(х) = т'з (х) I 3 € J}).
Возьмем две группы изоморфные
О
Ог = гр({х* | г € I} || {г^х) = г' (х) I 3 € J}),
О2 = гр({уг 1 г € 1} 1 {гз(у) = г'з(у) 1 3 € J}).
Предполагаем, что пересечение X = {хг | г € I} и У = {уг | г € I} пусто.
ИО извольное множество {Ъ^х) | I € Ь} групповых слов в алфавите X = {хг | г € I}, множество {Ъ¡(х) | I € Ь} значений которых в О порождает И. Возьмем группу В, обладающую представлением:
В = гр(Х и У | {г^(х) = г' (ж) | 3 € J}и
{г ¿( у) = г' (у) | 3 € J }и {Ы( х) = Ъ^ у) | I € Ь}).
Эта группа В = О *н О называется свободО
группой И. Отображения А : О ^ В, где х) = хДг € I); р : О ^ В {хр = у¿(г € I)) являются вложениями, и подгруппы О), Ор, Их
ООИ
но.
ИВ
ОО
и будет обозначиться через В = О * О2.
Хорошо известно (см., например: [2]), что
О П О2 = йот^ (И).
Напомним определение фильтрованного произведения.
Пусть I — произвольное непустое множество. Совокупность Б подмножеств множества
I называется фильтром над I, если выполнено следующее:
1)0€ в,
2) если А, В € В, то А П В € Б,
3) если А € Б и А С В С I, то В € В. Фильтр В называется ультрафильтром, если
для любого подмножества А множества I либо А € В либо I \ А € В.
Пусть {Аг | г € I} — произвольное множество групп и В — фильтр над I. Тогда определяем нормальную подгруппу N декартова произведения А = У[Аг следующим образом:
гЕ1
^ {I € А | {г € I | 1(г) = 1}€ В}.
Фактор-группа A/N называется фильтрованным произведением групп Аг то фильтру В и обозначается через П Аг/В. Смежный класс
гЕ1
^ принято обозначать через 1В Если В — ультрафильтр над I, то соответствующее фильтрованное произведение называется ультрапроизведением.
Лемма. Пусть [Аг,Вг; Иг] — амальгама групп Аг и Вг (г € I), В — ультрафильтр над
I, О = П А *щ В г)/В И = П Иг/В. Если
1Е1 1Е1
А = П Аг/В, В = П Вг/В — подгруппы груп-ге1 ге1
пы О, т0 ГР(А, В) = А *н В.
Доказательство. Для каждого г € I зафиксируем множества Бг и Тг представителей правых смежных классов Игд групп Аг, соответ-
Вг Иг
S = {1В | 1(г) € Бг для каждого г € I},
Т = {1В | Кг) € Тг для каждого г € I}.
Покажем, что Б (соответственно Т) является полной системой представителей правых смеж-А И В И
дВ
мент из А. При каждом г € I элемент д(г) представим в виде д(г) = Ъгвг для подходящих Ъг € Иг, вг € Бг. Берем элемепты Ъ € Иг
___ гЕ1
в € П Аг такие, что Ъ(г) = Ъг, в(г) = вг. Тогда
гЕ1
дВ — ЪВвВ, ЪВ € И, вВ € Б. Таким образом, Б
— полная система представителей правых смеж-АИ
ТВ
И
дВ € А, В дВ = ЪВКВ . .КпВ, где ЪВ € И, КВ,...,КпВ € Б и Т, элементы Кк В, Кй+1 В те принадлежат одновременно А и В при всех к = !,..., п — 1. Предположим,
дВ
ческий вид элементов свободного произведения с объединенной подгруппой. Отсюда необходи-
ЪВ
КВ,..., К В в записи дВ отсутствуют.
Имеем:
4 = {г € I | Ъ(г)11(г)..Кп(г) = 1} € В. Полагаем:
4 = {г € I | Кк(г)ф 1}, к = 1,...,п.
Так как ^ € В, к = 1,. ..,п, то
п
J = П I € В.
г
Поскольку Цг),..., П г) € Бг и Ти Ъ(г) € Иг, то при г € ^ ^^^^тошепие .. . 1п(г) = 1
истинно в группе Аг *н* Вг. Это возможно лишь в случае, когда К^),...,1п(г) отсутствуют и ЪВ
Теорема 1. Пусть класс М групп обладает свойством:
(У А(Уи)(А € М & (и — конечная подгруппа группы А) ^ А *и А € дМ). (1)
Тогда для любой группы С € дМ и любой ее
и
С *и С € дМ.
Доказательство. Пусть I — множество
С
Хорошо известно [15], что каждая конечная ча-
дМ
М
го г € I зафиксируем вложение рг'. г ^ Аг €М. Полагаем: Иг = гр((г П и)**). Далее поступаем по аналогии с доказательством теоремы 2 [15, с. 208].
Для каждого г € I вводим
Ъ = {3 | г С 3, 3 € I}.
Множество Б = {^ | г € I} - центрированное, т.е. пересечение любого конечного мно-Б
БВ над I.
д € С
мент д так: полагаем
дЦ) = д** при люб ом 3 € ^д}-, д(3 = 1 при 3 € I{g}■
Хорошо известно (см., например, теорему 2: [15, с. 208]), что отображение р : д ^ дВ являет-СА Аг/В.
гЕ1
Пусть И = П Иг/В < А. По лемме группа
гЕ!
А *н А вложима в группу В = П {Аг *н* Аг)/В.
ЗЕ!
Поскольку при любом г € ^ Аг *н* Аг € дМ, то В € дМ, следовательно, А *н А € дМ.
Покажем, что С * П И = и *. Ясно, что и * < С * П И. Обратно, пусть дВ € С * П И. Из построения вложения р следует, что можно считать, что для некоторого д € С ~д(г) = д* при г € ^д}. Следовательно, найдется J € В, для которого д** € Иг для каждого г € J.
и
па. Пусть и = {щ,...,ип}. Рассматривая г € П .1, видим, что д* = ит для неко-
торого т. Поскольку рг — вложение, то д = ит. Значит, д € и *. Итак, С * П И =и *.
С* П И и* па С * *и V С * содержится в А *н А € дМ, откуда С * *и V С * = С *и С € дМ. Теорема доказана.
Следствие. Пусть Т — квазимногообразие, порожденное всеми конечными группами. Тогда С €Т
пы и имеем: группа С *и С € Т, в частности,
3,отС{ Щ = и.
Доказательство следует из результата [18], в котором доказано, что класс конечных групп обладает свойством (1).
При доказательстве теоремы 1 мы воспользовались фактически тем, что любая ультрастепень конечной группы изоморфна этой группе. Применив аналогичное утверждение к конечной циклической группе, почти дословным повторением доказательства теоремы 1 получаем следующую теорему.
М
свойством:
(УА)(Уи)(А €М & (и — конечная циклическая подгруппа группы
А) ^ А *и А € дМ. (2)
С € дМ и
включение:
С *и С € дМ. А, В и
ма конечных р-групп с циклической подгруппой и порядка р, то группа А *и В аппроксимируется конечными р-группами. Кроме того, в [19] для амальгамы [А, А; и] конечных р-групп доказано, что А *и А аппроксимируется конечными р
лучаем
Следствие 2. Пусть Рр — квазимногообра-
р
Тогда для любой группы С € Рр и ее конечной подгруппы и группа С *ц С припадлежит Рр, в
'Р
частности, йотс?{ и) = и.
Библиографический список
1. Isbell J.R. Epimorphisms and dominions // Proc. of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla 1965, Lange and Springer. - New York, 1966.
2. Higgins P.M. Epimorphisms and amalgams // Colloq. Math. - 1988. - V. 56, №1.
3. Шахова С.А. О решетках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп / / Алгебра и логика. - 2005. - Т. 44, №2.
4. Magidin A. Dominions in varieties of nilpotent groups // Comm. Algebra. - 2000. - V. 28, №3.
5. Budkin A.I. Dominions in Quasivarieties of Universal Algebras // Studia Logica. - 2004. -V. 78, m/2.
6. Мальцев А.И. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр // Доклады АН СССР. -1956. - Т. 108, №2.
7. Шахова С.А. Условия дистрибутивности решеток доминионов в квазимногообразиях абелевых групп // Алгебра и логика. - 2006. -Т. 45, №4.
8. Шахова С.А. Об одном свойстве операции пересечения в решетках доминионов квазимногообразий абелевых групп // Известия АлтГУ.
- 2010. -№1.
9. Будкин А.И. О доминионах в квазимного-
образиях метабелевых групп // Сибирский математический журнал. - 2010. - Т. 51, №3.
10. Будкин А.И. Решетки доминионов универсальных алгебр // Алгебра и логика. - 2007.
- Т. 46, .Y'l.
11. Будкин А.И. Доминионы универсальных алгебр и проективные свойства / / Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47, №5.
12. Будкин А.И. Квазимногообразия групп.
- Барнаул, 2002.
13. Будкин А.И., Горбунов В.А. К теории квазимногообразий алгебраических систем // Алгебра и логика. - 1975. - Т. 14, №2.
14. Горбунов В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий. - Новосибирск, 1999.
15. Мальцев А.И. Алгебраические системы.
- М., 1970.
16. Каргаполов М.И., Мерздяков К).II. Основы теории групп. - М., 1982.
17. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. - М., 1980.
18. Baumslag G. On the residual finiteness of generalised free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. - 1963. - V. 106.
19. Higman G. Amalgams ofp-groups // J. Algebra. - 1964. - V. 1.
